量子電磁力学の輻射補正(5)(電子自己質量-1 )

　輻射補正の続きです。電子の自己質量に入ります。

　§8.4 Self-mass of the Electron(電子の自己質量)

　図8.4(ｄ)のグラフに対する振幅はｅ²のオーダーの電子の固有

 自己エネルギー部分として知られています。

 これについては,４/４の記事「量子電磁力学の輻射補正(1)」

 において次のように書きました。

　"行列要素Ｓ_fi^(4d)はＳ_fi^Bの第２項と電子波動関数の置換:

 ｕ~(ｐ₁')→ ｕ~(ｐ₁')ε₀^-1∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4(－ｉ)(ｋ²＋iε)^-1

 (－iｅγ_ν)i(ｐ₁'－ｋ－ｍ＋iε)^-1(－iｅγ^ν)i(ｐ₁'－ｍ＋iε)^-1

 だけ異なります。"

　です。

　これと等価な表現として,電子波動関数(4-spinor)がｕ~(ｐ)から

ｕ~(ｐ)[1＋{－iΣ(ｐ)}i(ｐ－ｍ＋iε)^-1]　に輻射補正される

として,補正項の伝播関数の係数が

－iΣ(ｐ)≡(－iｅ)²ε₀^-1∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4[(－ｉ)/(ｋ²－λ²－iε)]

γ_ν{i/(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)}γ^νで与えられるとします。

　　ただし,λ＞0 はｋ～0 の部分から出現するであろう赤外発散

　(Inf(rared divergence)から保護するため便宜上挿入した微小

　な光子質量です。

　　このとき,定義式:

　－iΣ(ｐ)＝(－iｅ)²ε₀^-1∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4

　[(－ｉ)/(ｋ²－λ²＋iε)]γ_ν{i/(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)}γ^ν]

　の右辺のｋによる４次積分は明らかに発散します。
　

　何故なら,被積分関数の分母がｋについて３次しかないからです。

　このうち２次は光子伝播関数,１次は電子伝播関数によるもの

　です。

　Σ(ｐ)＝{α/(2π)}∫₀^∞ｄｚ₁∫₀^∞ｄｚ₂

(ｚ₁＋ｚ₂)^-2{2ｍ－ｐｚ₁ｚ₂/(ｚ₁＋ｚ₂)}

exp[i{ｐｚ₁ｚ₂/(ｚ₁＋ｚ₂)－ｍ²ｚ₂－λ²ｚ₁}]

と書けます。

　※(注1):上式を導きます。

　まず,(－i)/(ｋ²－λ²＋iε)

＝∫₀^∞ｄｚ₁ exp{iｚ₁(ｋ²－λ²＋iε)},および,

i/(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)＝i(ｐ－ｋ＋ｍ)/{(ｐ－ｋ)²－ｍ²＋iε}

　＝－(ｐ－ｋ＋ｍ)∫₀^∞ｄｚ₂ exp{iｚ₂{(ｐ－ｋ)²－ｍ²＋iε}]

なる公式により,伝播関数の分母を指数関数の肩に上げます。

　Σ(ｐ)＝(iｅ²)ε₀^-1∫₀^∞ｄｚ₁∫₀^∞ｄｚ₂∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4γ_ν

(ｐ－ｋ＋ｍ)γ^νexp[iｚ₁(ｋ²－λ²＋iε)＋iｚ₂{(ｐ－ｋ)²－ｍ²}]

です。

　さらに,γ_ν(ｐ－ｋ＋ｍ)γ^ν＝4ｍ－2(ｐ－ｋ)ですから,

Σ(ｐ)＝(i8πα)∫₀^∞ｄｚ₁∫₀^∞ｄｚ₂∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4|2ｍ－(ｐ－ｋ)}

exp{i(ｚ₁＋ｚ₂)ｋ²－2i(ｐｋ)ｚ₂＋iｐ²ｚ₂－iｍ²ｚ₂－iλ²ｚ₂

－ε(ｚ₁＋ｚ₂)}　と書けます。

　ここにαは微細構造定数でα≡ｅ²/(4πε₀)です。

　ここで,積分変数の置換;ｌ＝ｋ－ｐｚ₂/(ｚ₁＋ｚ₂)

＝ｋ－ｐ＋ｐｚ₁/(ｚ₁＋ｚ₂)を行なえば,

Σ(ｐ)＝(i8πα)∫₀^∞ｄｚ₁∫₀^∞ｄｚ₂∫ｄ⁴ｌ(2π)^-4

{ｌ＋2ｍ－ｐｚ₁/(ｚ₁＋ｚ₂)})

exp[iｌ²(ｚ₁＋ｚ₂)＋iｐ²ｚ₁ｚ₂/(ｚ₁＋ｚ₂)－iｍ²ｚ₂－iλ²ｚ₁

－(ｚ₁＋ｚ₂)ε]　です。

前に計算して得た公式:

(1)∫ｄ⁴ｌ(2π)^-4{exp{iｌ²(ｚ₁＋ｚ₂)}}＝{16π²i(ｚ₁＋ｚ₂)²}^-1,

(2)∫ｄ⁴ｌ(2π)^-4[ｌ_μexp{iｌ²(ｚ₁＋ｚ₂)}]＝0,

(3)∫ｄ⁴ｌ(2π)^-4[ｌ_μｌ_νexp{iｌ²(ｚ₁＋ｚ₂)}]

＝{32π²(ｚ₁＋ｚ₂)³}^-1ｇ_μν

を用いて,∫ｄ⁴ｌ(2π)^-4を実行します。

こうして,Σ(ｐ)＝{α/(2π)}∫₀^∞ｄｚ₁∫₀^∞ｄｚ₂

(ｚ₁＋ｚ₂)^-2{2ｍ－ｐｚ₁/(ｚ₁＋ｚ₂)}

exp[i{ｐ²ｚ₁ｚ₂/(ｚ₁＋ｚ₂)－ｍ²ｚ₂－λ²ｚ₁＋iε(ｚ₁＋ｚ₂)}]

得られました。　(注1終わり)※

　このΣ(ｐ)は,Feynmanグラフにおいて任意のｐ²とｐを持つ電子

の内線と質量殻の上にある実電子外線の両方に適用されます。

　後者の場合には,自由粒子スピノルの次にｐ²＝ｍ²のｐが位置

しますが,このときには自由粒子のDirac方程式:

(ｐ－ｍ)ｕ(ｐ)＝0 or (ｐ－ｍ)ｖ(ｐ)＝0 が成立します。

これはｐをｍと置き変えてよいことを意味します。

　さて,恒等式:1＝∫₀^∞ｄγγ^-1δ(1－(ｚ₁＋ｚ₂)/γ)を挿入した後

に変数変換:ｚ₁→γｚ₁,ｚ₂→γｚ₂を行なうと,

Σ(ｐ)＝{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}∫₀^∞ｄγγ^-1

exp[iγ{ｐ²ｚ(1－ｚ)－ｍ²ｚ－λ²(1－ｚ)＋iε}]

を得ます。

　※(注2):上式を導出します。

　Σ(ｐ)＝{α/(2π)}∫₀^∞ｄｚ₁∫₀^∞ｄｚ₂∫₀^∞ｄγγ^-1

δ(1－γ(ｚ₁＋ｚ₂)/γ)(ｚ₁＋ｚ₂)^-2{2ｍ－ｐｚ₁/(ｚ₁＋ｚ₂)}

exp[iγ{ｐ²ｚ₁ｚ₂/(ｚ₁＋ｚ₂)－ｍ²ｚ₂－λ²ｚ₁＋iε(ｚ₁＋ｚ₂)}

です。

　積分∫₀^∞ｄｚ₁を実行してｚ₁＝1－ｚ₂とした後,ｚ₂を改めてｚと

書けば,

Σ(ｐ)＝{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

exp[iγ{ｐ²ｚ(1－ｚ)－ｍ²ｚ－λ²(1－ｚ)＋iε}]

が得られます。　(注2終わり)※

　積分:Ｉ(ｐ,ｍ,λ)≡∫₀^∞ｄγγ^-1

exp[iγ{ｐ²ｚ(1－ｚ)－ｍ²ｚ－λ²(1－ｚ)＋iε}]

は,対数的に発散します。

　そこで,このＩ(ｐ,ｍ,λ)から"大きい光子質量Λ"を持つ

Ｉ(ｐ,ｍ,Λ)を差し引くという切断(cut)を実行します。

　そのため,恒等式∫₀^∞ｄｘｘ^-1{exp(iａｘ)－exp(iｂｘ)}

＝log|ｂ/ａ|(|ａ＋ｂ|/2＞(ａ－ｂ)/2＞0)　を用います。

　※(注3);ａ＝ｐ²ｚ(1－ｚ)－ｍ²ｚ－λ²(1－ｚ)＋iε,ｂ

　＝ｐ²ｚ(1－ｚ)－ｍ²ｚ－Λ²(1－ｚ)＋iε}と置けば,

　(ａ－ｂ)/2＝(Λ²－λ²)(1－ｚ)/2＞0　は明らかです。

　 一方,(ａ＋ｂ)/2＝ｐ²ｚ(1－ｚ)－ｍ²ｚ－(Λ²＋λ²)(1－ｚ)/2

より,|ａ＋ｂ|/2＞(ａ－ｂ)/2です。
　

すなわち,∫₀^∞ｄｘｘ^-1{exp(iａｘ)－exp(－iｂｘ)}

＝∫₀^∞ｄｘ[{isin(ａｘ)－isin(ｂｘ)}/ｘ]

＋∫₀^∞ｄｘ[{cos(ａｘ)－cos(ｂｘ)}/ｘ]

＝2∫₀^∞ｄｘ[isin{(ａ－ｂ)ｘ/2}cos{(ａ＋ｂ)ｘ/2}

　－sin{(ａ－ｂ)ｘ/2}sin{(ａ＋ｂ)ｘ/2}/ｘ]

ですが,

これの最右辺第１項の

∫₀^∞ｄｘ[sin{(ａ－ｂ)ｘ/2}cos{(ａ＋ｂ)ｘ/2}/ｘ]は,

|ａ＋ｂ|/2＞(ａ－ｂ)/2　ならゼロです。

最右辺第２項は

∫₀^∞ｄｘ[sin{(ａ－ｂ)ｘ/2}sin{(ａ＋ｂ)ｘ/2}/ｘ]

＝－log|ａ/ｂ|＝log|ｂ/ａ|です。

(数学公式集(岩波全書)を参照※

　そこで,切断後のΣ(ｐ)をΣ~(ｐ)と書けば,

Σ~(ｐ)＝{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}{Ｉ(ｐ,ｍ,λ)

－Ｉ(ｐ,ｍ,Λ)}ですが,上記の公式により,

　Ｉ(ｐ,ｍ,λ)－Ｉ(ｐ,ｍ,Λ)}

　＝log|{ｐ²ｚ(1－ｚ)－ｍ²ｚ－Λ²(1－ｚ)}

　/{ｐ²ｚ(1－ｚ)－ｍ²ｚ－λ²(1－ｚ)}|　　です。

故に,Λ＞＞ｍ,かつλ ～ 0 では,

Σ~(ｐ)＝{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

log[{ｍ²ｚ＋Λ²(1－ｚ)－ｐ²ｚ(1－ｚ)}

/{ｍ²ｚ＋λ²(1－ｚ)－ｐ²ｚ(1－ｚ)}]

～ {α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

log[Λ²(1－ｚ)/{ｍ²ｚ＋λ²(1－ｚ)－ｐ²ｚ(1－ｚ)}]

となります。

これは,さらに

Σ~(ｐ)＝{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

log{Λ²(1－ｚ)/(ｍ²ｚ²)}＋{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

log[{ｍ²ｚ²＋λ²(1－ｚ)}/{ｍ²ｚ＋λ²(1－ｚ)－ｐ²ｚ(1－ｚ)}]

と書けます。

結局,Σ~(ｐ)～ {3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)

－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)log(Λ²/ｍ²)

＋{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

log[{ｍ²ｚ²＋λ²(1－ｚ)}/{ｍ²ｚ＋λ²(1－ｚ)－ｐ²ｚ(1－ｚ)}]

を得ます。

　※(注4):∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}log{Λ²(1－ｚ)/(ｍ²ｚ²)}

＝∫₀¹ｄｚ{ｍ(1＋ｚ)－(1－ｚ)(ｐ－ｍ)}log(Λ²/ｍ²)

＋∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}{log(1－ｚ)－2logｚ}　です。

　これは,{3ｍ/2－(ｐ－ｍ)/2}log(Λ²/ｍ²)

＋2ｍ[－(1－ｚ)log(1－ｚ)＋(1－ｚ)]₀¹

－(ｐ/2)[－(1－ｚ)²log(1－ｚ)＋(1－ｚ)²/2]₀¹

－2(2ｍ－ｐ)[ｚlogｚ－ｚ]₀¹－ｐ[ｚ²logｚ－ｚ²/2] ₀¹

＝(3ｍ/2)log(Λ²/ｍ²)－{(ｐ－ｍ)/2}log(Λ²/ｍ²)＋2ｍ－5ｐ/4

となります。　

　故に,Λ＞＞ｍでは,

∫₀¹ｄｚ{ｍ(1＋ｚ)－(1－ｚ)(ｐ－ｍ)}log(Λ²/ｍ²)

＝{3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)log(Λ²/ｍ²)

＋{α/(2π)}(2ｍ－5ｐ/4)

～ {3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)log(Λ²/ｍ²)

です。 (注4 終わり)※

 Σ~(ｐ)の切断Λへの全ての依存性は,この最初の２項:

{3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)log(Λ²/ｍ²)

の中にあります。

　残りの項:{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

log[{ｍ²ｚ²＋λ²(1－ｚ)}/{ｍ²ｚ＋λ²(1－ｚ)－ｐ²ｚ(1－ｚ)}]

は,(ｐ²－ｍ²)＞＞ｍλに対しては容易に評価されます。　

　すなわち,(ｐ²－ｍ²)＞＞ｍλのときには,

{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

log[{ｍ²ｚ²＋λ²(1－ｚ)}/{ｍ²ｚ＋λ²(1－ｚ)－ｐ²ｚ(1－ｚ)}]

～ {α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}log{ｍ²ｚ/{ｍ²－ｐ²(1－ｚ)}

と近似されます。

　これにより,結局,{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

log[{ｍ²ｚ²＋λ²(1－ｚ)}/{ｍ²ｚ＋λ²(1－ｚ)－ｐ²ｚ(1－ｚ)}]

～ (αｍ/π){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}

－{α/(4π)}ｐ{(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}[1＋{(ｍ²＋ｐ²)/ｐ²}

log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}]　です。

　※(注5):上式を導きます。
　∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}log{ｍ²ｚ/{ｍ²－ｐ²(1－ｚ)}

＝∫₀¹ｄｚ{(2ｍ－ｐ)＋ｐｚ}{logｍ²＋logｚ－log{ｍ²－ｐ²(1－ｚ)}

　＝(2ｍ－ｐ/2)logｍ²＋(2ｍ－ｐ)[ｚlogｚ－ｚ]₀¹

＋(ｐ/2)[z²logｚ－ｚ²/2] ₀¹－{(2ｍ－ｐ)

－(ｍ²－ｐ²)ｐ/ｍ²}(ｐ²)^-1[(ｐ²ｚ＋ｍ²－ｐ²)

log(ｐ²ｚ＋ｍ²－ｐ²)－(ｐ²ｚ＋ｍ²－ｐ²)] ₀¹

－(ｐ/2)(ｐ²)^-2[(ｐ²ｚ＋ｍ²－ｐ²)²

log(ｐ²ｚ＋ｍ²－ｐ²)－(ｐ²ｚ＋ｍ²－ｐ²)²/2] ₀¹

です。

　これはさらに,(2ｍ－ｐ/2)logｍ²－(2ｍ－ｐ)－ｐ/4

－{(2ｍ－ｐ)－(ｍ²－ｐ²)ｐ/ｍ²}(ｐ²)^-1

{ｍ²logｍ²－(ｍ²－ｐ²)log(ｍ²－ｐ²)－ｐ²}

－(ｐ/2)(ｐ²)^-2{ｍ⁴logｍ²－(ｍ²－ｐ²) ²log(ｍ²－ｐ²)/2

＋ｍ⁴－(ｍ²－ｐ²)²}　となります。 

　上式の(2ｍ)の係数は,logｍ²－1－(ｍ²/ｐ²)logｍ²＋1

＋{(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}log(ｍ²－ｐ²)

＝{(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}　です。

　また,ｐの係数は－(1/2)logｍ²＋3/4－(ｍ²/ｐ²)＋(ｍ²/ｐ²)²logｍ²

－(ｍ²/ｐ²){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}log(ｍ²－ｐ²)－(1/2)(ｍ²/ｐ²)²logｍ²

－1/4＋(1/2)(ｍ²/ｐ²)　です。

これは,(1/2){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}＋(1/2){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}

{(ｍ²＋ｐ²)/ｐ²}logｍ²－(1/2){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}{(ｍ²＋ｐ²)/ｐ²}

log(ｍ²－ｐ²)と整理され,

結局,－(1/2){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}

[1＋{(ｍ²＋ｐ²)/ｐ²}log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}]となります。

(注5終わり)※

　したがって,質量殻の近傍でｐ²～ｍ²ですがｐ²－ｍ²＞＞ｍλ

のとき,そしてΣ~(ｐ)が自由粒子スピノルの次に位置する

(ｐ＝ｍの)場合,

　Σ~(ｐ)～{3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)

[log(Λ²/ｍ²)＋4log{(ｍ²―ｐ²)/ｍ²}]と書けます。

　※(注6):これは次のように示されます。

　まず,Σ~(ｐ)～{3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)

－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)log(Λ²/ｍ²)＋(ｍα/π){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}

log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}－{α/(2π)}(ｐ/2){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}

[1＋{(ｍ²＋ｐ²)/ｐ²}log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}])　です。

　これの最初のΛに関する項以外のλによる特異項を評価します。

 (2ｍ)の係数から発生する項は(ｍα/π){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}

log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}です。

　また,{α/(2π)}×ｐの係数は,

－(1/2){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}[1＋{(ｍ²＋ｐ²)/ｐ²}

log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}]　です。

　故に,ｐの項は－{α/(4π)}{(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}ｐ

－{α/(4π)}(ｐ－ｍ){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}{(ｍ²＋ｐ²)/ｐ²}

log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}－{ｍα/(4π)}{(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}

{(ｍ²＋ｐ²)/ｐ²}log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}　です。

　これと,先の(ｍα/π){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}

との和を取れば,

－{α/(4π)}{(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}ｐ－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)

{(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}{(ｍ²＋ｐ²)/ｐ²}log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}

＋{ｍα/(4π)}{(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}{(ｍ²＋3ｐ²)/ｐ²}

log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}　です。

　(ｍ²＋ｐ²)/ｐ²～2,(ｍ²＋3ｐ²)/ｐ²～4とすれば,

～ －{2α/(4π)}(ｐ－ｍ){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}

＋{4ｍα/(4π)}{(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}　です。

　質量殻の近傍;ｐ～ｍでは,

(ｍ²－ｐ²)/ｐ² ～(ｍ²－ｐ²)/ｍ²

＝－(ｐ－ｍ)(ｐ＋ｍ)/ｍ² ～ －2(ｐ－ｍ)/ｍ　

なることを用いると,再び,(ｍ²＋3ｐ²)/ｐ²～4より

 ～ －{2α/(4π)}(ｐ－ｍ){(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}

－(8α/4π)}(ｐ－ｍ){log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}

～　－{4α/(4π)}(ｐ－ｍ){log{(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}

を得ます。(注6終わり)※

　すなわち,切断Λと関わる特異性とは別に,

ｐ²～ｍ²,ｐ²－ｍ²＞＞ｍλのときでも4log{(ｍ²―ｐ²)/ｍ²}]

のような対数的特異性があることに注意が必要です。

　次に,大きい運動量ｐ²＞ｍ²に対しては,光子伝播関数で生じた

ことのアナロジーで,電子が電子と光子に崩壊する仮想的過程

の存在に対応してΣ(ｐ)が複素数になります。
　これについては後述します。

　また,ｐ²－ｍ²＜＜ｍλに対しては,上の

Σ~(ｐ) ～ {3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)

－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)[log(Λ²/ｍ²)＋4log{(ｍ²―ｐ²)/ｍ²}]

の最後の対数項log{(ｍ²―ｐ²)/ｍ²}が,|ｐ²－ｍ²|をｍλで評価

したようなlog(λ/ｍ)で置き換えられます。

　つまり,Σ~(ｐ) ～ {3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)

－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)[log(Λ²/ｍ²)＋4log(λ/ｍ)]　です。

　これは,{α/(2π)}∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

log{ｍ²ｚ/{ｍ²－ｐ²(1－ｚ)}　の計算から直接証明できます。

　※(注7):(証明)∫₀¹ｄｚ{2ｍ－ｐ(1－ｚ)}

log[{ｍ²ｚ²＋λ²(1－ｚ)}/{ｍ²ｚ＋λ²(1－ｚ)－ｐ²ｚ(1－ｚ)}]

 ＝(2ｍ－ｐ/2)log(ｍ²/ｐ²)＋(2ｍ－ｐ)＋λ²ｐ/(2ｍ²)}

[{ｚ－λ²/(2ｍ²)}log(ｚ²－λ²ｚ/ｍ²－λ²/ｍ²)

－2{ｚ²－λ²/(2ｍ²)}＋(2ｍ/λ){1－λ²/(4ｍ²)}^1/2

tan^-1{(ｍ/λ)(ｚ－λ²/(2ｍ²))/{1－λ²/(4ｍ²)}^1/2}]₀¹

　－{(2ｍ－ｐ)＋(ｍ²―ｐ²－λ²)ｐ/(2ｐ²)}

[{ｚ＋(ｍ²－ｐ²－λ²)ｐ/(2ｐ²)}log{ｚ²

－(ｍ²－ｐ²－λ²)ｚ/ｐ²－λ²/ｐ²}―2{ｚ＋(ｍ²－ｐ²－λ²)/(2ｐ²)}

＋2λ/|ｐ|]{1－λ²/(4ｍ²)}^1/2

tan^-1{(|ｐ|/λ){ｚ＋(ｍ²－ｐ²－λ²)/(2ｐ²)}

/{1－(ｍ²－ｐ²－λ²)²/(4ｐ²λ²)}¹²}]₀¹

　＋(ｐ/2)[(ｚ²－λ²ｚ/ｍ²＋λ²/ｍ²)log(ｚ²－λ²ｚ/ｍ²＋λ²/ｍ²)

－(ｚ²－λ²ｚ/ｍ²＋λ²/ｍ²)－{ｚ²＋(ｍ²－ｐ²－λ²)ｚ/ｐ²

＋λ²/ｐ²}log{ｚ²＋(ｍ²－ｐ²－λ²)ｚ/ｐ²＋λ²/ｐ²}

＋{ｚ²＋(ｍ²－ｐ²－λ²)ｚ/ｐ²＋λ²/ｐ²}]₀¹

　＝(2ｍ－ｐ)log(ｐ²/ｍ²)＋{2ｍ－ｐ＋λ²ｐ/(2ｍ²)}

{λ²/(2ｍ²)}{log(λ²/ｍ²)－2＋2(λ/ｍ){1－λ²/(4ｍ²)}^1/2

[tan^-1{(ｍ/λ)(1＋λ²/(2ｍ²))/{1－λ²/(4ｍ²)}^1/2}

＋tan^-1{{(λ/(2ｍ))/{1－λ²/(4ｍ²)}^1/2}

　－ｐ＋(ｍ²－ｐ²－λ²)ｐ/(2ｐ²)}{1＋(ｍ²－ｐ²－λ²)

/(2ｐ²)}log(ｍ²/ｐ²)－{(ｍ²－ｐ²－λ²)/(2ｐ²)}log(λ²/ｐ²)}

－2＋2(λ/|ｐ|){1－(ｍ²－ｐ²－λ²)²/(4ｐ²λ²)}^1/2

[tan^-1{(|ｐ|/λ){1＋(ｍ²－ｐ²－λ²)/(2ｐ²)}/(1

－(ｍ²－ｐ²－λ²)/(2ｐ²))^1/2}

－tan^-1{(ｍ²－ｐ²－λ²)

/(2|ｐ|λ{1－(ｍ²－ｐ²－λ²)²/(4ｐ²λ²)}^1/2)

　＋(ｐ/2) }[－(λ²/ｍ²)log(λ²/ｍ²)－1＋λ²/ｍ²

－(ｍ²/ｐ²)log(ｍ²/ｐ²)＋(λ²/ｐ²)log(λ²/ｐ²)

＋ｍ²/ｐ²－λ²/ｐ²]]　です。

　(ｍ²－ｐ²)²/ｍ²＜＜Ｏ(λ²)の項を無視すると,λ²ｐ/(2ｍ²)

の項,(ｍ²－ｐ²－λ²)ｐ/(2ｐ²)の項は消えます。

　2ｍの項は,{(ｍ²－ｐ²－λ²)/(2ｐ²)}log(ｍ²/ｐ²)＋{λ²/(2ｍ²)}

log(λ²/ｍ²)＋{(ｍ²－ｐ²－λ²)/(2ｐ²)}log(λ²/ｐ²)

＋2[(λ/ｍ){1－λ²/(4ｍ²)}^1/2

[tan^-1{(ｍ/λ)(1＋λ²/(2ｍ²))/(1－λ²/(4ｍ²))^1/2}－(λ/|ｐ|)

{1－(ｍ²－ｐ²－λ²) ²/(4ｐ²λ²)}^1/2tan^-1{(|ｐ|/λ)

(1＋(ｍ²－ｐ²－λ²)/(2ｐ²))/(1－(ｍ²－ｐ²－λ²)²/(4ｐ²λ²))^1/2}

＋(λ/ｍ){1－λ²/(4ｍ²)}^1/2[tan^-1{{(λ/(2ｍ))/(1－λ²/(4ｍ²))^1/2}

＋tan^-1{(ｍ²－ｐ²－λ²)(2|ｐ|λ)^-1}

/(1－(ｍ²－ｐ²－λ²)²/(4ｐ²λ²))^1/2}]　です。

　このうち,(第１項＋第２項＋第３項)

～{(ｍ²－ｐ²)/(2ｍ²)}log(λ²/ｍ²) 　です。

　また,Arctan１＝tan^-1の項のうちで効くのは,ｍ/λ,|ｐ|/λが

入ってる項だけで,それらの絶対値は最大でもπ/2です。

　それ故,(λ/ｍ)→ 0 のときの特異性は対数のそれに比べて,

ほとんどないに等しいものです。よって以下ではtan^-1の項は

無視します。

　結局,(2ｍ)の項は～(2ｍ){(ｍ²－ｐ²)/(2ｍ²)}log(λ²/ｍ²)

＝{(ｍ²－ｐ²)/ｍ}log(λ²/ｍ²) 　です。　

　一方,ｐの係数は,

－{(ｍ²－ｐ²－λ²)/(2ｐ²)}log(λ²/ｍ²)＋(1/2)log(ｍ²/ｐ²)

－{λ²/(2ｍ²)}log(λ²/ｍ²)－{λ²/(2ｍ²)}log(λ²/ｍ²)

－{ｍ²/(2ｐ²)－1/2＋λ²/(2ｍ²)－λ²/(2ｐ²)－{ｍ²/(2ｐ²)}

log(ｍ²/ｐ²)＋{λ²/(2ｐ²)}log(λ²/ｐ²)＋(tan^-1の項)

　～ －{(ｍ²－ｐ²)/(2ｐ²)}log(λ²/ｍ²)＋{(ｐ²－ｍ²)/(2ｐ²)}

log(ｍ²/ｐ²)－(ｍ²－ｐ²)/(2ｐ²)＋λ²(ｐ²－ｍ²)/(2ｍ²ｐ²)

＋{λ²/(2ｐ²)}log(λ²/ｐ²)－{λ²/(2ｍ²)}log(λ²/ｍ²)

です。

　そして上式の第２項は,log(ｍ²/ｐ²)

＝log{1＋(ｍ²－ｐ²)/ｐ²}～(ｍ²－ｐ²)/ｐ²より,

{(ｐ²－ｍ²)/(2ｐ²)}log(ｍ²/ｐ²)～－(ｍ²－ｐ²)²/(2ｍ⁴)～ 0

です。

　第３項は(ｍ²－ｐ²)/(2ｐ²)～(ｍ²－ｐ²)/(2ｍ²),第４項は

λ²(ｐ²－ｍ²)/(2ｍ²ｐ²)～λ²(ｐ²－ｍ²)/(2ｍ⁴) です。

　第５,６項は,

{λ²/(2ｐ²)}log(λ²/ｐ²)－{λ²/(2ｍ²)}log(λ²/ｍ²)

＝{λ²/(2ｐ²)}log(λ²/ｐ²)－{λ²/(2ｐ²)}log(λ²/ｍ²)

＋{λ²/(2ｐ²)}log(λ²/ｍ²)－{λ²/(2ｍ²)}log(λ²/ｍ²) です。

　これは,{λ²/(2ｐ²)}log(ｍ²/ｐ²)－{λ²(ｍ²－ｐ²)/(2ｍ²ｐ²)}log(λ²/ｍ²)

～λ²(ｍ²－ｐ²)/(2ｍ⁴)－{λ²(ｍ²－ｐ²))/(2ｍ⁴)log(λ²/ｍ²)}で

すが,,これの第１項は丁度先の第４項と相殺して消えます。

　故にｐの係数は～－{(ｍ²－ｐ²)/(2ｍ²)}log(λ²/ｍ²)

＋(ｍ²－ｐ²)/(2ｍ²)－{λ²(ｍ²－ｐ²))/(2ｍ⁴)log(λ²/ｍ²)} です。

　最後の－{λ²(ｍ²－ｐ²))/(2ｍ⁴)log(λ²/ｍ²)}は(λ/ｍ)～ 0

で無視できます。

　(2ｍ)の項とｐの項をまとめると,{(ｍ²－ｐ²)/ｍ}log(λ²/ｍ²)

－(ｐ/2){(ｍ²－ｐ²)/ｍ²}log(λ²/ｍ²)＋(1/2){(ｍ²－ｐ²)/ｍ²} ですが,

質量殻の近傍:ｐ～ｍで(ｍ²－ｐ²)/ｍ² ～－2(ｐ－ｍ)/ｍ

なる近似を用いると.

　～ －2(ｐ－ｍ)log(λ²/ｍ²)＋{ｐ(ｐ－ｍ)/ｍ}log(λ²/ｍ²)－(ｐ－ｍ)/ｍ

～ －(ｐ－ｍ)log(λ²/ｍ²)－(ｐ－ｍ)/ｍ です。

　これに,全体の係数{α/(2π)を掛けると,(λ/ｍ)→ 0 の特異点で

ｐ＝ｍの近傍では,

～ －{α/(2π)}((ｐ－ｍ)}log(λ²/ｍ²)

＝－{4α/(4π)}(ｐ－ｍ)log(λ/ｍ)  です。

　よって,Σ~(ｐ)～{3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)

－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)[log(Λ²/ｍ²)

－{4α/(4π)}(ｐ－ｍ)log(λ/ｍ)

＝{3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)＋4log(λ/ｍ)}

を得ます。(証明終わり)

(注7終わり)※

　途中ですが,計算が細かくて長いのでここで中断です。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill)

ＰＳ:老眼のせいもあって,ただの転記作業でもかなり苦労して

いるン十年前のノートの手書きの式の羅列ですが,これらは

結果の正しい教科書の最終式への当時の私的検算,あるいは

行間を埋めるプロセスです。

　結局は間違いはなかったはずなのに,単なる転記だけに満足

せず再び検算せずにはいられない性分のため,ワザワザ逆に

細かいところを間違えて転記したりで必要以上に遅滞が続く

状況です。

(↑ 困ったもんです。)

　地震その他で.私物を失なう可能性もあり,日常の日記とは別に

過去の思考体験の覚書きを遺言のようにブログに残そうと意図

してきたことは無駄ではないかも。。。

　過去の覚書きばかりではなく,現在進行中,あるいは意図して

いるものももちろんあります。

　しかし,主に眼が見えなくて判読の道具を探したりしているうち

にもいろいろと目移りして根気がそがれるせいでしょうか？

　最近は,惰性以外に普段と異なる試行は何ひとつ長続きせず,

そのうちやろうとした動機も意欲も忘れたりもする始末です。

　病院にでも入院してその他茶飯事から解放されるような環境

でないと読書さえ集中できません。

　まあ,ブログ書きは唯一集中してる方です。