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2011年7月17日 (日)

水素様原子の微細構造(1)

 直前の「量子電磁力学の輻射補正」シリーズの補完として,

 "Lamb-Shift"を詳細に解説しようと資料を調べているうち, 

 つい,それ以前の水素様原子の微細構造が気になったので,

 

 同じ種本:Bjorken-Drellの「Mechanics」の40年近く昔に

 学んだ私の古いノートの第4章:Foldy-Wouthuyusen変換

 ((谷)-フォールディ-ウウトホイゼン変換)のその部分を

 解説します。

 

 このブログのバックナンバーを検索すると,,2008年1/11の記事

 原子・分子の化学結合論に関連して書いた,

水素様原子の波動関数」がありました。

 

 比較のため,これも参照してください。

 

 以下,簡単のため,自然単位系c=hc1を採用します。

 (hc≡h/(2π);hはPlanck定数)

 

 電磁場:Aμ(x)の中の1電子に対するDirac方程式は,

 {γμ(i∂μ-eAμ)-m}Ψ=0,または

 {γμ(pμ^-eAμ)-m}Ψ=0 です。

 mは電子質量,eは電子の電荷でe<0です。

 

 μは位置表示の運動量演算子でpμ^=i∂μ=(i∂0,i∇)

 =(i∂/∂t,-^)です。

 

 次の電磁場は非共変で特別な慣性系のみの形ですが,

 

 電磁場が時間t=x0に依存しない,中心対称の静電Coulomb場:

 eA0(x)=eA0(,t)=V(r)=-Zα/r(r≡||),

 かつ,e(,t)=0 のケースを考えます。

 

 αは微細構造定数(fine-structure constant)と呼ばれる無次元

 定数で,α≡=e2/(4πε0)で定義されます。

 

 これは中心に-Zeの正電荷を持つ原子核が静止していてその中に

 1個の電子が束縛されているとする水素様電子のモデルです。

 

 実際には2体問題ですから,mは真の電子質量meではなく,

 1/m=1/me+1/M,またはm=me/(1+me/M)で与えられる

 換算質量とする必要があります。

 

ただし,Mは原子核の質量でM~ZMp;pは陽子質量です。

p~1840meですから,me/M<<1です。

 

それ故,m=me/(1+me/M)~ me/{1+1/1840Z}であり,mを

eで置き換えても大した差ではありませんが,今は相対論的効果

を見ることが目的なので,この微小な差もデリケートに関わり得

る問題です。

  

さて,水素様原子の1電子のDirac方程式: 

μ(i∂μ-eAμ)-m}Ψ=0,eAμ=(V,0) は, 

古典的なSchroedinger方程式を拡張した形では, 

i(∂Ψ/∂t)=HΨ,H^=αp^+βm+V(r) 

と書けます。

 

ただし,γ0=γ0=β,γk=βαkですが,β2k)2=1

 なのでαk=βγkです。

 

 これの,定常状態の方程式:H^Ψ=EΨは,

 H^Ψ={αp^+βm+V(r)}Ψ=EΨです。

 

 方程式を変数分離系にして解くために,中心力場V(r)において

 は電子の角運動量が保存することを利用します。

 

中心力場の回転不変性(座標軸の向きに依らない=等方性)は,

角運動量:^=^+^=×^+σ/2の保存を意味し,

^はH^=αp^+βm+V(r)と交換します。

 

ただし,ここでのσは4×4行列であり,これは対角成分として

Pauliの2×2spin:σ(2)を持つ2×2細胞対角行列で,

σi=-iεijkαjαkで与えられます。

 

何故なら,σ=(σ233112)は3次元回転群の生成子

(generator):σij=(i/2)[γij]=iγiγj(i≠j)(i,=1,2,3)

のベクトル表現であり,

 

生成子はσij=iγiγj=iβαiβαj=-iαiαj

書けるからです。

^^

(注1-1):まず,[^,H^]=[^,αp^+βm+V(r)]

です。

 

i^=εijkjk^より,

[Li^,H^]=[Li^,αp^+βm+V(r)]

=[εijkjk^,αll^+βm+V(r)]

=εijkαl[rj,pl^]pk^+εijkj[pk^,V(r)]

です。

 

しかし,[Li^,V(r)]=εijkj[pk^,V(r)]

=-iεijkjkV(r)=-iεijkjk(1/r)(dV/dr)=0

です。

 

そして,[Li^,H^]=iεijkαlδjlk^=iεijkαjk^です。

 ^

以上から,[^,H^]=iα×^を得ます。

 

他方,[^,H^]=(1/2)[σ,H^]

=(1/2)[σ,αp^+βm+V(r)]です。

 

まず,[σ,V(r)]=0 は自明です。

また,[σi,βm]=-imεijkjαk,β]=0 です。

 

そして,[σi,αp^]=-iεijkjαkll^]

=-iεijkkljl^=-2iεijkαjlkl

=-2iεijkαjk^です。

 

すなわち.[σi,αp^]=-2iα×^を得ます。

 

故に,[^,H^]=(1/2)[σ,H^]= -iα×^です。

 

これと上の[^,H]^=iα×^から,全角運動量^の保存式:

[J^,H^]=[^+s^,H^]=0 を得ます。(注1-1終わり)※

 

H^Ψ=EΨの固有関数を見出すために.非相対論的量子力学に

おける2×2 Pauli-spin行列;σ2の扱いの経験を生かします。

 

まず,先述さように今考えている表示では4×4行列σは,

(σ)ijσ2δij (ij=1,2)なる形です。

 

4成分spinor:Ψは,2つの2成分spinor:ψ,χによって

Ψ=t(ψ,χ)と表現されます。

 

ψ,χのそれぞれの解において変数分離された角変数部分は,

厳密にPauliの2成分spinor理論のそれに一致します。

 

 2成分角変数解は,^2,J3^,^2,^2の固有関数で,

 以下のように2つの型を有します。

 

先にも書いたように,J^=^+^が全角運動量で,

^は軌道角運動量,^はspin角運動量です。

 

ただし,今の1電子系では^2の固有値:s(s+1)において

s=1/2のみが許されます。

 

^2=j(j+1),^2=l(l+1)においては,

j=l±1/2です。

 

j=l+1/2に対してはj3^=m (l3=m±1/2)

について,

 

ψjm(+)t[{(l+1/2+m)/(2l+1)}1/2lm-1/2,

{(l+1/2-m)/(2l+1)}1/2lm+1/2],

 

j=l-1/2に対してはj3^=m (l3=m±1/2)

について,

 

ψjm(-)t[{(l+1/2-m)/(2l+1)}1/2lm-1/2,

-{(l+1/2+m)/(2l+1)}1/2lm+1/2] です。 

 

ここでYl-m(θ,φ)は球面調和関数で(Yl-m)=(-)ml-m

なる規約を持ち,j=l-1/2のψjm(-)はl=0 に対しては存在

しません。

 

(注1-2):上記の証明です。

 

 j=l+1/2のときには,角運動量合成則により,

  

 m=l+1/2なら 

ψl+1/2,m=ψl+1/2,l+1/2

=Yll t[1,0]t[Ylm-1/2,0]ですが,

 

{(l+1/2+m)/(2l+1)}1/2=1,

{(l+1/2-m)/(2l+1)}1/2=0 なので,

 

ψl+1/2,m=ψl+1/2,l+1/2=ψjm(+)です。

 

m=l-1/2なら,やはり角運動量合成則により,

  

ψl+1/2,m=ψl+1/2,l-1/2 

{l/(l+1/2)}1/2ll-1 t[1,0]

+{(1/2)/(l+1/2)}1/2ll t[0,1]

 

t[{(l+1/2+m)/(2l+1)}1/2lm-1/2,

{(l+1/2-m)/(2l+1)}1/2lm-+/2] 

=ψjm(+) です。

 

最後にj=l-1/2のときには,

 

m=l-1/2で, 

ψl+1/2,m=ψl-1/2,l-1/2

{(1/2)/(l+1/2)}1/2ll-1 t[1,0]

-{l/(l+1/2)}1/2ll t[0,1]

 

t[{(l+1/2-m)/(2l+1)}1/2lm-1/2,

 -{(l+1/2+m)/(2l+1)}1/2lm+/2 ] 

 =ψjm(-) です。

 

(注1-2終わり)※

 

 解jm(+)jm(-)は固有値方程式:

 ^2ψjm(±)=j(j+1)ψjm(±) 満たします。

 

また,^2^2^^+^^+^2であり,

[^,^]=0より^^=^なので,

 ^

^σ2^^=^2^2^2 です。

 

そして,1電子系では,^2=3/4 が決まっているので,

^2^2^2^2^2-3/4より,

軌道とσ=2^の積(^σ)の固有値式は,

 

(^σjm(±)=(^2^2-3/4)ψjm(±)

=-(1+κ)ψjm(±) となります。

 

ただし,j=l+1/2のψjm(+)では,κ=-(l+1)=-(j+1/2), 

j=l-1/2のψjm(+)では,κ=l=j+1/2 です。

 

 (※これは,^2^2-3/4=j(j+1)-l(l+1)-3/4

 =j2-l2+j-l-3/4=(j-l)(j+l+1)-3/4に,

 j=l±1/2を代入するだけで得られます。※)

 

 jが同じ状態なら,l=j-1/2とl=j+1/2でlの値が丁度

 1だけ異なるので反対のパリティ(parity:偶奇性)を持ちます。

 

 (※パリティは(-)lに比例しますから,その他の量子数が同じなら

 (-)lだけで決まります。※)

 

 そこで,これらは奇(odd)のパリティを持つ,あるスカラー演算子

 を作用させて相互に形成されるはずです。

 

 この演算子はlを1だけ変化させるので,l=1の球関数:

 Y1m(θ,φ)(m=-1,0,1)の線形結合の演算子と考えられます。

 

 それ故,動径rの部分も含めた表現ではに比例するはずです。

 

 これを得るため,今の状況に関係する唯一の擬ベクトルσ

 coupleさせて擬スカラー:(σr)/rを作れば次式が成立します。

 

ψjm(+){(σr)/r}ψjm(-),

ψjm(-)={(σr)/r}ψjm(+)  です。

 

(注1-3):何故なら,

 まず,[(σr)/r,^]=[(σr)/r,^+^]を考えます。

 

 [(σr)/r,^]=[(σr)/r,×^] です。

 

 [(σr)/r,(×^)i]=σl[(rl/r),εijkjk^]

 =εijkσlj[(rl/r),pk^]

 =εijkjσl(iδlk/r-irlk/r2)=iεijkjσk/r

 

 =i(×σ)i/rです。

 

 それ故,[(σr)/r,^]=i(×σ)/rです。

 

 一方,[(σr)/r,^]=(1/2)[(σr)/r,σ]です。

 

 (1/2)[(σr)/ri]=(1/2)(rj/r)[σji]

 =iεjlkjσk/r=-i(×σ)i/rなので,

 

 [(σr)/r,^]=-i(×σ)/rを得ます。

 

 以上から,[(σr)/r,^]=0 が得られます。

 

 つまり,(σr)/rは全角運動量^とは独立です。

 

 そこで,全角運動量の固有値(j,m)に属する固有状態に演算子:

 (σr)/rを作用させたとき,これは軌道角運動量lは変えても,

 (j,m)は変えません。

 

 特に,σ±=(1/2)(σ1±iσ2)と書けば,

 (σr)/r=σ1sinθcosφ+σ2sinθsinφ+σ3cosθ

 ={σexp(-iφ)+σexp(iφ)}sinθ+σ3cosθ です。

 

 そして,公式によれば,次の球面調和関数の漸化式が成立します。

 

 lは正の整数,または 0 とします。

 

 また,この公式のmは,便宜上,(j,m)のm,つまりm=j3(半奇数)

 ではなく,m=l3(整数)とします。

 

  cosθYlm

 =[(l-m+1)(l+m+1)/{(2l+1)(2l+3)}]1/2l+1m

 +[(l-m)(l+m)/{(2l-1)(2l+1)}]1/2l-1m,

 

 ±sinθexp(±iφ)Ylm

 =-[(l±m+1)(l±m+2)/{(2l+1)(2l+3)}]1/2l+1m±1

 +[(-l±m)(-l±m+1)/{(2l-1)(2l+1)}]1/2l-1m±1

 です。

 

 よって,(σr)/rは確かにlを1だけ変化させます。

 

 さて,上の公式でのm=l3(=軌道角運動量のz成分)を意味する

 mを,本来のm=j3(=全角運動量のz成分)に戻します。

 

 すなわち,m=3から,m=j3=l3±1/2 に戻します。

 

 そして,l=j+1/2 ⇔j=l-1/2に対するspinor: 

 ψjm(-){(l+1/2-m)/(2l+1)}1/2lm-1/2 t[1,0]

 -{(l+1/2+m)/(2l+1)}1/2lm+1/2 t[0,1]に,

 

 (σr)/r={σexp(-iφ)+σexp(iφ)}sinθ+σ3cosθ

 を作用させます。

 

 こうして得られたYl-1の項は,σ3cosθの作用からは,  

{(l-m+1/2)/(2l+1)}{(l+m-1/2)/(2l-1)}1/2

×Yl-1m-1/2 t[1,0]

{(l+m+1/2)/(2l+1)}{(l-m-1/2)/(2l-1)}1/2

×Yl-1m+1/2 t[0,1],

 

exp(-iφ)+σexp(iφ)}sinθの作用からは, 

{(l+m+1/2)/(2l+1)}{(l+m-1/2)/(2l-1)}1/2

×Yl-1m-1/2 t[1,0]

{(l-m+1/2)/(2l+1)}{(l-m-1/2)/(2l-1)}1/2

×Yl-1m+1/2 t[0,1]

 

となります。

 

これらを加え合わせると, 

{(σr)/r}ψjm(-)={(l+m-1/2)/(2l-1)}1/2l-1m-1/2t[1,0]

{(l-m-1/2)/(2l-1)}1/2l-1m+1/2 t[0,1] 

t[{(l+m+1/2)/(2l+1)}1/2lm-1/2,

   {(l-m+1/2)/(2l+1)}1/2lm+1/2 ] 

を得ます。

 

同様に,l+1の項を計算すると,これはゼロとなって消えます。

 

ところで,先にj=l+1/2 ⇔l=j-1/2に対して与えた角変数

部分のspinorの陽な形は

 

ψjm(+)t[{(l+m+1/2)/(2l+1)}1/2lm-1/2,

         {(l-m+1/2)/(2l+1)}1/2lm+1/2 ]

 

でした。 

 

しかし,これをj=l-1/2のφjm(-)と同じ軌道角運動量:

l=j+1/2で表現するには,上のlをl-1に置き換える必要

があります。

 

かくして, 

ψjm(+)t[{(l+m-1/2)/(2l-1)}1/2l-1m-1/2,

         {(l-m-1/2)/(2l-1)}1/2l-1m+1/2 ] です。

 

したがって,(σr)/r}ψjm(-)=ψjm(+)が確かめられました。

 

私のノートでは,同様に{(σr)/r}ψjm(+)=ψjm(-)も具体的に

検証していますが,ここでは煩雑になるので割愛します。

 

(注1-3終わり)※

 

与えられた(j,m)を持つ一般解は,動径関数:

[{iGj±(r)/r},[{Fj±(r)/r}を係数とする角変数部分の

線形結合として,

 

Ψjmt[(iGj/r)ψjm(+)+(iGj/r)ψjm(-),

       (Fj/r)ψjm(-)+(Fj/r)ψjm(+) ]

 

なる形に表現されます。

 

 しかし,V(r)が空間反転の下で不変なので,

 

 H^Ψjm=EΨjmを満たす"定常状態=エネルギー固有関数":

 Ψjmは,(j,m)に沿ったパリティ固有状態に分類できますから,

 最終的には明確なパリティを持つ2つの状態に分解します。

 

 jが同じ,lが1だけ異なりパリティが(-)lで与えられる状態: 

 Ψjmlt[(iGlj/r)ψjml,(Flj/r){(σr)/r}ψjml] です。

 

 ただし,

 j=l+1/2なら,lj=Gj,Flj=Fjjml=ψjm(+) 

 j=l-1/2になら,Glj=Gj,Flj=Fjjml=ψjm(-)

 です。

 

(注1-4):4次元慣性系の座標変換をx'μ=aμννとするとき,

 この変換に対して状態のspinorが,

Ψ(x)→ Ψ(ax)=S(a)Ψ(x)なる変換を受けるとします。

 

Dirac方程式は,変換の演算子 or 変換行列:S(a)が, 

S(a)γν-1(a)aμν=γμ,

orμνγν=S-1(a)γμS(a)を満足すれば,

変換の下で形が不変です。

 

そして,a=(aμν)が空間反転:'=-を表わすときは,

S(a)をPと書いてパリティ変換と呼ぶことにします。

 

天下り的ですが0をある実数としてP≡exp(iδ00とおけば,

-1γ0P=γ0γ0γ0=γ0,および,P-1γkP=γ0γkγ0=-γk

が確かに満足されます。

 

そこで,このPによりΨ→Ψ'(-,t)=PΨ(,t)

=exp(iδ00Ψ(,t)とすれば,空間反転を表わすことが

できます。

 

この表現では,Pは確かにユニタリ(P-1=P)ですが,

2=exp(2iδ0)なので空間反転Pを続けて2回行なうたびに,

基底も含め系の状態ベクトル全体はexp(2iδ0)倍されます。

 

そこでδ00なら空間反転Pを続けて2回行なうと位相が

0≠0だけ変化します。

 

δ00 でも,ユニタリ内積は不変で斜線(Ray:同値類)としての状態

は元に戻るので対称性は保持され別に問題はないのですが,

 

δ0=0 としてP2=1と考えた方が都合がいいので,

P≡γ0=βの表示を採用します。

 

すると,定常状態では空間反転の変換;'=-に対して,

Ψ()→Ψ'(-)=βΨ()です。

 

パリティが偶,または奇(+,またはー)であるというのは,

Ψ'()=±Ψ()なることを意味しますから,これらは,

βΨ(-)=±Ψ(),またはβΨ()=±Ψ(-)です。

 

(注1-4終わり)※

 

今日はここまでにします。 

 

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)

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コメント

α≡=e^2/(4πε0)で定義されます。

α≡e^2/(4πε0)で定義されます。

投稿: 凡人 | 2013年3月23日 (土) 19時43分

(Yl-m)*=(-)mYl-m ⇨ (Ylm)*=(-1)mYl-m
{(l+1/2-m)/(2l+1)}1/2Ylm-+/2] ⇨ {(l+1/2-m)/(2l+1)}1/2Ylm+1/2]
s^L^=s^L ⇨ s^L^=L^s^

投稿: hirota | 2013年3月23日 (土) 18時04分

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