ＷＫＢ近似,ハミルトン・ヤコービ方程式,経路積分(再掲)

　今日は,まあ,手抜きなのですが,過去の科学記事(バックナンバー)の中から我ながら秀逸と思った記事をもう一度表舞台に出してお茶を濁します。

　余談ですが私の思いつきの今日の一言:"性悪説"の時代(戒律を課し罰を与える旧約の神) →"性善説"の時代 (すべて全てを恕(ゆる)す新約の神)→？？

　「沈黙は金,雄弁は銀(トーマス・カーライル)」,。。この言葉ができた当時は銀の価値の方が金よりも上だったそうで言葉の価値,偉大さを述べたものらしく一般的な普通の解釈とは逆かも知れません。

　ただし雄弁とは単なるおシャベリを意味するものではなく,駄弁なら沈黙の方がましでしょう。

(以下,2006年10月８日に書いた記事の再掲です。

　今日は量子論におけるＷＫＢ近似が,なぜ半古典近似と呼ばれるのか,を解析力学のハミルトン・ヤコービの方程式と関連付けて説明し,さらに経路積分との関連についても手短かに述べてみたいと思います。

　まず,古典力学の力学系での一般化座標をｑ_r(ｒ＝1,2...ｎ)とし,系を記述するラグランジアン(Lagrangian)をＬ(ｑ,ｑ^d,ｔ)とします。

　ここで,ｑはｑ_r全体を総称しｑ^d≡ｑ^dotはｑの時間による微分:ｑ_r^d≡(ｄｑ_r/ｄｔ)の全体を意味します。

　さらに,ｐ_r≡(∂Ｌ/∂ｑ_r^d)を一般化運動量と定義します。

　このｐ_r＝(∂Ｌ/∂ｑ_r^d)を解いてｑ_r^dをｑ_rとｐ_rの関数で表わしたものを,式:Ｈ≡∑ｐ_rｑ_r^d－Ｌの右辺のｑ_r^d に代入したものを系のハミルトニアン(Hamiltonian):Ｈ(ｑ,ｐ,ｔ)と定義します。

　このとき,元々のニュートンの運動方程式は,これをダランベールの原理(D'Alembert)で加工して一般化し,一般化座標の方程式に変換したｎ個のオイラー・ラグランジュ方程式[ｄ(∂Ｌ/∂ｑ_r^d)/ｄｔ]－∂Ｌ/∂ｑ_r＝0 に取って代わられます。

　さらに,ｑ_r^d≡(ｄｑ_r/ｄｔ)＝(∂Ｈ/∂ｐ_r),ｐ_r^d≡(ｄｐ_r/ｄｔ)＝－(∂Ｈ/∂ｑ_r)なる形の2ｎ個の１階微分方程式＝ハミルトンの正準方程式に変換されます。

　ほとんどのＨ(ｑ,ｐ,ｔ)では,一般化座標の変数ｐ_r,ｑ_rを計算に都合がいいような新変数Ｐ_r,Ｑ_rに変換して,新しいハミルトニアンとしてＫ(Ｑ,Ｐ,ｔ)を作り,ハミルトンの正準方程式が形としてそのまま保存されるようにできます。

　つまり,ｑ_r^d＝(∂Ｈ/∂ｐ_r),ｐ_r^d≡－(∂Ｈ/∂ｑ_r)がＱ_r^d≡(ｄＱ_r/ｄｔ)＝(∂Ｋ/∂Ｐ_r),Ｐ_r^d≡(ｄＰ_r/ｄｔ)＝－(∂Ｋ/∂Ｑ_r)と同値になるようにできます。こうした変換を正準変換と呼びます。

　このとき,新変数による新しいラグランジアンをＬ'＝∑Ｐ_rＱ_r^d－Ｋと書けば,元のラグランジアンＬ＝∑ｐ_rｑ_r^d－Ｈとの間にある関数Ｗが存在して,Ｌ＝Ｌ'＋(ｄＷ/ｄｔ)なる等式が成り立つはずです。

　これは,変換の下で理論が不変に保たれるための必要十分条件です。この結果,∑ｐ_rｑ_r^d－Ｈ＝∑Ｐ_rＱ_r^d－Ｋ＋(ｄＷ/ｄｔ)と書けます。

　関数Ｗ はｔのほかにはｐ,ｑ,Ｐ,Ｑの4ｎ個の変数の関数ですが,このうち独立な変数は2ｎ個だけですから,例えばＷ＝Ｗ(ｑ,Ｐ,ｔ)と独立変数を選んでみます。

　このときは,ｄＷ＝∑ｐ_rｄｑ_r＋∑Ｑ_rｄＰ_r＋(Ｋ－Ｈ)ｄｔなる式によってｐ_r＝∂Ｗ/∂ｑ_r,Ｑ_r＝∂Ｗ/∂Ｐ_r,Ｋ＝Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔとなります。

　次に,特に変換によって特異になる危険性を犠牲にしてもハミルトニアンＫが恒等的にゼロになる:Ｋ≡0 となる特別な正準変換があったらと想定してみます。

　このときには,ハミルトンの正準方程式はＰ_r^d≡(ｄＰ_r/ｄｔ)＝0 ,Ｑ_r^d≡(ｄＱ_r/ｄｔ)＝0 となり,座標点は全て時間的に静止していて,Ｐ_r＝α_r(定数),Ｑ_r＝β_r(定数)とすることができて最高に好都合です。

　そして,このとき元の正準変換に戻ってみるとｑ＝ｑ(Ｑ,Ｐ,ｔ)＝ｑ(β,α,ｔ),ｐ＝ｐ(Ｑ,Ｐ,ｔ)＝ｐ(β,α,ｔ)と,2ｎ個の積分定数または初期条件を含む解が求まるわけです。

　つまり"一般化座標の時間的変化＝軌道"は全て決まる,あるいは問題は完全に解けることになります。

　そして,Ｗ＝Ｗ(ｑ,Ｐ,ｔ)＝Ｗ(ｑ,α,ｔ),ｐ_r＝∂Ｗ/∂ｑ_r,β_r＝∂Ｗ/∂α_rと書くこともできます。

　そこで,逆にこうした都合のいい関数Ｗを求めるための方程式Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝Ｋ＝0 ,つまり,Ｈ[ｑ,∂Ｗ(ｑ,ｔ)/∂ｑ,t]＋∂Ｗ(ｑ,ｔ)/∂ｔ＝0 で与えられると考えます。

　そして,微分方程式Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝0 を解くことによって,積分定数αを含むＷ(ｑ,α,ｔ)が得られると考えることもできるわけです。

　この方程式:Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝0 をハミルトン・ヤコービ(Hamilton-Jacobi)の偏微分方程式と呼びます。

　特にハミルトニアンＨが時間ｔを陽には含まないときには,Ｈは固定したｑ,ｐに対しては時間的に一定になるので,Ｈ(ｑ,ｐ)＝Ｅ (定数)とかくことができます。

　Ｈがｔを陽に含まない場合にはネーターの定理(Noether's theorem)によって,右辺の定数Ｅがいわゆるエネルギーであり,時間的に変化しない保存量であることはよく知られた事実です。

　このとき,Ｈ(ｑ,ｐ)＝Ｅにより,ハミルトン・ヤコービの偏微分方程式:Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝ 0 はＷ(ｑ,α,ｔ)/∂ｔ＝－Ｅ (一定)となりますからＷ(ｑ,α,ｔ)＝Ｓ(ｑ,α)－Ｅｔと書いてよいことになります。

　ｐ_r＝∂Ｗ/∂ｑ_r＝∂Ｓ/∂ｑ_rなので,結局Ｈ(ｑ,∂Ｓ/∂ｑ)＝Ｅ (ただしｐ＝∂Ｓ/∂ｑ)と表現できて,方程式は少し簡単になります。

Ｈがｔを陽に含まない場合,Ｗが一定の面を波動光学からのアナロジーで,ある力学的波動の位相が一定の面を表わすものであると考えてみます。

Ｗ＝(Ｓ－Ｅｔ)という量から,"Ｓと同じ単位＝(エネルギー×時間)"を持つある比例定数:ｈ_cを用いて,単位のない変数(Ｗ/ｈ_c)＝{(Ｓ/ｈ_c)－(Ｅ/ｈ_c)}を作り,これを位相としてω＝Ｅ/ｈ_cを角振動数2πνとするような波動を考えることにして,その波動を表わす量をψと定義します。

すなわち,ψ＝Ａexp(iＷ/ｈ_c)＝Ａexp[i{(Ｓ/ｈ_c)－ω}ｔ] (ω≡Ｅ/ｈ_c)とします。

特に１変数のみの系では,ｐ＝∂Ｓ/∂ｑ＝∇Ｓから,ｐψ＝(∇Ｓ)ψ＝(－iｈ_c∇ψ)となるので,記号的にはｐ ～ (－iｈ_c∇)と見なすことができます。

ｈ_cをプランク(Planck)定数＝(ｈ/2π)と同一視すれば,ψは量子力学の波動関数に対応し,ハミルトン・ヤコービの偏微分方程式は正にシュレーディンガー(Schödinger)方程式になります。

古典力学と量子力学との間には大きな谷間(gap)があり,それぞれが独立な法則＝公理を持つ独立な理論なので,古典力学から何の飛躍もなく量子力学を導くことは不可能ですが,前期量子論の段階では上記のような推論がなされていたと思われます。

こうしたことから,ＷＫＢ近似という量子力学の問題を解く1つの近似法＝"時間を含まない定常波動関数ｕ(ｘ)をexp[iＳ(ｘ)]なる形式で表現して近似するという方法"は半古典近似という名称で呼ばれているのでしょう。

ところで,上述のＳ(ｑ,α)はラグランジアンで表わすとＳ＝∫Ｌ(ｑ,ｑ^d,ｔ)ｄｔと書けます。これはいわゆる作用(作用積分)と呼ばれる量です。

つまり,Ｓは"系の運動はｑの変分δｑに対する作用Ｓの変分がゼロ:δＳ＝0 となる＝Ｓが停留値を取るという条件によって与えられる。"という１つの基本的な変分原理＝最小作用の原理の元になる作用関数になっています。

そこで,量子力学でファインマンの経路積分(Feynman)を用いた理論展開で,時間発展の確率振幅が作用Ｓによって,＜ｑ_f|exp{－(ｉ/ｈ_c)Ｈ(ｔ_f－ｔ_i)}|ｑ_i＞＝Ａ∫Ｄｑexp[(ｉ/ｈ_c)Ｓ(ｑ(ｔ))]と表現されることが思い出されます。

私見では,これはＤｑがあらゆる分岐した経路にわたる積分であるという意味で,多世界解釈にもつながると考えているのですが,それはさておき,経路積分の意味を説明します。

　

この経路積分の公式は,作用ＳをＳ(ｑ(ｔ)) ～ Δｔ∑_j^NＬ[ｑ(ｔ_j),{ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}/Δｔ]と分割し,中間状態の射影演算子|ｑ(ｔ_j)＞＜ｑ(ｔ_j)|を考えたとき,中間状態の完全性を利用すれば得られます。

中間状態の完全性とは,あらゆる座標ｑの全空間での総和＝積分が１になること,∫ｄｑ|ｑ＞＜ｑ|＝１であることです。

すなわち,遷移確率振幅＜ｑ_f|exp{－(ｉ/ｈ_c)Ｈ(ｔ_f－ｔ_i)}|ｑ_i＞を時間分割して,＜ｑ_j+1|exp{－(ｉ/ｈ_c)ＨΔｔ}|ｑ_j＞と細分化したとき,各細分時刻ｔ_jにおいて,１＝∫ｄｑ(ｔ_j)|ｑ(ｔ_j)＞＜ｑ(ｔ_j)|を挿入しても結果は変わりません。

そして,各々の細分では＜ｑ_j+1|exp{－(ｉ/ｈ_c)ＨΔｔ}|ｑ_j＞＝＜ｑ_j+1|exp{－(ｉ/ｈ_c)ｐ(ｔ_j){ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}＋(ｉ/ｈ_c)ΔｔＬ[ｑ(ｔ_j),{ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}/Δｔ]|ｑ_j＞と表現できます。

ここで,ｑ_j≡ｑ(ｔ_j),Δｔ≡(ｔ_f－ｔ_i)/Ｎであり,ｔ_i≡ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜...＜ｔ_j＜ｔ_j+1＜...＜ｔ_Ｎ≡ｔ_fです。

結局,遷移確率振幅は＜ｑ_f|exp{－(ｉ/ｈ_c)Ｈ(ｔ_f－ｔ_i)}|ｑ_i＞＝Π_j^N＜ｑ_j+1|exp{(ｉ/ｈ_c)ΔｔＬ[ｑ(ｔ_j),{ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}/Δｔ]|ｑ_j＞となり,これでＮ → ∞とした極限が経路積分です。

そして,この経路積分の計算結果においては被積分関数の指数関数の中で最小作用の原理を満たすδＳ＝0 の部分の寄与が最大になり,遷移確率振幅＝伝播関数に大部分の寄与をする,ことがわかっています。

これは古典論と量子論の隙間(gap)を埋める話として,一つの注目に値する論点であると考えられます。

参考文献：大貫義郎著「解析力学」(岩波書店) 並木美喜雄著「解析力学」(丸善) 深谷賢治著「解析力学と微分形式」(岩波書店)