指数関数,三角関数の構成的定義

　T_NAKAさんのブログ「T_NAKAの阿房ブログ」の最近のEulerの公式関連の記事に刺激されたこともありますが,

　ここのところ,私の科学記事は物理学それも素粒子論の「量子電磁力学のくりこみの具体的計算」と,かなり偏ってきているので,数学,それも19世紀の解析学(analysis)で息抜き？をします。

　手抜き(＝息抜き？)をして40年くらい前の大学３～４年の頃の化石的ノートからです。

　種本はもうボロボロになったW.Rudinの"Principles of Mathematical Analysis"(McGrawHill)のReprint版です。

　当時は"学生運動部,暴力学生科"に属していたこともあり,物理学科３年生で必修２科目＝たった４単位足りなくて留年となりました。

　この２回目の３年生のときは,物理は２科目とヒマなので数学科にもぐりこんで講義を受けましたが,そのときの教科書がこれです。

　これ,後に邦訳で「現代解析学」として出版されています。

(↑このときの数学科の講義を受けた１年間は,後で非常に役に立っています。昔から転んでもタダでは起きないので。。。)

　さて,この項では複素関数論の知見を極力用いずに,単に実数体Ｒでの議論を複素数体Ｃに拡張した話として論じます。

　そこで,ほとんどはＣをＲに,ｚ∈Ｃをｘ∈Ｒに読み替えても成立する話です。

[補助定理](級数論から)：Ｒをある非負の実数とし,級数Σ_n=0^∞ｃ_nｚⁿ (ｚ∈Ｃ)が|ｚ|＜Ｒに対して収束するとき,

　ｆ(ｚ)≡Σ_n=0^∞ｃ_nｚⁿとおけば,∀0＜ε＜Ｒに対して,上記級数は{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で一様収束する。

　また,ｆ(ｚ)は{ｚ∈Ｃ:|ｚ|＜Ｒ}において連続かつ微分可能であってｆ'(ｚ)≡ｄｆ/ｄｚ＝Σ_n=1^∞ｎｃ_nｚ^n-1 である。

(証明):Ｒより小さい実数ε＞0 が任意に与えられたとします。

　|ｚ|≦Ｒ－εなら|ｃ_nｚⁿ|≦|ｃ_n(Ｒ－ε)ⁿ|であり仮定によってΣ_n=0^∞ｃ_n(Ｒ－ε)ⁿは収束します。

　故に優級数の法則によりΣ_n=0^∞ｃ_nｚⁿは{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で絶対かつ一様収束します。

　一方,lim_n→∞ｎ^1/n＝1なのでlimsup(ｎ|ｃ_n|)^1/n＝limsup(|ｃ_n|)^1/n＝1/Ｒです。

　したがって,Σ_n=1^∞ｎｃ_nｚ^n-1 も{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で絶対かつ一様収束します。

　ｓ_n(ｚ)＝Σ_k=0ⁿｃ_kｚ^kとおけば,これは明らかに{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で連続かつ微分可能です。

　ｆ(ｚ)＝lim_n→∞ｓ_n(ｚ)が一様収束なので,ｆ(ｚ)は{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で連続です。

　また,ｓ_n'(ｚ)＝Σ_k=1ⁿｋｃ_kｚ^k-1であり,これは{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で連続です。

　この領域でｓ_n(ｚ)がｓ_n(ｚ)→ｆ(ｚ)と各点収束し,ｓ_n'(ｚ)→ｇ(ｚ)と一様収束するなら,ｆ'(ｚ)＝ｇ(ｚ)＝lim_n→∞ｓ_n'(ｚ)＝Σ_n=1^∞ｎｃ_nｚ^n-1 でありｇ(ｚ)＝ｆ'(ｚ)は連続です。(証明終わり)

(※(注0):優級数の法則というのは,実数Ｒの空間が絶対値をノルムとして完備なノルム空間,すなわち数列(点列)のCauchy列が収束するなら列も収束する空間なので,

　|ａ_n|≦|ｂ_n|(ｂ_nがａ_nの優級数)でΣ_nｂ_nが収束するなら,|Σ_n=m^∞ａ_n|≦|Σ_n=m^∞ｂ_n|→0 より,Σ_nａ_nも収束するという法則です。※)

[定義1](指数関数):複素数体Ｃの上の関数Ｅ(ｚ)を右辺の級数が収束するなら,Ｅ(ｚ)≡Σ_n=0^∞ｕ_n(ｚ)＝Σ_n=0^∞ｚⁿ/ｎ!で定義する。(ｕ_n(ｚ)≡ｚⁿ/ｎ!)

[Ｅの性質]:∀ｚ∈Ｃについて,{|ｚ|ⁿ⁺¹/(ｎ＋1)!}/(|ｚ|ⁿ/ｎ!)＝|ｚ|/(ｎ＋1)→ 0 as ｎ→∞ なので,

　十分大きいｎに対し,limsup|ｕ_n+1(ｚ)/ｕ_n(ｚ)|＜1です。

　故に,Σ_n=0^∞ｕ_n＝Σ_n=0^∞ｚⁿ/ｎ!は∀ｚ∈Ｃに対して絶対収束して有限確定値を取ります。

　定義式の級数の収束半径は∞であり,絶対かつ一様に収束します。

　絶対収束する級数の掛け算則によれば,

　Ｅ(ｚ)Ｅ(ｗ)＝(Σ_n=0^∞ｚⁿ/ｎ!)(Σ_m=0^∞ｗ^m/ｍ!)

＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)Σ_k=0ⁿ [_nＣ_k=0ⁿｚ^kｗ^n-k]＝Σ_n=0^∞(ｚ＋ｗ)ⁿ/ｎ!です。

　故に,∀ｚ,ｗ∈Ｃに対しＥ(ｚ＋ｗ)＝Ｅ(ｚ)Ｅ(ｗ)が成立します。

　これから,Ｅ(ｚ)Ｅ(－ｚ)＝Ｅ(0)＝1です。

　このことから,また,∀ｚ∈ＣについてＥ(ｚ)≠0 です。

　そして,特にｘ∈ＲならＥ(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｘⁿ/ｎ!ですが,右辺の級数はｘ＞0 なら正ですからＥ(ｘ)＞0　です。

　そこで,Ｅ(ｘ)Ｅ(－ｘ)＝Ｅ(0)＝1より,Ｅ(－ｘ)＝1/Ｅ(ｘ)＞0 ですから,結局∀ｘ∈ＲについてＥ(ｘ)＞0 です。

　定義によって,ｘ→＋∞に対してＥ(ｘ)＞1＋ｘ→＋∞ですからＥ(ｘ)＝1/Ｅ(－ｘ)よりｘ→－∞に対してＥ(ｘ)→0 です。

　ｘ＞0のとき,Ｅ(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｘⁿ/ｎ!の右辺各項は１を除いて全て単調増加するので,0＜ｘ＜ｙならＥ(ｘ)＜Ｅ(ｙ)です。故に,0＜ｘ＜ｙならＥ(－ｘ)＞Ｅ(－ｙ)です。

[定理1]:微分係数:Ｅ'(ｚ)は常に存在してＥ'(ｚ)＝Ｅ(ｚ)である。

(証明):{Ｅ(ｚ＋ｈ)－Ｅ(ｚ)}/ｈ＝{Ｅ(ｚ)Ｅ(ｈ)－Ｅ(ｚ)}/ｈ＝Ｅ(ｚ)[{Ｅ(ｈ)－1}/ｈ]です。

　ところが,{Ｅ(ｈ)－1}/ｈ＝Σ_n=1^∞ｈ^n-1/ｎ!＝1＋ｈ/2!＋ｈ²/3!＋..ですから,lim_h→0[{Ｅ(ｈ)－1}/ｈ]＝1＝Ｅ'(0)です。

　故に,Ｅ'(ｚ)＝lim_h→0{Ｅ(ｚ＋ｈ)－Ｅ(ｚ)}/ｈ＝Ｅ(ｚ)im_h→0[{Ｅ(ｈ)－1}/ｈ]＝Ｅ(ｚ)です。(証明終わり)

　Ｅ(ｚ＋ｗ)＝Ｅ(ｚ)Ｅ(ｗ)から,帰納法によってＥ(ｚ₁＋ｚ₂＋..＋ｚ_n)＝Ｅ(ｚ₁)Ｅ(ｚ₂)..Ｅ(ｚ_n)です。

　特に,ｚ₁＝ｚ₂＝..＝ｚ_n＝ｚならＥ(ｎｚ)＝{Ｅ(ｚ)}ⁿです。

さらに,Ｅ(ｎｚ)＝{Ｅ(ｚ)}ⁿにおいて,ｚ＝1とおけばＥ(ｎ)＝{Ｅ(1)}ⁿを得ます。

　ところが,数ｅの定義から,Ｅ(1)＝Σ_n=1^∞(1/ｎ!)＝1＋1＋1/2!＋1/3!＋..＝ｅですから,結局,ｎが自然数ならＥ(ｎ)＝ｅⁿです。

　そしてＥ(－ｎ)＝1/Ｅ(ｎ)ですから,Ｅ(－ｎ)＝1/ｅⁿ ＝ｅ^-nであり,またＥ(0)＝1＝ｅ⁰です。

　結局ｎが整数ならＥ(ｎ)＝ｅⁿという結論を得ます。

※(注1):実数(超越数)ｅの定義は,このRudinのテキストではｅ≡Σ_n=1^∞(1/ｎ!)ですが,テキストによってはｅ≡lim_n→∞(1＋1/ｎ)ⁿが定義です。

　私も高校では後者の定義を習いました。

　これらの定義が等価であることを示すために,数列{ｓ_n},{ｔ_n}をそれぞれｓ_n≡Σ_k=1ⁿ(1/ｋ!),ｔ_n≡(1＋1/ｎ)ⁿとおきます。

ｓ_n≡Σ_k=1ⁿ(1/ｋ!)は,陽な外延的表現ではｓ_n＝1＋1＋1/2!＋1/3!＋..＋1/ｎ!です。

他方,二項定理によりｔ_n＝Σ_k=0ⁿ _nＣ_k(1/ｎ^k)＝Σ_k=0ⁿ{1/(ｎ^kｋ!)}ｎ(ｎ－1)(ｎ－2)..(ｎ－ｋ＋1)

＝Σ_k=0ⁿ[(1－1/ｎ)(1－2/ｎ)..{1－(ｋ－1)/ｎ}/ｋ!]

＝1＋1＋(1－1/ｎ)/2!＋(1－1/ｎ)(1－2/ｎ)/3!＋//＋[(1－1/ｎ)(1－2/ｎ)..{1－(ｎ－1)/ｎ}/ｎ!です。

　故に,ｔ_n≦ｓ_nですからlimsupｔ_n≦limsupｓ_nです。

　一方,ｎ≧ｍなら

ｔ_n＝1＋1＋(1－1/ｎ)/2!＋..＋[(1－1/ｎ)(1－2/ｎ)..{1－(ｎ－1)/ｎ}/ｎ! ≧1＋1＋(1－1/ｎ)/2!＋..＋[(1－1/ｎ)(1－2/ｎ)..{1－(ｍ－1)/ｎ}/ｍ!です。

　この式の右辺でｍを固定して,ｎ→∞の極限を取ると,

　liminfｔ_n≧1＋1＋1/2!＋..＋l/ｍ!＝ｓ_mを得ます。

　よって,ｍ→∞としてliminfｔ_n≧liminfｓ_nが得られます。

ｓ_nは収束することがわかっており,そこでlimsupｓ_n＝liminfｓ_n＝lim_n→∞ｓ_nです。

そこで,ｅ≡1＋1＋1/2!＋1/3!＋..＝limｓ_nという定義からは,

ｅ＝limsupｓ_n＝liminfｓ_nですから,ｅ≦liminfｔ_n≦limsupｔ_n≦ｅとなりlimsupｓ_n＝liminfｓ_n＝ｅとなります。

したがって,lim_n→∞ｔ_n＝lim_n→∞(1＋1/ｎ)ⁿ＝ｅであり,両者の定義は一致します。(注1終わり)※

　次に,ｐを正の有理数としてｐ＝ｎ/ｍとします。

　ｎ,ｍは自然数です。

　有理数体をＱ,整数環をＺ,自然数(正整数全体)をＪとする慣例記法を採用すれば,ｐ＝ｎ/ｍ∈Ｑ,(ｐ＞0),ｎ,ｍ∈Ｊです。

　このとき,{Ｅ(ｐ)}^m＝Ｅ(ｍｐ)＝Ｅ(ｎ)＝ｅⁿです。

よって,ｐ∈Ｑ,ｐ＞0ならＥ(ｐ)＝ｅ^n/m＝ｅ^pです。

Ｅ(－ｐ)＝1/Ｅ(ｐ)よりＥ(－ｐ)＝ｅ^-pですから,結局,∀ｐ∈Ｑに対してもＥ(ｐ)＝ｅ^pを得ます。

　ところで,ａ＞1なるａ∈Ｒと∀ｘ∈Ｒに対しては,ａ^ｘ＝supａ^pが成立します。

　ａ^pの上限:supａ^pとはsup{ａ^p:ｐ∈Ｑ,ｐ＜ｘ}を意味します。

そこでｘ∈Ｒについてもｅ^x＝sup{ｅ^p:ｐ∈Ｑ,ｐ＜ｘ}です。

関数Ｅ(ｘ)の連続性と単調性とＥ(ｐ)＝ｅ^p (ｐ∈Ｑ)から,∀ｘ∈Ｒに対してＥ(ｘ)＝ｅ^x＝exp(ｘ)を得ます。

後は,一致の定理,または解析接続によって,

∀ｚ∈Ｃに対してＥ(ｚ)＝ｅ^z＝exp(ｚ)を得ます。

ただし,複素関数論の詳細についてはここでは言及しません。

以下では,Ｅ(ｚ)をｅ^z,またはexp(ｚ)と書きます。

それ故,ｅ^z＝exp(ｚ)＝Σ_n=0^∞ｚⁿ/ｎ!です。

　さて,ｘ∈Ｒのときの指数関数exp(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｘⁿ/ｎ!の性質を列挙しておきます。

[定理2]:　　　

(ａ)関数exp(ｘ)はＲの上で連続で微分可能である。　

(ｂ){exp(ｘ)}'＝exp(ｘ)　

(ｃ)関数exp(ｘ)はＲの上で単調増加連続である。

(ｄ)exp(ｘ＋ｙ)＝exp(ｘ)exp(ｙ)　

(ｅ)lim_x→∞exp(ｘ)＝∞,lim_x→-∞exp(ｘ)＝0　

(ｆ)lim_x→∞{ｘⁿexp(－ｘ)}＝0 (ｎ∈J)

　(ｆ)以外は,ほぼ自明なので(ｆ)のみの証明を与えておきます。

((ｆ)の証明):ｘ＞0なら,exp(ｘ)＞ｘⁿ⁺¹/(ｎ＋1)!⇔ exp(－ｘ)＜(ｎ＋1)!/ｘⁿ⁺¹です。

故に,0＜ｘⁿexp(－ｘ)＜ｎ＋1)!/ｘなので,

lim_x→∞ｘⁿexp(－ｘ)＝0です。(証明終わり)

[定義2](対数関数):ＥはＲの上で厳密に単調増加で微分可能なので,やはり厳密に単調増加で微分可能な逆関数Ｌを持ちます。

　すなわち,Ｅ(Ｌ(ｙ))＝ｙ(ｙ＞0),あるいは同じことですがＬ(Ｅ(ｘ))＝ｘです。

　つまり,Ｌ(ｙ)はＥ(ｘ)＝ｙなるｘで定義されます。

[Ｌの性質]:

　Ｅ(Ｌ(ｙ))＝ｙの両辺をｙで微分すると,

　Ｅ'(ｘ)＝ｄＥ(ｘ)/ｄｘ＝Ｅ(ｘ)なので,合成関数の微分則(chain-rule)によりＥ(Ｌ(ｙ))Ｌ'(ｙ)＝1です。

　すなわち,ｙＬ'(ｙ)＝1なのでＬの微分係数はＬ'(ｙ)＝ｄＬ(ｙ)/ｄｙ＝1/ｙです。

　また,Ｌ(Ｅ(ｘ))＝ｘよりＬ(Ｅ(0))＝0,つまりＬ(1)＝0 です。

　それ故,微分の逆演算としての積分法の基本定理により,

　Ｌ(ｙ)＝∫₁^yＬ'(ｘ)ｄｘ＝∫(1/ｘ)ｄｘです。₁^y

　次に,ｕ＝Ｅ(ｘ),ｖ＝Ｅ(ｙ)と書けば,Ｌ(ｕｖ)＝Ｌ(Ｅ(ｘ)Ｅ(ｙ))＝Ｌ(Ｅ(ｘ＋ｙ))＝ｘ＋ｙです。

　ｘ＝Ｌ(ｕ),ｙ＝Ｌ(ｖ)ですから,Ｌ(ｕｖ)＝Ｌ(ｕ)＋Ｌ(ｖ)(ｕ,ｖ＞0)が成立します。

　Ｌ(ｘ)はＥ(ｘ)＝exp(ｘ)の逆関数ですから,通常Ｌ(ｘ)をlogｘと書き,ｘの対数関数と呼びます。

　さて,対数関数の他の性質ですが,[定理2](ｅ)のlim_x→∞exp(ｘ)＝∞,lim_x→-∞exp(ｘ)＝0 ,および関数Ｅ,Ｌの単調性から,

　ｙ＝Ｅ(ｘ)→∞とｘ＝Ｌ(ｙ)→∞は同値,またｙ＝Ｅ(ｘ)→0 とｘ＝Ｌ(ｙ)→－∞は同値です。

　そこで,ｘ→∞に対しlogｘ→∞,ｘ→0 に対しlogｘ→-∞です。

　また,ｘ＞0 としてＥ(ｎＬ(ｘ))＝{Ｅ(Ｌ(ｘ))}ⁿ＝ｘⁿです。

　これはｎ∈Ｚの場合ですが,同じくｘ＞0,ｍ∈Ｊとして,

　Ｅ(Ｌ(ｘ)/ｍ)＝ｘ^1/mです。何故なら,両辺をｍ乗するとＥ(Ｌ(ｘ))＝ｘとなるからです。

　よってｘ＞0 なら∀ｐ∈Ｑに対してｘ^p＝Ｅ(ｐＬ(ｘ))＝exp(ｐlogｘ)＝ｅ^plogxですから,

　∀α∈Ｒに対して,

　ｘ^α≡Ｅ(αＬ(ｘ))＝exp(αlogｘ)＝ｅ^αlogx

でｘ(ｘ＞0)のα乗:ｘ^αを定義します。

(※余談ですが,ｘ＞0でなかったり複素数ｘ＝ｚなら,logｘは一般に一価でなく多価です。

　つまり,通常の意味では関数でさえないのでｘ^αも多価で,一意的定義にはなりません。まあ,(－1)^1/2＝±iとかは複素数を考えないなら存在しないですが。。

　しかし,α＝ｎ(ｎが整数)なら,ｘ＜0でｘ＝－ｙ(ｙ＞0)でも,logｘ＝logｙ＋i(2ｋ＋1)πなのでｘⁿ＝exp(αlogｘ)＝exp(ｎlogｙ＋iｎ(2ｋ＋1)π＝exp(ｎlogｙ＋iｎπ)＝(－1)ⁿｙⁿで通常のｘⁿの定義に一致するため問題ないのですが。。※)

　この定義を用いると,ｘ^αの微分係数は,

　(ｘ^α)'＝Ｅ(αＬ(ｘ))(α/ｘ)＝αｘ^α-1で与えられます。

　かくして,整数ｎに対する微分法則:(ｘⁿ)'＝ｎｘ^n-1は,ｎが整数でなく一般の実数αのケースでも成立することがわかります。

　そこで,α≠－1なら∫ｘ^αｄｘ＝ｘ^α+1/(α＋1)＋Ｃであり,

　また,α＝－1なら∫ｘ^αｄｘ＝∫(1/ｘ)ｄｘ＝logｘ＋Ｃです。

　さらにα＞0 ならｘ→∞に対してｘ^-αlogｘ→0 です。

　何故なら,0＜ε＜αとすると,

　ｘ^-αlogｘ＝ｘ^-α∫ｔ^-1ｄｔ＜ｘ^-α∫ｔ^ε-1ｄｔ＝ｘ^-α(ｘ^ε－1)/ε＜ｘ^ε-α/ε→0 となるからです。

[定義3](三角関数):∀ｘ∈Ｒに対してＣ(ｘ)＝{Ｅ(iｘ)＋Ｅ(－iｘ)}/2,Ｓ(ｘ)＝{Ｅ(iｘ)－iＥ(－iｘ)}/(2i)と定義する。

[Ｃ,Ｓの性質}:

上記のＣ(ｘ),Ｓ(ｘ)の定義が,歴史的に幾何学的考察から定義されたcosｘ,sinｘに一致することを以下に示そうと思います。

まず,ｚ∈ＣについてΣ_n=0^m(ｚ^＊)ⁿ/ｎ!＝{Σ_n=0^mｚⁿ/ｎ!}^＊ですから,

Ｅ(ｚ)の定義によりlim_m→∞|Ｅ(ｚ)^＊－Σ_n=0^m(ｚ^＊)ⁿ/ｎ!|＝lim_m→∞|Ｅ(ｚ)－Σ_n=0^mｚⁿ/ｎ!|＝0 です。 (上添字 * は複素共役(complex-conjugate)を意味します。)

したがって,Ｅ(ｚ^＊)＝Ｅ(ｚ)^＊です。

故に∀ｘ∈ＲについてＥ(－iｘ)＝Ｅ(iｘ)^＊ですからＣ(ｘ),Ｓ(ｘ)は実数ｘの実数値関数です。

定義から明らかに,exp(iｘ)＝Ｅ(iｘ)＝Ｃ(ｘ)＋iＳ(ｘ)です。

Ｃ(ｘ),Ｓ(ｘ)は,それぞれＥ(iｘ)＝exp(iｘ)の実部と虚部です。

また.|Ｅ(iｘ)|²＝Ｅ(iｘ)Ｅ(iｘ)^＊＝Ｅ(iｘ)Ｅ(－iｘ)＝1ですから,||Ｅ(iｘ)|＝1で,Ｃ(ｘ)²＋Ｓ(ｘ)²＝1が成立します。

そして,これから|Ｃ(ｘ)|≦1,|Ｓ(ｘ)|≦1,あるいは－1≦Ｃ(ｘ)≦1,－1≦Ｓ(ｘ)≦1です。

さらに,Ｅ(0)＝Ｃ(0)＋iＳ(0)＝1より,Ｃ(0)＝1,Ｓ(0)＝0 です。

また,Ｃ'(ｘ)＝{iＥ'(iｘ)－iＥ'(－iｘ)}/2＝－{Ｅ(iｘ)－iＥ(－iｘ)}/(2i),Ｃ'(ｘ)＝{iＥ'(iｘ)＋iＥ'(－iｘ)}/(2i)＝{Ｅ(iｘ)＋Ｅ(－iｘ)}/2です。

つまり,Ｃ'(ｘ)＝－Ｓ(ｘ),Ｓ'(ｘ)＝Ｃ(ｘ)です。

故に,∫Ｓ(ｘ)ｄｘ＝－Ｃ(ｘ)＋Ｃ,∫Ｃ(ｘ)ｄｘ＝Ｓ(ｘ)＋Ｃが成立します。ただし,紛らわしいですが右辺のＣは積分定数です。

[定理3]:Ｃ(ｘ)＝0を満たす正の実数ｘが存在する。

(証明)帰謬法で証明するため,まずＣ(ｘ)＝0 かつｘ＞0 を満たすｘ∈Ｒが存在しないと仮定します。

すると,Ｃ(0)＝1でＣは連続ですから,∀ｘ＞0 に対しＣ(ｘ)＞0 となります。

つまり,ｘ＞0 なら,Ｓ'(ｘ)＝Ｃ(ｘ)＞0 なので,この領域でＳは単調増加であり,Ｓ(0)＝0 です。それ故,ｘ＞0 ならＳ(ｘ)＞0 です。

よって,0＜ｘ＜ｙならＳ(ｘ)(ｙ－ｘ)＜∫_x^yＳ(ｔ)ｄｔ＝Ｃ(ｘ)－Ｃ(ｙ)≦2です。

つまり,あるａ＞0 を固定してＡ＝Ｓ(ａ)と置けば,Ａ＞0 であって,ｂ＞ａのとき,Ａ(ｂ－ａ)≦2,ｂ≦(ａ＋2/Ａ)が成立します。

しかし,ｂ＞ａなるｂはいくらでも大きい値を取ることができるので,十分大きいｂに対し,この不等式は矛盾を生じます。

したがって,Ｃ(ｘ)＝0,かつｘ＞0 を満たすｘ∈Ｒが存在しないという元の仮定が否定されます。(証明終わり)

さて,ｘ₀をＣ(ｘ₀)＝0 を満たす最小の正の数とします。こうしたｘ₀＞0 は確かに存在します。

何故なら,Ｃ(0)≠0であり{ｘ＞0|Ｃ(ｘ)＝0}は関数Ｃの連続性から閉集合ですから,この集合には最小値があります。

つまり,{0}はＲにおいて閉集合ですから,Ｃ(ｘ)の連続性から{0}の逆像Ｃ^-1({0})は閉集合でｘ＞0 の領域の部分集合も閉集合です。

ここで,数πをπ≡2ｘ₀で定義します。

こう定義すればＣ(ｘ₀)＝0 はＣ(π/2)＝0 と書けます。

Ｃ(π/2)＝{Ｅ(πi/2)＋Ｅ(－πi/2)}/2＝0ですから,Ｅ(－πi/2)}/2＝－Ｅ(πi/2)です。

そこで,Ｓ(π/2)＝{Ｅ(πi/2)－Ｅ(－πi/2)}/(2i)

＝Ｅ(πi/2)/iであり,しかもＳ(π/2)＝は実数です。

ところが,|Ｅ(πi/2)/i|＝1ですから,Ｓ(π/2)は絶対値が1の実数なので,＋1か－1のどちらかに等しいはずです。

しかし,区間(0,π/2)ではＳ'(ｘ)＝Ｃ(ｘ)＞0 より,Ｓは単調増加であってＳ(0)＝0 ですからＳ(π/2)＞0 です。

よって,Ｓ(π/2)＝1と結論されます。

そこで,Ｓ(π/2)＝Ｅ(iπ/2)/i＝1 により,Ｅ(iπ/2)＝iです。

したがって,Ｅ(πi)＝{Ｅ(πi/2)}²＝i²＝－1 であり,さらに,

Ｅ(2πi)＝{Ｅ(πi)}²＝i²＝1です。

したがって,∀ｚ∈ＣについてＥ(ｚ＋2πi)＝Ｅ(ｚ)Ｅ(2πi)＝Ｅ(ｚ)が成立します。

※(注2):Ｅ(πi)＝－1 は,形の上ではEulerの公式:exp(iπ)＝－1ですが,ここで定義した数π≡2ｘ₀が謂わゆる円周率のπに一致するかどうかは未だ不明です。(注2終わり)※

[定理4]:(ａ)Ｅは周期的であって,周期は2πiである。

(ｂ)ＣとＳは周期的であって周期は2πである。

(ｃ) 0＜ｔ＜2πならＥ(iｔ)≠1である。

(ｄ)ｚ∈Ｃ,|z|＝1のとき,∃1ｔ∈[0,2π]:ｚ＝Ｅ(iｔ)　

(↑※∃1とは存在して一意的,exist uniquelyの意味です。)

(証明)(ａ)既に上で証明した。

(ｂ)Ｅ(ｚ)が周期2πiの周期関数なのでＥ(iｘ),Ｅ(－iｘ)は周期2πの周期関数です。そこでＣ(ｘ＋2π)＝Ｃ(ｘ),Ｓ(ｘ＋2π)＝Ｓ(ｘ)です。

　しかし,実関数の周期はこうした周期的性質を満たす最小の正の数を意味します。

　Ｓ(ｘ)＝0 を満たすｘはＳ(0)＝0,Ｓ(π)＝0よりｘ＝0,ｘ＝πの順ですからＳの周期はπの倍数ですが,Ｓ(π/2)＝1,Ｓ(3π/2)＝－1ですから周期はπではありません。Ｃについても同様です。

　したがって,Ｃ,Ｓの周期(最小周期)は2πです。

(ｃ) 0＜ｔ＜π/2のとき,

　Ｅ(iｔ)＝ｘ＋iｙと置くと,ｘ＝Ｃ(ｔ),ｙ＝Ｓ(ｔ)ですが,　

　ｘ²＋ｙ²＝1で 0＜ｘ＜1,0＜ｙ＜1です。

　そして,Ｅ(4iｔ)＝(ｘ＋iｙ)⁴＝ｘ⁴－6ｘ²ｙ²＋ｙ⁴＋4iｘｙ(ｘ²－ｙ²)です。もしもＥ(4iｔ)∈Ｒならｘｙ≠0 によりｘ²－ｙ²＝0です。

　一方,ｘ²＋ｙ²＝1 なので,ｘ²＝ｙ²＝1/2です。

　故にＥ(4iｔ)∈ＲならＥ(4iｔ)＝－1です。

　0＜4ｔ＜2πより,この4ｔを改めてｔと書けば,0＜ｔ＜2πでＥ(iｔ)∈ＲならＥ(iｔ)＝－1ですから,Ｅ(iｔ)≠1です。

(ｄ) 0≦ｔ₁＜ｔ₂≦2πなら,0＜ｔ₂－ｔ₁＜2πなので,

　Ｅ(iｔ₂){Ｅ(iｔ₁)}^-1＝Ｅ(iｔ₂－iｔ₁)≠1です。つまりＥ(iｔ₂)≠Ｅ(iｔ₁)です。

故に,Ｅ(iｔ)＝ｚを満たすｔは,この範囲で存在すれば一意的です。

次に,ｚ₁＝ｘ₁＋iｙ₁,ｘ₁≧0,ｙ₁≧0,ｘ₁²＋ｙ₁²＝1とします。

Ｃ'(ｔ)＝－Ｓ(ｔ)＜0 より,関数Ｃ(ｔ)は[0,π/2]の上で 1から0 まで単調減少なのでＣ(ｔ₁)＝ｘ₁を満たすｔ₁∈[0,π/2]が存在します。

一方,Ｃ(ｔ₁)²＋Ｓ(ｔ₁)²＝1でｔ₁∈[0,π/2]よりＳ(ｔ₁)≧0 ですからｘ₁²＋ｙ₁²＝1でｘ₁＝Ｃ(ｔ₁) ｙ₁≧0 から,ｙ₁＝Ｓ(ｔ₁)です。

よって,ｚ₁＝Ｅ(iｔ₁)です。

一般に,ｚ＝ｘ＋iｙ,|ｚ|＝1のとき,ｘ＜0,ｙ≧0 ならｚ₁＝－iｚ,ｘ＜0,ｙ＜0 ならｚ₁＝－ｚ,ｘ≧0,ｙ＜0 ならｚ₁＝iｚと置けば,ｚ₁＝Ｅ(iｔ₁),0≦ｔ₁≦π/2を満たすｔ₁が存在します。

しかも,i＝Ｅ(πi/2),－1＝Ｅ(πi),－i＝Ｅ(3πi/2)で,0＜ｔ₁＋3π/2≦2πですが,

ｘ＜0 なら,y₁＝－ｘ＞0 よりｔ₁＋3π/2≠2πです。

故に,ｚ＝Ｅ(iｔ)(0≦ｔ≦2π)と書けます。(証明終わり)

以上から,γ(ｔ)＝Ｅ(iｔ)＝exp(iｔ)(0＜ｔ＜2π)は,その値域がGauss面上(複素平面上)の単位円に等しい単純閉曲線を作ることがわかります。

そしてγ'(ｔ)＝iＥ(iｔ)＝iexp(iｔ)より|γ'(ｔ)|＝1で,その長さＶ(γ)はＶ(γ)＝∫₀^2π|γ'(ｔ)|ｄｔ＝2πです。

それ故,単位円の周の長さが2πに等しいことがわかります。

つまり,先にπ≡2ｘ₀で定義した数πが通常の幾何学的円周率に等しいことがわかりました。

一方,∫₀^t0|γ'(ｔ)|ｄｔ＝ｔ₀でですから,ｔが0 からｔ₀まで増加するに従って,複素平面上の点γ(ｔ)は長さｔ₀の円弧を描きます。

以上から,頂点がｚ₁＝0,ｚ₂＝γ(ｔ),ｚ₃＝Ｃ(ｔ)の三角形を考えることにより,Ｃ(ｔ),Ｓ(ｔ)はそれぞれcosｔ,sinｔと同じであることがわかりました。　

参考文献:Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis"(McGrawHIll)

ＰＳ１:今から１時間後の朝８時45分に,"たいと"さんがワンボックスの車で迎えに来てくれて湯河原の「杉の宿」まで,毎年恒例「将棋チェスネット」の"夏のオフ会＝将棋合宿"に行くため,

ここでPending...にします。

タイプミスなどを直していたけどもう時間がない。。

ただし,体調は良好です。内科の主治医も一緒に来るしね。。

ＰＳ２:その後,帰ってからPending部分を追加しました。

　なお,退院後一ヶ月で右目はかなり見えてきましたが,なぜか左目がかゆい。