量子電磁力学の輻射補正(11)(頂点補正-5)」

　今,5/30午前２時半です。これから５時間ほど寝て朝には帝京大学病院眼科に入院し.５/31には右目を手術,６月第一週週末には退院できると思います。

　帝京大学病院はTVを見るのさえ10時間1000円のカードを買って挿入する必要があります。

取り合えず手元に数百円しかなかったので,入院前日にも関わらず,毎日曜の予定通りに飲みに行って図々しくも支払いはPendingで逆に２千円借りてきてさっき１時頃帰宅したところです。

帝京大学病院の一階には１時間100円でネットにアクセスできるPCがありますが,まあ一種間か10日くらいは忘れて別のことやりたいと考えています。　

(※読むかどうかはわかりませんが格子ゲージ理論の本を１冊持っていきます。)

　さて,入院前最後に科学記事を書きます。

輻射補正の頂点補正：Λ_μ(ｐ',ｐ)(下図)の続きです。

頂点補正のうち,γ_μに比例した項について考えます。

これらは電子散乱の赤外発散(infrared divergence)への寄与に関係しています。

しかし,この仮想軟光子ｋ～0による発散は断面積に実軟光子(soft-photon:ｋ～0)の制動輻射(bremsstrahlung)の寄与を加えると相殺して消えます。

以下,これを説明します。

あらゆる実験装置の分解能(resolution:解像度)は有限です。

そして,電子がエネルギー分解能ΔＥで検出されるなら,観測事象の数は弾性散乱の断面積にエネルギーが弾性値のΔＥ以内にある電子に到る制動輻射(非弾性散乱)の断面積をプラスしたものに対応するはずです。

※(注1):2010年７/26の記事「散乱の伝播関数の理論(17)(応用3-2)」での制動輻射の論議の最後で次のように書きました。

(＊)軟光子放出の制動輻射の断面積は,非相対論的エネルギー(Ｎ.Ｒ)では,ｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic(2α/π)ln(ｋ_max/ｋ_min){(4/3)β²sin²(θ/2)＋Ｏ(β⁴)},

超相対論的エネルギー(Ｅ.Ｒ)ではｄσ/ｄΩ_f ＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic(2α/π)ln(ｋ_max/ｋ_min){ln(－ｑ²/ｍ²)－1＋Ｏ(ｍ²/|ｑ²|)}となります。

ここでは論じませんが,ｋ_min→ 0 におけるln(ｋ_max/ｋ_min)因子の赤外発散を相殺して断面積の有限な値を得るために,因子(ｄσ/ｄΩ_f)_elasticが(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic→ (有限値)×{Ｏ(ln(ｋ_max/ｋ_min))}^-1となるような弾性散乱の仮想光子輻射補正が必要です。　(＊)

です。

なお,この記事では対数の記号としてlnを使っており,このシリーズして統一性がありませんが,lnは単に底がｅの自然対数を意味するだけなのでここでの記号logと意味は同じです。

以下,lnはlogに変更します。(注1終わり)※

さて,以下ではここで得たγ_μ＋Λ^c_μ(ｐ',ｐ)～γ_μ[1＋{α/(3π)}(ｑ²/ｍ²){log(ｍ/λ)－3/8}]＋{α/(8πｍ)}[ｑ,γ_μ](Ｎ.Ｒ),

　およびγ_μ＋Λ^c_μ(ｐ',ｐ)～γ_μ[1－(α/π)log(ｍ/λ){log(－ｑ²/ｍ²)－1＋Ｏ(|ｍ²/ｑ²|)}]から得られる断面積を上記の制動輻射の断面積と比較します。

　その結果,ｅ²のオーダーまででは弾性散乱と非弾性散乱の断面積の和は有限になり赤外発散の困難から解放されることを説明します。

　ここで得た結果によれば,弾性散乱のｅ²のオーダーまででの赤外発散部分は(ｄσ/ｄΩ)_λ＝(ｄσ/ｄΩ)₀{1－(2α/π)log(λ/ｍ)χ(ｑ²)}と書けます。

　ただし,－ｑ²/ｍ²＜＜1ではχ(ｑ²)≡－(1/3)(ｑ²/ｍ²),－ｑ²/ｍ²＞＞1ではχ(ｑ²)≡log(－ｑ²/ｍ²)です。

　また,(ｄσ/ｄΩ)₀は弾性散乱断面積への最低次の寄与です。

(※Ｓ行列要素から断面積ｄσ/ｄΩにするときには絶対値を２乗するため,γ_μ→γ_μ＋Λ^c_μ(ｐ',ｐ)のλ～0 付近の補正因子も２乗されるので,こうなります。)

　記号:χ(ｑ²),および(ｄσ/ｄΩ)₀を用いると,制動輻射の断面積は(ｄσ/ｄΩ)_brem＝(ｄσ/ｄΩ)₀(2α/π)log(ｋ_max/ｋ_min)χ(ｑ²)と書けます。

※(注2): 制動輻射の断面積の式は,(Ｅ.Ｒ):－ｑ²/ｍ²＞＞1では(ｄσ/ｄΩ)_brem＝(ｄσ/ｄΩ)₀(2α/π)log(ｋ_max/ｋ_min)log(－ｑ²/ｍ²)ですから,これは上記の表現で全く問題なしです。

　一方,(Ｎ.Ｒ):－ｑ²/ｍ²＜＜1ではＥ≡Ｅ_f ～Ｅ_i,|ｐ|≡|ｐ_f|～|ｐ_i|,β≡|ｐ|/Ｅ, ｐ_fｐ_i＝ｐ²cosθですが,ｑ＝ｐ_f－ｐ_i＝ｋでありｋ～0の極限ではＥ_f ～Ｅ_iなので－ｑ²＝－(ｐ_f－ｐ_i)² ～ (ｐ_f－ｐ_i)²＝2ｐ²(1－cosθ)＝4Ｅ²β²sin²(θ/2)です。」

　故に,Ｅ²＝ｐ²＋ｍ²,－ｑ²＝2ｐ²(1－cosθ)＜＜ｍ²で4ｐ²＜＜ｍ²よりＥ²～ｍ²ですから,－ｑ²～4ｍ²β²sin²(θ/2), )(4/3)β²sin²(θ/2)～(－1/3)(ｑ²/ｍ²)です。

　それ故,(ｄσ/ｄΩ)_brem～(ｄσ/ｄΩ)₀(2α/π)log(ｋ_max/ｋ_min)(4/3)β²sin²(θ/2)＝(ｄσ/ｄΩ)₀(2α/π)log(ｋ_max/ｋ_min)(－1/3)(ｑ²/ｍ²)を得ます。(注2終わり)※

　しかし,これら２種類の式は一方は光子が小ですが有限な正の質量λ＞0 を持つと仮定するし,他方はエネルギーor 波数ｋに下限ｋ_minが存在するという形なので,それぞれ異なったやり方で低振動数の切断を実行した結果として得られたものですから,これらを単純に加えることはできません。

(※記号λはよく用いられる波長の意ではなく質量を表わすことに注意)

　この問題点を克服するための処方として,制動輻射の断面積を有限質量λの光子で再導出するか？ｋ_minより小さいエネルギーの光子の放出が禁止されていると仮定して頂点補正を再計算するか？のいずれかを選択できます。

　しかし,光子がλ＞0の質量を持つときにはゼロ質量では存在し得ない縦波の実光子の出現という複雑な問題が生じると考えられるため,ここではこれを避けるため後者の方法を選択します。

　ところが,光子の波数切断ｋ_minの導入は非共変的手続きなので,頂点補正のくりこみ部分の確認はとても繊細(delicate)な状況になります。

　実は,このことが最初の計算において低振動数の切断を共変的なスカラーである質量λで行なった理由です。

　さて,λ～0,かつｋ_min～0 の極限につて考察中なのですが,ここでは数式化を簡単にするため,特にｋ_min＞＞λという選択をします。

　この選択は頂点補正Λ_μ(ｐ',ｐ)≡(－iｅ)²ε₀^-1∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4{(－i)(ｋ²－λ²＋iε)^-1γ_νi(ｐ'－ｋ－ｍ＋iε)^-1γ_μi(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)^-1γ^ν}のｋによる積分において,ｋ＜ｋ_minの振幅を禁止して∫_kmin^∞ｄ⁴ｋとすることを意味します。

　そこで,結局,光子の伝播関数(photon propagator):iＤ_F(ｘ)＝∫ｄ⁴ｋ(－i) exp(－iｋｘ)/(ｋ²－λ²＋iε)での∫ｄ⁴ｋ→∫_kmin^∞ｄ⁴ｋなる修正の必要性に帰着することがわかります。

　短いですが,明朝入院なので今日はこれでPendingです。

　皆様,ごきげんよう,また会いましょう。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGrawHill)