水素様原子の微細構造(補遺5-2)

　※いやあ。驚きました。

　下の科学記事を書いた後の真夜中,なにげにこのブログのアクセス履歴を見てみたら,何と11月21日のアクセス数が１日だけで6672です。

　訪問人数も半分の3120です。(大体１人平均２回アクセスですね。)

　イツモは平日なら大体300アクセスで訪問者200人くらいですから,アクセス数で約20倍の大爆発。。何が起きたのでしょうか？？

　23日休日だからいいのですが,目が覚めてしまいました。

　カウンターも数日前に56万を超えたばかりだったのに,たちまち57万

を超えています。　

(※300/日×365日で約10万アクセス/年で5年半経ってます。)

　前も1000アクセス/日を超えたことはありました。

　そのときは,Ｘ-JAPANのTOSHI関連の比較的大きいニュースがあったときでしたから,TOSHI違いの勘違いでした。またそうなのかな？

　22日も前日の余韻なのか？1537アクセスの736人。

　普通,休日祝日は半減しますから,

　今日23日はもっと減るでしょうが。。。。

(※記事別アクセスだと11/21は不明ですが,11/22なら2006年３～４月の過去記事「サルにもわかる相対性理論①～⑥」が56％と半分以上で,

　特に2006年3/24の本論に入る「サルにもわかる相対性理論②」が最大で40％ですね。ふーむ？)

　アクセス増えるのはうれしいけれど？？？

(PS:11月21日は私の母の91回目の誕生日。何事も無ければいいが。)※※　

　さて,水素様原子の微細構造)(補遺5-1)の続き,後半です。

　波束を正エネルギー,負エネルギーの両方の重ね合わせに一般化

　します。

　Ψ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2∑_±s{ｂ(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)

　exp(－iｐ_μｘ^μ)＋ｄ^*(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)exp(iｐ_μｘ^μ)} です。

　これによる全確率を計算すれば,

　∫Ψ^＋(ｘ)Ψ(ｘ)ｄ³ｘ＝∫ｄ³ｐ∑_±s{|ｂ(ｐ,ｓ)|²＋|ｄ(ｐ,ｓ)|²}

　ですから,

　係数ｂ,ｄは,∫ｄ³ｐ∑_±s{|ｂ(ｐ,ｓ)|²＋|ｄ(ｐ,ｓ)|²}＝1

　と規格化されます。

※(注3):∫Ψ^(＋)＋(ｘ)Ψ^(＋)(ｘ)ｄ³ｘ

＝∫ｄ³ｐｄ³ｐ'{ｍ²/ＥＥ')}^1/2∑_±s,±s'[ｂ^*(ｐ',ｓ')ｂ(ｐ,ｓ)

ｕ^＋(ｐ',ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)δ³(ｐ'－ｐ)exp{i(Ｅ'－Ｅ)ｔ}

＋ｂ^*(ｐ',ｓ')ｄ^*(ｐ,ｓ)ｕ^＋(ｐ',ｓ')ｖ(ｐ,ｓ)δ³(ｐ'＋ｐ)

exp{i(Ｅ'＋Ｅ)ｔ}＋ｄ(ｐ',ｓ')ｂ(ｐ,ｓ)ｖ^＋(ｐ',ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)

δ³(ｐ＋ｐ')exp{－i(Ｅ'＋Ｅ)ｔ}

＋ｄ(ｐ',ｓ')ｄ^*(ｐ,ｓ)ｖ^＋(ｐ',ｓ')ｖ(ｐ,ｓ)δ³(ｐ－ｐ')exp{i(Ｅ－Ｅ')ｔ}] です。

　右辺のｄ³ｐ'積分の被積分関数の各項には因子δ³(ｐ'±ｐ)がある

　ため,ｐ'＝±ｐよりＥ'＝Ｅなので,{ｍ²/(ＥＥ')}^1/2＝ｍ/Ｅで,

　exp{i(Ｅ'－Ｅ)ｔ}＝exp{i(Ｅ－Ｅ')ｔ}＝1,かつ

　exp{i(Ｅ'＋Ｅ)ｔ}＝exp(2iＥｔ),exp{－i(Ｅ＋Ｅ')ｔ}

　＝exp(－2iＥｔ)です。

　さらに,ｕ^＋(ｐ,ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)＝ｖ^＋(ｐ,ｓ')ｖ(ｐ,ｓ)

　＝(Ｅ/ｍ)δ_ss',

　ｕ^＋(－ｐ,ｓ')ｖ(ｐ,ｓ)＝ｖ^＋(ｐ,ｓ')ｕ(－ｐ,ｓ)＝0

　ですから,

　結局,∫Ψ^＋(ｘ)Ψ(ｘ)ｄ³ｘ

　＝∫ｄ³ｐ(ｍ/Ｅ)∑_±s,±s'[ｂ^*(ｐ,ｓ')ｂ(ｐ,ｓ)

　ｕ^＋(ｐ,ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)＋ｄ(ｐ,ｓ')ｄ^*(ｐ,ｓ)ｖ^＋(ｐ,ｓ')ｖ(ｐ,ｓ)]

　＝∫ｄ³ｐ∑_±s{|ｂ(ｐ,ｓ)|²＋|ｄ(ｐ,ｓ)|²}

　を得ます。

(注3終わり)※

　一方,そうした波束Ψのcurrentについては,同様な計算から

　Ｊ^k＝∫Ψ~(ｘ)γ^kΨ(ｘ)ｄ³ｘ

　＝∫ｄ³ｐ(ｐ^k/Ｅ)∑_±s{|ｂ(ｐ,ｓ)|²＋|ｄ(ｐ,ｓ)|²}

　＋i∑_±s,±s'{ｂ^*(－ｐ,ｓ')ｄ^*(ｐ,ｓ)ｕ~(－ｐ,ｓ')

　σ^k0ｖ(ｐ,ｓ)exp(2iＥｔ)

　＋ｄ(－ｐ,ｓ')ｂ(ｐ,ｓ)ｖ~(ｐ,ｓ')

　σ^k0ｕ(－ｐ,ｓ)exp(2iＥｔ)}

　を得ます。

　ただし,Ｅ＝(ｐ²＋ｍ)^1/2であり,ｕ(－ｐ,ｓ)＝ｕ(Ｅ,－ｐ,ｓ),

　ｖ(－ｐ,ｓ)＝ｖ(Ｅ,－ｐ,ｓ)です。

　やや矛盾したnotationですが。。

　この表現では,時間に依存する群速度に加えて,振動数:2Ｅで急速に

　振動する正エネルギーと負エネルギーの交叉する項が出現してい

　ます。

振動数は非常に高く2Ｅ＝2ｃＥ/ｈ_c＞2ｃｍ/ｈ_c～2×10²¹sec^-1です。

こうした形で現われる急速振動は,ドイツ語でZitterbewegung

(ツィッターベベーグング)と呼ばれています。

この振動の大きさは,波束中の負エネルギー解の振幅に比例して

います。

解のこの現象については,これまでの議論からすぐに何らかの解釈

をすることはできませんが,次のような考察は可能です。

自由粒子解の一般形:Ψ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2

∑_±s{ｂ(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)＋ｄ^*(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)

exp(iｐｘ)}は,

係数ｂ(ｐ,ｓ),ｄ^*(ｐ,ｓ)の時間独立性によって,波束が初期に特に

正エネルギー解のみから形成されていれば,外力のないところでは

負エネルギー成分を持つような発展をしないことは明らかです。

しかし,初期において有限な大きさの領域に局在化され,１つの電子

を表わすように形成される波束は,必ず負エネルギー解の成分を含み

ます。

(※↑ 実は,既に2006年８/８の記事

「負エネルギー解と相対論的因果律」で,こうした事情を詳述

しています。)

　例えば,Ψ(ｘ,0,ｓ)＝(πｄ²)^-3/4exp{－ｒ²/(2ｄ²)}ｗ⁽¹⁾(0),

　(ｒ≡|ｘ|)とします。

　これは初期時刻ｔ＝0 において,原点ｒ＝0の周りの半値幅～ｄの

　Gauss分布に相当する局在化された波束です。

　そこで,ｔ＝0 では(πｄ²)^-3/4exp{－ｒ²/(2ｄ²)}ｗ⁽¹⁾(0)

　＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2∑_±s{ｂ(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ)

　＋ｄ^*(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)}です。

　そこで,Fourier変換を実行し,

　∫_-∞^∞ｄ³ｘexp{－ｒ²/(2ｄ²)}exp(iｌｘ)

　＝(2πｄ²)^3/2exp(－ｌ²ｄ²/2)を用いると,

ｂ(ｐ,ｓ)＝(ｍ/Ｅ)^1/2(π/ｄ²)^3/4exp(－ｐ²ｄ²/2)ｕ^＋(ｐ,ｓ)ｗ⁽¹⁾(0),

ｄ^*(ｐ,ｓ)＝(ｍ/Ｅ)^1/2(π/ｄ²)^3/4exp(－ｐ²ｄ²/2)ｖ^＋(ｐ,ｓ)ｗ⁽¹⁾(0)

　です。

　故に,Gaussの波束:

Ψ(ｘ,0,ｓ)＝(πｄ²)^-3/4exp{－ｒ²/(2ｄ²)}ｗ⁽¹⁾(0)の中の

負エネルギー成分の係数ｄ^*はゼロではありません。

　ｄ^*はｂに相対的に,ｕの大成分(上成分)に対するｖの小成分(上成分)

の比率:～ｐ/(Ｅ＋ｍ)だけ小さい値になっています。

　このことは,運動量がｍ程度の粒子に対しては負エネルギーの振幅

を評価できることを示しています。

　しかし,さらに,今求めた表現から波束は主として|ｐ|≦1/ｄを満たす

運動量から形成されると見られます。

こうした困難のうちで,有名なパラドックスの１つは,Kleinのparadox

と呼ばれるものです。

電子を局所化するためには,望ましい領域に閉じ込める強い外力を

導入する必要があります。

例えばエネルギーがＥの自由電子をｚ＝0 の左側の領域Ｉに閉じ込め

たい場合を考えます。

電子がｚ＝0 の右側の領域Ⅱの距離ｄより先には見出されない

ようにしたいなら,領域Ⅱにおける特性幅:πｄで振幅が急減少

するように,0≦ｚ≦ｄの微小区間の中でＶが高さＶ₀(＞Ｅ)まで

非常に鋭く上昇するような形になるはずです。

これは,幽閉長さｄが～1/ｍまで縮み,(Ｖ₀－Ｅ)がｍより大きくなる

までは,普通の非相対論的Schroedinger理論におけるのと同様です。

　相対論で何が生じるかを見るため,下図に見られるような絶壁境界

を持つ静電ポテンシャルを想定して,ｚ方向に沿って左から入射する

運動量ｐ(波数ｋ),spin-upの１電子の反射currentと透過currentを

計算してみます。

   

　領域Ⅰにおける入射波:Ψ_incと反射波:Ψ_refに対する正エネルギー解

は次のように書けます。

　Ψ_inc＝ａexp(iｐ^zｚ)^t[1,0,ｐ^z/(Ｅ＋ｍ),0],

　Ψ_ref＝ｂexp(－iｐ^zｚ)^t[1,0,－ｐ^z/(Ｅ＋ｍ),0]

　＋ｂ'exp(－iｋ^zｚ)^t[0,1,0,ｐ^z/(Ｅ＋ｍ)]です。

　何故なら,入射波:Ψ_incは,ｗ⁽¹⁾(ｐ)

＝^t[1,0,ｐ^z/(Ｅ＋ｍ),ｐ^－/(Ｅ＋ｍ)]に対応しており,

ｚ方向に沿った解なのでｐ^±＝0 ですから,exp(iｐｘ)

＝exp(iｐ^zｚ)です。

　また,反射波も自由Dirac方程式の正エネルギー解です。　

　反射波なので,ｐが(0,0,ｐ^z)→－ｐ＝(0,0,－ｐ^z)と変わります。

　そして,ｗ⁽²⁾(－ｐ)＝^t[0,1,－ｐ^＋/(Ｅ＋ｍ),ｐ^z/(Ｅ＋ｍ)]です。

　透過波については,Dirac方程式の一定の外場ポテンシャル

ｅΦ＝Ｖ₀の存在の下での解ですが,これは単に自由Dirac方程式の解

でのＥを(Ｅ－Ｖ₀)におき換えたものです。

そこで,領域Ⅱではｐ'²＝(Ｅ－Ｖ₀)²－ｍ²

＝(Ｅ－ｍ－Ｖ₀)(Ｅ＋ｍ－Ｖ₀)であり,

Ψ_trans＝ｄexp(iｐ'^zｚ)^t[1,0,ｐ'^z/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ),0]

＋ｄ'exp(iｐ'^zｚ)^t[0,1,0,－ｐ'^z/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ)]です。

そして,振幅ｄとｄ'はcurrent保存によって要求されるポテンシャル

障壁境界における解の連続性条件により,

ａ＋ｂ＝ｄ,および(ａ－ｂ)ｐ^z/(Ｅ＋ｍ)＝ｐ'^z/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ)

or,(ａ－ｂ)＝(ｐ'^z/ｐ^z)(Ｅ＋ｍ)/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ)≡ｒｄ,

そして,ｂ'＝ｄ',ｂ'ｐ^z/(Ｅ＋ｍ)＝－ｄ'ｐ'/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ)]より,

ｂ'＝ｄ'＝0 を満足します。

Ｖ₀＞0 で|Ｅ－Ｖ₀|＜ｍなら,波数(運動量)は虚数でｐ＝i|ｐ|です。

これは,領域Ⅱにおける解が距離ｄ＞1/ｍにおいて急減衰する描像

に対応しています。

　しかし,電子を閉じ込めるために障壁の高さＶ₀をＥ＋ｍを超えて

増大させると透過波の方が振動的になります。

　透過カレントと反射カレントの比率,透過率と反射率を計算すると,

　ｊ_trans/ｊ_inc＝4ｒ/(1＋ｒ)²,

　ｊ_ref/ｊ_inc＝(1－ｒ)²/(1＋ｒ)²＝1－ｊ_trans/ｊ_inc

　となります。ただし,ｒ＝(ａ－ｂ)/ｄです。

こうした形の結果は,Schroedinger理論での類似した予測

(トンネル効果)を想起させます。

　しかし,今は連続性条件が成立し,かつＶ₀＞Ｅ＋ｍ,ｒ＜0 のケース

が存在することを観る必要があります。

　何故なら,ｒｄ＝ａ－ｂ＝(ｐ'^z/ｐ^z)(Ｅ＋ｍ)/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ)

なので,Ｖ₀＞Ｅ＋ｍならｒ＜0 となるのです。

　この場合には,透過率:ｊ_trans/ｊ_inc＝4ｒ/(1＋ｒ)²,反射率:

ｊ_ref/ｊ_inc＝(1－ｒ)²/(1＋ｒ)²＝1－ｊ_trans/ｊ_incの式から,

負の透過current,

　および,入射currentを超過する反射currentが示され通常の理論の

常識に反する結果が見出されます。

では,Ｖ₀＞Ｅ＋ｍのケースに領域Ⅰへ,つまり左の方へと動く

領域Ⅱでのcurrentの源(source)は一体何なのでしょうか？

また,Compton波長～1/ｍの中に解を局在化させようとして

障壁ポテンシャルの高さＶ₀を(Ｅ＋ｍ)より大きく増加させ

ましたが,

結局は,目的に反して減衰しない振動解を伴なう結果に終わり

ました。

このことも,どのように解釈され得るのでしょうか？

これらの疑問への回答は,ただ新たに加わった負エネルギー解を

理解し解釈することのみにより得られると考えられます。

それは,1/ｍに局在化させた波束(例えばGauss分布解)の中には

必然的に負エネルギー解成分を含む必要があるという議論からも

明らかです。

前記のcurrentの計算から,こうした短距離では進むという描像は

うまくいかないこともまた等しく明らかです。(Zitterbewegung)

こうした疑問は,前期量子電磁気学ともいうべきDiracの空孔理論

(Hole theory)に頼れば,一応は出発点に戻って解決されます。　

しかし,その前にエネルギーの単位がｍのオーダーで距離の単位が

1/ｍ規模であるような,ポテンシャルがＶ＝V₀＜Ｅ＋ｍで弱い滑らかに

変動する領域での正エネルギー電子に対しても,相対論方程式の意味

を問う必要があります。

Dirac方程式,そしてDirac理論の適用により,非相対論的エネルギーの

領域にも新たな展開が期待できる豊富な分野があることにも着目します。

そして,ここで初めてFoldy-Wouthuysen変換や水素様原子の束縛状態

におけるエネルギー準位の相対論効果による超微細構造,Lamb-shift

などを論じた,

2011年７/17の記事「水素様原子の微細構造(1)」に始まるシリーズへと

回帰することになるわけです。

忘却のかなたですが,そもそも補遺を書くようになった動機は,2011年８/11

の「水素様原子の微細構造(4)」の(注13)で書いたZitterbewegungと

Darwin項：－{－ｅ/(8ｍ²)}divＥの関連を明らかにすることでした。

(※(再掲:注13):相対論的Dirac方程式のFoldy-Wouthuysen変換におけるDarwin項は,－{ｅ/(8ｍ²)}divＥですが,これはZitterbewegung(負エネルギー部分との相互作用運動)の効果です。※)

　Darwin項は,－{ｅ/(8ｍ²)}divＥ＝{1/(8ｍ²)}∇²Ｖです。

　これは,∇～1/(1/ｍ)のCompton波長付近で∇²～ｍ²,Ｖ＞Ｅ＋ｍ

　によって強く効く項という意味で,Zitterbewegung効果ということ

　でしょうね,

これで「水素様原子の微細構造(補遺)」シリーズは完全に

終了です。

残されているのは後はDiracの空孔理論(Hole theory)だけです。

一応,乗りかかった船なので,この過渡期的理論についても続く記事

で題名を改め詳しく述べる予定です。　

　　

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill)