量子電磁力学の輻射補正(9)(頂点補正-3)

　輻射補正の頂点補正;Λ_μ(ｐ',ｐ)(下図)の続きです。

　何回か通ってきた道とはいえ,計算が複雑で手間取っています。

　前回得た式:

Λ_μ(ｐ',ｐ)＝{α/(4π)}γ_μ{log(Λ²/ｍ²)＋Ｏ(1)}

＋{α/(2π)}γ_μ∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

δ(1－Σ_i=1³ｚ_i)log[{ｍ²(1－ｚ₁) ²＋λ²ｚ₁²}

/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε}]

－{α/(4π)}∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

δ(1－Σ_i=1³ｚ_i)[γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ

{ｐ(1－ｚ₃)－ｐ'ｚ₂＋ｍ}γ^ν]

/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋Λ²ｚ₁²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε},

あるいは,その直前の式(全記事の※(注)を参照):

Λ_μ(ｐ',ｐ)＝{α/(4π)}γ_μ{log(Λ²/ｍ²)

＋{α/(2π)}γ_μ∫₀¹ｄｚ₁∫₀^1-z1ｄｚ₂

log([ｍ²ｚ₁＋ｍ²{ｍ²(1－ｚ₁)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε＋λ²ｚ₁²}/Λ²]

/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁²－ｑ²ｚ₂ｚ₃})

－{α/(4π)}∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

δ(1－Σ_i=1³ｚ_i)[γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ

{ｐ(1－ｚ₃)－ｐ'ｚ₂＋ｍ}γ^ν]

/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋Λ²ｚ₁²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε}

から再出発です。

この式の段階でｐとｐ'の反交換性を利用して最後の項を縮めます。

その際,暗黙のうちにΛ_μ(ｐ',ｐ)はDiracの自由電子スピノルに

挟まれた状態で,ｐまたはｐ'が質量殻上で(つまり,外線波動関数

として)作用することを利用します。

これには謂わゆるGordon-Deconposition(ゴルドン分解),

すなわち,恒等式:

ψ₂~γ^μ^ψ₁

＝{1/(2ｍ)}[ψ₂~ｐ^^μψ₁－(ｐ^^μψ₂~)ψ₁]

－{i/(2ｍ)}ｐ^_ν{ψ₂~σ^μνψ₁}　

を用います。

ただし,σ^μν≡(i/2)[γ^μ,γ^ν]＝(i/2)(γ^μγ^ν－γ^νγ^μ)

です。

また,ｐ^_μ＝i∂_μ＝i(∂/∂ｘ^μ)＝(i(∂/∂ｔ),i∇),

ｐ^^μ＝(i(∂/∂ｔ),-i∇)であり,ψ₁,ψ₂は自由Dirac方程式の解:

(ｐ^－ｍ)ψ_j＝0 (ｊ＝1,2),そして,

σ^μν≡(i/2)(γ^μγ^ν－γ^νγ^μ)]　です。

(↑※テキスト(Bjorken-Drell Mechanics)第３章を参照)

これらによって,最後の積分項:

－{α/(4π)}∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

δ(1－Σ_i=1³ｚ_i)[γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₁＋ｍ}γ_μ

{ｐ(1－ｚ₁)－ｐｚ₁＋ｍ}γ^ν]

/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋Λ²ｚ₁²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε}

の被積分関数における分子は次のようになります。

すなわち,

γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₁＋ｍ}γ_μ{ｐ(1－ｚ₁)－ｐｚ₁＋ｍ}γ^ν

＝－γ_μ[2ｍ²(1－4ｚ₁＋ｚ₁²)＋2ｑ²(1－ｚ₁)(1－ｚ₂)

－2ｍｚ₁ｚ₂[ｑ,γ_μ]　となります。ただしｑ≡ｐ'－ｐです。

※(注1):まず,Gordon-Deconposition:

ψ₂~γ^μ^ψ₁＝{1/(2ｍ)}[ψ₂~ｐ^^μψ₁－(ｐ^^μψ₂~)ψ₁]

－{i/(2ｍ)}ｐ^_ν{ψ₂~σ^μνψ₁};σ^μν≡(i/2)(γ^μγ^ν－γ^νγ^μ)

を証明します。

(証明) 自由 Dirac方程式(ｐ^－ｍ)ψ₂＝(γ^μｐ^_μ－ｍ)ψ₂

＝(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψ₂＝0 のHermite共役を取れば

－i∂_μψ₂^＋γ^μ＋－ｍψ₂^＋＝0 　です。

 右からγ⁰を掛けると,(γ⁰)^-1＝γ⁰,かつ,γ⁰γ^μ+γ⁰＝γ^μ

ですから.(

－i∂_μψ₂~γ^μ―ｍψ₂~)＝(－ｐ^_μψ₂~γ^μ－ｍψ₂~)＝0

を得ます。

　他方,(γ^μｐ^_μ－ｍ)ψ₁＝0 です。

　それ故,ａ_μを任意の４元ベクトルとして,

 0＝(－ｐ^_μψ₂~γ^μ－ｍ)ａψ₁＋ψ₂~ａ(ｐ^_νγ^ν－ｍ)ψ₁

　＝―2ｍψ₂~ａψ₁＋ψ₂~ａ_μｐ^_νγ^μγ^νψ₁

　－ａ_ν(ｐ^_μψ₂~)γ^μγ^νψ₁

　が成立します。

　ただし,ａ＝ａ_μγ^μです。

　そして,任意の４元ベクトルａ_μ,ｂ_μに対して公式:

 ａｂ＝ａ_μｂ_νγ^μγ^ν＝ａ_μｂ_ν

　×[(1/2){(γ^μγ^ν＋γ^νγ^μ)＋(γ^μγ^ν－γ^νγ^μ)}

　＝ａ_μｂ^μ－iａ_μｂ_νσ^μν

　が成立します。

　これは,ａ_μ,またはｂ_μが微分演算子ｐ^_νである場合にも成立

　するので,ａ_μｐ^_νγ^μγ^ν＝ａ_μｐ^^μ－iａ_μｐ^_νσ^μν

　と書けます。

 故に,2ｍψ₂~ａψ₁＝ａ^μ{ψ₂~ｐ^^μψ₁－(ｐ^^μψ₂~)ψ₁^μ}

　－iａ_μ{ψ₂~σ^μνｐ^_νψ₁＋iａ_ν(ｐ^_μψ₂~)σ^μνψ₁}

　が成立します。

 したがって,2ｍａ_μψ₂~γ^μψ₁

　＝ａ^μ[ψ₂~ｐ^^μψ₁－(ｐ^^μψ₂~)ψ₁^μ－iｐ^_ν{ψ₂~σ^μνψ₁}]

　を得ます。

 ａ_μは任意の定ベクトルであったので,これを除いた係数のみ

　で等式が成立します。

 そして,その両辺を2ｍで割ると求める

　ψ₂~γ^μψ₁＝{1/(2ｍ)}[ψ₂~ｐ^^μψ₁－(ｐ^^μψ₂~)ψ₁]

　－{i/(2ｍ)}ｐ^_ν{ψ₂~σ^μνψ₁}　が得られます。(証明終わり)

 さて,

γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ{ｐ(1－ｚ₃)－ｐ'ｚ₂＋ｍ}γ^ν

 を簡単にすることを考えます。

 まず,(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)の係数は

γ_νｐ'γ_μｐγ^ν＝－2ｐγ_μｐ'であり,

ｚ₂ｚ₃の係数はγ_νｐγ_μｐ'γ^ν＝－2ｐ'γ_μｐ

 です。

 γ_νｐγ_μｐ',γ^ν＝－2ｐ'γ_μｐはこのままで,

γ_νｐ'γ_μｐγ^ν＝－2ｐγ_μｐ'の右辺のｐとｐ'を反交換

させます。

　ｐγ_μｐ'＝2ｐ_μｐ'－γ_μｐｐ'

＝ 2ｐ_μｐ'－2γ_μｐｐ'＋ γ_μｐ'ｐ

 ＝2ｐ_μｐ'－2γ_μｐｐ'＋2ｐ'_μｐ－ｐ'γ_μｐ です。

　これら反交換操作を行なう目的は,今の左からｐ'＝ｍの波動関数

右からｐ＝ｍの波動関数で挟む場合に,ｐ',ｐのそれぞれをｍと

同一視できるようにするためです。

 次に,－ｚ₂(1－ｚ₂)の係数については

γ_νｐ'γ_μｐ'γ^ν ＝－2ｐ'γ_μｐ'

＝－4ｐ'_μｐ'＋2 γ_μｐ'ｐ'＝－4ｐ'_μｐ'＋2γ_μｐ'²

 です。

 同様に,－ｚ₃(1－ｚ₃)の係数は

γ_νｐγ_μｐγ^ν＝－4ｐ_μｐ＋2γ_μｐ² となります。

 最後に,γ_νｐ'γ_μγ^ν＝γ_νγ_μｐ'γ^ν＝4ｐ'_μ,および.

  γ_νｐγ_μγ^ν＝γ_νγ_μｐγ^ν＝4ｐ_μ,

そしてγ_νγ_μγ^ν＝－2γ_μ です。

　以上から,

γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ{ｐ(1－ｚ₃)－ｐ'ｚ₂＋ｍ}γ^ν

 ＝－2(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)(2ｐ_μｐ'－2γ_μｐｐ'＋2ｐ'_μｐ－ｐ'γ_μｐ)

－2ｚ₂ｚ₃ｐ'γ_μｐ＋2ｚ₂(1－ｚ₂)( 2ｐ'_μｐ'－γ_μｐ'²)

＋2ｚ₃(1－ｚ₃)( 2ｐ_μｐ－γ_μｐ²)

＋4ｍ(1－ｚ₂)ｐ'_μ＋4ｍ(1－ｚ₃)ｐ_μ

 －4ｍｚ₂ｐ'_μ－4ｍｚ₃ｐ_μ－2ｍ²γ_μ

 となって少し簡単になります。

　この式で,左側からはｐ'＝ｍ,右側からはｐ＝ｍとして,

さらにｐ'²＝ｐ²＝ｍ²を用いると,

　与式＝－2(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)(2ｍｐ_μ－2γ_μｐｐ'＋2ｍｐ'_μ－ｍ²γ_μ)

－2ｚ₂ｚ₃ｍ²γ_μ＋2ｚ₂(1－ｚ₂)( 2ｍｐ'_μ－ｍ²γ_μ)

＋2ｚ₃(1－ｚ₃)( 2ｍｐ_μ－ｍ²γ_μ)＋4ｍ(1－ｚ₂)ｐ'_μ

 ＋4ｍ(1－ｚ₃)ｐ_μ－4ｍｚ₂ｐ'_μ－4ｍｚ₃ｐ_μ－2ｍ²γ_μ 

 と書けます。

 ここで,Ｐ_μ≡ｐ'_μ＋ｐ_μ,ｑ_μ≡ｐ'_μ－ｐ_μとおけば,

今のｐ'＝ｐ＝ｍを満たすDiracの自由波動関数で挟むときには,

Ｐ²＋ｑ²＝4ｍ²より,Ｐ²＝4ｍ²－ｑ² です。

 さらに,先のGordon－Deconposition:

ψ₂~γ^μψ₁＝{1/(2ｍ)}[ψ₂~ｐ^^μψ₁－(ｐ^^μψ₂~)ψ₁]

－{i/(2ｍ)}ｐ^_ν{ψ₂σ^μνψ₁} を用います。

 今のケースでは,これは2ｍγ^μ＝(ｐ＋ｐ')＋i(ｐ'－ｐ)σ^μν.

つまり,2ｍγ^μ＝Ｐ^μ＋iｑ_νσ^μν を意味します。

 よって,ｐ'_μ＝(Ｐ_μ＋ｑ_μ)/2,ｐ_μ＝(Ｐ_μ－ｑ_μ)/2を代入し,

その後でＰ_μ＝2ｍγ_μ－iｑ_νσ_μ^ν を用います。

 すると,与式＝(Ｐ＋ｑ)(Ｐ－ｑ)γ_μ(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)

－2ｍ(Ｐ_μ－ｑ_μ)(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)－2ｍ(Ｐ_μ＋ｑ_μ)(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)

＋2ｍ²γ_μ(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)

－2ｚ₂ｚ₃ｍ²γ_μ＋2ｍ(Ｐ_μ－ｑ_μ)(ｚ₃－ｚ₃²)

＋2ｍ(Ｐ_μ＋ｑ_μ)(ｚ₂－ｚ₂²)－2ｍ²γ_μ(ｚ₂－ｚ₂²＋ｚ₃－ｚ₃²)

＋2ｍ(1－2ｚ₂)(Ｐ_μ＋ｑ_μ)＋2ｍ(1－2ｚ₃)(Ｐ_μ－ｑ_μ)－2ｍ²γ_μ

＝(Ｐ²－ｑ²)γ_μ(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)－4ｍＰ_μ(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)

＋2ｍ²γ_μ(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)－2ｚ₂ｚ₃ｍ²γ_μ

 ＋2ｍＰ_μ(ｚ₃－ｚ₃²＋ｚ₂－ｚ₂²)＋2ｍｑ_μ(ｚ₂－ｚ₂²－ｚ₃＋ｚ₃²)

－2ｍ²γ_μ(ｚ₂－ｚ₂²＋ｚ₃－ｚ₃²)＋4ｍＰ_μ(1－ｚ₂－ｚ₃)

＋2ｍｑ_μ(－2ｚ₂＋2ｚ₃)－2ｍ²γ_μ

　ここで,Ｐ²－ｑ²＝4ｍ²－2ｑ²,

 －4ｍＰ_μ(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)

＝－4ｍ²(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)＋4iｍｑ_νσ_μ^ν(1－ｚ₂)(1－ｚ₃),

4ｍＰ_μ(1－ｚ₂－ｚ₃)＝4ｍｚ₁Ｐ_μ

 ＝8ｍ²ｚ₁γ_μ－4iｍｑ_νσ_μ^νｚ₁,

　および,－2ｍ²γ_μ(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)－2ｚ₂ｚ₃ｍ²γ_μ

 ＋4ｍ²γ_μ(ｚ₃－ｚ₃²＋ｚ₂－ｚ₂²)－2ｍ²γ_μ(ｚ₂－ｚ₂²＋ｚ₃－ｚ₃²)

＋8ｍ²ｚ₁γ_μ－2ｍ²γ_μ

 ＝2ｍ²γ_μ(－ｚ₁－2ｚ₂ｚ₃＋ｚ₂＋ｚ₃－ｚ₂²－ｚ₃²＋4ｚ₁－1)

＝2ｍ²γ_μ(2ｚ₁－ｚ₂²－2ｚ₂ｚ₃－ｚ₃²)

＝2ｍ²γ_μ{2ｚ₁－(1－ｚ₁)²}

より,

　与式＝－2ｑ²γ_μ(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)＋2ｍ²γ^μ(4ｚ₁－1－ｚ₁²)

＋4iｍｑ_νσ_μ^ν(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)

－2iｍｑ_νσ_μ^ν(ｚ₃－ｚ₃²＋ｚ₂－ｚ₂²)－4iｍｑ_νσ_μ^νｚ₁

 ＋2ｍｑ_μ(ｚ₂－ｚ₂²－ｚ₃＋ｚ₃²－2ｚ₂＋2ｚ₃)

となります。

　よって,

与式＝－2ｑ²γ_μ(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)－2ｍ²γ^μ(1－4ｚ₁＋ｚ₁²)

－ｍｚ₁(ｚ₂＋ｚ₃)[ｑ,γ_μ]＋2ｍｑ_μ(ｚ₃－ｚ₂)(ｚ₃＋ｚ₂－1)

です。

　ただし,σ_μ^νに関わる項では,

  2iｑ_νσ_μ^ν＝2iｑ^νσ_μν＝ｑ^ν[γ_μ,γ_ν]

＝[γ_μ,ｑ]＝－[ｑ,γ_μ]  なる式変形をしました。

 ところで,∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃の積分の中では上式

を分子とする項の分母:{ｍ²(1－ｚ₁)²＋Λ²ｚ₁²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε},

およびデルタ関数の因子:δ(1－Σ_i=1³ｚ_i)は共にｚ₂とｚ₃の交換

について対称です。

 そこで,積分後には分子(＝与式)のうちで,

{(ｚ₂－ｚ₃)の１次の項}×(ｚ₂とｚ₃について対称項)の項の寄与

は消えます。

 また,ｚ₁ｚ₂とｚ₁ｚ₃の積分後の値は同一ですから,

ｚ₁(ｚ₂＋ｚ₃)は2ｚ₁ｚ₂と同一視してよいことになります。

 あるいは,ｚ₁(ｚ₂＋ｚ₃)に,寄与がゼロのｚ₁(ｚ₂－ｚ₃)を加えた

と考えても同じです。

 以上から,

γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ{ｐ(1－ｚ₃)－ｐ'ｚ₂＋ｍ}γ^ν

 ＝－γ_μ{2ｍ²(1－4ｚ₁＋ｚ₁²)＋2ｑ²(1－ｚ₂)(1－ｚ₃)}

－2ｍｚ₁ｚ₂[ｑ,γ_μ]

と書けることがわかります。  (注1終わり)※

　さて,ｚ₁にわたる積分は非常に難しいものです。しかし,

  その解析的な計算結果は多くの場所で得られ参照されています。

　ここでは,|ｑ²|＜＜ｍ²,または|ｑ²|＞＞ｍ²のいずれかの制限下

での計算のみを対象として考察します。

　まず,|ｑ²|＜＜ｍ²の場合の計算は直線的で,オーダーｑ²まででは

次の結果が得られます。

　すなわち,

γ_μ＋Λ^c_μ(ｐ',ｐ)

～ γ_μ[1＋{α/(3π)}(ｑ²/ｍ²)

　×{log(ｍ/λ)－3/8]＋{α/(8πｍ)}[ｑ,γ_μ]

　です。

(※Λ^c_μ(ｐ',ｐ)は切断(cut-off)された頂点補正

　(vertex-correction)の部分で,

　Λ_μ(ｐ',ｐ)＝(Ｚ₁^-1－1)γ_μ＋Λ^c_μ(ｐ',ｐ)

　です。

　くりこみ理論では,真の頂点部分:

　Γ_μ(ｐ',ｐ)＝γ_μ＋Λ_μ(ｐ',ｐ)＝Ｚ₁^-1Γ^c_μ(ｐ',ｐ)

　＝Ｚ₁^-1{γ_μ＋Λ^c_μ(ｐ',ｐ)}　　という定式化です。)

※(注2):最初に述べたように,

　Λ_μ(ｐ',ｐ)

　＝{α/(4π)}γ_μlog(Λ²/ｍ²)

　＋{α/(2π)}γ_μ∫₀¹ｄｚ₁∫₀^1-z1ｄｚ₂

　log([ｍ²ｚ₁＋ｍ²{ｍ²(1－ｚ₁)²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε}/Λ²]

　/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋λ²ｚ₁－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε})

　－{α/(4π)}∫₀^∞∫₀^∞∫₀^∞ｄｚ₁ｄｚ₂ｄｚ₃

　δ(1－Σ_i=1³ｚ_i)[γ_ν{ｐ'(1－ｚ₂)－ｐｚ₃＋ｍ}γ_μ

　{ｐ(1－ｚ₃)－ｐ'ｚ₂＋ｍ}γ^ν]

　/{ｍ²(1－ｚ₁)²＋Λ²ｚ₁²－ｑ²ｚ₂ｚ₃－iε} 

　です。

 |ｑ²|＜＜ｍ²の場合を想定して,ζ≡ｑ²/ｍ²としｕ＝1－ｚ₁

　とおけば,

 Λ_μ(ｐ',ｐ)

　～ {α/(4π)}γ_μ{log(Λ²/ｍ²)

　＋{α/(2π)}γ_μ∫₀¹ｄｕ∫₀^uｄｚ₂log[(1－ｕ)

　/{ｕ ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)＋ζｚ₂²－ζｕｚ₂²}]

　－{α/(4π)}∫₀¹ｄｕ∫₀^uｄｚ₂(－2γ_μ)

　{(ｕ²＋2ｕ―2)＋ζ(1－ｕ)－ζｚ₂²＋ζｕｚ₂²}

　/{ｕ ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)＋ζｚ₂²－ζｕｚ₂²}

　＋{ε₀α/(4π)}[ｑ,γ_μ]∫₀¹ｄｕ∫₀^uｄｚ₂{ｕ(1－ｕ)}

　/{ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}　　

　です。　

　上式の右辺２項×(2π/α)γ_μ^-1

　＝∫₀¹ｄｕ∫₀^uｄｚ₂

　log[(1－ｕ)/{ｕ ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)＋ζｚ₂²－ζｕｚ₂²}]

　＝∫₀¹ｕlog(1－ｕ)ｄｕ

　－∫₀¹ｕlog{ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}ｄｕ

　＋∫₀¹ｄｕ[(ζｚ₂³/3－ζｕｚ₂²/2)

　/{ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}] ₀^u

　＝[(1/2)(ｕ²－1) log(1－ｕ)－ｕ²/4－ｕ/2]₀¹

　－[{ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}log{ｕ²

　－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}－(1/2){ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}]₀¹

　－{λ²/(2ｍ²)}∫₀¹log{ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}ｄｕ

　＋(ζ/6)∫₀¹ｄｕｕ²/{ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}

　＝-3/4＋1/2＋(ζ/6)∫₀¹ｕｄｕ＋Ｏ(λ²/ｍ²)

　～ －1/4＋ζ/12　です。

　また,右辺第３項×(－4π/α)(－2γ_μ)^-1

　＝∫₀¹ｄｕ∫₀^uｄｚ₂

　[－1＋{2ｕ²＋(2－ζ－ｍ²/λ²)ｕ－(2－ζ－ｍ²/λ²)}

　/{ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}

　－{2ｕ²＋(2－ζ－ｍ²/λ²)ｕ－(2－ζ－ｍ²/λ²)}

　(ζｚ₂²－ζｕｚ₂)/{ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}]

　～ [－ｕ²/2]₀¹＋(1＋ζ/6)∫₀¹ｄｕ[{2ｕ²＋(2－ζ－ｍ²/λ²)}ｕ

　/{ｕ²－(λ²/ｍ²)}]＋Ｏ(ζ,λ²/ｍ²)

　～ －1/2＋(1＋ζ/6)∫₀¹(2ｕ＋2－ζ)ｄｕ

－(1＋ζ/6)∫₀¹[(2－ζ)/{ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)}]ｄｕ

＋Ｏ(ζ,λ²/ｍ²)

＝ －1/2＋1＋ζ/6＋2－ζ＋ζ/3

－(1/2)(2－2ζ/3)[log|ｕ²－(λ²/ｍ²)ｕ＋(λ²/ｍ²)|]₀¹

 ＋Ｏ(ζ,λ²/ｍ²)

～ 5/2－ζ/2＋(1－ζ/3)log(λ²/ｍ²)

です。

　右辺第４項×(4π/α)[ｑ,γ_μ]^-1

 ＝∫₀¹ｄｕ∫₀^uｄｚ₂{(1－ｕ)/ｕ}＋Ｏ(ζ,λ²/ｍ²)

～∫₀¹ｄｕ(ｕ－1)＝[ｕ²－ｕ/2]₀¹＝1/2 です。

　故に,第２項＋第３項＋第４項

＝{α/(4π)}γ_μ

 [－1/2＋ζ/6＋10/2－ζ＋2log(λ²/ｍ²)－(2ζ/3)log(λ²/ｍ²)]

＋{α/(8πｍ)}[ｑ,γ_μ]

＝－{α/(4π)}γ_μ[－9/2＋5ζ/6＋2log(ｍ²/λ²)

－(4ζ/3)log(ｍ/λ)＋{α/(8πｍ)}[ｑ,γ_μ]

となります。

したがって,第１項＋第２項＋第３項＋第４項

＝[{α/(4π)}{log(Λ²/ｍ²)＋9/2－2log(ｍ²/λ²)}

＋{α/(3π)}(ｑ²/ｍ²){2log(ｍ/λ)－5/8}]γ_μ

 ＋{α/(8πｍ)}[ｑ,γ_μ]

を得ます。

ここでＺ₁^-1－1＝{α/(2π)}{log(Λ/ｍ)＋9/4－2log(ｍ/λ)}

＝{α/(4π)}{log(Λ²/ｍ²)＋9/2－2log(ｍ²/λ²)}

を用いると,

Λ_μ(ｐ',ｐ)

～(Ｚ₁^-1－1)γ_μ＋γ_μ{α/(3π)}(ｑ²/ｍ²){log(ｍ/λ)－5/8]

＋{α/(8πｍ)}[ｑ,γ_μ]

と書けます。

Λ_μ(ｐ',ｐ)＝(Ｚ₁^-1－1)γ_μ＋Λ^c_μ(ｐ',ｐ)ですから,

γ_μ＋Λ^c_μ(ｐ',ｐ) ～ γ_μ[1＋{α/(3π)}(ｑ²/ｍ²)

{log(ｍ/λ)－5/8]＋{α/(8πｍ)}[ｑ,γ_μ]

が得られました。

しかし,証明すべきγ_μ＋Λ^c_μ(ｐ',ｐ)

～ γ_μ[1＋{α/(3π)}(ｑ²/ｍ²){log(ｍ/λ)－3/8]

＋{α/(8πｍ)}[ｑ,γ_μ]とは

{α/(3π)}(ｑ²/ｍ²)の係数(－3/8)と(－5/8)が微妙に

くい違っています。

どこか計算ミスかな？？

Schwingerの異常磁気モーメントに寄与するのは最後の項:

{α/(8πｍ)}[ｑ,γ_μ]なので,これが間違っていなければ,

他は主として定性的な理論の話には取り合えずは影響無し

ですが。。  (注2終わり)※

短いですが,かなり疲れたので休憩です。 

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)