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2011年5月16日 (月)

量子電磁力学の輻射補正(9)(頂点補正-3)

 輻射補正の頂点補正;Λμ(p',p)(下図)の続きです。

 何回か通ってきた道とはいえ,計算が複雑で手間取っています。

 前回得た式:

Λμ(p',p)={α/(4π)}γμ{log(Λ2/m2)+O(1)}

+{α/(2π)}γμ000dz1dz2dz3

δ(1-Σi=13i)log[{m2(1-z1) 2+λ212}

/{m2(1-z1)2+λ212-q223-iε}]

-{α/(4π)}∫000dz1dz2dz3

δ(1-Σi=13i)[γν{'(1-z2)-3+m}γμ

{(1-z3)-'z2+m}γν]

/{m2(1-z1)2+Λ212-q223-iε},

 

あるいは,その直前の式(全記事の※(注)を参照):

 

Λμ(p',p)={α/(4π)}γμ{log(Λ2/m2)

+{α/(2π)}γμ01dz101-z1dz2

log([m21+m2{m2(1-z1)2-q223-iε+λ212}/Λ2]

/{m2(1-z1)2+λ212-q223})

-{α/(4π)}∫000dz1dz2dz3

δ(1-Σi=13i)[γν{'(1-z2)-3+m}γμ

{(1-z3)-'z2+m}γν]

/{m2(1-z1)2+Λ212-q223-iε}

 

ら再出発です。

 

この式の段階で'の反交換性を利用して最後の項を縮めます。

 

その際,暗黙のうちにΛμ(p',p)はDiracの自由電子スピノルに

挟まれた状態で,または'が質量殻上で(つまり,外線波動関数

として)作用することを利用します。

 

これには謂わゆるGordon-Deconposition(ゴルドン分解),

すなわち,恒等式:

ψ2μ1

={1/(2m)}[ψ2~p^μψ1-(p^μψ2~)ψ1]

-{i/(2m)}p^ν2μνψ1} 

を用います。

 

ただし,σμν≡(i/2)[γμν]=(i/2)(γμγν-γνγμ)

です。

 

また,p^μ=i∂μ=i(∂/∂xμ)=(i(∂/∂t),i∇),

p^μ=(i(∂/∂t),-i∇)であり,ψ12は自由Dirac方程式の解:

(^-m)ψj=0 (j=1,2),そして,

σμν≡(i/2)(γμγν-γνγμ)] です。

 

(↑※テキスト(Bjorken-Drell Mechanics)第3章を参照)

 

これらによって,最後の積分項:

-{α/(4π)}∫000dz1dz2dz3

δ(1-Σi=13i)[γν{'(1-z2)-1+m}γμ

{(1-z1)-pz1+m}γν]

/{m2(1-z1)2+Λ212-q223-iε}

の被積分関数における分子は次のようになります。

 

すなわち,

γν{'(1-z2)-1+m}γμ{(1-z1)-pz1+m}γν

=-γμ[2m2(1-4z1+z12)+2q2(1-z1)(1-z2)

-2mz12[μ] となります。ただしq≡p'-pです。

 

(注1):まず,Gordon-Deconposition:

ψ2μ1={1/(2m)}[ψ2~p^μψ1-(p^μψ2~)ψ1]

-{i/(2m)}p^ν2μνψ1};σμν≡(i/2)(γμγν-γνγμ)

を証明します。

 

(証明) 自由 Dirac方程式(^-m)ψ2=(γμp^μ-m)ψ2

=(iγμμ-m)ψ2=0 のHermite共役を取れば

-i∂μψ2γμ+-mψ2=0  です。

 

 右からγ0を掛けると,(γ0)-1=γ0,かつ,γ0γμ+γ0=γμ

ですから.(

-i∂μψ2μ―mψ2~)=(-p^μψ2μ-mψ2~)=0

を得ます。

 

 他方,μp^μ-m)ψ1=0 です。

 

 それ故,aμを任意の4元ベクトルとして,

 0=(-p^μψ2μ-m)ψ1+ψ2~(p^νγν-m)ψ1

 =―2mψ2~ψ1+ψ2~aμp^νγμγνψ1

 -aν(p^μψ2~)γμγνψ1  

 が成立します。

 

 ただし,=aμγμです。

 

 そして,任意の4元ベクトルaμ,bμに対して公式:

 ab=aμνγμγν=aμν

 ×[(1/2){(γμγν+γνγμ)+(γμγν-γνγμ)}

 =aμμ-iaμνσμν 

 が成立します。

 

 これは,aμ,またはbμが微分演算子p^νである場合にも成立

 するので,aμp^νγμγν=aμp^μ-iaμp^νσμν

 と書けます。

 

 故に,2mψ2~ψ1=aμ2~p^μψ1-(p^μψ2~)ψ1μ}

 -iaμ2μνp^νψ1+iaν(p^μψ2~)σμνψ1}

 が成立します。

 

 したがって,2maμψ2μψ1

 =aμ2~p^μψ1-(p^μψ2~)ψ1μ-ip^ν2μνψ1}]

 を得ます。

 

 μは任意の定ベクトルであったので,これを除いた係数のみ

 で等式が成立します。

 

 そして,その両辺を2mで割ると求める

 ψ2μψ1={1/(2m)}[ψ2~p^μψ1-(p^μψ2~)ψ1]

 -{i/(2m)}p^ν2μνψ1} が得られます。(証明終わり)

 

 さて,

γν{'(1-z2)-3+m}γμ{(1-z3)-'z2+m}γν

 を簡単にすることを考えます。

 

 まず,(1-z2)(1-z3)の係数は

γνμγν=-2γμ'であり,

23の係数はγνγμν=-2μ

 です。

 

 γνγμ',γν=-2μはこのままで,

γνμγν=-2γμ'の右辺の'を反交換

させます。

 

 pγμ'=2pμ'-γμpp'

= 2pμ'-2γμpp'+ γμ'

 =2pμ'-2γμpp'+2p'μμです。

 

 これら反交換操作を行なう目的は,今の左から'=mの波動関数

右から=mの波動関数で挟む場合に,',のそれぞれをmと

同一視できるようにするためです。

 

 次に,-z2(1-z2)の係数については

γνμν =-2μ'

=-4p'μ'+2 γμ''=-4p'μ'+2γμp'2

 です。

 

 同様に,-z3(1-z3)の係数は

γνγμγν=-4pμ+2γμ2 となります。

 

 最後に,γνμγν=γνγμν=4p'μ,および.

  γνγμγν=γνγμγν=4pμ,

そしてγνγμγν=-2γμ です。

 

 以上から,

γν{'(1-z2)-3+m}γμ{(1-z3)-'z2+m}γν

 =-2(1-z2)(1-z3)(2pμ'-2γμpp'+2p'μμ)

-2z23μ+2z2(1-z2)( 2p'μ'-γμp'2)

+2z3(1-z3)( 2pμ-γμ2)

+4m(1-z2)p'μ+4m(1-z3)pμ

 -4mz2p'μ-4mz3μ-2m2γμ

 

 となって少し簡単になります。

 

 この式で,左側からは'=m,右側からは=mとして,

さらにp'2=p2=m2を用いると,

 

 与式=-2(1-z2)(1-z3)(2mpμ-2γμpp'+2mp'μ-m2γμ)

-2z232γμ+2z2(1-z2)( 2mp'μ-m2γμ)

+2z3(1-z3)( 2mpμ-m2γμ)+4m(1-z2)p'μ

 +4m(1-z3)pμ-4mz2p'μ-4mz3μ-2m2γμ 

 と書けます。

 

 ここで,μ≡p'μ+pμ,qμ≡p'μ-pμとおけば,

今の'==mを満たすDiracの自由波動関数で挟むときには,

2+q2=4m2より,P2=4m2-q2 です。

 

 さらに,先のGordon-Deconposition:

ψ2μψ1={1/(2m)}[ψ2~p^μψ1-(p^μψ2~)ψ1]

-{i/(2m)}p^ν2σμνψ1} を用います。

 

 今のケースでは,これは2mγμ=(p+p')+i(p'-p)σμν.

つまり,2mγμ=Pμ+iqνσμν を意味します。

 

 よって,p'μ=(μ+qμ)/2,pμ=(μ-qμ)/2を代入し,

その後でμ=2mγμ-iqνσμν を用います。

 

 すると,与式=(P+q)(P-q)γμ(1-z2)(1-z3)

-2m(Pμ-qμ)(1-z2)(1-z3)-2m(Pμ+qμ)(1-z2)(1-z3)

+2m2γμ(1-z2)(1-z3)

-2z232γμ+2m(Pμ-qμ)(z3-z32)

+2m(Pμ+qμ)(z2-z22)-2m2γμ(z2-z22+z3-z32)

+2m(1-2z2)(Pμ+qμ)+2m(1-2z3)(Pμ-qμ)-2m2γμ

 

=(P2-q2μ(1-z2)(1-z3)-4mPμ(1-z2)(1-z3)

+2m2γμ(1-z2)(1-z3)-2z232γμ

 +2mPμ(z3-z32+z2-z22)+2mqμ(z2-z22-z3+z32)

-2m2γμ(z2-z22+z3-z32)+4mPμ(1-z2-z3)

+2mqμ(-2z2+2z3)-2m2γμ

 

 ここで,P2-q2=4m2-2q2,

 -4mPμ(1-z2)(1-z3)

=-4m2(1-z2)(1-z3)+4imqνσμν(1-z2)(1-z3),

4mPμ(1-z2-z3)=4mz1μ

 =8m21γμ-4imqνσμν1,

 

 および,-2m2γμ(1-z2)(1-z3)-2z232γμ

 +4m2γμ(z3-z32+z2-z22)-2m2γμ(z2-z22+z3-z32)

+8m21γμ-2m2γμ

 =2m2γμ(-z1-2z23+z2+z3-z22-z32+4z1-1)

=2m2γμ(2z1-z22-2z23-z32)

=2m2γμ{2z1-(1-z1)2}

より,

 

 与式=-2q2γμ(1-z2)(1-z3)+2m2γμ(4z1-1-12)

+4imqνσμν(1-z2)(1-z3)

2imqνσμν(z3-z32+z2-z22)-4imqνσμν1

 +2mqμ(z2-z22-z3+z32-2z2+2z3)

となります。

 

 よって,

与式=-2q2γμ(1-z2)(1-z3)-2m2γμ(1-4z1+z12)

-mz1(z2+z3)[μ]+2mqμ(z3-z2)(z3+z2-1)

です。

 

 ただし,σμνに関わる項では,

  2iqνσμν=2iqνσμν=qνμν]

=[γμ,]=-[μ]  なる式変形をしました。

 

 ところで,∫000dz1dz2dz3の積分の中では上式

を分子とする項の分母:{m2(1-z1)2+Λ212-q223-iε},

およびデルタ関数の因子:δ(1-Σi=13i)は共にz2とz3の交換

について対称です。

 

 そこで,積分後には分子(=与式)のうちで,

{(z2-z3)の1次の項}×(z2とz3について対称項)の項の寄与

は消えます。

 

 また,z12とz13の積分後の値は同一ですから,

1(z2+z3)は2z12と同一視してよいことになります。

 

 あるいは,z1(z2+z3)に,寄与がゼロのz1(z2-z3)を加えた

と考えても同じです。

 

 以上から,

γν{'(1-z2)-3+m}γμ{(1-z3)-'z2+m}γν

 =-γμ{2m2(1-4z1+z12)+2q2(1-z2)(1-z3)}

-2mz12[μ]

と書けることがわかります。  (注1終わり)※

 

 さて,z1にわたる積分は非常に難しいものです。しかし,

  その解析的な計算結果は多くの場所で得られ参照されています。

 

 ここでは,|q2|<<m2,または|q2|>>m2のいずれかの制限下

での計算のみを対象として考察します。

 

 まず,|q2|<<m2の場合の計算は直線的で,オーダーq2まででは

次の結果が得られます。

 

 すなわち,

γμ+Λcμ(p',p)

~ γμ[1+{α/(3π)}(q2/m2)

 ×{log(m/λ)-3/8]+{α/(8πm)}[μ]

 です。

 

(※Λcμ(p',p)は切断(cut-off)された頂点補正

 (vertex-correction)の部分で,

 Λμ(p',p)=(Z1-1-1)γμ+Λcμ(p',p)

 です。

 

 くりこみ理論では,真の頂点部分:

 Γμ(p',p)=γμΛμ(p',p)=1-1Γcμ(p',p)

 =Z1-1μ+Λcμ(p',p)}  という定式化です。)

 

※(注2):最初に述べたように,

 

 Λμ(p',p)

 ={α/(4π)}γμlog(Λ2/m2)

 +{α/(2π)}γμ01dz101-z1dz2

 log([m21+m2{m2(1-z1)2-q223-iε}/Λ2]

 /{m2(1-z1)2+λ21-q223-iε})

 -{α/(4π)}∫000dz1dz2dz3

 δ(1-Σi=13i)[γν{'(1-z2)-3+m}γμ

 {(1-z3)-'z2+m}γν]

 /{m2(1-z1)2+Λ212-q223-iε} 

 です。

 

 |q2|<<m2の場合を想定して,ζ≡q2/m2としu=1-z1

 とおけば,

 

 Λμ(p',p)

 ~ {α/(4π)}γμ{log(Λ2/m2)

 +{α/(2π)}γμ01du∫0udz2log[(1-u)

 /{u 2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)+ζz22-ζuz22}]

 

 -{α/(4π)}∫01du∫0udz2(-2γμ)

 {(u2+2u―2)+ζ(1-u)-ζz22+ζuz22}

 /{u 2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)+ζz22-ζuz22}

 +{ε0α/(4π)}[μ]∫01du∫0udz2{u(1-u)}

 /{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}  

 です。 

 

 上式の右辺2項×(2π/α)γμ-1

 =∫01du∫0udz2

 log[(1-u)/{u 2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)+ζz22-ζuz22}]

 =∫01ulog(1-u)du

 -∫01ulog{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}du

 +∫01du[(ζz23/3-ζuz22/2)

 /{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}] 0u

 

 =[(1/2)(u2-1) log(1-u)-u2/4-u/2]01

 -[{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}log{u2

 -(λ2/m2)u+(λ2/m2)}-(1/2){u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}]01

 -{λ2/(2m2)}∫01log{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}du

 +(ζ/6)∫01duu2/{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}

 

 =-3/4+1/2+(ζ/6)∫01udu+O(λ2/m2)

 ~ -1/4+ζ/12 です。

 

 また,右辺第3項×(-4π/α)(-2γμ)-1

 =∫01du∫0udz2

 [-1+{2u2+(2-ζ-m22)u-(2-ζ-m22)}

 /{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}

 -{2u2+(2-ζ-m22)u-(2-ζ-m22)}

 (ζz22-ζuz2)/{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}]

 

 ~ [-u2/2]01+(1+ζ/6)01du[{2u2+(2-ζ-m22)}u

 /{u2-(λ2/m2)}]+O(ζ,λ2/m2)

 ~ -1/2+(1+ζ/6)01(2u+2-ζ)du

-(1+ζ/6)01[(2-ζ)/{u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)}]du

+O(ζ,λ2/m2)

 

= -1/2+1+ζ/6+2-ζ+ζ/3

-(1/2)(2-2ζ/3)[log|u2-(λ2/m2)u+(λ2/m2)|]01

 +O(ζ,λ2/m2)

 

5/2-ζ/2+(1-ζ/3)log(λ2/m2)

です。

 

 右辺第4項×(4π/α)[μ]-1

 =∫01du∫0udz2{(1-u)/u}+O(ζ,λ2/m2)

~∫01du(u-1)=[u2-u/2]011/2 です。

 

 故に,第2項+第3項+第4項

{α/(4π)}γμ

 [-1/2+ζ/6+10/2-ζ+2log(λ2/m2)-(2ζ/3)log(λ2/m2)]

+{α/(8πm)}[μ]

 

=-{α/(4π)}γμ[-9/2+5ζ/6+2log(m22)

-(4ζ/3)log(m/λ)+{α/(8πm)}[μ]

となります。

  

したがって,第1項+第2項+第3項+第4項

[{α/(4π)}{log(Λ2/m2)+9/2-2log(m22)}

+{α/(3π)}(q2/m2){2log(m/λ)-5/8}]γμ

 +{α/(8πm)}[μ]

を得ます。

 

ここでZ1-1-1={α/(2π)}{log(Λ/m)+9/4-2log(m/λ)}

{α/(4π)}{log(Λ2/m2)+9/2-2log(m22)}

を用いると,

 

Λμ(p',p)

~(Z1-1-1)γμ+γμ{α/(3π)}(q2/m2){log(m/λ)-5/8]

+{α/(8πm)}[μ]

と書けます。

 

Λμ(p',p)=(Z1-1-1)γμ+Λcμ(p',p)ですから,

γμ+Λcμ(p',p) ~ γμ[1+{α/(3π)}(q2/m2)

{log(m/λ)-5/8]+{α/(8πm)}[μ]

が得られました。

 

しかし,証明すべきγμ+Λcμ(p',p)

~ γμ[1+{α/(3π)}(q2/m2){log(m/λ)-3/8]

+{α/(8πm)}[μ]とは

{α/(3π)}(q2/m2)の係数(-3/8)と(-5/8)が微妙に

くい違っています。

 

どこか計算ミスかな??

 

Schwingerの異常磁気モーメントに寄与するのは最後の項:

{α/(8πm)}[μ]なので,これが間違っていなければ,

他は主として定性的な理論の話には取り合えずは影響無し

ですが。。  (注2終わり)※

 

短いですが,かなり疲れたので休憩です。 

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)

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114 . 場理論・QED」カテゴリの記事

コメント

(4ζ/3)log(m/λ)+{α/(8πm)}[q,γμ] ⇨ (4ζ/3)log(m/λ)]+{α/(8πm)}[q,γμ]
{log(m/λ)-5/8]+{α/(8πm)}[q,γμ] ⇨ {log(m/λ)-5/8}+{α/(8πm)}[q,γμ]
{log(m/λ)-5/8]+{α/(8πm)}[q,γμ] ⇨ {log(m/λ)-5/8}]+{α/(8πm)}[q,γμ]
{α/(3π)}(q2/m2){log(m/λ)-3/8]+{α/(8πm)} ⇨ {α/(3π)}(q2/m2){log(m/λ)-3/8}]+{α/(8πm)}

投稿: hirota | 2013年5月11日 (土) 21時19分

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