量子電磁力学の輻射補正(7)(頂点補正-1)

　輻射補正の続きです。頂点補正に入ります。

§8.6 The Vertex Correction(頂点補正)

　再々掲の上図8.4のうち,(ｃ)の評価だけが残っています。

　これは光子が頂点γ_μを橋渡しすることによる補正を

示しています。このグラフは２次の頂点(vertex)部分と

いわれます。

 この頂点グラフの物理過程への寄与を計算するために,

　積分量;Λ_μ(ｐ',ｐ)≡(－iｅ)²ε₀^-1∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4

　{(－i)(ｋ²－λ²＋iε)^-1γ_νi(ｐ'－ｋ－ｍ＋iε)^-1

　γ_μi(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)^-1γ^ν}　を定義します。

　この計算式では,図8.4(ｃ)において仮想光子によって

生成される電子の運動量をｐ'とし,陽電子の運動量を

－ｐとしています。

　同様に,同じ式は下図8.9に示すようなある外場ポテンシャル

による電子散乱による輻射補正をも表わしています。

　このケースにはｐ'は同じく終状態の電子の運動量ですが,ｐ

は陽電子ではなく,始状態の電子の運動量です。

 というわけで,見かけ上異なる物理過程への補正を同じ関数

Λ_μ(ｐ',ｐ)で記述します。(← ※向きは違いますが同じ

グラフなので,これは正当化されます。)　

　また,赤外発散にも遭遇するので,非常に軟らかい光子(ｋ ～ 0 )

の寄与を切断するため,再び光子に微小質量λを充当しておきます。

　さて,始状態,終状態の自由粒子運動量に対して,ｑ＝ｐ'－ｐ＝0

　のときのΛ_μ(ｐ',ｐ)を考慮することから無限大部分を分離します。

　ｐ'＝ｍ,ｐ＝ｍに対しては,

　ｕ~(ｐ)Λ_μ(ｐ,ｐ)ｕ(ｐ)＝ｕ~(ｐ)(Ｚ₁^-1－1)γ_μｕ(ｐ)

　と書けます。

　ただし,Ｚ₁は質量の平方:ｍ²＝ｐ²,λ²とそれを有限にするに必要

　な,切断に依存する定数です。

　しかし,ｕ~(ｐ)Λ_μ(ｐ,ｐ)ｕ(ｐ)＝ｕ~(ｐ)(Ｚ₁^-1－1)γ_μｕ(ｐ)

　はより普遍的な式です。

　何故なら,他の唯一のパラメータである４元ベクトルｐ_νは,

　スピノルｕ~(ｐ)とｕ(ｐ)に挟まれたときは常にｍγ_νに

　等しいからです。

　そして,この定数Ｚ₁は計算する必要はありません。

　それは,Λ_μ(ｐ,ｐ)＝(－iｅ)²ε₀^-1∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4

　{(－i)(ｋ²－λ²＋iε)^-1γ_νi(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)^-1

　γ_μi(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)^-1γ^ν}と,

　－iΣ(ｐ)＝(－iｅ)²ε₀^-1∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4

　{(－i)(ｋ²－λ²－iε)^-1γ_νi(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)^-1γ^ν}

　を比較すると,次式の成立が見出されるからです。

　すなわち,Λ_μ(ｐ,ｐ)＝－∂Σ(ｐ)/∂ｐ^μです。

　(※この関係式はWardの恒等式(Ward's identity)と呼ばれます。)

　ここで重要な恒等式:

　(∂/∂ｐ^μ)(ｐ－ｍ＋iε)^-1＝(∂/∂ｐ^μ){1/(ｐ－ｍ＋iε)}

　＝－{1/(ｐ－ｍ)}γ_μ{1/(ｐ－ｍ))}を用いました。

　(※何故なら(∂/∂ｐ^μ){1/(γ_μｐ^μ－ｍ)＝－γ_μ/(γ_μｐ^μ－ｍ)²

　であるからです。)

　この式は,自由伝播関数の運動量による微分が電子線グラフへの

　ゼロエネルギー光子の挿入に等価であることを主張しています。

　具体的には,まず,

　Λ_μ(ｐ,ｐ)＝－∂Σ(ｐ)/∂ｐ^μの右辺の微分は前節の表現:

　Σ(ｐ)＝δｍ－{Ｚ₂^-1－1＋Ｃ(ｐ)}(ｐ－ｍ)　から,直接に

　計算できて,

　∂Σ(ｐ)/∂ｐ^μ＝－{Ｚ₂^-1－1＋Ｃ(ｐ)}γ_μ

　＋{∂Ｃ(ｐ)/∂ｐ^μ}(ｐ－ｍ)　となることがわかります。

　したがって,ｕ~(ｐ)Λ_μ(ｐ,ｐ)ｕ(ｐ)

　＝－ｕ~(ｐ){∂Σ(ｐ)/∂ｐ^μ}ｕ(ｐ)

　＝ｕ~(ｐ)(Ｚ₂^-1－1)γ_μｕ(ｐ)　が得られるわけです。

　これと,ｕ~(ｐ)Λ_μ(ｐ,ｐ)ｕ(ｐ)＝ｕ~(ｐ)(Ｚ₁^-1－1)γ_μｕ(ｐ)

　を比較すると,ｅ²のオーダーまでではＺ₁＝Ｚ₂と結論されます。

　さて,ｅの２次のオーダーまでで頂点補正は,

　Λ_μ(ｐ',ｐ)＝(Ｚ₁^-1－1)γ_μ＋Λ^c_μ(ｐ',ｐ)と表現すること

　ができます。

　そして,あらゆる切断依存性は定数Ｚ₁(＝Ｚ₂)の中に含まれます。

　他方,残りのΛ^c_μ(ｐ',ｐ)の方は,光子質量λ＞0 の保持により

　赤外破局(infrared catastrophe)を避けるなら有限です。

　これはまた一意的で,ｕ~(ｐ)Λ^c_μ(ｐ,ｐ)ｕ(ｐ)＝0 を満足します。

　今のポテンシャル内の電子散乱のケースでは,Ｚ₁を頂点における

　電荷の"くりこみ"と見なすか？,それとも外線の波動関数のＺ₂^1/2

　の相殺と見るか？のいずれかと考えることができます。

　このことは,電子のポテンシャルによる前方散乱(ｐ'＝ｐ)に

　対するオーダーｅ²のあらゆるグラフを見ることによって理解

　されます。

　これらのグラフを以下の図8.10 に示します。

ｑ→ 0 の極限での上記各グラフの寄与は,それぞれ,

　(ａ)－iｅγ_μ, (ｂ)－iｅγ_μ(Ｚ₁^-1－1),  

　(ｃ)＋δｍ{i/(ｐ－ｍ)}(－iｅγ_μ)－(Ｚ₂^-1－1)(－iｅγ_μ)

 が２個,

　および,(ｄ)－δｍ{i/(ｐ－ｍ)}(－iｅγ_μ)が２個,

　そして.(ｅ)-(－iｅγ_μ)αlog(Λ²/ｍ²)＝(－iｅγ_μ)(Ｚ₃－1)

　です。

　(※何故なら,電子自己エネルギーは

 Σ(ｐ)＝＋δｍ－{Ｚ₂^-1－1＋Ｃ(ｐ)}(ｐ－ｍ)であり,ｐ＝ｍ

　ではＣ(ｐ)＝0 であるからです。)　

　前の議論から,各電子外線はＺ₂^1/2で割り,各光子外線はＺ₃^1/2で

 割る必要があります。(※今のケースは電子外線２本,光子

　外線１本です。)
　
　　こうして,得られるｅ²のオーダーでの全ての寄与の和を

　まとめると次式を得ます。

　すなわち,

　Ｚ₂^-1Ｚ₃^-1/2(－iｅγ_μ)[1＋(Ｚ₁^-1－1)＋2δｍ/(ｐ－ｍ) ^-1－2(Ｚ₂^-1－1)

　－2δｍ/(ｐ－ｍ) ^-1＋(Ｚ₃－1)] ～ Ｚ₂^-1Ｚ₃^-1/2(－iｅγ_μ)[1

　＋(Ｚ₁^-1－1)＋1－2(Ｚ₂^-1－1)(Ｚ₃^-1－1)]

　＝Ｚ₂^-1Ｚ₃^-1/2(－iｅγ_μ)[{1＋(Ｚ₁^-1－1){1＋(Ｚ₃－1)}/{1＋(Ｚ₂^-1－1)}²

　＝－iｅＺ₁^-1Ｚ₂Ｚ₃^1/2γ_μ＝－iｅ_Rγ_μです。

　ここで,最後の段階でｅ_R²≡Ｚ₁ｅ²,およびＺ₁＝Ｚ₂を用いました。

　※(注1):何故なら,

　1/{1＋(Ｚ₂^-1－1)}² ～ 1－2(Ｚ₂^-1－1)なので,

　{1＋(Ｚ₁^-1－1){1＋(Ｚ₃－1)}/{1＋(Ｚ₂^-1－1)}²

　～ {1＋(Ｚ₁^-1－1)}{1＋(Ｚ₃－1)}{1－2(Ｚ₃^-1－1)}

　＝1＋(Ｚ₁^-1－1)＋(Ｚ₃－1)－2(Ｚ₂^-1－1)　です。 

　そして,{1＋(Ｚ₁^-1－1){1＋(Ｚ₃－1)}/{1＋(Ｚ₂^-1－1)}²

　Ｚ₁^-1Ｚ₃Ｚ₂²ですから,

　Ｚ₂^-1Ｚ₃^-1/2{1＋(Ｚ₁^-1－1){1＋(Ｚ₃－1)}/{1＋(Ｚ₂^-1－1)}²

　＝Ｚ₁^-1Ｚ₂Ｚ₃^1/2です。　　(注1終わり※)

　したがって,頂点部分と伝播関数部分の間でＺ₂のくりこみは

　完全に除去されます。

　そこで,電荷のくりこみの完全な原因は真空偏極にあると考えます。

　頂点部分のトータルのくりこみが－iｅ_Rγ_μになるという上記結果

　に到達する際に使用した幾分苦心したとも見える記法は,より高次

　の寄与をも扱うという目で用いたものです。

　特にΛ_μ(ｐ,ｐ)＝－∂Σ(ｐ)/∂ｐ^μとＺ₁＝Ｚ₂の関係(Wardの恒等式)

　は,あらゆる発散積分がくりこみ定数：Ｚ₁,Ｚ₃,Ｚ₂に吸収できる結果

　として,実はｅの２次だけでなくあらゆるオーダーで真です。

　既に真空偏極グラフの議論において,その有限部分から物理的に

　観測可能な効果を見出してきました。(※Lambシフトの簡単な例)

　頂点部分と電子の自己エネルギー部分の有限部分を調べることで

　また大いに物理的関心をそそる予測の覆いを取ることもできます。

　それらを見るために,

　Λ_μ(ｐ',ｐ)≡(－iｅ)²ε₀^-1∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4{(－i)(ｋ²－λ²＋iε)^-1

　γ_νi(ｐ'－ｋ－ｍ＋iε)^-1γ_μi(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)^-1γ^ν}

　の具体的計算に向かいます。

 右辺の積分を実行するのには長い計算が要求されます。

　まず,電子伝播関数を有理化して,スケーリング・トリック

　によって導かれる伝播関数の分母の指数関数化,および

　公式:1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)＝(ｎ－1)!∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂..ｄｚ_n

　δ(1－Σ_iｚ_i)/(Σ_jａ_jｚ_j)ⁿを用いて分母を結合させます。

　(※Feynmanの積分公式)

　※(注2):i/ａ＝∫₀^∞ｄｚexp{i(ａｚ＋iε)}によって

　1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)＝i^-n∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂..ｄｚ_nｄｚ

　exp{i(Σ_jａ_jｚ_j＋iε)}です。

　そして,1＝∫₀^∞ｄλλ^-1δ(1－(Σ_iｚ_i)/λ)より

　1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)＝i^-n∫₀^∞ｄλλ^-1∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂..ｄｚ_nｄｚ

　δ(1－(Σ_iｚ_i)/λ)exp{i(Σ_jａ_jｚ_j＋iε)}

　＝i^-n∫₀^∞ｄλλ^n-1∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂..ｄｚ_nｄｚδ(1－Σ_iｚ_i))

　exp{iλ(Σ_jａ_jｚ_j＋iε)}　と書けます。

 ところが,Ｉ_m(ｃ)≡∫₀^∞ｄλλ^mexp{iλ(ｃ＋iε)}とおけば,

　Ｉ_m(ｃ)＝[λ^mexp{iλ(ｃ＋iε)/{i(ｃ＋iε)}} ₀^∞

　＋{iｍ/(ｃ＋iε)}∫₀^∞ｄλλ^m-1exp{iλ(ｃ＋iε)}

　＝(iｍ/ｃ)Ｉ_m-1(ｃ)＝{i²ｍ(ｍ－1)/ｃ²}Ｉ_m-2(ｃ)

　＝..＝(i^mｍ!/ｃ^m)Ｉ₀(ｃ)＝i^(m+1)ｍ!/ｃ^m+1です。

　故に,ｍ＝ｎ－1と置けば.

Ｉ_n-1(ｃ)≡∫₀^∞ｄλλ^n-1exp{iλ(ｃ＋iε)}＝iⁿ(ｎ－1)!/ｃⁿです。

　以上から,ｃ＝Σ_jａ_jｚ_jとして,

　1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)＝(ｎ－1)!∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂..ｄｚ_n

　δ(1－Σ_iｚ_i)/(Σ_jａ_jｚ_j)ⁿを得ます。　　(注2終わり)※　

 この項目では,Schwingerの異常磁気モーメント

　(anomalous magnetic moment)の導出,赤外発散の考察など,

　まだまだかなり長い計算が含まれています。

　そこで,短いのですが今日のところはここで一旦休憩します。

(参考文献): J.D.Bjorken & S.D.Drell

　"Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)