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2011年6月13日 (月)

算数の問題(再々掲)

 入院記念に看護師さんに置きみやげ?として,「お世話になりました。ありがとう,さようなら」という短い手紙に加え「算数の問題」を出題,手渡してきました。

 夜勤などの眠気覚まし,ひまつぶしのツモリですが,そんな暇などはなくて迷惑でしょうからシカトされ即ゴミ箱行きかも知れませんが。。。

 これは2006年3月にブログ開始してまもなく書いた問題です。

 (2006年3/30の記事「算数の問題」)

 その後2006年12月にはヒントも出しました。

 ところが,その後出題した私自身がどのようにして解いたかを失念してしまいました。

 どうしてもわからないので解答を示してくれとの要望があったために,再度トライしてみましたが,面目ないことにどうしても解けなくて,大きなことを言った手前,謝まってPendingにしていました。← これはYahooのミラー「TOSHIの宇宙4」での話かも?

 しかし病院生活が余りに暇なので6/5(日)には朝食後から,BSで延長戦になって5時間以上も続いたアスレチックスとヤンキースのゲームを見るとはなしに見ながら,何の邪魔も入らずゆっくりじっくり考えていると,昼食後の14時頃にあっさりと解けました。

 取り合えず問題とヒントまでを再掲します。解答部分は今日夕方帰宅してから書きます。

 ※(問題) でたらめな形の四角形が1つあるとします。

 その4つの各辺を,それぞれ3等分してその向かい合う点同士を直線で結ぶと,やはりでたらめな形の9個の小さい四角形に分割されます。

 このとき真ん中にできた小四角形の面積は元の四角形の面積のちょうど,1/9 になることを証明しなさい。※

 という問題です。

 そして,2006年12/20には問題再掲してヒントを与えました。。「算数の問題(再掲)

※これに対して今回はヒントとして対辺の分点同士を結んでできる3つの四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/3になることを示すことができるという指摘を追加しておきます。

追伸:今2007年1月9日~10日の深夜ですが,kaさんから補助線を明示した図を見たいとの希望がありました。

 そこで□ABCDと,そのADの3等分点M,NおよびBCの3等分点P,Qを書いた図を書いてみました。

要するに⊿MPQ=(1/2)⊿MBQ,⊿MQN=(1/2)⊿MQDなので,□MPQN=(1/2)□MBQDとなります。

 

別の補助線を引いて⊿MBD=(2/3)⊿ABD,⊿DBQ=(2/3)⊿DBCなので□MBQD=(2/3)□ABCDが成立しますから,□MPQN=(1/3)□ABCDになります。

 

もちろん,□ABCDが台形でないなら,面積が1/3になるのは真ん中の四角形だけで両側の四角形は1/3にはなりません。

 

これがヒントです。※

 

さて,解答です。

 

まず,9個の小四角形に下図のようにa,b,c,d,e,f,g,h,iとラベルを付けます。

 

同時にこれらは各四角形の面積をも表わす記号とします。

 ここで□ABCDの面積をSとすると,証明すべき結論はe=S/9です。

 

まず,明らかにa+b+c+d+e+f+g+i=S です。

 

そして,ヒントから, ,b+e+h=S/3,かつd+e+f=S/3 です。

このことから,a+c+g+i=S/3+eと書けることもわかります。

 

これ以上,これらの式をいくら変形しても何も新しいことは出てきません。

 

そこで,新しい補助線を引いて考察します。

まず,⊿EAM=(1/2)⊿EMD,かつ⊿EAK=(1/2)⊿EKBです。

 

故に,a=⊿EAM+⊿EAK=(1/2)(⊿EMD+⊿EKB)です。言い換えると⊿EMD+⊿EKB=2aです。そこで,□EBCD=S-3aです

 

他方,⊿EDR=(1/3)⊿DEC,かつ⊿EBP=(1/3)⊿EBCですから,⊿EDR+⊿EBP=(1/3)(⊿DEC+⊿EBC)=(1/3)□EBCDです。

 

以上から,(b+c+d+g)-2a=(1/3)(S-3a)ですから,b+c+d+g=a+S/3が成立します。

   

対称性から,同様に,f+i+b+a=c+S/3,h+g+f+c=i+S/3,d+a+h+i=g+S/3も成り立つはずです。

  

これら4つの等式の両辺を全てそれぞれ加えると,2(a+b+c+d+f+g+h+i)=(a+c+g+i)+4S/3となります。

 

したがって,2(S-e)=(S/3+e)+4S/3より3e=S/3ですからe=S/9です。

 

解答は以上で終わりです。お疲れさま。。

 

PS:今6/14(火)のPM6:00です。

 

手話講習に行くつもりでしたが金欠病もあり気力が萎えました。

 

明日朝9:00には帝京の眼科外来の予約ありますし。。

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200. 問題・解答」カテゴリの記事

コメント

 どもhirotaさん。コメントありがとうございます。TOSHIです。

 確かに,ベクトルを用いてやるとこうなるんでしょうね。

 イヤ,私とて同じ手法ですがもっと泥臭い,全ての点にデカルト平面座標を与え数式で解くというような解析幾何学を用いて計算すれば,ヒラメキや頓知の必要など全くなく必ず解が得られることはわかってました。

 結果論のようですが。。。

 しかし,元々どこかの小学校の授業でこれを出題したらその時間中に頭の回転の速い何人かはすぐにも正解したというのを聞いたのがキッカケでした。

 私もそれホント?と半信半疑でしたが,つい対抗心が湧いて,それから中学以上で習う幾何学の定理など使わず,小学生でも考え付く方法は何か?と考えながらトライしたのが最初の経緯でしたから,そうした類の手法は禁じ手としたのでした。

 ともあれ,貴重な補足ありがとうございます。

        TOSHI

投稿: TOSHI | 2011年6月17日 (金) 07時51分

計算だけの方法を考えてみました。
4辺に沿ったベクトルを x, y, z, w としますと、x+y+z+w=0
これで囲まれた面積は S=|x×y+z×w|/2
これが S=|y×z+w×x|/2 とも表せることは
x×y+z×w=x×y+z×(-x-y-z)
=x×y-z×x+y×z=y×z+(-x-y-z)×x
=y×z+w×x
と確認できる。
そして、各辺を3等分どうこうのして作った4辺ベクトルは途中計算を省略して
x'=(2x-z)/9
y'=(2y-w)/9
z'=(2y-x)/9
w'=(2w-y)/9
となるから面積は
x'×y'+z'×w'=(5(x×y+z×w)+4(y×z+w×x))/81
=(x×y+z×w)/9

投稿: hirota | 2011年6月16日 (木) 14時09分

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