量子電磁力学の輻射補正(13)(頂点補正-7)

　輻射補正の頂点補正：Λ_μ(ｐ',ｐ)(下図)の続きです。

　前回の６/21から一週間ぶりです。

　前記事では,光子の微小質量λで赤外切断を行なった紫外切断(くりこみ)済みの頂点演算子:Λ^c_μ(ｐ',ｐ;λ)と,波数ｋの下限ｋ_minで赤外切断を行なったそれ:Λ^c_μ(ｐ',ｐ;ｋ_min)との差,δΛ^c_μ(ｐ',ｐ)≡Λ^c_μ(ｐ',ｐ;ｋ_min)－Λ^c_μ(ｐ',ｐ;λ)を定義しました。

　そして,まず|ｑ²/ｍ²|＜＜1の非相対論的極限(Ｎ.Ｒ)で評価し,

　δΛ^c_μ(ｐ',ｐ)～γ_μ{α/(3π)(ｑ²/ｍ²){log(2ｋ_min/λ)－5/6}

　なる結果を得ました。

　したがって,これと|ｑ²/ｍ²|＜＜1では,Λ^c_μ(ｐ',ｐ;λ)～γ_μ{α/(3π)(ｑ²/ｍ²){log(ｍ/λ)－3/8}＋|α/(4πｍ)}iσ_μνｑ^νにより,

　Λ^c_μ(ｐ',ｐ;ｋ_min)～|α/(2π)}{iσ_μνｑ^ν/(2ｍ)}＋γ_μ{α/(3π)(ｑ²/ｍ²)[log{ｍ/(2ｋ_min)＋5/6－3/8}を得たところで終わりました。

　今日はその続きです。

　今度は,|ｑ²/ｍ²|＞＞1の超相対論的極限(Ｅ.Ｒ)で同じδΛ^c_μ(ｐ',ｐ)≡Λ^c_μ(ｐ',ｐ;ｋ_min)－Λ^c_μ(ｐ',ｐ;λ)を計算します。

　結果は,δΛ^c_μ(ｐ',ｐ)～γ_μ(α/π){log(－ｑ²/ｍ²)－1}{log(ｍ/λ)－log(Ｅ/ｋ_min)}} (Ｅ＝Ｅ'＝ｐ⁰＝ｐ'⁰)です。

※(注5):前記事より,δΛ^c_μ(ｐ',ｐ)＝－4παγ_μ∫_|k|＜kminｄ³ｋ(2π)^-3[1/{2(ｋ²＋λ²)^1/2}][(ｐｐ')/{(ｐｋ)(ｐ'ｋ)}－ｍ²/{2(ｐｋ)²}－ｍ²/{2(ｐ'ｋ)²}]です。(係数:ｅ²ε₀^-1は微細構造定数(fine-structure constant)αを用いて4παと書き直しています。)

　右辺の積分:∫ｄ³ｋ＝∫ｋ²ｄｋｄΩ_kうち,先にｋの立体角積分∫ｄΩ_kを実行することを考えます。

　ｄΩ_k＝ｄ(cosθ)ｄφより,Feynmanによって∫ｄΩ_k/(ｋｐ)(ｋｐ')＝∫₀¹ｄｘ∫ｄΩ_k/{(ｋｐ)ｘ＋(ｋｐ')(1－ｘ)}²

＝∫₀¹ｄｘ∫ｄΩ_k/[ｋ₀Ｅ－ｋ{ｐｘ＋ｐ'(1－ｘ)}]²＝2π∫₀¹ｄｘ∫_-1¹ｄ(cosθ)/{ｋ₀Ｅ－ｋ|ｐｘ＋ｐ'(1－ｘ)|cosθ}²です。

　ここで,∫_-1¹ｄｚ/(ａーｂｚ)²＝∫_-1¹ｄｚ(ａーｂｚ)^-2＝[－1/ｂ＋1/(ａ－ｂｚ)] _-1¹＝(1/ｂ){1/(ａ－ｂ)－1/(ａ＋ｂ)}＝2/(ａ²－ｂ²)を用います。

　すると,∫ｄΩ_k/(ｋｐ)(ｋｐ')＝4π∫₀¹ｄｘ/[ｋ₀²Ｅ²－ｋ²{ｐｘ＋ｐ'(1－ｘ)}²]を得ます。

　ところが,{ｐｘ＋ｐ'(1－ｘ)}²＝ｐ²ｘ²＋ｐ'²(1－2ｘ＋ｘ²＋2(ｐｐ')ｘ(1－ｘ)＝－(ｐ－ｐ')²ｘ(1－ｘ)＋ｐ²＝－ｑ²ｘ(1－ｘ)＋ｐ²,ｋ₀²Ｅ²＝(ｋ²＋λ²)Ｅ²＝ｋ²Ｅ²＋λ²Ｅ²でｋ²Ｅ²－ｋ²ｐ²＝ｍ²ｋ²より,

　ｋ₀²Ｅ²－ｋ²{ｐｘ＋ｐ'(1－ｘ)}²＝{ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}ｋ²＋λ²Ｅ²(ただし,ｑ＝ｐ'－ｐ)です。

　それ故,結局,∫ｄΩ_k/(ｋｐ)(ｋｐ')＝4π∫₀¹ｄｘ/[{ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}ｋ²＋λ²Ｅ²]と書けることがわかります。

　∫ｄΩ_k/(ｋｐ)²,または∫ｄΩ_k/(ｋｐ')²は共に上式でｑ＝0 と置いたもの:4π∫₀¹ｄｘ/(ｍ²ｋ²＋λ²Ｅ²)に一致します。

　また,弾性散乱(Ｅ＝Ｅ')なので(ｐｐ')＝Ｅ²－ｐｐ'＝Ｅ²＋(1/2)(ｑ²－2ｐ²)＝ｍ²＋(1/2)ｑ²です。

　故に,δΛ^c_μ(ｐ',ｐ)＝－4παγ_μ∫_|k|＜kminｄ³ｋ(2π)^-3[1/{2(ｋ²＋λ²)^1/2}][(ｐｐ')/{(ｐｋ)(ｐ'ｋ)}－ｍ²/{2(ｐｋ)²}－ｍ²/{2(ｐ'ｋ)²}]において,先にｋの立体角積分∫ｄΩ_kを実行すると,

　δΛ_μ(ｐ',ｐ)＝－(α/π)γ_μ({ｍ²＋(1/2)ｑ²}∫₀¹ｄｘ∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/[{ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}ｋ²＋λ²Ｅ²]－ｍ²∫₀¹ｄｘ∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/(ｍ²ｋ²＋λ²Ｅ²))です。

　ところが,ｋに依存しない任意のａに対して,∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/(ａｋ²＋λ²)＝(1/ａ)∫₀^kminｄｋ(ｋ²＋λ²)^-1/2－(λ²/ａ)∫₀^kminｄｋ(ｋ²＋λ²)^-1/2/(ａｋ²＋λ²)が成立します。

　これの右辺第１項＝(1/ａ)∫₀^kminｄｋ(ｋ²＋λ²)^-1/2＝(1/ａ)log{ｋ＋(ｋ²＋λ²)^-1/2}]₀^kmin～(1/ａ)log(2ｋ_min/λ)です。

　また,右辺第２項は積分変数ｋをｚ＝ｋ/λ,ｄｚ＝ｄｋ/λに置換してｋ_min＞＞λの仮定から,積分領域をｋ:0→ｋ_minからｚ:0→∞へと拡張近似すれば,

　－(λ²/ａ)∫₀^kminｄｋ(ｋ²＋λ²)^-1/2/(ａｋ²＋λ²)＝－(1/ａ)∫₀^∞ｄｚ(ｚ²＋1)^-1/2(ａｚ²＋1)となります。

　これは,(1/ａ)∫₀^∞ｄｚ(ｚ²＋1)^-1/2(ａｚ²＋1)＝－(1/ａ²)∫₀^∞ｄｚ[1/{(ｚ²＋1/ａ)/(ｚ²＋1)^-1/2}]

＝－(1/2)ａ^-3/2(1/ａ－1)^-1/2[log(|ｚ(1/ａ－1)^1/2＋{(1/ａ)(ｚ²＋1)}^1/2/|ｚ(1/ａ－1)^1/2－{(1/ａ)(ｚ²＋1)}^1/2|)]₀^∞

＝－{2ａ(1－ａ)^1/2}^-1log[|{(1－ａ)/ａ}^1/2＋(1/ａ)^1/2/|{(1－ａ)/ａ}^1/2－(1/ａ)^1/2|]＝－{ａ(1－ａ)^1/2}^-1log[{1＋(1－ａ)^1/2}/ａ^1/2]です。

　以上から,∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/(ａｋ²＋λ²)～(1/ａ)log(2ｋ_min/λ)－{ａ(1－ａ)^1/2}^-1log[{1＋(1－ａ)^1/2}/ａ^1/2]を得ました。

　さて,{－(α/π)γ_μ}^-1δΛ^c_μ(ｐ',ｐ)＝{ｍ²＋(1/2)ｑ²}∫₀¹ｄｘ∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/[{ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}ｋ²＋λ²Ｅ²]－ｍ²∫₀¹ｄｘ∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/(ｍ²ｋ²＋λ²Ｅ²)の計算です。

　これは,再掲式:∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/(ａｋ²＋λ²)～(1/ａ)log(2ｋ_min/λ)－{ａ(1－ａ)^1/2}^-1log[{1＋(1－ａ)^1/2}/ａ^1/2]に,

　ａ＝(1/Ｅ²){ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}を代入して,[{ｍ²＋(1/2)ｑ²}/Ｅ²]倍したものと,ａ＝ｍ²/Ｅ²を代入して,(－ｍ²/Ｅ²)倍したものを加え合わせたものです。

　まず,δΛ_μ(ｐ',ｐ)＝－(α/π)γ_μ({ｍ²＋(1/2)ｑ²}∫₀¹ｄｘ∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/[{ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}ｋ²＋λ²Ｅ²]－ｍ²∫₀¹ｄｘ∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/(ｍ²ｋ²＋λ²Ｅ²))の右辺第２項は

　－ｍ²∫₀¹ｄｘ∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/(ｋ²ｍ²＋λ²Ｅ²)}＝(－ｍ²/Ｅ²)∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/{(ｍ²/Ｅ²)ｋ²＋λ²} ～－log(2ｋ_min/λ)＋(1－ｍ²/Ｅ²)^-1/2log[(Ｅ/ｍ){1＋(1－ｍ²/Ｅ²)^1/2}]

～－log(2ｋ_min/λ)＋(Ｅ/|ｐ|)log{(Ｅ＋|ｐ|)/ｍ}です。

　特に,|ｑ²/ｍ²|＞＞1では,|ｐ|～Ｅなので,(Ｅ/|ｐ|)log{(Ｅ＋|ｐ|)/ｍ}～ log(2Ｅ/ｍ)ですから,

　－log(2ｋ_min/λ)＋(Ｅ/|ｐ|)log{(Ｅ＋|ｐ|)/ｍ}～－log(2ｋ_min/λ)＋log(2Ｅ/ｍ)＝log(Ｅ/ｋ_min)－log(ｍ/λ)より

　－∫₀¹ｄｘ∫₀^kminｄｋ{ｍ²/(ｋ²ｍ²＋λ²Ｅ²)}ｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2－log(2ｋ_min/λ)＋(Ｅ/|ｐ|)log{(Ｅ＋|ｐ|)/ｍ}～log(Ｅ/ｋ_min)－log(ｍ/λ)①が得られます。

　また,δΛ_μ(ｐ',ｐ)の右辺第１項は,ａ＝(1/Ｅ²){ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}として,

　{ｍ²＋(1/2)ｑ²}∫₀¹ｄｘ∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/[{ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}ｋ²＋λ²Ｅ²]＝[{ｍ²＋(1/2)ｑ²}/Ｅ²]}∫₀¹ｄｘ∫₀^kminｄｋｋ²(ｋ²＋λ²)^-1/2/[(1/Ｅ²){ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}ｋ²＋λ²] 

  ～ {ｍ²＋(1/2)ｑ²}log(2ｋ_min/λ)∫₀¹ｄｘ1/{ｍ²＋ｑ²ｘ－ｑ²ｘ²}]－[{ｍ²＋(1/2)ｑ²}/Ｅ²]∫₀¹ｄｘ{ａ(1－ａ)^1/2}^-1log[{1＋(1－ａ)^1/2}/ａ^1/2]です。 

　ζ≡ｍ²/ｑ²とすれば,ａ＝(1/Ｅ²){ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}＝(－ｑ²/Ｅ²)(ｘ²－ｘ－ζ)ですから,上式の右辺第１項の積分は,－(ζ＋1/2)log(2ｋ_min/λ)∫₀¹ｄｘ{1/(ｘ²－ｘ－ζ)}です。

　ここで,ｘ²－ｘ＋ζ＝(ｘ－α)(ｘ－β);α＝{1－(1＋4ζ)^1/2}/2,β＝{1＋(1＋4ζ)^1/2}/2と書けば,－1/(ｘ²－ｘ＋ζ)＝{1/(ｘ－α)－1/(ｘ－β)}/(β－α)です。

　そして,β－α＝(1＋4ζ)^1/2であり,α＋β＝1より1－β＝α,1－α＝βです。

　故に,－∫₀¹ｄｘ{1/(ｘ²－ｘ－ζ)}＝{1/(β－α)}[log(|ｘ－α|/|ｘ－β|)]₀¹＝log(|β(1－α)|/|α(1－β)|＝2log|β/α|＝{2/(1＋4ζ)^1/2}log{|1＋(1＋4ζ)^1/2}/{1－(1＋4ζ)^1/2|}となります。

　そこで,[{ｍ²＋(1/2)ｑ²}log(2ｋ_min/λ)∫₀¹ｄｘ[1/{ｍ²＋ｑ²ｘ－ｑ²ｘ²}])＝(ζ＋1/2)log(2ｋ_min/λ){2/(1＋4ζ)^1/2}log{|1＋(1＋4ζ)^1/2|/|1－(1＋4ζ)^1/2|}です。

　そして,特に,ζ＝ｍ²/ｑ²＝ｍ²/(－ｑ²)＜＜1のときは,－∫₀¹ｄｘ{1/(ｘ²－ｘ－ζ)}＝{2/(1＋4ζ)^1/2}log{|1＋(1＋4ζ)^1/2}/{1－(1＋4ζ)^1/2|}＝{2/(1＋4ζ)^1/2}log[{2＋2(1＋4ζ)^1/2＋4ζ}/(4ζ)]～2log(1/ζ)＝2log(－ｑ²/ｍ²)です。

　(↑最後,分母以外のζ＝ｍ²/(－ｑ²)をゼロで近似しました。)

　故に,右辺第１項の積分は－(ζ＋1/2)log(2ｋ_min/λ)∫₀¹ｄｘ{1/(ｘ²－ｘ－ζ)}～－(1/2)log(2ｋ_min/λ)∫₀¹ｄｘ{1/(ｘ²－ｘ－ζ)}|～log(2ｋ_min/λ)log(－ｑ²/ｍ²)となります。

　一方,右辺第２項の積分は.－[{ｍ²＋(1/2)ｑ²}/Ｅ²]∫₀¹ｄｘ{ａ(1－ａ)^1/2}^-1log[{1＋(1－ａ)^1/2}/ａ^1/2]です。 

　これは,ζ＝ｍ²/ｑ²＝ｍ²/(－ｑ²)＜＜1のときは－{ｑ²/(2Ｅ²)}∫₀¹ｄｘ{ａ(1－ａ)^1/2}^-1log[{1＋(1－ａ)^1/2}/ａ^1/2]～－{ｑ²/(2Ｅ²)}∫₀¹ｄｘ{(1/ａ)log(2/ａ^1/2)＝{ｑ²/(4Ｅ²)}∫₀¹ｄｘ{log(ａ/4)/ａ}です。

　ａ＝(1/Ｅ²){ｍ²＋ｑ²ｘ(1－ｘ)}＝(－ｑ²/Ｅ²)(ｘ²－ｘ－ζ)ですから,－{ｑ²/(2Ｅ²)}∫∫₀¹ｄｘ{ａ(1－ａ)^1/2}^-1log[{1＋(1－ａ)^1/2}/ａ^1/2]＝－(1/4)∫₀¹ｄｘ{log(ａ/4)/(ｘ²－ｘ－ζ)ですが,

　log(ａ/4)＝log[(ｑ²/4Ｅ²){ｘ(1－ｘ)＋ζ}]～log{ｑ²/(4Ｅ²)}＋logｘ＋log(1－ｘ)より,

　－(1/4)∫₀¹ｄｘ{log(ａ/4)/(ｘ²－ｘ－ζ)～－(1/4)∫₀¹ｄｘ[log{ｑ²/(4Ｅ²)}＋logｘ＋log(1－ｘ)}/(ｘ²－ｘ－ζ)です。

　このうち,第１項は－(1/4)log{ｑ²/(4Ｅ²)}∫₀¹ｄｘ{1/(ｘ²－ｘ－ζ)}～(1/2)log{－ｑ²/(4Ｅ²)log(1/ζ)＝(1/2)log{－ｑ²/(4Ｅ²)log(－ｑ²/ｍ²)となります。

　第２項は,－1/(ｘ²－ｘ＋ζ)＝{1/(ｘ－α)－1/(ｘ－β)}/(β－α)より,－(1/4)∫₀¹ｄｘ{logｘ/(ｘ²－ｘ－ζ)}＝(1/4)(1＋4ζ)^-1/2{∫₀¹ｄｘ{logｘ/(ｘ－α)－logｘ/(ｘ－β)}～(1/4){∫₀¹ｄｘ{logｘ/(ｘ－α)－logｘ/(ｘ－β)}です。

　そして,∫₀¹ｄｘ{logｘ/(ｘ－α)＝∫_-α^1-α{log(ｕ＋α)/ｕ}ｄｕ～∫_-α¹{logｕ/ｕ}ｄｕ＝[(logｕ)²/2]_-α¹＝－(1/2)(log[{(1＋4ζ)^1/2－1}/2])²～－(1/2)(logζ)²＝－(1/2){log(－ｑ²/ｍ²)}²です。

　一方,－∫₀¹ｄｘ{logｘ/(ｘ－β)～∫₀¹ｄｘ{logｘ/(1－ｘ)＝π²/6ですから－(1/4)∫₀¹ｄｘlogｘ/(ｘ²－ｘ－ζ)＝(1/4)[π²/6－(1/2){log(－ｑ²/ｍ²)}²]です。

　第３項は－(1/4)∫₀¹ｄｘlog(1－ｘ)/(ｘ²－ｘ－ζ)ですが,ｕ＝１－ｘと置けば－(1/4)∫₀¹ｄｕlogｕ/(ｕ²－ｕ－ζ)となるため第２項と同じ(1/4)[π²/6－(1/2){log(－ｑ²/ｍ²)}²]です。

　故に,－[{ｍ²＋(1/2)ｑ²}/Ｅ²]∫₀¹ｄｘ{ａ(1－ａ)^1/2}^-1log[{1＋(1－ａ)^1/2}/ａ^1/2]～第１項＋第２項＋第３項＝(1/2)log{－ｑ²/(4Ｅ²)log(－ｑ²/ｍ²)＋π²/12－(1/4){log(－ｑ²/ｍ²)}²

～(1/4){log(－ｑ²/ｍ²)}²－(1/2)log(4Ｅ²/ｍ²)log(－ｑ²/ｍ²)＝(1/4){log(－ｑ²/ｍ²)}²－log(2Ｅ/ｍ)log(－ｑ²/ｍ²)です。

　{log(－ｑ²/ｍ²)}²は無視して,Ｅとλ,ｋに関する項を加えると,　

　δΛ_μ(ｐ',ｐ)～－(α/π)γ_μ{log(Ｅ/ｋ_min)－log(ｍ/λ)＋log(2ｋ_min/λ)log(－ｑ²/ｍ²)－log(2Ｅ/ｍ)log(－ｑ²/ｍ²)}＝－(α/π)γ_μ[{log(－ｑ²/ｍ²)ー1}{log(ｍ/λ)－log(Ｅ/ｋ_min)}を得ます。

(注5終わり)※

　Λ^c_μ(ｐ',ｐ;λ)～－γ_μ(α/π)log(ｍ/λ){log(－ｑ²/ｍ²)－1}でしたから,Λ^c_μ(ｐ,ｐ';ｋ_min)＝Λ^c_μ(ｐ',ｐ;λ)＋δΛ_μ(ｐ',ｐ)～－γ_μ(α/π)log(Ｅ/ｋ_min){log(－ｑ²/ｍ²)－1}となります。

　ところで,散乱の微分断面積(ｄσ/ｄΩ)では,散乱振幅の寄与は絶対値の２乗で効きます。

　そこで,振幅のαの１次までの補正が(1＋αＡ)倍なら断面積の補正は(1＋αＡ)²～ 1＋2αＡが対応します。。

　つまり,散乱振幅の頂点補正が,γ_μ → γ_μ＋Λ^c_μ～ γ_μ{1－(α/π)Ｂ}で与えられるなら,微分断面積の補正は(ｄσ/ｄΩ)₀ → (ｄσ/ｄΩ)₀{1＋(2α/π)Ｂ}で与えられます。

　故に,ｋ_minの切断によって弾性散乱の断面積の赤外部分は,(ｄσ/ｄΩ)_λ＝(ｄσ/ｄΩ)₀[1－(2α/π)}log(ｍ/λ)χ(ｑ²)の代わりに,

(ｄσ/ｄΩ)_kmin＝(ｄσ/ｄΩ)₀[1－(2α/π)log(Ｅ/ｋ_min)χ(ｑ²)]で与えられることがわかります。

　ただし,(－ｑ²/ｍ²)＞＞1ではχ(ｑ²)＝log(－ｑ²/ｍ²)です。

　これを制動輻射の断面積(ｄσ/ｄΩ)_brem＝(ｄσ/ｄΩ)₀(2α/π)log(ｋ_max/ｋ_min)χ(ｑ²)に加えると,

　(ｄσ/ｄΩ)_infra-red＝(ｄσ/ｄΩ)₀[1－(2α/π)log(Ｅ/ｋ_max)χ(ｑ²)]が得られます。

　これは完全にｋ_minにもλにも依存しない赤外切断に独立な形をしています。

　結局,このオーダーでの超相対論的極限(Ｅ.Ｒ):|ｑ²/ｍ²|＞＞1では赤外発散は除去されました。

　後先になりましたが,最後に非相対論的極限(Ｎ.Ｒ):|ｑ²/ｍ²|＝ｑ²/ｍ²＜＜1での頂点補正:Λ^c_μ(ｐ',ｐ;ｋ_min)～|α/(2π)}{iσ_μνｑ^ν/(2ｍ)}＋γ_μ{α/(3π)(ｑ²/ｍ²)[log{ｍ/(2ｋ_min)}＋5/6－3/8}χ(ｑ²);χ(ｑ²)＝－(1/3)(ｑ²/ｍ²)を考えます。

　これによる,異常磁気モ－メントを除く弾性散乱断面積の補正は(ｄσ/ｄΩ)_infra-red＝(ｄσ/ｄΩ)₀(1－(2α/π)[log{ｍ/(2ｋ_min)＋5/6－3/8}χ(ｑ²))となります。

　これを制動輻射の非弾性断面積:(ｄσ/ｄΩ)_brem＝(ｄσ/ｄΩ)₀(2α/π)log(ｋ_max/ｋ_min)χ(ｑ²)と加え合わせると,

　(ｄσ/ｄΩ)_infra-red＝(ｄσ/ｄΩ)₀[1＋(2α/π)log(2ｋ_max/ｍ)－5/6＋3/8}χ(ｑ²)]が得られます。

　これで赤外発散は完全に除去されました。

　今日は,これで終わり次回はLamb-Shiftに向かいます。

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill)