水素様原子の微細構造(補遺3-1)

　さて,久しぶりですが「水素様原子の微細構造(補遺2)」の続きです。

Dirac方程式の束縛状態の解の議論に移り,特にCoulomb場における電子のエネルギー準位を考えます。

　回文のようですが,ここでやっと2011年７/17の記事「水素様原子の微細構造(1)」に戻るわけです。

　この過去記事の最初の部分を再掲します。

(↓再掲記事)

(※):水素様原子の電子に対するDirac方程式:{γ^μ(i∂_μ－ｅＡ^μ)－ｍ}ψ＝0,ｅＡ^μ＝(Ｖ,0)は,古典的なSchrodingerの形ではi(∂ψ/∂)＝Ｈψ,Ｈ＝αｐ＋βｍ＋Ｖ(ｒ)と書くことができます。

γ⁰＝γ⁰＝βでγ^k＝βα^kですが^kβ²＝(α^k)²＝1なのでα^k＝βγ^kです。(※)

さらに,自由粒子の相対論的運動方程式の解の明確な形が後の議論に必要なので,それを紹介している2010年５/30の過去記事「散乱の伝播関数の理論(8)」から,Dirac方程式の解の導出部分をやや修正して引用します。

(↓再掲記事)

(※):自由粒子のDirac方程式:(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0 の一般解Ψ(ｘ)の導出過程を復習します。

２行２列のPauliのスピン行列をσ＝(σ¹,σ²,σ³)とします。また,同じく２×２行列ですが単位行列を１²とします。

Pauli行列σの主要な性質として,[σⁱ,σ^j]≡σⁱσ^j－σ^jσⁱ＝ε_ijkσ^k,{σⁱ,σ^j}≡σⁱσ^j＋σ^jσⁱ＝2δ^ijが成立します。

ただし,[Ａ,Ｂ]≡ＡＢ－ＢＡ,{Ａ,Ｂ}≡ＡＢ＋ＢＡです。

　４行４列の行列:βを２つの対角細胞が１²,－１²で非対角細胞が0²の対角細胞型行列とします。

また,４行４列の行列ベクトル:α＝(α¹,α²,α³)は,対角細胞が0²で,非対角細胞が共にσ＝(σ¹,σ²,σ³)である行列とします。

　容易にわかるように,{αⁱ,α^j}＝αⁱα^j＋α^jαⁱ＝2δ^ij,{αⁱ,β}＝αⁱβ＋βαⁱ＝0,β²＝1です。

そこで,γ⁰≡β,γ≡βα,or (γ¹,γ²,γ³)≡(βα¹,βα²,βα³)なる表示を採用すると,これは確かにDirac行列{γ^μ}_μ=0,1,2,3の条件:{γ^μ,γ^ν}＝2ｇ^μνを満足します。

ここでは,Minkowski計量(metric)としてｇ⁰⁰＝1,ｇ⁰ⁱ＝0,ｇ^ij＝－δ^ijを採用しています。

さて,Dirac方程式(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0 の解である波動関数(Diracスピノル)Ψ(ｘ)は４行１列の縦ベクトルです。

(※余談ですが,一般に世界がｄ次元のMinkowski時空なら,その時空でのDiracスピノルは２の(ｄ/2)個の直積(＝テンソル)で与えられるため,その次数は 2^d/2 です。)

　このDirac方程式の変数分離解をΨ(ｘ)＝ｗ(ｐ)exp(－iｐｘ)と書けば,ｗ(ｐ)も４元スピノルで(γ_μｐ^μ－ｍ)ｗ(ｐ)＝0 を満足します。

　粒子の４元運動量ｐ^μは自然単位でｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)ですが,特にこのDirac粒子と共に運動していて,粒子が静止している(ｐ＝0)と見える"運動座標系＝静止系"Ｓ₀では,ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)＝ｐ₀^μ≡(±ｍ,0)です。

(↑ｐ₀^μ＝(±ｍ,0)として,負の静止エネルギーのＥ＝－ｍの解も捨てず,率直に独立解として採用するのがミソです。)

　このＳ₀系での変数分離解は,ｐ₀^μ＝(±ｍ,0)の±に応じて,Ψ₀(ｘ)＝ｗ(0)exp(－iｍｔ),またはΨ₀(ｘ)＝ｗ(0)exp(iｍｔ)です。

したがって,(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0;Ψ(ｘ)＝ｗ(ｐ)exp(－iｐｘ)による(γ_μｐ^μ－ｍ)ｗ(ｐ)＝0 は,ｐ₀⁰＝ｍならγ⁰ｗ(0)＝ｗ(0),ｐ₀⁰＝－ｍならγ⁰ｗ(0)＝－ｗ(0)です。

そこで,静止系での変数分離解Ψ₀(ｘ)は,γ⁰ｗ^±(0)＝±ｗ^±(0)(復号同順)を満たすγ⁰の２つの独立な固有ベクトルｗ^±(0)を用いて,

Ψ₀^＋(ｘ)＝ｗ^＋(0)exp(－iｍｔ),およびΨ₀^－(ｘ)＝ｗ^－(0)exp(iｍｔ)と表わされます。

γ⁰の固有ベクトル:ｗ^±(0)のうち,固有値＋1の固有ベクトルｗ^＋(0)は,^t(1,0,0,0),^t(0,1,0,0)の１次結合で与えられます。

また,固有値が－1の固有ベクトルｗ^－(0)は,^t(0,0,1,0),^t(0,0,0,1)の１次結合です。

そこで,独立な４つを改めてｗ⁽¹⁾(0)≡^t(1,0,0,0),ｗ⁽²⁾(0)≡^t(0,1,0,0),ｗ⁽³⁾(0)≡^t(0,0,1,0),ｗ⁽⁴⁾(0)≡^t(0,0,1,0)と定義します。

すると静止系でのDirac方程式の４つの独立解は,Ψ₀^(r)(ｘ)＝ｗ^(r)(0)exp(－iε_rｍｔ)(ｒ＝1,2,3,4)で与えられます。

ただし,符号関数ε_rは,ε_r≡1(ｒ＝1,2),ε_r≡－1(ｒ＝3,4)で定義されています。

したがって,結局,粒子静止系での任意の自由粒子解:Ψ₀⁾(ｘ)はΨ₀^(r)(ｘ)の１次結合で表わせます。

一方,Lorentz変換(４次元回転):ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^ν,または略記法でｘ'＝ａｘに伴なう波動関数のLorentz回転:Ψ'_α(ｘ')＝Ψ'_α(ａｘ)＝Ｓ_αβ(ａ)Ψ_β(ｘ),またはΨ'(ｘ')＝Ψ'(ａｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(ｘ)を考えます。

すると,ｘ'＝ａｘから逆変換ａ^-1対してｘ＝ａ^-1ｘ'ですから,Ψ'(ｘ')＝Ｓ(ａ)Ψ(ａ^-1ｘ'),つまりΨ'(ｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(ａ^-1ｘ)です。

他方,Ψ(ｘ)＝Ｓ(ａ^-1)Ψ'(ａｘ),Ψ(ｘ)＝Ｓ^-1(ａ)Ψ'(ａｘ)より,Ｓ(ａ^-1) ＝Ｓ^-1(ａ)なる関係が成立します。

また,∂/∂ｘ^μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)(∂/∂ｘ'^ν)ですから,ｘ'^ν＝ａ^ν_μｘ^μより∂_μ＝ａ^ν_μ∂'_νです。

　そこで,Dirac方程式:(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0 にｘ＝ａ^-1ｘ',およびΨ(ｘ)＝Ｓ^-1 (ａ)Ψ'(ｘ')を代入して左からＳ(ａ)を掛けると,[iＳ(ａ)γ^μＳ^-1 (ａ)ａ^ν_μ∂'_ν－ｍ]Ψ'(ｘ')＝0 を得ます。

それ故,ａ^ν_μＳ(ａ)γ^μＳ^-1(ａ)＝γ^ν,つまりａ^ν_μγ^μ＝Ｓ^-1(ａ)γ^νＳ(ａ)であれば,(iγ^ν∂'_ν－ｍ)Ψ(ｘ')＝0 が成立して方程式が相対論的に共変になります。

特に,Δω^μ_νが微小でａ^μ_ν＝ｇ^μ_ν＋Δω^μ_ν;Δω^νμ＝－Δω^μνなる微小Lorents変換ｘ'^ν＝ａ^ν_μｘ^μを考えます。

これに対する４×４変換行列Ｓ(ａ)をΔω^μνの１次まで展開して１次の係数行列を－(i/4)σ_μνと書けば,Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σ_μνΔω^μν＋Ｏ(Δω²)を得ます。

Ｏ(Δω²)が無視できる無限小変換では,Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σ_μνΔω^μν,

Ｓ^-1(ａ)＝1＋(i/4)σ_μνΔω^μνより,

ａ^μ_νγ^ν＝Ｓ^-1(ａ)γ^μＳ(ａ)は,Δω^μ_νγ^ν＝－(i/4)Δω^αβ(γ^μσ_αβ－σ_αβγ^μ)となります。

ここで,Δω^μ_νγ^ν＝ｇ^μ_αΔω^α_νγ^ν＝ｇ^μ_αΔω^αβｇ_βνγ^ν

＝ｇ^μ_αΔω^αβγ_β＝ｇ^μ_βΔω^βαγ_αにより,

Δω^μ_νγ^ν＝(1/2)(ｇ^μ_αΔω^αβγ_β＋ｇ^μ_βΔω^βαγ_α)

＝(1/2)Δω^αβ(ｇ^μ_αΔγ_β－ｇ^μ_βγ_α)を得ます。

故に,(1/2)Δω^αβ(ｇ^μ_αΔγ_β－ｇ^μ_βγ_α)＝－(i/4)Δω^αβ(γ^μσ_αβ－σ_αβγ^μ)ですから,2i(ｇ^μ_αΔγ_β－ｇ^μ_βγ_α)＝[γ^μ,σ_αβ]です。

結局,無限小変換では,Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σ_μνΔω^μν;σ_μν

＝(i/2)[γ_μ,γ_ν]であることがわかります。

　さて,無限小ではなく一般の有限なLorentz変換を,上記の無限小変換を継続的に無限回反復した結果として評価するため,Δω^μνをΔω^μν≡Δω(Ｉ_n)^μνと表現します。

ただし,Δωは軸ｎのまわりの無限小Lorentz回転の回転角を表わす無限小パラメータとし,Ｉ_nは軸ｎについての単位Lorentz回転を示す４×４行列とします。　

※(注):３次元空間の回転:例えばｚ軸の回りのｘｙ平面上の角度φの回転ならｘ'＝ｘcosφ－ｙsinφ,ｙ'＝ｘsinφ＋ｙcosφ,ｚ'＝ｚです。

これはφが無限小回転角Δφなら,ｘ'＝ｘ－ｙΔφ,ｙ'＝ ｘΔφ＋ｙ,ｚ'＝ｚと書けますから,行列形で,

^t(ｘ',ｙ',ｚ')＝^t(ｘ,ｙ,ｚ)＋Δφ^t(―ｙ,ｘ,0)

＝{1＋Δφ(Ｉ_z)}^t(ｘ,ｙ,ｚ)となります。

これによって３×３行列Ｉ_zを定義します。

ただし,^t(ｘ,ｙ,ｚ)は行ベクトル(ｘ,ｙ,ｚ)の転置(transport)である縦ベクトルを意味します。

同様に,ｘ軸,ｙ軸のまわりの回転に対してＩ_x,Ｉ_yが定義できます。

(注終わり)※

さて,Δω^μν＝Δω(Ｉ_n)^μνとおいて,Δω≡ω/ＮとしΔω回転のＮ回の反復によって回転角がωとなるような変換を考えます。

刻みＮが無限大の極限では,ａ^μ_ν＝lim_N→∞Π_n=1^N{1＋(ω/Ｎ)Ｉ_n}^μ_ν

＝{exp(ωＩ_n)}^μ_ν,またはｘ^μ＝ａ^μ_νｘ^ν＝{exp(ωＩ_n)}^μ_νｘ^νが得られます。

そして,これに伴なうスピノルの変換は,Ｓ(ａ)_αβ＝{1－(i/4)Δω(σ_μνＩ_n^μν)}_αβより,Δωが一般の有限角度ωなら,

Ｓ(ａ)_αβ＝exp{－(i/4)ω(σ_μνＩ_n^μν)}_αβ

＝ exp{－(1/8)ω[γ_μ,γ_ν]Ｉ_n^μν}_αβです。

特に,ｘ軸に沿って無限小速度Δｖ＝Δβ＝Δωで運動する座標系への無限小変換は,ｘ'⁰＝ｘ⁰－Δβｘ¹,ｘ'¹＝ｘ¹－Δβｘ⁰です。

そこで,Lorentz変換:ａ^μ_ν＝ｇ^μ_ν＋Δω^μ_ν;Δω^νμ＝－Δω^μνではΔω⁰₁＝Δω¹₀＝－Δβ以外の全てのΔω^μ_νはゼロです。

この場合,有限変換では,ｘ'^μ＝{exp(ωＩ_n)}^μ_νｘ^νであり,

ｘ'⁰＝ｘ⁰coshω－ｘ¹sinhω,ｘ'¹＝ｘ¹coshω－ｘ⁰sinhω,

ｘ'²＝ｘ²,ｘ'³＝ｘ³です。

これに対応するLorentz変換は,相対速度がｖ＝β＝tanhωの変換です。

このとき,coshω＝1/(1－β²)^1/2,sinhω＝β/(1－β²)^1/2です。

よって,確かに無限小変換ではΔβ＝Δωを満たしています。

さて,スピノル無限小変換はΔω⁰¹＝－Δω¹⁰＝Δω＝Δβなので,

Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σ_μνΔω^μνは,Ｓ(ａ)＝1－(iΔω/2)σ₀₁

でσ₀₁＝(i/2)[γ₀,γ₁]＝－iγ⁰γ¹＝－iβ²α¹＝－iα¹です。

それ故,Ｓ(ａ)＝1－Δωα¹/2です。

有限変換では,(α¹)²＝1ですから,Ｓ(ａ)＝exp(－ωα¹/2)＝cosh(ω/2)－α¹sinh(ω/2)です。

そして,系Ｓで粒子が速度ｖ＝βで運動することは,粒子に対して静止している系Ｓ₀に対し系Ｓが相対速度－ｖ＝－βで運動することに同等です。

したがって,静止系Ｓ₀でｐ^μ＝(ｍ,0)の正エネルギー粒子がＳ₀に対して相対速度－ｖ＝－βで運動するＳ系では,

ｘ'⁰＝ｘ⁰coshω－ｘ¹sinhω,ｘ'¹＝ｘ¹coshω－ｘ⁰sinhω,

ｘ'²＝ｘ²,ｘ'³＝ｘ³に対応して,

ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)なる表示で,Ｅ＝ｍ coshω,ｐ¹＝－ｍ sinhω,

ｐ²＝ｐ³＝0 なので,β＝－tanhω＝ｐ/Ｅです。

ただし,ｐ＝|ｐ|＝ｐ¹です。

故に,－tanhω＝ｐ/Ｅから,tanh(ω/2)＝－ｐ/(Ｅ＋ｍ),

cosh(ω/2)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2を得ます。

一方,静止系Ｓ₀で運動量がｐ^μ＝(－ｍ,0)の負エネルギーの粒子がＳ₀に対し相対速度－βで運動するＳ系では,

ｐ^μ＝(－Ｅ,－ｐ)(Ｅ＞0)なるエネルギー表示で,

tanh(ω/2)＝ｐ/(－Ｅ＋ｍ)＝－ｐ/(Ｅ―ｍ),

cosh(ω/2)＝{(Ｅ－ｍ)/(2ｍ)}^1/2です。

以上から,自由粒子波動関数の４つの独立な解は,

Ψ^(r)(ｘ)＝ｗ^(r)(ｐ)exp(－iε^rｐｘ),ｗ^(r)(ｐ)＝Ｓ(ａ)ｗ^(r)(0)

＝{cosh(ω/2)－α¹sinh(ω/2)}ｗ^(r)(0)であり,

ｗ⁽¹⁾(0)≡^t(1,0,0,0),ｗ⁽²⁾(0)≡^t(0,1,0,0),

ｗ⁽³⁾(0)≡^t(0,0,1,0),ｗ⁽⁴⁾(0)≡^t(0,0,1,0)

であることがわかりました。(※)

Ｓ(ａ)＝cosh(ω/2)－α¹sinh(ω/2)であり,

ですから,Ｓ(ａ)＝cosh(ω/2)[1－α¹tanh(ω/2)]

です。

ところが静止系ではｐ^μ＝(ｍ,0)の粒子がｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)で運動する場合,cosh(ω/2)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2,tanh(ω/2)＝－ｐ/(Ｅ＋ｍ)です。

そこで,－sinh(ω/2)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2tanh(ω/2)

　　　　　　　　　 ＝cosh(ω/2)ｐ/(Ｅ＋ｍ)です。

したがって,このときのＳ(ａ)は,

と書けます。(つづく)

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGrawHill)

PS:話は変わりますが,ザッケローニ監督は一味違いますね。

日本代表のレベルアップのため,代表と相俟って国内のＪリーグのレベルアップまで考えているらしいです。

海外に移籍しなくても日本国内やアジアでもスペイン,イタリア,イギリス,ドイツetc.や南米クラスのゲームが出来れば確かにいいですね。