水素様原子の微細構造(補遺2)

「水素様原子の微細構造(補遺1)」の続きです。

今度は,自由電子でなく電子が与えられた外場の中:　

電磁ポテンシャル:Ａ^μ＝(Φ,Ａ)の中にある場合に,

自由電子で得られた変換に対応する変換を探します。 　

　この場合,変換の対象である元の基本のHamiltonianは,

　Ｈ^＝α(ｐ^－ｅＡ)＋βｍ＋ｅΦ＝βｍ＋Ο^＋ε

　で与えられます。

　ただし,便宜上,Ο^≡α(ｐ^－ｅＡ),ε≡ｅΦとしました。

前の自由電子のHamiltonian:Ｈ^＝βｍ＋Ο^;Ｏ^＝αｐ^の

ときと同じく,βＯ^＝－Ｏ^β,βε＝εβが成立します。

そして,Ｈ^＝α(ｐ^－ｅＡ)＋βｍ＋ｅΦ＝βｍ＋Ο^＋εに

出現する外場:Ａ^μ＝(Φ,Ａ)は,一般に時間に依存するため,

Ｈ^も時間ｔに依存します。

そこで,結論から述べると,

自由電子のケースでＨ'^＝exp(iＳ^)Ｈexp(－iＳ^);

Ｈ'^＝β(ｍ²＋ｐ^²)^1/2によって遂行されたようには,

Ｈ'^の中で全ての近似オーダーまでの奇演算子を除去

するＳ^を求めることは不可能です。

　したがって,変換されたHamiltonianを,(1/ｍ)のベキで

　非相対論的　に展開し,(運動エネルギー/ｍ)³と,

　(運動エネルギー)×(場のエネルギー)/ｍ²までのオーダー

　での奇演算子の除去で満足することにします。

　^

さて,再び変換:ψ'＝Ｕ_F^Ψ＝exp(iＳ^)Ψを導入します。

しかし,今回は方程式:i(∂Ψ/∂ｔ)＝Ｈ^Ψは,

i(∂Ψ'/∂ｔ) ＝{exp(iＳ^)Ｈ^exp(－iＳ^)}

にはなりません。

何故なら,Ｕ_F^＝exp(iＳ^)が時間ｔに依存するからです。

実際,Ψ'＝exp(iＳ^)Ψより,

i(∂Ψ'/∂ｔ)

＝iexp(iＳ^)(∂Ψ/∂ｔ)－iexp(iＳ^)(∂Ｓ^/∂ｔ)Ψ

＝exp(iＳ^)Ｈ^Ψ－exp(iＳ^)(∂Ｓ^/∂ｔ)Ψ

です。　

　そこで,i(∂Ψ'/∂ｔ)＝exp(iＳ^)Ｈ^exp(－iＳ^)Ψ'

　＋(exp(iＳ^)(∂Ｓ^/∂ｔ)exp(－iＳ^)Ψ',

　つまり,i(∂Ψ'/∂ｔ)

　＝exp(iＳ^){Ｈ^－i(∂/∂ｔ)}exp(－iＳ^)Ψ'

　が成立します。

したがって,Ｈ'^≡exp(iＳ^){Ｈ^－i(∂/∂ｔ)}exp(－iＳ^)

とおけば,結局Ψ'に対する方程式として,元と同じ形の方程式:

i(∂Ψ'/∂ｔ)＝Ｈ'^Ψ'が得られるわけです。

　そして,Ｓ^は(1/ｍ)のベキに展開されて(1/ｍ)が小さい,つまり

　通常の単位ではｃを光速として{1/(ｍｃ²)}が小さい非相対論的

　極限では,

exp(iＳ^)Ｈ^exp(－iＳ^)

＝Ｈ^＋i[Ｓ^,Ｈ^]＋(i²/2!)[Ｓ^,[Ｓ^,Ｈ^]]＋..

＋(iⁿ/ｎ!)[Ｓ^,[Ｓ^,..[Ｓ^,Ｈ^],..]と近似されます。

※(注3):Ｆ(λ)≡exp(iλＳ^)Ｈexp(－iλＳ^)とおくと,

　Ｆ(λ)＝Ｆ^(0)＋Ｆ'(0)λ＋(1/2!)Ｆ"(0)λ²＋..です。

そして,Ｆ(0)＝Ｈ^ですが,ｄＦ/ｄλ

＝iexp(iλＳ^)[Ｓ^,Ｈ]exp(－iλＳ^),

ｄ²Ｆ/ｄλ²＝i²exp(iλＳ^)[Ｓ^,[Ｓ^,Ｈ^]]exp(－iλＳ^),..より

Ｆ'(0)＝i[Ｓ^,Ｈ^],Ｆ"(0)＝i²[Ｓ^,[Ｓ^,Ｈ^]]です。

　^

故に,Ｆ(1)＝exp(iＳ^)Ｈexp(－iＳ^)

＝Ｈ^＋i[Ｓ^,Ｈ^]＋(i²/2!)[Ｓ^,[Ｓ^,Ｈ^]]＋..etc.です。

次に,Ｇ(λ)≡exp(iλＳ^)(∂/∂ｔ)exp(－iλＳ^)とおくと,

Ｇ(λ)＝Ｇ(0)＋Ｇ'(0)λ＋(1/2!)Ｇ"(0)λ²＋..です。

そして,Ｇ(0)＝－iＳ^dです。

また,ｄＧ/ｄλ＝exp(iλＳ)[Ｓ,Ｓ^d]exp(－iλＳ),

ｄ²Ｇ/ｄλ²＝iexp(iλＳ)[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]exp(－iλＳ),

ｄ³Ｇ/ｄλ³＝i²exp(iλＳ)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]]exp(－iλＳ),..

です。

ただし,Ｓ^d≡Ｓ^dot≡∂Ｓ/∂ｔとおきました。

よってＧ'(0)＝[Ｓ,Ｓ^d],Ｇ"(0)＝i[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]],

Ｇ⁽³⁾(0)＝i²[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]]ですから,

Ｇ(1)＝exp(iＳ)(∂/∂ｔ)exp(－iＳ)

＝－iＳ^d＋[Ｓ,Ｓ^d]＋(i/2!)[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]..etc.です。

(注3終わり)※

　Ｓ＝Ｏ(1/ｍ)ですから,

　Ｈ'～Ｈ＋i[Ｓ,Ｈ]－(1/2)[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]－(i/6)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]]

　＋(1/24)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]]]－Ｓ^d－i[Ｓ,Ｓ^d]

　－(i²/2)[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]です。

　さてＨ'≡exp(iＳ){Ｈ－i(∂/∂ｔ)}exp(－iＳ);

　Ｈ＝βｍ＋Ο＋εを与える適切なＳを構成するに当たり,

　次の１次オーダーの近似を想定します。

　すなわち,Ｈ'≡exp(iＳ){Ｈ－i(∂/∂ｔ)}exp(－iＳ)

　～ (1＋iＳ)Ｈ(1－iＳ)＝Ｈ＋i[Ｓ,Ｈ]です。

　これから,Ｈ'～ βｍ＋ε＋Ο＋i[Ｓ,β]ｍを得ます。

※(注4):Ｈ'～ (1＋iＳ)(βｍ＋Ο＋ε)(1－iＳ)

　＝βｍ＋ε＋Ο＋i[Ｓ,β]ｍ＋i[Ｓ,Ｏ]＋i[Ｓ,ε]

　です。

　仮定によってＳ＝Ｏ(1/ｍ)であり,Ｏ,ε～1,βｍ～ｍですから,

　[Ｓ,Ｏ]＝Ｏ(1/ｍ),[Ｓ,ε]＝Ｏ(1/ｍ)＜＜[Ｓ,β]ｍ＝Ｏ(1)

　です。

　そこで項:i[Ｓ,Ｏ],i[Ｓ,ε]を無視して,

　Ｈ'～ βｍ＋ε＋Ο＋i[Ｓ,β]ｍを得ます。(注4終わり)※

さて,変換後のHamiltonian:Ｈ'～βｍ＋Ο＋i[Ｓ,β]ｍにおいて,

奇演算子が消えることを要求します。

すると,自由粒子の場合からヒントを得て,Ｓ＝－iβＯ/(2ｍ)と

選択するとこうした結果が得られることがわかります。

※(注5):以前に考察した自由粒子Ｈ＝βｍ＋Ο;Ｏ＝αｐのケースには,

　Ｓ＝－iβαｐθ;tan(2|ｐ|θ)＝|ｐ|/ｍ　or 2|ｐ|θ ～ |ｐ|/ｍ

でした。

　このときには,[Ｓ,β]＝－iβ{α,β}ｐθ＝2iαｐθ＝2iＯθ

より,[Ｓ,β]～iＯ/ｍでした。

　今のＨ＝βｍ＋Ο＋ε;Ｏ＝α(ｐ－ｅＡ),ε＝ｅΦのケースでも,

Ｓ＝－iβＯ/(2ｍ)とすれば,[Ｓ,β]＝2iα(ｐ－ｅＡ)/(2ｍ＝iＯ/ｍ

です。

　そこでＨ'～βｍ＋ε＋Ο＋i[Ｓ,β]ｍ＝βｍ＋εとなって,

望み通りβＯ＝－Ｏβを満たす奇演算子Ｏは消去されます。

(注5終わり)※

　したがって,Ｈ＝βｍ＋Ο＋εでＳ＝－iβＯ/(2ｍ)なら,求める

正確度までのオーダーでの展開項を計算すると以下のようになり

ます。

　まず,i[Ｓ,Ｈ]＝－i[Ｓ,β]ｍ＋i[Ｓ,ε]＋i[Ｓ,Ｏ]

＝－Ｏ＋(iβ/ｍ)[Ｏ,ε]＋(β/ｍ)Ｏ²です。

　以下,詳細な計算内容は省略しますが,

　－(1/2)[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]＝－βＯ²/(2ｍ)－{1/(8ｍ²)}[Ｏ,[Ｏ,ε]]

－Ｏ³/(2ｍ²),－(i/6)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]]

＝Ｏ³/(2ｍ³)－βＯ⁴/(6ｍ³)＋..,

(※..の項は[βＯ,[Ｏ,[Ｏ,ε]]]＝β[Ｏ,[Ｏ,[Ｏ,ε]]]ですが,

(運動エネルギー)³(場のエネルギー)/のオーダーなので落とし

ます。 ※)

　(i⁴/4!)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]]]＝βＯ⁴/(24ｍ³) です。　

(※＋Ｏ⁵/(24ｍ⁴)は落とします。)

　さらに,－Ｓ^d＝－∂Ｓ/∂ｔ＝iβＯ^d/(2ｍ),

－i[Ｓ,Ｓ^d]＝{i/(4ｍ²)}[Ｏ,Ｏ^d]を得ます。

　そして,－(i²/2)[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]＝－{iβ/(16ｍ³)}[Ｏ,[Ｏ,Ｏ^d]]は

(1/ｍ)の高次項なので落とします。

　かくして,項をまとめると,

Ｈ'～β{ｍ＋Ｏ²/(2ｍ)－Ｏ⁴/(8ｍ²)}＋ε－{1/(8ｍ²)}[Ｏ,[Ｏ,ε]]

＋{i/(4ｍ²)}[Ｏ,Ｏ^d]＋{β/(2ｍ)}[Ｏ,ε]－Ｏ³/(3ｍ²)

＋iβＯ^d/(2ｍ)＝βｍ＋ε'＋Ｏ'を得ます。

　上の最終形では"Ｏの奇数乗項＝奇演算子"は,(1/ｍ)のオーダーまで

しか含まれていません。

　この項を削除するために,Ｈ'に対してさらに第二のFoldy-Wouthuysen

変換を行ないます。

　すなわち,Ｓ'＝－iβＯ'/(2ｍ)

≡－{iβ/(2ｍ)}[{β/(2ｍ)}[Ｏ,ε]－Ｏ³/(3ｍ²)＋iβＯ^d/(2ｍ)]

として,

　Ｈ"＝exp(iＳ'){Ｈ'－i(∂/∂ｔ)}exp(－iＳ')

＝βｍ＋ε'＋{β/(2ｍ)}[Ｏ',ε']＋iβＯ'^d/(2ｍ)

＝βｍ＋ε'＋Ｏ"を得ます。

　こうして得られた今度の奇演算子Ｏ"のオーダーはＯ(1/ｍ²)です。

※(注6):i[Ｓ',Ｈ']＝Ｏ'＋{β/(2ｍ)}[Ｏ',ε']で,

β(Ｏ'^d)²/ｍはＯ(1/ｍ²)です。

　そして,(i²/2)[Ｓ',[Ｓ',Ｈ']],(i³/3!)[Ｓ',[Ｓ',[Ｓ',Ｈ']]],

(i⁴/4!)[Ｓ',[Ｓ',[Ｓ',[Ｓ',Ｈ']]]],..はＯ(Ｏ'²/ｍ)～Ｏ(1/ｍ³)

です。

　さらに,－Ｓ'^d＝iβＯ'^d/(2ｍ),－i[Ｓ',Ｓ'^d]

＝－{i/(4ｍ²)}[Ｏ',Ｏ'^d]はＯ(1/ｍ⁴)です。(注6終わり)※

　Ｈ"＝βｍ＋ε'＋{β/(2ｍ)}[Ｏ',ε']＋iβＯ'^d/(2ｍ)

＝βｍ＋ε'＋Ｏ"から,最後に第３の正準変換:Ｓ"＝－iβＯ"/(2ｍ)

により,Ｈ⁽³⁾＝exp(iＳ"){Ｈ"－i(∂/∂ｔ)}exp(－iＳ")

を行います。

　Ｈ⁽³⁾＝βｍ＋ε'

＝β{ｍ＋Ｏ²/(2ｍ)－Ｏ⁴/(8ｍ²)}＋ε－{1/(8ｍ²)}[Ｏ,[Ｏ,ε]]

－{i/(4ｍ²)}[Ｏ,Ｏ^d]です。

　上式で,求める精度までの右辺の演算子積を評価します。

　まず,Ｏ²/(2ｍ)＝{α(ｐ－ｅＡ)}²/(2ｍ)

＝(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)－{ｅ/(2ｍ)}σＢです。

※(注7):Π≡ｐ－ｅＡとおきます。

　(αΠ)²＝Σ_i,j(αⁱΠⁱ)(α^jΠ^j)

＝Σ_k(α^k)²(Π^k)²＋Σ_i＜j(αⁱα^jΠⁱΠ^j＋α^jαⁱΠ^jΠⁱ)

＝Π²＋Σ_i＜j(αⁱα^j(ΠⁱΠ^j－Π^jΠⁱ)です。

　故に,{α(ｐ－ｅＡ)}²＝(αΠ)²

＝Π²＋iΣ_kσ^k(Π×Π)^k＝Π²＋iσ(Π×Π) です。

(↑※一般には,(αａ)(αｂ)＝ａｂ＋iσ(ａ×ｂ)です。※)

　ただし,σ＝(σ¹,σ²,σ³)でσ^k≡－iε_ijkαⁱα^jです。

　この4×4行列を成分とする３次元ベクトルσは,Pauliの2×2行列

を成分とするスピンベクトルσ⁽²⁾を対角成分とする細胞対角行列

です。

　そして,Π×Π＝(ｐ－ｅＡ)×(ｐ－ｅＡ)

＝ｐ×ｐ＋ｅ²Ａ×Ａ－ｅ(ｐ×Ａ＋Ａ×ｐ)

＝－ｅ(ｐ×Ａ＋Ａ×ｐ)＝iｅ(∇×Ａ＋Ａ×∇)です。

　そこで,これが演算子として波動関数Ψに掛かるときには,

　(Π×Π)Ψ＝iｅ(∇×Ａ＋Ａ×∇)Ψ

＝iｅ(∇×Ａ)Ψ＋iｅ(∇ψ×Ａ＋Ａ×∇Ψ)

＝iｅ(∇×Ａ)Ψ＝iｅＢΨ　となります。

　したがって,実質的にはΠ×Π＝iｅＢですから,

(αΠ)²＝Π²＋iσ(Π×Π)＝(ｐ－ｅＡ)²－ｅσＢと書けます。

　結局,{α(ｐ－ｅＡ)}²/(2ｍ)

　＝(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)－{ｅ/(2ｍ)}σＢが得られました。

　ｅ＜0 は電子の電荷です。

　Ψ＝^t(ψ,χ)と書けば,－{ｅ/(2ｍ)}σＢΨ

　＝^t(－{ｅ/(2ｍ)}σ⁽²⁾Ｂψ,－{ｅ/(2ｍ)}σ⁽²⁾Ｂχ)です。

　正エネルギーの大成分ψについては,正にPauliのスピン項:

　－{ｅ/(2ｍ)}σ⁽²⁾Ｂψです。

　この項を－{ｅ/(2ｍ)}σ⁽²⁾Ｂ＝μＢと書き,スピンｓがｓ＝σ/2

　であって,スピン磁気モーメントがμ＝ｇｅｓ/(2ｍ)で与えられる

　とすれば,磁気回転比がｇ＝2となることを示しています。

　2006年９/８の過去記事「パウリのスピンと相対性理論」も参照してください。(注7終わり)※

　さらに,{1/(8ｍ²)}{[Ｏ,ε]＋iＯ^d}

　＝{ｅ/(8ｍ²)}{－iα∇Φ－iαＡ^d}＝{iｅ/(8ｍ²)}αＥ

　です。

　そして,[Ｏ,{iｅ/(8ｍ²)}αＥ]＝{iｅ/(8ｍ²)}[αｐ,αＥ]

＝{iｅ/(8ｍ²)}Σ_i,jαⁱα^j(－i∂Ｅ^j/∂ｘⁱ)＋{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)

＝{ｅ/(8ｍ²)}divＥ＋{iｅ/(8ｍ²)}σrotＥ＋{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)

　です。

※(注8):何故なら,まず,Ｏ＝α(ｐ－ｅＡ)なので,

　[Ｏ,αＥ]＝[αｐ,αＥ]ですが,[αｐ,αＥ]Ψ

　＝(αｐ)(αＥ)Ψ－(αＥ)(αｐ)Ψです。

　そして前述の公式:(αａ)(αｂ)＝ａｂ＋iσ(ａ×ｂ)により,

　[αｐ,αＥ]Ψ＝{ｐＥ＋iσ(ｐ×Ｅ)}Ψ＋Ｅ(ｐΨ)

　－iσ{Ｅ×(ｐΨ)}－Ｅ(ｐΨ)－iσ{Ｅ×(ｐΨ)}

　＝{(－i∇Ｅ)＋σ∇×Ｅ}Ψ－2iσ{Ｅ×(ｐΨ)}ですから,

　実質的に,[αｐ,αＥ]＝－idivＥ＋σrotＥ－2iσ(Ｅ×ｐ)

　を得ます。

(注8終わり)※

　したがって,このオーダーまでの変換Hamiltonianである

　Ｈ⁽³⁾＝βｍ＋ε'

　～β{ｍ＋Ｏ²/(2ｍ)－Ｏ⁴/(8ｍ²)}＋ε－{1/(8ｍ²)}[Ｏ,[Ｏ,ε]]

　－{i/(8ｍ²)}[Ｏ,Ｏ^d]の具体的形は,

　Ｈ⁽³⁾～β{ｍ＋(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)－ｐ⁴/(8ｍ³)}

　＋ｅΦ－{ｅβ/(2ｍ)}σＢ

　－{iｅ/(8ｍ²)}σrotＥ－{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)

　－{ｅ/(8ｍ²)}divＥ

　となります。

　これら右辺の項は直接物理的解釈を有します。

　まず,ｍ＋(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)－ｐ⁴/(8ｍ³)は,{(ｐ－ｅＡ)²＋ｍ²}^1/2

の求めるオーダーまでの展開であり,相対論的質量 or 運動エネルギー

　の相対論的補正を示しています。

　そして,第２項ｅΦは静電エネルギー,第３項－{ｅβ/(2ｍ)}σＢは

　磁場の双極子エネルギー項です。

　次のペア項:

　－{iｅ/(8ｍ²)}σrotＥ－{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)

　＝－{ｅ/(8ｍ²)}{iσrotＥ＋2σ(Ｅ×ｐ)}は,

　スピン軌道相互作用エネルギー(spin-orbit interaction energy)

　です。

(※ そして,iσrotＥ＋2σ(Ｅ×ｐ)＝iσ(∇×Ｅ－Ｅ×∇)です。)

　球対称静電ポテンシャルの場なら,非常に馴染み深い形になります。

　この静電ポテンシャルＶのみの場では,

　rotＥ＝0 でＥ＝－(ｒ/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)ですから,

　σ(Ｅ×ｐ)＝－(1/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)σ(ｒ×ｐ)

　＝－(1/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)(σＬ)　です。

　よって,この場からの寄与は,

　－{iｅ/(8ｍ²)}σrotＥ－{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)

　＝{ｅ/(4ｍ²)}(1/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)(σＬ)です。

　Ｈ_spin-orbitと書けば,　

　Ｈ_spin-orbit＝{ｅ/(4ｍ²)}(1/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)(σＬ)

　＝－{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)となります。

　これは,運動する電子が感じる磁場Ｂ'＝－ｖ×Ｅを考えることから

　得られる古典的結果に一致しています。

※(注9):特殊相対論によれば,速度ｖで運動する荷電粒子と共に動く系,

つまり荷電粒子の静止系から見た磁場は,

　Ｂ'＝{Ｂ－(ｖ×Ｅ)/ｃ²}/(1－β²)^1/2;β≡ｖ/ｃ　です。

　故に,磁場のないＢ＝0 の静電場Ｅの中で速度ｖで運動する電子の

　感じる磁場Ｂ'は,非相対論近似で自然単位ｃ＝1では,

　Ｂ'＝－ｖ×Ｅです。

　そこで,予期される相互作用エネルギーは,　

　－{ｅ/(2ｍ)}σＢ'＝{ｅ/(2ｍ²)}σ(ｐ×Ｅ)

　＝－{ｅ/(2ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)　

　です。

　しかし,これはThomas歳差運動のために因子２だけ減じられます。

(※－{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)となりＨ_spin-orbitに一致します。※)

　このことは電子の軌道モーメントの標準的磁気回転比

　(gyromagnetic-ratio):ｇ_eが,ｇ_e＝1であることを示唆

　しています。

(※ なお,Thomas歳差運動,および電子の軌道の磁気回転比がｇ_e＝1

　となることについては,2008年４/９の記事:

　「磁場の中の原子(ゼーマン効果)(1)」を参照してください。※)

　最後の項:－{ｅ/(8ｍ²)}divＥはDarwin項として知られています。

　これは,非相対論では存在せず,物理的解釈が難しいZitterbewegung

　(Kleinのparadoxの関連)に寄与する項でもありますが,これについて

　は後の記事で述べる予定です。

　この項は一般には以下のように解釈されます。

　まず,電子の位置座標はδｒ～ 1/ｍ程度の幅を持ちますが,

　これはCoulombポテンシャルＶを不鮮明にします。

　そして,その不鮮明度は＜δＶ＞＝＜Ｖ(ｒ＋δｒ)＞－＜Ｖ(ｒ)＞

　＝＜δｒ(ｄＶ/ｄｒ)＋(1/2)Σ_i,jδｒⁱδｒ^j(∂²Ｖ/∂ｒⁱδｒ^j)＞

　～(1/6)(δｒ)²∇²Ｖ＝－{ｅ/(6ｍ²)}divＥと書けます。

　(＜ ＞は期待値です。)

　上式の最右辺は,係数を除けば,Darwin項:－{ｅ/(8ｍ²)}divＥ

　と一致しており,この項を定性的に表現していると考えられます。

　つまり,最終項は量子効果によるポテンシャルのゆらぎ(不鮮明さ)

　と解釈sされます。

　今日のところはここまでです。

　短かいですが,このシリーズは間が空き過ぎたのでつなぎです。

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)