Diracの空孔理論(2)(荷電共役)

Diracの空孔理論の続きです。

次は荷電共役変換(charge conjugation:Ｃ)の説明です。

　粒子-反粒子の交換対称性ですね。

§5.2 荷電共役変換(Charge conjugation)

空孔理論から,自然界における根本的で新しい対称性が出現します。

各粒子に対して１つの反粒子が存在するという対称性です。

特に電子の存在は,陽電子の存在を意味します。

　そこで,今度は対応する負エネルギー波動関数から,直接,電子の

　非存在(absense of electron:欠損)を意味する陽電子波動関数

　を形成するための対称性の形式的表現を求めます。

　これまでの物理的描像から,エネルギー(－Ｅ)(Ｅ＞0)の欠損,

　および電荷ｅ(自由電子ならはｅ＜0)の欠損,を示す

　「負エネルギーの海」における空孔(hole)は,正エネルギーＥ

　の陽電子の存在と同等です。

　そこで,Dirac方程式:(i∂－ｅＡ－ｍ)Ψ＝0 の負エネルギー解

　と正エネルギー陽電子の固有状態関数は１対１に対応するはず

　です。

ただし,Ａ≡γ^μＡ_μ,i∂≡iγ^μ∂_μ＝iγ^μ(∂/∂ｘ^μ),

Ａ≡γ^μＡ_μです。

ｐ_μ^＝i(∂/∂ｘ^μ)ですから,ｐ^＝i∂です。

こうした解釈によって,陽電子の波動関数Ψ_cは正の電荷－ｅを持つ

だけ異なる電子と同じ波動方程式を満たすはずなので,

(i∂＋ｅＡ－ｍ)Ψ_c＝0 の正エネルギー解です。

　歴史的な後の考察によって,逆に陽電子についても上のDirac方程式

　から電子と等価に全ての性質を読むことができることがわかります。

一方が粒子で他方が反粒子と決めつける必要性はなく,お互いに

粒子-反粒子の関係にあります。

これまでの考察のどこにも電荷の符号が本質的役割を果たす部分はありません。

　こうして,２つの方程式をお互いに変換させる演算子を作る

　という発想に導かれます。

　そのためいは,２つの演算子:ｐ^＝i∂とＡの間の相対的符号を変化

　させることが必要であるとわかります。

　これを複素共役を取ることで実行します。

　すなわち,{i(∂/∂ｘ^μ)}^＊＝－(∂/∂ｘ^μ),Ａ_μ^＊＝Ａ_μを

　用いると,(i∂－ｅＡ－ｍ)Ψ＝0:

　または,{γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)ーｍ}Ψ＝0 は,

 {(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ＊＋ｍ}Ψ^＊＝0 となります。

そこで,もしも,(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μなる代数関係を

満たす正則行列Ｃγ⁰を見出すことができれば,

{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＋ｍ}(Ｃγ⁰Ψ^＊)＝0

より,{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ－ｍ}(Ｃγ⁰Ψ^＊)＝0 を得ます。

　故に,Ψ_c≡Ｃγ⁰Ψ^＊＝Ｃ^tΨ~とおけば,

　{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ－ｍ}Ψ_c＝0 となります。

　これは陽電子の波動関数Ψ_cが満たす方程式です。

　そして,こうしたＣが確かに存在することはこれを行列として陽

　に構成することで証明されます。

　今使っているガンマ行列の表示では,γ⁰γ^μ＊γ⁰＝^tγ^μですから,

　(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μは,Ｃ ^tγ^μＣ^-1＝－γ^μ

　またはＣ^-1γ^μＣ＝－^tγ^μ を意味します。

　この表示ではＣγ¹Ｃ^-1＝γ¹,Ｃγ²Ｃ^-1＝－γ²,Ｃγ³Ｃ^-1＝γ³,

Ｃγ⁰Ｃ^-1＝－γ⁰,つまり.Ｃγ¹＝γ¹Ｃ,Ｃγ³＝γ³Ｃ,

Ｃγ²＝－γ²Ｃ,Ｃγ⁰＝－γ⁰Ｃですから,

　例えば,係数を虚数ｉとして,Ｃ≡iγ²γ⁰と採れば,

　条件は満たされます。特に,Ｃ＝－Ｃ^-1＝－Ｃ^＋＝－^tＣです。

　これは,このガンマ行列の表示も含む任意の表示で常に,

　(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μを満たすＣを構成できること

　を示すには十分です。

　すなわち,ガンマ行列の任意の表示はユニタリ変換で互いに結び付

　いているため,別の任意の表示でも今の荷電共役Ｃの表現:iγ²γ⁰

 からユニタリ変換により移行可能な適切なＣの行列表現が存在する

　はずです。

　よって,一般性を失うことなく今の表示を採用します。

　このＣ≡iγ²γ⁰の定義においては,係数ｉを付与しましたが,定義

　にはこうした位相の任意性があることに気が付きます。

　今の荷電共役のＣの考察では,波動関数の位相には何の物理敵意味

　もないですが,パリティ変換(Parity):Ｐにおいては位相が意味を

　持つと考える場合もあります。

※(注):既に,通常のLorentz変換:ｘ→ｘ'＝ａｘに伴なう波動関数Ψ

　の変換:Ψ→Ψ'は,Dirac方程式が形を変えないための条件:

 ａ^μ_νγ^ν＝Ｓ(ａ)^-1γ^μＳ(ａ)を満たす４×４行列Ｓ(ａ)により,

　Ψ'(ｘ')＝Ψ'(ａｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(x),または,

　Ψ'(ｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(ａ^-1ｘ) と書けることを見ました。

　特殊なLorentz変換の１つである空間反転;ｘ'＝ーｘ,ｔ'＝ｔに

　対してもＳ(ａ)＝Ｐとして,Ψ'(ｘ')＝Ψ'(－ｘ,ｔ)＝ＰΨ(ｘ,ｔ)

　でパリティ変換:Ｐを定義すると,

　条件:ａ^μ_νγ^ν＝Ｓ(ａ)^-1γ^μＳ(ａ)は,ｇ^μνγ^ν＝Ｐ^-1γ^μＰ,

　または,－γ^k＝Ｐ^-1γ^kＰ,γ⁰＝Ｐ^-1γ⁰Ｐとなります。

　この条件は,δをある実数としてＰ≡exp(iδ)γ⁰とすれば満足

　されます。

　位相因子は物理的意味がないと考えても不都合はないですが,

　波動関数(spinor)自身も何らかの実在と考える立場なら,２回

　の空間反転で波動関数が元に戻ること:Ｐ²＝1を要求すること

　で,Ｐ＝±γ⁰ が得られます。。

　さらに,回転群ならspinorは２価表現であることを知っています

　から,実は４回の空間反転で波動関数が元に戻ること:Ｐ⁴＝1を

　要求すれば,Ｐ＝±γ⁰,またはＰ＝±iγ⁰です。

　(一般には,Ｐ≡exp(iδ)γ⁰で十分ですが。。)

　(注終わり※)

　さて,表示依存ではありますがＣの陽な表現:≡iγ²γ⁰を変換:

　Ψ_c≡Ｃγ⁰Ψ^＊＝Ｃ^tΨ~に代入すると,Ψ_c＝iγ²Ψ^＊と書けます。

　そこで,例えば静止したspin-downの負エネルギー電子:

　Ψ＝(2π)^{3/2 t}[0,0,0,1]exp(iｍｔ) であれば,

　荷電共役の結果は,Ψ_c＝iγ²Ψ^＊

 ＝(2π)^{3/2 t}[1.0,0,0,1]exp(－iｍｔ) となります。

　これは,静止したspin-downの負エネルギー電子の欠損が,

　静止したspin-upの正エネルギー電子の存在に等価ということ

　を示すものです。

　先に与えた射影演算子:Ｐ_r(ｐ,ｓ)＝Λ_r(ｐ)∑_r(ｓ);

　Λ_r(ｐ)≡(ε_rｐ＋ｍ)/(2ｍ),∑_r(ｓ)≡(1＋γ₅ｓ)を用いれば,

　Ψ_c＝Ｃγ⁰Ψ^＊＝Ｃγ⁰(εｐ＋ｍ)^＊(1＋γ₅ｓ)^＊Ψ^＊/(2ｍ)

　＝Ｃ(ε^tｐ＋ｍ)^＊(1－γ₅ ^tｓ)γ⁰Ψ^＊

 ＝(－εｐ＋ｍ)^＊(1＋γ₅ｓ)Ｃγ⁰Ψ^＊

 ＝(－εｐ＋ｍ)^＊(1＋γ₅ｓ)Ψ_c 　ですから,

　Ｃγ⁰＝iγ²なる行列を掛けるという演算によって,４元運動量:ｐ

　とspin:ｓで記述される負エネルギー解から,同一のｐとｓで記述

　される正エネルギー解が生じると考えられます。

　結局,自由粒子spinorにおいては次のように読めます。

　exp{iδ(ｐ,ｓ)}ｖ(ｐ,ｓ)＝Ｃ^tｕ~(ｐ,ｓ),

　exp{iδ(ｐ,ｓ)}ｕ(ｐ,ｓ)＝Ｃ^tｖ~(ｐ,ｓ)　です。　

　これは,ｖ(ｐ,ｓ)とｕ(ｐ,ｓ)が,位相因子を伴なって互いに

　荷電共役spinorになることを示しています。

　解がｐ⁰＝(ｐ²＋ｍ²)^1/2＝Ｅ＞0 であるように構成されていた

　ことを思い出すと,これはまた,

　Ψ＝(2π)^3/2 [0,0,0,1]^Ｔexp(iｍｔ)

　→ Ψ_c＝iγ²Ψ^＊＝(2π)^3/2 [1.0,0,0,1]^Ｔexp(－iｍｔ)

　では,spin:ｓが荷電共役の下で符号を変えないのに,

　今の場合には,spin:ｓの符号が逆転することに気付きます。

　この違いは,ｓ^μ＝(0,ｓ)であるような静止系では spinの射影演算子:

Σ(ｓ)＝(1＋γ⁵ｓ)が,(1＋γ⁰σｓ/2)なる形を持つという事実にあります。

　それ故,この定義での spinの符号の差異はγ⁰に由来するわけです。

　荷電共役演算子;Cは,Ψ_c＝Ｃγ⁰Ψ^＊＝Ｃ^tΨ~によって陽に陽電子の

　波動関数を作ります。

　それから,電磁場の符号を変化させる追加演算を与えるとDirac方程式

　に対する１つの不変演算子を作ることができます。

　そこで,次のような指令の連続は,Dirac理論の正式な対称性操作です。

　(1)複素共役を取る。(2)Ｃγ⁰を掛ける。(3)全てのＡ^μを－Ａ^μに変更する。

　この一連の操作を荷電共役と予呼び,Ｃで記述します。

　荷電共役:Ｃ という変換の物理的内容は,電磁ポテンシャルＡ^μの中

　にある電子の実現可能な量子状態は,電磁ポテンシャル－Ａ^μの中

　にある陽電子の実現可能な量子状態が対応することです。

　そこで,Dirac方程式:(i∂－ｅＡ－ｍ)Ψ＝0  の正エネルギー解を,同じ

　方程式の負エネルギー解：:空孔理論により１つの陽電子に変換する

　 ことによって,荷電共役:Ｃ は正エネルギーの spin-up 電子を正エネル

　ギ－の spin-up 陽電子に変えます。

(※:何故なら,:(i∂－ｅＡ－ｍ)Ψ＝0 は電子に対しては電磁ポテンシャル:

 Ａ^μの中にある場合の方程式であり,陽電子に対しては電磁ポテンシャル:

　－Ａ^μの中にある場合の方程式です。※)

　場:－Ａ^μの中にある陽電子の動力学が場:Ａ^μをの中にある電子のそれ

　と同じであるというというのは古典的常識で考えても当然のことです。

　空孔理論によって導かれろ驚くべき結論は,もしも１つの質量ｍと電荷ｅ

　を持つ粒子(特にFermion)が存在すれば,質量ｍと反対電荷－ｅを持つ

　その反粒子も存在すべきである,ということです。

　実際に,質量が同じで大きさ同じ両方の符号の電荷を持つ電子が自然界

　で観測されるという事実は相対論的量子論の少なくとも部分的妥当性を

　確信させる最強の論拠の１つです。

　ちょっとつなぎで,かなり短かいですがここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell 「Relativistic　Quantum Mechanics」(McGrawHill)

PS:首,肩,腕,痛くて痛くて痛くて。。手首から肘しびれて寒さ痛さ

 ジンジン何もできなくて。。。痛い。。。寝転んでも痛ーい。。。