量子電磁力学の輻射補正(6)(電子自己質量-2)

輻射補正の電子の自己質量の項目の続きです。

§8.5 Renormalization of the Electron Propagator

(電子伝播関数のくりこみ)

　さて,前項で低次の散乱行列要素について実行した波動関数

の修正:ｕ~(ｐ) → ｕ~(ｐ)[1＋{－iΣ(ｐ)}i(ｐ－ｍ)^-1]を,

電子伝播関数(propagator)に適用します。

　すなわち,上記修正は,伝播関数:i/(ｐ－ｍ)を,

i/(ｐ－ｍ)＋{i/(ｐ－ｍ)}{－iΣ(ｐ)}i(ｐ－ｍ)^-1

＝i/{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)}＋Ｏ(α²)　に置き換えることに

等価です。

※(注1):i/(ｐ－ｍ)＋{i/(ｐ－ｍ)}{－iΣ(ｐ)}i(ｐ－ｍ)^-1

＝{i/(ｐ－ｍ)}[1＋{－iΣ(ｐ)}i(ｐ－ｍ)^-1]

＝{i/(ｐ－ｍ)}[1－Σ(ｐ)(ｐ－ｍ)^-1]^-1＋Ｏ(α²)

＝i/{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)}＋Ｏ(α²),

　または,i/(ｐ－ｍ)＋{i/(ｐ－ｍ)}Σ(ｐ)(ｐ－ｍ)^-1

　＋{i/(ｐ－ｍ)}Σ(ｐ)(ｐ－ｍ)^-1Σ(ｐ)(ｐ－ｍ)^-1＋..

　＝{i/{ｐ－ｍ}}/{1－Σ(ｐ)(ｐ－ｍ)^-1}＝i/{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)}

です。

　(注1終わり)※

　 これは,前項で求めた,

Σ(ｐ) ～ {3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)

－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)[log(Λ²/ｍ²)＋4log{(ｍ²―ｐ²)/ｍ²}],

または,Σ(ｐ) ～ {3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)

－{α/(4π)}(ｐ－ｍ){log(Λ²/ｍ²)＋4log(λ/ｍ)}

から,次のように表現できます。

　すなわち,Σ(ｐ)≡δｍ－{Ｚ₂^-1－1＋Ｃ(ｐ)}(ｐ－ｍ),

ただし,δｍ≡{3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²),

　および,Ｚ₂^-1－1＋Ｃ(ｐ)

≡{α/(4π)}[log(Λ²/ｍ²)＋4log{(ｍ²―ｐ²)/ｍ²}]

(for ｍλ＜＜ｐ²－ｍ²＜＜ｍ²),

 または,Ｚ₂^-1－1＋Ｃ(ｐ)

≡{α/(4π)}log(Λ²/ｍ²)＋4log(λ/ｍ)(for ｐ²－ｍ²＜＜ｍλ)

とします。

　実数Ｃ(ｐ)は質量殻上(on-shell):ｐ＝ｍでＣ(ｐ)＝0 となる

ように選びます。こうすればＣ(ｐ)は切断Λには依らない数

になります。

　こう規定すると,ｐ＝ｍでは,

Ｚ₂^-1－1＝{α/(4π)}{log(Λ²/ｍ²)－2log(ｍ²/λ²)}

です。

 そこで,i/{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)}

＝iＺ₂/[(ｐ－ｍ){1＋Ｚ₂Ｃ(ｐ)}－Ｚ₂δｍ]

＝iＺ₂/[(ｐ－ｍ－δｍ){1＋Ｃ(ｐ)}]＋Ｏ(α²)

と書けます。

※(注2):ｐ－ｍ－Σ(ｐ)

＝ｐ－ｍ－δｍ＋{Ｚ₂^-1－1＋Ｃ(ｐ)}(ｐ－ｍ)

＝Ｚ₂^-1[(ｐ－ｍ){1＋Ｚ₂Ｃ(ｐ)}－Ｚ₂δｍ] です。

 そして(ｐ－ｍ)|1＋Ｚ₂Ｃ(ｐ)}－Ｚ₂δｍ

＝(ｐ－ｍ－δｍ){1＋Ｃ(ｐ)}＋(Ｚ₂－1)C(ｐ)(ｐ－ｍ)

－{Ｚ₂－1－C(ｐ)}δｍ です。

　αの最低次までの計算では,Ｚ₂^-1－1＝Ｏ(α)ですから,

Ｚ₂－1＝Ｏ(α),Ｚ₂－1－Ｃ(ｐ)＝Ｏ(α)です。

　さらに,Ｃ(ｐ)＝Ｏ(α),δｍ＝Ｏ(α)ですから

(Ｚ₂－1)C(ｐ)(ｐ－ｍ)－{Ｚ₂－1－C(ｐ)}δｍ＝Ｏ(α²)

です。

　故に,i/{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)}

＝iＺ₂/{(ｐ－ｍ－δｍ){1＋Ｃ(ｐ)}＋Ｏ(α²)}

＝iＺ₂/{(ｐ－ｍ－δｍ){1＋Ｃ(ｐ)}＋Ｏ(α²)

を得ます。

 または,Ｚ₂＝1＋Ｏ(α),Ｃ(ｐ)＝Ｏ(α)でＯ(α²)を無視する

近似では,Ｚ₂ ～ １として,直接,

i/{ｐ－ｍ－Σ(ｐ)}

＝iＺ₂/[(ｐ－ｍ)|1＋Ｚ₂Ｃ(ｐ)}－Ｚ₂δｍ]

～ iＺ₂/{(ｐ－ｍ－δｍ){1＋Ｃ(ｐ)}  です。※

　　ここで,ｍ_ph≡ｍ＋δｍを電子の物理的質量(physical mass),

つまり観測される電子の質量と認定します。

　自由Dirac方程式:(iγ∇－ｍ)ψ＝0 or (ｐ－ｍ)ｕ＝0 に

現われるパラメータｍは,前の論議での裸の電荷と同じく

裸の質量(bare mass)と呼ばれ観測にはかからない数です。

　　質量ｍの"くりこみ"の必要性は既に古典電磁力学に

　おいても生じています。

　自由電子に関する実験では,Lorentz力の法則でのパラメータ

　ｍに電子の自己場の慣性を加えたものが測定にかかります。

　(※電場Ｅ,磁場Ｂの中に投げ入れた電荷ｅの１電子の速度を

　ｖとすると,その運動は運動方程式:ｍｄｖ/ｄｔ＝ｅＥ＋ｅｖ×Ｂ

　に厳密には従わず,ｍｄｖ/ｄｔ＝ｅｖ×Ｂ＋Ｆとなって余分な力

　Ｆがあります。

　このＦは場の反作用と呼ばれ,これは電子の加加速度:ｄ²ｖ/ｄｔ²

 にも依存するような複雑な力ですが,投入した電子自身によって

　発生した自己場による抵抗力と考えられます。

　そこで,質量がｍ_phの電子は,ｍ_phｄｖ/ｄｔ＝ｅＥ＋ｅｖ×Ｂ

 なるLorentz力を含む普通の電磁場の法則に従うべきである。

　という仮説の下で電子の慣性質量ｍ_phを測定すると,

　ｍ_ph＝ｍ(電子質量)ではなく.ｍ_ph＝ｍ＋δｍと余分の慣性δｍ

　を加えた形で観測されます。※)

 古典半径ａの電子を仮定し古典電磁気学に従って理論的に電子

　の自己エネルギーを計算すると,～ α/ａ であり,それ故観測

　される質量は,～ (ｍ＋α/ａ)＝ｍ_ph となるはずです。

　ただし,α≡ｅ²/(4πε₀)で,これは微細構造定数です。

　大きさのない点電荷ではａ→ 0であり,これでは質量補正は

　無限大になってしまいます。これは古典電磁力学だけでなく,

　たった今計算した量子論においても真です。

　しかし,古典論ではａ → 0 に対して自己エネルギーが１次の

　発散をするのに反して,量子論では切断について対数的に発散

　します。

　こうした発散の緩和化は,Diracの空孔理論の帰結です。　

　最初,Weiskopfによって研究されたように(2006年12/21の過去

　記事:「電子の自己エネルギーとDiracの海」を参照),

　下図8.7(ａ)の時間順序グラフでの仮想電子-陽電子対が

　図8.7(ｂ)の主要な発散を相殺します。　

  さて,量子論で計算した自己エネルギーは形式的には無限大ですが,

　この質量補正はΛ＜＜exp{2ｒ/(3ａ)}ｍ ～10¹⁰⁰ｍ程度の切断質量

　Λに対してはかなり小さい値です。

　一方,宇宙の全質量でさえ,10⁸⁰ｍくらいと評価されています。

　"質量くりこみ"を実行する体系的な方法は,Dirac方程式を物理的

　質量で書き直し,その差異を付加的相互作用として扱うことです。

　すなわち,元の素朴な方程式:(iγ∇－ｍ)ψ＝ｅＡψを,

　(iγ∇－ｍ_ph)ψ＝ｅＡψ－(ｍ_ph－ｍ)ψ＝ｅＡψ－(δｍ)ψ

　と書き直します。

　右辺の付加的相互作用:－(δｍ)ψのＳ行列への寄与は

　下図8.8のFeynmanグラフで表わされます。 

　　

この項の寄与は,丁度.

Σ(ｐ) ～ {3αｍ/(4π)}log(Λ²/ｍ²)－{α/(4π)}(ｐ－ｍ)

[log(Λ²/ｍ²)＋4log{(ｍ²―ｐ²)/ｍ²}]etc.の第１項(Leadingterm)

と相殺してこれを消す働きをします。

　(※図8.8の項はくりこみ理論ではcountertermと呼ばれます。)

　そして,修正された(くりこまれた)電子伝播関数は,ｐ＝ｍ_phの

とき自由伝播関数の倍数になります。

　さて,これ以後は質量は既にくりこまれていると仮定します。

　すなわち,図8.8も含まれているとします。

　そして,改めてｍ_phの代わりにｍを電子の物理的質量を記述する

記号とします。(裸の質量はｍの代わりに,ｍ₀とします。)

　残りの電子伝播関数の補正は,定数Ｚ₂と関数Ｃ(ｐ)です。

このうちＣ(ｐ)はｐ＝ｍ(＝ｍ_ph)のときゼロと選択しています。

　そこで,ｐ～ｍでの伝播関数は,i/(ｐ－ｍ) → iＺ₂/(ｐ－ｍ)

となり積因子で修正されます。

　この意味で,Ｚ₂は前の真空偏極(vacuum polarization)による

光子伝播関数の補正において遭遇した定数Ｚ₃に似ています。

　この因子はまた,電子線の"各端点＝頂点(vertex)"に現われる

電荷ｅ₀に吸収することも可能です。

　しかし,Ｚ₂が多くの物理学を含むことは期待できません。

　何故なら,それは,

Ｚ₂^-1－1＝{α/(4π)}{log(Λ²/ｍ²)－2log(ｍ²/λ²)}によって,

光子の切断質量Λに依存するからです。

　また,外線(質量殻上＝実電子)については,二重に補正しない

よう注意する必要があります。

　この状況は,光子外線(実光子)の補正係数において出会った状況

に似ています。

　こうしたFeynman伝播関数は,後に第二量子化された場理論では,

２点Green関数として場の時間順序積の真空期待値で与えられる

のですが,こうした伝播関数は場の振幅について双一次の表現です。

　 一方,外線は単一の場の振幅を表わす波動関数に相当するので,

　それは因子:Ｚ₂^1/2でくりこまれます。

　その結果,各外線については,Ｚ₂^1/2で割る必要があります。

　この結果の馴染み深い例は,通常の量子力学の摂動論において

見出されます。

　すなわち,摂動論の１次近似結果の,

ψ_n＝Ｚ_n^1/2φ_n＋Σ_m≠n＜φ_mＶψ_n＞φ_m/(Ｅ_n－Ｅ⁰_m)²,

およびＺ_n＝1－Σ_m≠n|＜φ_mＶψ_n＞|²/(Ｅ_n－Ｅ⁰_m)²

なる表現です。

　ここでも,Ｚ因子は本質的にはGreen関数に対して計算され,

波動関数はＺ_n^1/2 よって再規格化されています。

　短かいですが,今日はここで終わります。

　そして,これで電子自己質量の項は終わりです。

　次回は頂点補正(The Vertex Correction)に入る予定です。

　(参考文献): J.D.Bjorken & S.D.Drell

"Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)