量子電磁力学の輻射補正(8)(頂点補正-2)

　輻射補正の頂点補正;Λ_μ(ｐ',ｐ)(下図)の続きです。

　頂点補正:Λ_μ(ｐ',ｐ)

　≡(－iｅ)²ε₀^-1∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4{(－i)(ｋ²－λ²＋iε)^-1

　γ_νi(ｐ'－ｋ－ｍ＋iε)^-1γ_μi(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)^-1γ^ν}

　は,

　Feynmanの積分公式:

　1/(ａ₁ａ₂..ａ_n)＝{1/(ｎ－1)!}{∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂..ｄｚ_n

　δ(1－Σ_iｚ_i)/(Σ_jａ_jｚ_j)ⁿ} を適用して切断Λを導入すると,

　次のようになります。

　すなわち,Λ_μ(ｐ',ｐ)

＝{α/(4π)}γ_μ{log(Λ²/ｍ²)＋Ｏ(1)}

＋{α/(2π)}γ_μ∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

 δ(1－Σ_i=1³ｚ_i)log[{ｍ²(1－ｚ₁) ²＋λ²ｚ₁²}

/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε}]

　－{α/(4π)}∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

 δ(1－Σ_i=1³ｚ_i)[γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₃＋ｍ}

γ_μ{ｐ(1－ｚ₃)－ｐ'z₂＋ｍ}γ^ν]

/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε}

です。

　※(注):Λ_μ(ｐ',ｐ)＝(－iｅ)²ε₀^-1

　∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4{(－i)(ｋ²－λ²＋iε)^-1γ_νi(ｐ'－ｋ－ｍ＋iε)^-1

　γ_μi(ｐ－ｋ－ｍ＋iε)^-1γ^ν}

　＝－iｅ²ε₀^-1∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4ｆ(ｋ)

　/[(ｋ²－λ²＋iε){(ｐ'－ｋ)²－ｍ²＋iε}{(ｐ－ｋ)²－ｍ²＋iε}]

　です。

　ただし,ｆ(ｋ)≡γ_ν(ｐ'－ｋ＋ｍ)γ_μ(ｐ－ｋ＋ｍ)γ^ν

　です。

　そこで,Feynman積分公式から,{(2π)⁴ε₀/(－iｅ²)}Λ_μ(ｐ',ｐ)

　＝2∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

　δ(1－ｚ_i－ｚ₂－ｚ₃)∫ｄ⁴ｋｆ(ｋ)

　/[(ｋ²－λ²)ｚ₁＋{(ｐ'－ｋ)²－ｍ²}ｚ₂＋{(ｐ－ｋ)²－ｍ²}ｚ₃＋iε]³

　＝2∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃δ(1－ｚ_i－ｚ₂－ｚ₃)

∫ｄ⁴ｋｆ(ｋ)

/{ｋ²－2ｋｐ'ｚ₂－2ｋｐｚ₃－λ²ｚ₁＋(ｐ'²－ｍ²)ｚ₂

＋(ｐ²－ｍ²)ｚ₃＋iε}³です。

　ここで,ｌ＝ｋ－ｐ'ｚ₂－ｐｚ₃⇔ｋ＝ｌ＋ｐ'ｚ₂＋ｐｚ₃として

積分変数ｋをｌに置換すれば,

ｌ²＝ｋ²－2ｋｐ'ｚ₂－2ｋｐｚ₃＋ｐ' ²ｚ₂²＋ｐ²ｚ₃²＋2ｐ'ｐｚ₂ｚ₃,

故にｋ²－2ｋｐ'ｚ₂－2ｋｐｚ₃＝ｌ²－ｐ' ²ｚ₂²－ｐ²ｚ₃²－2ｐ'ｐｚ₂ｚ₃

です。

　そして,新積分変数の文字ｌを改めて文字ｋに戻すと,

　上式の右辺

＝2∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃δ(1－ｚ_i－ｚ₂－ｚ₃)

∫ｄ⁴ｋｆ(ｋ＋ｐ'ｚ₂＋ｐｚ₃)

/{ｋ²＋(ｐ'²－ｍ²)ｚ₂(1－ｚ₂)＋(ｐ²－ｍ²)ｚ₃(1－ｚ₃)＋ｑ²ｚ₂ｚ₃

－ｍ²(1－ｚ₁)²－λ²ｚ₁＋iε}³を得ます。

　ただし,ｑ²≡(ｐ'－ｐ)²＝2ｍ²－2ｐ'ｐとし,

　－ｍ²(2ｚ₂ｚ₃＋ｚ₂²＋ｚ₃²)＝－ｍ²(ｚ₂＋ｚ₃)²＝－ｍ²(1－ｚ₁)²

　なる式変形を行ないました。

　分子の陽な形は,ｆ(ｋ＋ｐ'ｚ₂＋ｐｚ₃)

　＝γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｋ－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ

　{ｐ(1－ｚ₃)－ｋ－ｐ'ｚ₂＋ｍ}γ^νです。

　以下,具体的に右辺の積分を実行します。

　まず,ｃ≡－(ｐ'²－ｍ²)ｚ₂(1－ｚ₂)－(ｐ²－ｍ²)ｚ₃(1－ｚ₃)

　－ｑ²ｚ₂ｚ₃＋ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁と置いて４次元積分:

　∫_-∞^∞ｄ⁴ｋ{1/(ｋ²－ｃ＋iε)³}　を計算してみます。

 ∫_-∞^∞ｄ⁴ｋ{1/(ｋ²－ｃ＋iε)³}

＝∫_-∞^∞ｄ³ｋ∫_-∞^∞ｄｋ₀{1/(ｋ²－ｃ＋iε)³}ですが,ｄｋ₀部分

は,収束するなら∫_-∞^∞ｄｋ₀{1/(ｋ²－ｃ＋iε)³}

＝(1/2)(∂²/∂ｃ²)∫_-∞^∞ｄｋ₀{1/(ｋ²－ｃ＋iε)}

です。

　そして複素関数論の留数定理から,

∫_-∞^∞ｄｋ₀{1/(ｋ²－ｃ＋iε)}

＝∫_-∞^∞ｄｋ₀{1/[{ｋ₀－(|ｋ|²＋ｃ)^1/2＋iε}

{ｋ₀＋(|ｋ|²＋ｃ)^1/2－iε}]＝(－πi)/(|ｋ|²＋ｃ)^1/2

を得ます。

　それ故,∫_-∞^∞ｄｋ₀{1/(ｋ²－ｃ＋iε)³}

＝(－πi)(-1/2)(－3/2)(|ｋ|²＋ｃ)^-5/2

＝(－3πi/8)(|ｋ|²＋ｃ)^-5/2です。

　そして,∫_-∞^∞ｄ³ｋ(|ｋ|²＋ｃ)^-5/2

＝4π∫₀^∞ｄｋ{ｋ²/(ｋ²＋ｃ)^5/2}

＝4π[∫₀^∞ｄｋ{1/(ｋ²＋ｃ)^3/2}－ｃ∫₀^∞ｄｋ{1/(ｋ²＋ｃ)^5/2}]

です。

　ｋ≡|ｋ|＝ｃ^1/2ρと置けば公式集から引用できて,

∫_-∞^∞ｄ³ｋ(|ｋ|²＋ｃ)^-5/2

＝(4π/ｃ)[∫₀^∞ｄρ{1/(ρ²＋1)^3/2}－∫₀^∞ｄρ{1/(ρ²＋1)^5/2}]

＝(4π/ｃ)[Γ(1)Γ(1/2)/{2Γ(3/2)}－Γ(2)Γ(1/2)/{2Γ(5/2)}]

が得られます。

　つまり,∫_-∞^∞ｄ³ｋ(|ｋ|²＋ｃ)^-5/2＝4π/(3ｃ)です。

　以上から,結局∫_-∞^∞ｄ⁴ｋ{1/(ｋ²－ｃ＋iε)³}

＝－iπ²/(2ｃ) が得られました。

この結果と,先述のｆ(ｋ＋ｐ'ｚ₂＋ｐｚ₃)

＝γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｋ－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ

|ｐ(1－ｚ₃)－ｋ－ｐ'ｚ₂＋ｍ}γ^ν を用いて積分:

∫_-∞^∞ｄ⁴ｋｆ(ｋ＋ｐ'ｚ₂＋ｐｚ₃)/(ｋ²－ｃ＋iε)³

を評価します。

被積分関数の分子ｆ(ｋ＋ｐ'ｚ₂＋ｐｚ₃)において,"ｋに無関係

な項＝定数項"の因子に対する積分は,上記の

∫_-∞^∞ｄ⁴ｋ{1/(ｋ²－ｃ＋iε)³}＝－iπ²/(2ｃ)を(2π)^-4

倍した値に定数項を乗じたものです。

また,ｋの１次の項に対する積分は,被積分関数全体としてｋの

奇関数の寄与となるため,全ｋ空間の積分の結果として消えます。

残るｋの２次の項は,分子が

γ_νｋγ_μｋγ^ν＝－2ｋγ_μｋ＝－2ｋ_ρｋ_σγ^ργ_μγ^σ

で与えられますが,この項の

∫_-∞^∞ｄ⁴ｋｆ(ｋ＋ｐ'ｚ₂＋ｐｚ₃)/(ｋ²－ｃ＋iε)³への寄与は

明らかに(対数)発散します。

この積分については切断Λを導入して評価します。

そのため,まずｐ'²＝ｐ²＝ｍ² とします。

計算の便宜上,ｋの２次因子に対応する部分の積分ついては

Feynman積分公式を使用せず,それを得る過程での指数関数表現

に戻ります。

しかも,取りあえずは１の挿入であるδ(1－ｚ_i－ｚ₂－ｚ₃)の

寄与:ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃＝1 を考慮せず

,指数部分exp{i(Σ_jａ_jｚ_j＋iε)}のΣ_jａ_jｚ_jを元の陽な表現

に戻します。

すなわち,ｐ'²＝ｐ²＝ｍ²より,

Σ_jａ_jｚ_j＝ｋ²(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)－2ｋｐ'ｚ₂－2ｋｐｚ₃

－λ²ｚ₁＋(ｐ’²－ｍ²)ｚ₂＋(ｐ²－ｍ²)ｚ₃＋iε

＝ｋ²(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)－2ｋｐ'ｚ₂－2ｋｐｚ₃－λ²ｚ₁＋iε

です。

ここで,ｌ＝ｋ－(ｐ'ｚ₂＋ｐｚ₃)/(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)として

積分変数をｋからｌに置換すると,

Σ_jａ_jｚ_j＝ｌ²(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)－{ｍ²(ｚ₂²＋ｚ₃²)

＋2ｐ'ｐｚ₂ｚ₃}/(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)－λ²ｚ₁＋iε

＝ｌ²(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)－{ｍ²(ｚ₂＋ｚ₃)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃}

/(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)－λ²ｚ₁＋iε です。

再び,積分変数記号ｌを改めて記号ｋに戻します。

そして,先の公式:(1)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{iｋ²(ａ＋iε)

＝(16π²iａ²)^-1,(2)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4ｋ_μexp{iｋ²(ａ＋iε)}

＝0 ,  (3)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4ｋ_μｋ_νexp{iｋ²(ａ＋iε)}

＝(32π²ａ³)^-1ｇ_μν を用います。

すると,ε₀Λ_μ(ｐ',ｐ)/ｅ²のｋの２次の項は,

∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4[(－2ｋ_ρｋ_σγ^ργ_μγ^σ)exp{i(Σ_jａ_jｚ_j＋iε)}

＝∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

(8π²)^-1γ_μ(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)^-3exp[－i{ｍ²(ｚ₂＋ｚ₃)²＋ｑ²ｚ₂ｚ₃}

/(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)＋λ²ｚ₁－iε] となります。

右辺は,1＝∫₀^∞ｄγγ^-1δ(1－(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)/γ)の挿入

により∫₀^∞ｄγγ^-1∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

(8π²)^-1γ_μ(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)^-3

δ(1－(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)/γ)exp[－i{ｍ²(ｚ₂＋ｚ₃)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃}

/(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)＋λ²ｚ₁－iε] と書けます。

これは,ｚ_j→γｚ_j(ｊ＝1,2,3)の置換(scale変換)によって,

∫₀^∞ｄγγ^-1∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

(8π²)^-1γ_μ(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)^-3δ(1－ｚ_i－ｚ₂－ｚ₃)

exp[－iγ{ｍ²(ｚ₂＋ｚ₃)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃}

/(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)＋λ²ｚ₁－iε]

＝{γ_μ/(8π²)}∫₀¹ｄｚ₁∫₀^1-z1ｄｚ₂

∫₀^∞ｄγγ^-1 exp[－iγ{ｍ²(1－ｚ₁)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃＋λ²ｚ₁－iε}

となります。

ただし,最後の式ではｚ₃＝1－ｚ_i－ｚ₂です。

この段階で,切断として上式でΣ_jａ_jｚ_jの光子質量の平方:λ²

をΛ²で置き換えたもの：Σ_jａ_jｚ_jとして

ｌ²(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)²－{ｍ²(ｚ₂＋ｚ₃)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃}/(ｚ_i＋ｚ₂＋ｚ₃)

－Λ²ｚ₁＋iε としたものを,元の上式から引いて計算結果を

有限化する手続きを行います。

(※こうした有限化の手続きを正則化(regulation)と呼びます。)

すると,与式は

{γ_μ/(8π²)}∫₀¹ｄｚ₁∫₀^1-z1ｄｚ₂

∫₀^∞ｄγγ^-1(exp[－iγ{ｍ²(1－ｚ₁)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃＋λ²ｚ₁－iε}]

－exp[－iγ{ｍ²(1－ｚ₁)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃＋Λ²ｚ₁－iε}]

となります。

以前に用いた恒等式:∫₀^∞ｄｘｘ^-1{exp(iａｘ)－exp(iｂｘ)}

＝log|ｂ/ａ| (if |ａ＋ｂ|/2＞(ａ－ｂ)/2)　を用いると,

　与式＝{γ_μ/(8π²)}∫₀¹ｄｚ₁

∫₀^1-z1ｄｚ₂log({Λ²ｚ₁＋ｍ²(1－ｚ₁)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃}²

/[ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁－ｑ²ｚ₂ｚ₃])

 ＝{γ_μ/(16π²)}log(Λ²/ｍ²)

＋{γ_μ/(8π²)}∫₀¹ｄｚ₁

∫₀^1-z1ｄｚ₂log([ｍ²ｚ₁＋ｍ²{ｍ²(1－ｚ₁)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε}/Λ²}

/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁})

＋{γ_μ/(8π²)}∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃δ(1－Σ_iｚ_i)

log[{ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁}/{ｍ²(1－ｚ₁)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε}]

です。

　故に,これのΛ_μ(ｐ',ｐ)への寄与は,ｅ²/ε₀＝4πα倍して

{α/(4π)}γ_μ{log(Λ²/ｍ²)＋Ｏ(1)}

＋｛α/(2π)}γ_μ∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

δ(1－Σ_iｚ_i)log[{ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁}

/{ｍ²(1－ｚ₁)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε}] ①　です。

　また,ｆ(ｋ＋ｐ'ｚ₂＋ｐｚ₃)

＝γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｋ－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ

|ｐ(1－ｚ₃)－ｋ－ｐ'ｚ₂＋ｍ}γ^νの定数項からのΛ_μ(ｐ',ｐ)

への寄与はFeynman積分によって次のようになります。

　すなわち,(－iｅ²)ε₀^-1(－iπ²/2)(2π)^-42∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞

ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃δ(1－Σ_iｚ_i)[γ_ν

{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ{ｐ(1－ｚ₃)－ｐ'ｚ₂＋ｍ}γ^ν

/(ｃ－iε)]　です。

　これは,ｃ＝－(ｐ'²－ｍ²)ｚ₂(1－ｚ₂)

－(ｐ²－ｍ²)ｚ₃(1－ｚ₃)－ｑ²ｚ₂ｚ₃＋ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁

＝ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁－ｑ²ｚ₂ｚ₃により,

　－{α/(4π)}∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃δ(1－Σ_iｚ_i)

[γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ{ｐ(1－ｚ₃)－ｐ'ｚ₂＋ｍ}

γ^ν/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε}]　 ②

と書けます。

　そして,Λ_μ(ｐ',ｐ)＝①＋②です。(注終わり)※

　短いですが,計算チェックに疲れたのでまたまた休憩です。

　参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell

"Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)