水素様原子の微細構造(補遺3－2)

「水素様原子の微細構造(補遺３)」は10/４にアップして以来,Pendingのまま少しずつ追加しながらほぼ1ヶ月が経ちます。

どうもサイズが大きくなり過ぎたのが原因らしく,書き加えるたびにフリーズするようになったので二つに分割しました。

以下↓は,「補遺３」を分割した前半の「補遺3-1」の続きです。

さて,ここまでは粒子の速度ｖ＝βがｘ軸(ｘ¹軸)に平行で,ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)＝(Ｅ,ｐ,0,0)の特別な場合でした。

これを,速度ｖの方向が任意で,ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)＝(Ｅ,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)の場合に一般化することを考えます。

時空座標:ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ)に対するLorentz変換ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^νは,

粒子の速度ｖ＝βがｘ¹軸に平行な場合には,

ｘ'⁰＝γ(ｘ⁰－βｘ¹),ｘ'¹＝γ(ｘ¹－βｘ⁰),

ｘ'²＝ｘ²,ｘ'³＝ｘ³ですが,

粒子の速度ｖ＝βの方向が任意の場合には,

ｘ'⁰＝γ{ｘ⁰－(βｘ)},ｘ'＝ｘ－γβｘ⁰＋(γ－1)(βｘ)β/β²

と書けます。

ただし,γ≡1/(1－β²)^1/2です。

それ故,速度が無限小速度Δβで与えられる無限小Lorentz変換:

ａ^μ_ν＝ｇ^μ_ν＋Δω^μ_ν;Δω^νμ＝－Δω^μνでは,

Δβがｘ¹軸に平行な場合には,

ｘ'⁰＝ｘ⁰－Δβｘ¹,ｘ'¹＝ｘ¹－Δβｘ⁰,ｘ'²＝ｘ²,ｘ'³＝ｘ³

より,Δω⁰₁＝Δω¹₀＝－Δβで,それ以外のΔω^μ_νはゼロですが,

Δβの方向が任意の場合は,速度ｖ＝Δβの方向余弦を

ｖ/ｖ＝Δβ/Δβ＝(cosＡ,cosＢ,cosＣ)とすると,

ｘ'⁰＝ｘ⁰－ΔβcosＡｘ¹－ΔβcosＢｘ²－ΔβcosＣｘ³,

ｘ'¹＝ｘ¹－ΔβcosＡｘ⁰,ｘ'²＝ｘ²－ΔβcosＢｘ⁰,

ｘ'³＝ｘ³－ΔβcosＣｘ⁰

です。

したがって,　　　

そこで,変換行列:Ｓ＝exp{－(i/4)ω(σ_μνＩ^μν)}

＝ exp{－(1/8)ω[γ_μ,γ_ν]Ｉ^μν}において,σ_μνＩ^μνは,

σ_μνＩ^μν＝－σ₀₁Ｉ⁰₁－σ₀₂Ｉ⁰₂－σ₀₃Ｉ⁰₃＋σ₁₀Ｉ¹₀＋σ₂₀Ｉ²₀＋σ₃₀Ｉ³₀

＝2(σ₀₁cosA＋σ₀₂cosB＋σ₀₃cosC)　と書けます。

ここで,σ_0k＝－σ_k0＝ｉγ₀γ_k＝－iγ⁰γ^k＝－iα^kですから,

σ_μνＩ^μν＝－2i(αｖ)/|ｖ|＝－2i(αβ)/|β|であることがわかります。

ω＝tanh(－β)＝－tanhβ,つまり速度ｖとして－ｖ＝－βをとることにすると,

Ｓ＝exp{－(i/4)ω(σ_μνＩ^μν)}＝exp{－(ω/2)(αβ)/|β|}　

＝Σ_n=0^∞{－{(ω/2)(α¹β¹＋α²β²＋α³β³)/|β|}ⁿです。

ところが,(α¹β¹＋α²β²＋α³β³)²＝|α|²|β|²＋{α¹,α²}β¹β²＋{α²,α³}β²β³＋{α³,α¹}β³β¹＝|β|²です。

故に,{－{(α¹β¹＋α²β²＋α³β³)/|β|}^2k＝1,かつ

{－{(α¹β¹＋α²β²＋α³β³)/|β|}^2k+1＝－(αβ)/|β|です。

そこで,Ｓ＝cosh(ω/2)－{(αβ)/|β|}sinh(ω/2)

　　　　 ＝cosh(ω/2)[1－{(αβ)/|β|}tanh(ω/2)]

を得ます。

なので,特にβ^±≡β¹±iβ²とおけば,

です。

このとき,cosh(ω/2)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2,－tanh(ω/2)＝ｐ/(Ｅ＋ｍ)であり,

－sinh(ω/2)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2{ｐ/(Ｅ＋ｍ)}です。

粒子の運動量は,ｐ＝(ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝ｍｖγ＝ｍβγ;γ≡1/(1－β²)^1/2ですが,

特に,ｐ^±≡ｐ¹±iｐ²とおけば,

一般のLorentz変換の行列:S＝S(ａ)の陽な表現として,

を得ます。

したがって,これに伴う４つの独立な規格化された変数分離解:

Ψ^(r)(ｘ)＝exp(－iε^rｐｘ)ｗ^(r)(ｐ)

　　　　＝exp(－iε^rｐｘ)Ｓｗ^(r)(0)　(ｒ=1,2,3,4)　　

ただし,ε^r＝＋1(ｒ＝1,2),ε^r-＝－1(ｒ＝3.4)

を陽に書けば,

Ψ⁽¹⁾(ｘ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2exp(－iｐｘ)

　　　　　^t(1,0,ｐ³/(Ｅ＋ｍ),ｐ^-/(Ｅ＋ｍ)),

Ψ⁽²⁾(ｘ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2exp(－iｐｘ)

　　　　　^t(0,1,ｐ⁺/(Ｅ＋ｍ),－ｐ³/(Ｅ＋ｍ)),

Ψ⁽³⁾(ｘ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2exp(＋iｐｘ)

^t(ｐ³/(Ｅ＋ｍ),ｐ^－/(Ｅ＋ｍ),1,0),

Ψ⁽⁴⁾(ｘ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2exp(＋iｐｘ)

　　　　　^t(ｐ^＋/(Ｅ＋ｍ),－ｐ³/(Ｅ＋ｍ),0,1)

となります。

これらの解:Ψ^(r)(ｘ)＝exp(－iε^rｐｘ)ｗ^(r)(ｐ)の因子ｗ^(r)(ｐ)は,

(γ_μｐ^μ－ε^rｍ)ｗ^(r)(ｐ)＝0 を満たします。

そこで,ｗ^(r)~(ｐ)≡ｗ^(r)＋(ｐ)γ⁰とおけば,

ｗ^(r)~(ｐ)(γ_μｐ^μ－ε^rｍ)＝0 が成立します。

さらに,これらは,性質:ｗ^(r)~(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝δ_rr'ε^r,

および,Σ_r=1⁴ε^rｗ_α^(r)(ｐ)ｗ_β^(r)~(ｐ)＝δ_αβを持ちます。

さて,ｒ＝1,2についてはε^r＝1で,これらは正エネルギーの方程式:

(γ_μｐ^μ－ｍ)ｗ^(r)(ｐ)＝0 の解です。

そして,今の表示では,

ｗ⁽¹⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^{1/2 t}(1,0,ｐ³/(Ｅ＋ｍ),ｐ^-/(Ｅ＋ｍ)),

ｗ⁽²⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^{1/2 t}(0,1,ｐ⁺/(Ｅ＋ｍ),－ｐ³/(Ｅ＋ｍ)),

です。

これらの第３,４成分は非相対論近似での小成分です。

Ｅ～ｍのとき,これらｗ⁽¹⁾,ｗ⁽²⁾は,ｗ＝^t[ψ,χ]なる２成分×２の表現に対して,外場のない自由場の非相対論的方程式:χ＝(σｐ)ψ/(2ｍ)

;ψ＝^t(1,0) or ^t(0,1)に帰着します。

※(注):以前書いたように,

電磁場のある場合のDirac方程式:{γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)－ｍ}Ψ＝0 or

i(∂Ψ/∂ｔ)＝{α(ｐ－ｅＡ)＋βｍ－ｅΦ}Ψにおいて,

４成分スピノールΨをΨ≡^t[ψ~,χ~]と書いて,

２つの２成分スピノール:ψ,χに分解すると,

i(∂/∂ｔ)^t[ψ~,χ~]＝(σΠ)^t[χ~,ψ~]＋ｅΦ^t[ψ~,χ~]＋ｍ^t[ψ~,χ~]となります。ただし,Π≡ｐ－ｅＡです。

それ故,正エネルギーの静止状態に近いＥ～ｍの場合には,

さらに,^t[ψ~,χ~]≡exp(－iｍｔ)^t[ψ,χ]と書けば,

i(∂/∂ｔ)^t[ψ,χ]＝(σΠ)^t[χ,ψ]＋ｅΦ^t[ψ,χ]－2ｍ^t[0,χ]

となります。

このとき,小成分χは,i(∂χ/∂ｔ)＝(σΠ)ψ＋ｅΦχ－2ｍχより,

2ｍχ＝(σΠ)ψ＋ｅΦχ－i(∂χ/∂ｔ)を満たします。

ただし,ｅΦχ－i(∂χ/∂ｔ)＜＜(σΠ)ψと考えられるので,

χ≡(σΠ)ψ/(2ｍ)とおき,これを大成分の満たす方程式:

i(∂ψ/∂ｔ)＝(σΠ)χ＋ｅΦψに代入します。

すると,i(∂ψ/∂ｔ)＝{(σΠ)(σΠ)/(2ｍ)＋ｅΦ}ψとなります。

これは,結局,i(∂ψ/∂ｔ)＝[(ｐ－ｅＡ)²－ｅ(σＢ)/(2ｍ)＋ｅΦ]ψ

となって非相対論的な方程式に帰着するわけです。(注終わり※）

他方,ｒ＝3,4ではε^r＝＾1で,これは負エネルギーの方程式:

(γ_μｐ^μ＋ｍ)ｗ^(r)(ｐ)＝0 の解です。

そして今の表示では,

ｗ⁽³⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^{1/2 t}(ｐ³/(Ｅ＋ｍ),ｐ^－/(Ｅ＋ｍ),1,0),

ｗ⁽⁴⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^{1/2 t}(ｐ^＋/(Ｅ＋ｍ),－ｐ³/(Ｅ＋ｍ),0,1)

です。

これは,ｒ＝1,2の正エネルギー解とは,大成分と小成分が交替しています。

さらに,性質:ｗ^(r)~(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝δ_rr'ε^r,および,Σ_r=1⁴ε^rｗ_α^(r)(ｐ)ｗ_β^(r)~(ｐ)＝δ_αβから以下の考察が可能です。

すなわち,ｗ^(r)~(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)は１つのLorentzスカラーですが,運動量空間での確率密度:ｗ^(r)＋(ｐ)ｗ^(r)(ｐ)はLorentz不変ではなく,運動量空間でのLorentz収縮を補充する４元ベクトルの第0成分として変換します。

つまり,ｗ^(r)＋(ε^rｐ)ｗ^(r')(ε^r'ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δ_rr'です。

(ｍ/Ｅ)＝(1－β²)^1/2ですが,これはLorentz収縮の因子ですから,

β＝0 での微小体積をΔＶ₀とすると,この領域の確率は,

ｗ^(r')(ε^r'ｐ)(1－β²)^1/2ΔＶ₀＝δ_rr'ΔＶ₀となって,

密度でなく確率の方は確かに不変量(スカラー)です。

ｗ^(r')(ε^r'ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δ_rr'ですから,これは同じ空間運動量ｐを持ち,エネルギーだけが正負反対符号の平面波解が,ｒ＝1,2,かつｒ'＝3,4,またはその逆なら直交すること:Ψ^(r)＋(ｘ)Ψ^(r')(ｘ)＝0 を意味します。

(※:何故なら,例えばΨ⁽¹⁾(ｘ)＝ｗ⁽¹⁾(ｐ)exp{－i(Ｅｔ－ｐｘ)},Ψ⁽³⁾(ｘ)＝ｗ⁽³⁾(－ｐ)exp{－i(－Ｅｔ－ｐｘ)}は直交します。

次に,Σ_r=1⁴ε^rｗ_α^(r)(ｐ)ｗ_β^(r)~(ｐ)＝δ_αβですが,これは静止系のｗ^(r)(0)では明らかに真です。

ｗ^(r)(ｐ)＝Ｓｗ^(r)(0)なので,Σ_r=1⁴ε^rｗ_α^(r)(ｐ)ｗ_β^(r)~(ｐ)＝ε^rＳ_αγｗ_γ^(r)(0)ｗ_λ^(r)~(0)Ｓ^-1_λβ＝Ｓ_αγδ_γλＳ^-1_λβ＝δ_αβが従います。

この完全性関係に,ｗ~が現われてｗ^＋が現われないのは,Lorentz変換Ｓ:がユニタリでなくＳ^＋＝γ⁰Ｓ^-1γ⁰であることの反映です。

(※具体的に計算すればわかりますが,空間回転:Ｓ＝Ｓ_Rに対しては,Ｓ_R^＋＝Ｓ_R^-1(unitary)ですが,運動座標系のブースト変換:Ｓ＝Ｓ_Lに対しては,Ｓ_L^＋≠Ｓ_L^-1です。ただしＳ^＋＝γ⁰Ｓ^-1γ⁰は常に成立します。)

中途半端ですがここで終わります。まだまだ補遺４に続きます。

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGrawHill)