« 長門裕之さんも大往生,南田洋子さんのもとへ | トップページ | 完全休養日 »

2011年5月22日 (日)

量子電磁力学の輻射補正(10)(頂点補正-4)

  赤外発散論文詳解の続きです。

 輻射補正の頂点補正;Λμ(p',p)(下図)の続きです。


 
 前回の記事では,|q2|<<m2の場合の計算を行なって,

Λμ(p',p)=(Z1-1-1)γμ+Λcμ(p',p)について,


 γμ+Λ
cμ(p',p)

~ γμ[1+{α/(3π)}(q2/m2){log(m/λ)-3/8}]

+{α/(8πm)}[μ]

を得ました。

 
ここで,Z1-1-1={α/(2π)}{log(Λ/m)+9/4-2log(m/λ)}

={α/(4π)}{log(Λ2/m2)+9/2-4log(m/λ)} です。

 今日は,残りの|q2|>>m2の場合の計算をします。

 結果はλに依存する項のみが得られて,

 γμ+Λcμ(p',p)

 ~ γμ[1-(α/π)log(m/λ){log(-q2/m2)-1+O(|m2/q2|)}]

です。

(注3):まず,頂点補正項の計算式を再掲します。

 Λμ(p',p)={α/(4π)}γμlog(Λ2/m2)+{α/(2π)}γμ01dz101-z1dz2log([m21+m2{m2(1-z1)2-q223-iε}/Λ2]/{m2(1-z1)2+λ21-q223-iε})-{α/(4π)}∫000dz1dz2dz3δ(1-Σi=13i)[γν{'(1-z2)-3+m}γμ{(1-z3)-'z2+m}γν]/{m2(1-z1)2+Λ212-q223-iε} です。

 今回は,-q2>=||2-q02>>m2なので,前記事のζ≡q2/m2でなく,てζ≡m2/(-q2)(<<1)とし,前と同じくu=1-z1とおけば,

 γν{'(1-z2)-3+m}γμ{(1-z3)-'z2+m}γν

=-γμ{2m2(1-4z1+z12)+2q2(1-z2)(1-z3)}-2mz12[μ]=-(-q2)(2γμ){z22-uz2+ζ(u2+2u-2)+(u-1)}-(-q2){-2m/(-q2)}u(1-u)[μ] です。(q=p'-p)

 そして,m2(1-z1)2+λ21-q223=-(-q2)[z22-uz2-{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}]により,

 Λμ(p',p)={α/(4π)}γμlog(Λ2/m2) ..(第1項)

+{α/(2π)}γμ01dz101-z1dz2log(ζ(1-u)/[ζ{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}-z22+uz2]) ..(第2項)

-{α/(2π)}γμ01du∫0udz2({z22-uz2+ζ(2u2+2u-2)+(u-1)}/[ζ{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}-z22+uz2]) ..(第3項)

-{α/(4π)}∫01du∫0udz2{2m/(-q2)}u(1-u)[ν]/[ζ{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}-z22+uz2]) ..(第4項)

です。

 ここで,便宜上f(u)≡u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)とおきます。

 すると,上式の第2項×(2π/α)γμ-1=∫01du∫0udz2{logζ+2log(1-u)}-∫01du∫0udz2log{ζf(u)-z22+uz2}

(1/2)logζ-3/4-∫01du[z2log{ζf(u) -z22+uz2}]0u

+2∫01udu-∫01du∫0u [{uz2+2ζf(u)}/{ζf(u)-z22+uz2}]dz2

(1/2)logζ-3/4-∫01ulog{ζf(u)}du+1+∫01[(u/2)log|z22-uz2-ζf(u)|]0udu+(1/2)∫01du{u2+4ζf(u)}1/2[log|(2z2-u-{u2+4ζf(u)}1/2|)/(2z2-u+{u2+4ζf(u)}1/2)|]0u

となります。

 ところで,|q2|>>m2,つまりζ<<1の場合,

[log|(2z2-u-{u2+4ζf(u)}1/2)/(2z2-u+{u2+4ζf(u)}1/2)|]0u=2log|{u-{u2+4ζf(u)}1/2}/{u+{u2+4ζf(u)}1/2}|

=2log[|u-{u2+4ζf(u)}1/2|2/{4ζf(u)}]=4log|f(u)-f(u){1+2ζ/f(u)}|+O(λ2/m2)-2log|4ζf(u)}

~ 4log2+4logζ-2log4-2logζ-2logf(u)

=2{logζ-logf(u)} となります。

 よって,(1/2)∫01du{u2+4ζf(u)}1/2[log|(2z2-u-{u2+4ζf(u)}1/2)/(2z2-u+{u2+4ζf(u)}1/2)|]0u)~∫01[u(1+2ζ){logζ-logf(u)}]du~ (1/2+ζ)logζ+1/2+ζ と書けます。

 ここで,∫01ulogf(u)du~ [(1/2)f(u)logf(u)-f(u)/2]01=-1/2+O(λ2/m2)なる近似を用いました。

 以上から,第2項×(2π/α)γμ-1~ (1/2)logζ-3/4-(1/2)logζ+1/2+1+(1/2+ζ)logζ+1/2+ζ

=(1/2)logζ+ζ+ζlogζ+5/4+O(ζ,λ2/m2)を得ます。

 また,第3項×{-4π/(ε0α)}(2γμ)-1=∫01du∫0udz2({z22-uz2+ζ(2u2+2u-2)+(u-1)}/[ζf(u)-z22+uz2])

=∫01du∫0udz2(1+[(u-1)+ζ{2u2+2u-2+f(u)}]/[ζf(u)-z22+uz2])

=1/2+∫01du{u2+4ζf(u)}-1/2[(u-1)+ζ{2u2+2u-2+f(u)}][log|(2z2-u-{u2+4ζf(u)}1/2)/(2z2-u+{u2+4ζf(u)}1/2)|]z2=0z2=u

~1/2+2∫01du{u2+4ζf(u)}-1/2[(u-1)+ζ{2u2+2u-2+f(u)}]{logζ-logf(u)}

~1/2+2∫01du{u2+4ζf(u)}-1/2(u-1){logζ-logf(u)}+4∫01duζ{u+1-1/f(u)}{logζ-logf(u)} です。

 そして,∫01du{u2+4ζf(u)}-1/2(u-1)=[(1+4ζ)-1{u2+4ζf(u)}1/2+(1+4ζ)-3/2{-2(1+4ζ)+4ζ(λ2/m2)}log|2(1+4ζ)-4ζ(λ2/m2)+2(1+4ζ)1/2{u2+4ζf(u)}1/2|]01

~ 1-(1-2ζ){log|4(1+4ζ)-4ζ(λ2/m2)|-log|-4ζ(λ2/m2)+2(1+4ζ)1/21/2(λ/m)|}

~ 1-(1-2ζ){log4+4ζ-log4-(1/2)logζ-log(λ/m)}

~ 1+(1/2-ζ)logζ+log(λ/m)-2ζlog(λ/m)+O(ζ),

 ∫01du{u2+4ζf(u)}-1/2(u-1)logf(u)~∫01du(1-1/u)(1-2ζ)logf(u)=-(2-4ζ)+(1-2ζ)log2(λ/m)です。

 何故なら,まず01logf(u)du~ 201logu=2[ulogu-u]01=-2です。

 次に,01(1/u)logf(u)du=01(1/u)log{u2-(λ2/m2)u+λ2/m2}du=ですが,v≡u2-(λ2/m2)u+λ2/m2とおけばdv=2uduよりdu/u=(1/2)dv/u2~(1/2)dv/vです。

 そして,u:0→1に対してv:λ2/m2→1ですから,01(1/u)logf(u)du~(1/2)λ2/m21(1/v)logvdv=(1/4)[log2v]λ2/m21=-(1/4)log22/m2)=-log2(λ/m)です。

 以上から第3項×(-4π/α)(2γμ)-1~ 1/2+2{1+(1/2)logζ-ζlogζ+log(λ/m)-2ζlog(λ/m)}logζ+(2-4ζ)-(1-2ζ)log2(λ/m)]+4ζlogζ{3/2-(1/2)log(λ2/m2)}-4ζ{-1/2-2+log2(λ/m)}

~ 9/2+2logζ+2ζ+2log(λ/m)logζ+O(ζlogζ,ζ2log2ζ,log2(λ/m),λ2/m2)

 を得ます。

 最後に,第4項×(4πm/α)[μ]-1=2∫01du∫0udz2[ζu(1-u)/{ζf(u)-z22+uz2}]~ O(ζ)です。

 結局,ζ<<1のときは,logζに比べてはるかに小さいO(ζ)の微小項も無視することにより,

 第2項+第3項+第4項 ~ -{α/(4π)}γμ[-logζ-2ζ-5/2+9 +4logζ++4ζ+4log(λ/m)logζ]を得ます。

 さらに,logζ=log{m2/(-q2)}よりも高次の微小量であるζの1/2次以上のO(ζ1/2)を無視すれば,

 第2項+第3項+第4項 ~ γμ[(α/π)log(λ/m)log{m2/(-q2)}-13α/(8π)+{α/(4π)}log{m2/(-q2)}] です。

 ここで,第1項={α/(4π)}γμlog(Λ2/m2)={α/(2π)}{log(Λ/m)で,1-11={α/(2π)}{log(Λ/m)+9/4-2log(m/λ)}={α/(4π)}{log(Λ2/m2)-4log(m/λ)+定数}なので,(Z1-11)γμ(第1項)-γμ(α/π)log(λ/m)です。

 よって,γμ+Λcμ(p',p)=γμ+Λμ(p',p)-(Z1-1-1)γμ=(第1項+第2項+第3項+第4項)+γμ(α/π)log(λ/m)です。

 それ故,γμ+Λcμ(p',p)~ γμ(1-(α/π)log(λ/m)[log{m2/(-q2)}-1+O(m2/q2)]+γμ{3α/(4π)}log{m2/(-q2)}が得られました。

 最後の項γμ{3α/(4π)}log{m2/(-q2)}が余計ですが??。

 計算修了です。(注3終わり)※

 これらの,低エネルギー:|q2|<<m2の場合と高エネルギー:|q2|>>m2の場合の頂点補正の結果を,先の真空偏極(Vacuum-polarization)からの寄与での頂点(vertex)のγ-行列因子の部分に追加するとさらなる輻射補正が得られます。

 4元運動量qμ=(q0,)の仮想光子を与えるCoulomb外場による電子散乱の場合は,2011年4/13の本ブログの記事「量子電磁力学の輻射補正(3)(真空偏極-2)」から真空偏極補正結果は次の通りです。

 {ie2u~γ0u/(ε02)}[1-{α/(3π)}log(M2/m2)-{α/(15π)}(q2/m2)] ~ {ieR2u~γ0u/(ε02)}[1-{αR/(15π)}(q2/m2)+O(αR2)]です。

 この式でのくりこまれた値:eR2Rを改めてe,αと書けば,真空偏極補正は,{ie2u~γ0u/(ε02)}→ {ie2u~γ0u/(ε02)}[1-{α/(15π)}(q2/m2)+O(α2)]と因子がかかることを意味します。

 このことから,低エネルギー|q2|<<m2の極限:q2~0 では,真空偏極は,頂点の寄与:γμ+Λcμ(p',p)~ γμ[1+{α/(3π)}(q2/m2){log(m/λ)-3/8}]+{α/(8πm)}[μ]における定数:(-3/8)にさらに定数:(-1/5)を加える効果を与えることがわかります。

 

そして,頂点補正のγμに比例する項は赤外発散や磁気モーメントには何の効果も与えないことがわかります。

 

 他方,最後の項:{α/(8πm)}[μ]は磁気オーメントに{α/(2π)}の効果を与えます。

 

 何故なら,外場との相互作用の極限を次のように修正するからです。

 

 つまり,最低次のS行列要素:-ieu~(p')γμu(p)Aμ(q)を,-ieu~(p')[γμ+{iα/(2π)}σμνν/(2m)]u(p)Aμ(q)=-ieu~(p')[(p+p')μ/(2m)+{1+α/(2π)}iσμνν/(2m)]u(p)Aμ(q)のように修正します。

 

(※1948年にこの計算値を発見した人の名を取ってα/(2π)をSchwingerの異常磁気モーメントといいます。

 

 これは実験値との著しい一致を与えます。

 

 ずいぶん古いですが,私が唯一所有の理科年表(1997年版)によれば,電子のスピンの磁気回転比(gyromagnetic ratio):g=2μ/μBの実測値は,g~ 2.00231904386..=2×1.00115952193..です。

 

 一方,αを1/137で粗い近似をしても,異常磁気モーメントを加えたg/2の計算値は:1+α/(2π)~1.0011617115..です。

 

 単純な,輻射補正をしない自由電子のDirac理論では,g=2ですから,このαの1次の補正:α/(2π)~ 0.0011617115でさえ,異常磁気モーメント比率の実測値:0.00115952193を著しく精確に再現しています。

 

 αの2次以上のくりこみ補正を加えると,計算値と実測値とのさらなる一致を見ることがわかっています。※)

 

(注4):Gordon-Deconpositionから,2mγμ=(p+p') μ+i(p'-p)νσμν.つまりγμ=(p+p')μ/(2m)+iσμνν/(2m)が成立することがわかります。

 

 そして,{α/(8πm)}[μ]={α/(8πm)}qννμ]={α/(4πm)}iσμννです。

 

元々,Gordon-Deconpositionは,相対論的電流:Dirac-currentを非相対論的電流とスピン電流(spin-urrent)の和で表現したものです。

 

そこで,iqνσμν/(2m)は非相対論的極限でのスピン相互作用と見なすことができます.

 

α/(2π)の効果に関係する項は{e/(2m)}σμνu~qνuAμなる形をしています。

 

これは定電場での散乱振幅に,{-e/(2m)}σB×{α/(2π)}の付加ポテンシャルを追加することに相当します。

 

(→ 2006年9/8の記事「パウリのスピンと相対性理論」参照)

 

何故なら,定電磁場Aμによる電子の散乱の最低次でのS行列要素はSfi~ -iejμfiμ(q),q=pf-pi,jμfi=u~(pf,sfμu(pi,si)です。

 

特に,Aμ=(Φ,0)なる定電場ではSfi~ -ieu~(pf,sf0u(pi,si)Φ(q)と書けます。

 

そして,一般の電磁場Aμの場合に追加のSfiであるδSfiはδSfi=-i{α/(2π)}{e/(2m)}u~(pf,sfμνu(pi,si)qνμ(q)で与えられます。

 

ここで,4×4行列を成分とする3次元ベクトルΣを,2×2のPauli行列σを細胞対角成分に持つ細胞対角行列と定義します。

 

こうすれば,定義:σμν≡(i/2)[γμν],およびγσ-σを反対角成分とする反対称行列表現で書けることなどを用いて,δSfiをわかりやすい形に変形することができます。

 

特にAμが定磁場:Aμ=(0.)のときには,δSfi=-i{α/(2π)}{e/(2m)}u~(pf,sf)Σu(pi,si)(-i){×()}となることがわかります。

 

ところが,運動量空間から座標空間への変換はFourier積分表示:()=(2π)-3()exp(iqx)で与えられます。

 

そして,また()=∇×()ですから,()=(2π)-3()exp(iqx)=(2π)-3∫{i×()}exp(iqx)が成立するため,()=i×()と書けます。

 

故に,δSfi=-i{α/(2π)}{e/(2m)}u~(pf,sf)Σu(pi,si)(-i){×()}=-i{-α/(2π)}{e/(2m)}u~(pf,sf)Σu(pi,si)()です。

 

ここで,wを非相対論的電子の2成分スピノルとして,u~(pf,sf)~ (wf,0),u(pi,si)~ t(wi,0)と書けば,δSfi=-i{-α/(2π)}{e/(2m)}wfσi()なる最終表現が得られます。

 

それ故,Sfiへの追加の寄与は電磁ポテンシャルAμに{-α/(2π)}{e/(2m)}σBの形のポテンシャルを付加した効果に等しいわけです。 

 

その他,磁場の物性関係の記事:2008年4/5の「磁場の中の原子(ゼーマン効果)(1)」,4/9の「磁場の中の原子(ゼーマン効果)(2)」.

 

2008年4/15の「磁性の話(キュリーの法則) 」,4/17の「磁性の話(キュリーの法則)(補遺)」,および2010年6/2の「磁性の古典論」なども適宜参照してください。

 

(注4終わり)※

 

磁気モーメント補正に関して,これに続くBjorken-Drellテキスト本文の翻訳を書いておきます。↓

 

(※)この電子磁気モーメントに対する補正因子{1+α/(2π)}は1948年にSchwingerによって初めて導出され,その後ずっと実験的に確証され続けている。

 

実験の方も磁気モーメントのα2補正を調べられるまで十分正確になってきているが,理論の方からのα2補正はSommerfeldとPetermannによって計算された。

 

彼らの計算結果:-(α22)×0.328は現在の実験限界値とよく一致している。この結果は2つの仮想光子の交換を含むあらゆる頂点グラフを考慮すれば得られる。(※)

 

現在は,α4以上のオーダーまで計算されているはずです。

 

上記のα2のオーダーでもα~ 1/137と近似してg/2 ~ 1+(1/2)α/π-0.328α22=1.001159944..ですから,1997年理科年表での実測値:1.00115952193..と実験精度の限界近くまで一致しています。

 

今日はここで終わりますが,頂点補正はまだ続きます。

 

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill)

 

|

« 長門裕之さんも大往生,南田洋子さんのもとへ | トップページ | 完全休養日 »

114 . 場理論・QED」カテゴリの記事

コメント

第2項×(2π/α)γμ-1=∫01du∫0udz2{logζ+2log(1-u)} ⇨ 第2項×(2π/α)γμ-1=∫01du∫0udz2{logζ+log(1-u)}
(1/2)∫01du{u2+4ζf(u)}1/2[log|(2z2-u-{u2+4ζf(u)}1/2)/(2z2-u+{u2+4ζf(u)}1/2)|]0u)~ ⇨ (1/2)∫01du{u2+4ζf(u)}1/2[log|(2z2-u-{u2+4ζf(u)}1/2)/(2z2-u+{u2+4ζf(u)}1/2)|]0u~
~ 1/2+2{1+(1/2)logζ-ζlogζ+log(λ/m)-2ζlog(λ/m)}logζ+(2-4ζ)-(1-2ζ)log2(λ/m)] ⇨ ~ 1/2+2{1+(1/2)logζ-ζlogζ+log(λ/m)-2ζlog(λ/m)}logζ+(2-4ζ)-(1-2ζ)log2(λ/m)

投稿: hirota | 2013年5月20日 (月) 01時28分

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.f.cocolog-nifty.com/t/trackback/71281/40083070

この記事へのトラックバック一覧です: 量子電磁力学の輻射補正(10)(頂点補正-4):

« 長門裕之さんも大往生,南田洋子さんのもとへ | トップページ | 完全休養日 »