相対論的場の量子論(正準定式化)(2)

　　正月なのでちょっと間があきましたが「相対論的場の量子論」の続きです。

今日は,序文ではなく本題に入ります。

ただし,ときどきオリジナルで書くブログ記事の原稿とは違って,昔のノートは,どこが種本の内容でどこが自分の理解のために追加した注釈文なのかがはっきりしていません。

そこで元本を出して該当する部分を眺めてみましたが,今日の記事の内容は,ほんどが本文理解のための注釈文のようです。　

§1.2 The Canonical Formalism and Quantization Procedure for　Particles (粒子の正準定式化と量子化の手法)

　まず,粒子力学の古典論の動力学系として保存力場の中の粒子の１次元運動を中心に復習します。

　ｑを１次元運動をする粒子の一般化座標(例えば落下運動の高さｚ,振り子運動の角度θ)とし,ｑ^d≡ｄｑ/ｄｔを一般化速度とします。

　また,Ｌ(ｑ,ｑ^d)を系のLagrangian,Ｊを作用とすると,運動(軌道)ｑ(ｔ)はHamiltonの原理:δJ＝δ∫_t1^t2Ｌ(ｑ,ｑ^d)ｄｔ＝0 から決まります。

　ただし,座標の微小変分:ｑ(ｔ)→ｑ(ｔ)＋δｑ(ｔ)に対して,

　δｑ(ｔ₁)＝δｑ(ｔ₂)＝0 という拘束を与えています。(両端固定)

　(↓※下はどなたかのホームページからの転載図です。　　

　始点Ａ(時刻ｔ₁)と終点Ｂ(時刻ｔ₂)を固定して,作用:

　Ｊ＝∫_t1^t2Ｌ(ｑ,ｑ^d)ｄｔが最小になる軌道を決める変分問題。

　Ｌ(ｑ,ｑ^d)＝Ｔ＝(1/2)ｍ(ｑ^d)²の自由粒子の場合,解は直線軌道です。

　これは光の行路のFermat(フェルマー)の定理と同じですね。)

　δＪ＝δ∫_t1^t2Ｌ(ｑ,ｑ^d)ｄｔ

　＝∫_t1^t2[Ｌ(ｑ＋δｑ,(ｑ＋δｑ))^d－Ｌ(ｑ,ｑ^d)]ｄｔ

　＝∫_t1^t2{(∂Ｌ/∂ｑ)δｑ＋(∂Ｌ/∂ｑ^d)δｑ^d}ｄｔ

　＝[(∂Ｌ/∂ｑ^d)δｑ]_t1^t2＋

　　∫_t1^t2{(∂Ｌ/∂ｑ)－ｄ/ｄｔ(∂Ｌ/∂ｑ^d)}δｑｄｔ

　＝∫_t1^t2{(∂Ｌ/∂ｑ)－ｄ/ｄｔ(∂Ｌ/∂ｑ^d)}δｑｄｔ

　です。

　そこで,δｑ(ｔ₁)＝ δｑ(ｔ₂)＝0を満たす任意の変分δｑ(ｔ)に対して,　δＪ＝0 になるという変分法の問題:(※どの方向への仮想変位:δｑであろうと両端が固定している限り,実際の軌道ではＪは最小値または停留値をとるという「最小作用の原理」)から,

　Euler-Lagrangeの方程式:(∂Ｌ/∂ｑ)－ｄ/ｄｔ(∂Ｌ/∂ｑ^d)＝0

　が得られます。

　共役運動量(conjugate momentum)ｐはｐ≡∂Ｌ/∂ｑ^dで定義されます。

ここで,運動量ｐの定義式:∂Ｌ/∂ｑ^d＝ｐをｑ^dを未知数とする対する方程式と見なします。

そして,この方程式が解けて,ｑ^dをｐとｑの関数としてｑ^d＝ｑ^d(ｐ,ｑ)と表わすことができたとします。

これは,系の独立変数を(ｑ,ｑ^d)から(ｐ,ｑ)へ変更する手順です。

結局,Lagrangian関数Ｌ(ｑ,ｑ^d)がＬ(ｐ,ｑ)と表わされます。

　これによって,ｐ,ｑの関数としてのHamiltonian:ＨをＬ(ｐ,ｑ)と

　ｑ^d(ｐ,ｑ)を用いて,Ｈ(ｐ,ｑ)≡ｐｑ^d－Ｌと定義します。

ここまでは,系のLagrangianＬをＬ(ｑ,ｑ^d)なる関数形で書きましたが,一般には,Ｌはｑ(ｔ)とｑ^d(ｔ)によって間接的にｔに依存するだけでなく,陽にｔに依存する場合もあるのでＬ(ｑ,ｑ^d,ｔ)と書くのが普通です。

これは,以下のような理由からです。

LagrangianＬはその定式化から,Ｔを運動エネルギーとして,Ｌ＝Ｔ－Ｖと書けます。

ここで,Ｔは運動エネルギーで,ｑ^dの２次形式です。これは,２次形式の係数も含めて(ｑ,ｑ^d)のみの関数ですから,Ｔ＝Ｔ(ｑ,ｑ^d)という形です。

しかし,Ｖの方は一般化ポテンシャルと呼ばれ,必ずしも通常のポテンシャルＶ＝Ｖ(ｑ)を意味するわけではなく,

Ｖ＝Ｖ(ｑ,ｑ^d,ｔ)のように,速度ｑ^dや時間ｔを陽に含む場合もあるというのが,Ｌ＝Ｔ－ＶがＬ(ｑ,ｑ^d,ｔ)なる形になる理由です。

逆に,何らかの方法でＬの方が既知であれば,Ｖ≡Ｔ－ＬによってＶを定義したと見ることもできます。

(※例えば,電磁場のポテンシャルやLagrangianはそうした例です。)

上述のように,一般化ポテンシャルＶについて,LagrangianはＬ＝Ｔ－Ｖと表現されますが,今,問題としている系では,拘束が時間ｔに依存せず,

粒子の受ける力をＦ＝－∇Ｖで与えるポテンシャルＶもｔにも速度ｑ^dにも依存しない通常の保存力場:Ｖ＝Ｖ(ｑ)であると仮定します。

ｄＬ/ｄｔ＝(∂Ｌ/∂ｑ)(ｄｑ/ｄｔ)＋(∂Ｌ/∂ｑ^d)(ｄｑ^d/ｄｔ)なる微分式に,Euler-Lagrangeの方程式:(∂Ｌ/∂ｑ)＝ｄ/ｄｔ(∂Ｌ/∂ｑ^d)を代入します。

ｄＬ/ｄｔ＝{ｄ/ｄｔ(∂Ｌ/∂ｑ^d)}ｑ^d＋(∂Ｌ/∂ｑ^d)(ｄｑ^d/ｄｔ)

＝ｄ/ｄｔ{(∂Ｌ/∂ｑ^d)ｑ^d}なので,

(ｄ/ｄｔ){(∂Ｌ/∂ｑ^d)ｑ^d－Ｌ}＝0 ですからｐ＝∂Ｌ/∂ｑ^d,

Ｈ(ｐ,ｑ)＝ｐｑ^d－Ｌよって,これはｄＨ/ｄｔ＝0 を意味します。

すなわち,こうした系ではHamiltonian:Ｈ(ｐ,ｑ)＝ｐｑ^d－Ｌは時間に依らない保存量です。(保存力場ではＨは系のエネルギーに一致します。)

※(注2-1):Legendre変換(変数の変更)

　独立変数ｘ,ｙの関数ｆ(ｘ,ｙ)の全微分は,ｄｆ＝ｕｄｘ＋ｖｄｙ;

　ｕ≡∂ｆ/∂ｘ.ｖ≡∂ｆ/∂ｙと書けます。

独立変数をｘ,ｙからｕ,ｙに変更し,ｇ≡ｆ－ｕｘなる関数を考えると,

ｄｇ＝ｄｆ－ｕｄｘ－ｘｄｕですが,ｄｆ＝ｕｄｘ＋ｖｄｙなので,

ｄｇ＝ｖｄｙ－ｘｄｕを得ます。

　故に,ｘ＝－∂ｇ/∂ｕ,ｖ＝∂ｆ/∂ｙ＝∂ｇ/∂ｙです。

　こうした,変換をLegendre変換といいます。

　(Legendre変換は熱力学ではよく使われています。)(注2-1終わり※)

　今の解析力学の問題の場合も,－Ｈ(ｐ,ｑ,ｔ)＝Ｌ－ｐｑ^dなる変換が,ｔ以外の独立変数をＬ(ｑ,ｑ^dｔ)のｑ,ｑ^dから,ｐ＝∂Ｌ/∂ｑ^d,ｑに変更するLegendre変換です。

※かつて19世紀に,Lagrangeが創始した解析力学でのLagrangian:ＬからHamiltonian:Ｈへの書き換えは,Legendre変換だったのですね。

そこで,この場合,ｑ^d＝∂Ｈ/∂ｐ,∂Ｌ/∂ｑ＝－∂Ｈ/∂ｑです。

さて,一般には系の自由度は1(１粒子の１次元運動)ではなく,自由度はＮ＞１の多粒子系です。

そこで,Lagrangianは,一般化座標:ｑ＝(ｑ₁,ｑ₂,..,ｑ_N)と一般化速度:ｑ^d＝(ｑ₁^d,ｑ₂^d,..,ｑ_N^d)の関数として,Ｌ＝Ｌ(ｑ,ｑ^d,ｔ)と表わされ,

共役運動量はｐ＝(ｐ₁,ｐ₂,..,ｐ_N);ｐ_i≡∂Ｌ/∂ｑ_i^dで定義されます。

そして,ＬのLegendre変換であるHamiltonianＨは,

Ｈ(ｐ,ｑ,ｔ)＝∑_iｐ_iｑ_i^d－Ｌ(ｑ,ｑ^d,ｔ),

or －Ｈ＝Ｌ－ｐｑ^dと書けます。

　Ｈの全微分は,ｄＨ＝∑_i(∂Ｈ/∂ｐ_i)ｄｐ_i＋∑_i(∂Ｈ/∂ｑ_i)ｄｑ_i

＋(∂Ｈ/∂ｔ)ｄｔ です。

一方,Ｈ＝∑_iｐ_iｑ_i^d－Ｌから,ｄＨ＝∑_iｑ_i^dｄｐ_i＋∑_iｐ_iｄｑ_i^d

－∑_i(∂Ｌ/∂ｑ_i)ｄｑ_i－∑_i(∂Ｌ/∂ｑ_i^d)ｄｑ_i^d－(∂Ｌ/∂ｔ)ｄｔ

なる式を得ます。

ここで,ｐ_iｄｑ_i^d＝(∂Ｌ/∂ｑ_i^d)ｄｑ_i^dですから,

ｄＨ＝∑_iｑ_i^dｄｐ_i－∑_i(∂Ｌ/∂ｑ_i)ｄｑ_i－(∂Ｌ/∂ｔ)ｄｔ

です。

　ところが,Euler-Lagrangeの運動方程式:

　∂Ｌ/∂ｑ_i－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_i^d)＝0 によって,

　∂Ｌ/∂ｑ_i＝ｄｐ_i/ｄｔ＝ｐ_i^dなので,

　結局,ｄＨ＝∑_iｑ_i^dｄｐ_1i－∑_iｐ_i^dｄｑ_i－(∂Ｌ/∂ｔ)ｄｔと書けます。

　それ故,∑_i(∂Ｈ/∂ｐ_i)ｄｐ_i＋∑_i(∂Ｈ/∂ｑ_i)ｄｑ_i＋(∂Ｈ/∂ｔ)ｄｔ

＝∑_iｑ_i^dｄｐ_i－∑_iｐ_i^dｄｑ_i－(∂Ｌ/∂ｔ)ｄｔです。

　よって,運動方程式としてｄｑ_i/ｄｔ＝ｑ_i^d＝∂Ｈ/∂ｐ_i,

　ｄｐ_i/ｄｔ＝ｐ_i^d＝－∂Ｈ/∂ｑ_iとを得ます。

　これが,Euler-Lagrange運動方程式の,Hamiltonian形式による運動方程式へのLegendre変換に基づいた書き直しです。

この最後の形の運動方程式を,Hamiltonの正準方程式といいます。

※(注2^2):Poisson括弧式:

　ｐ＝(ｐ₁,ｐ₂,..,ｐ_N),ｑ＝(ｑ₁,ｑ₂,..,ｑ_N)の関数ｕ,ｖに対して,

　{ｕ,ｖ}_P.B≡∑_k{(∂ｕ/∂ｐ_k)(∂ｖ/∂ｑ_k)－(∂ｕ/∂ｑ_k)(∂ｖ/∂ｐ_k)}

　をｕ,ｖのPoisson括弧式(Poisson Bracket),

　 or Poisson括₁弧といいます。

すると,明らかに{ｐ_i,ｑ_j}_P.B＝δ_ij,{ｐ_i,ｐ_j}_P.B＝{ｑ_i,ｑ_j}_P.B＝0

(ｉ,ｊ＝1,2,..,Ｎ)なる恒等式が成立します。

これを基本括弧式といいます。(注2終わり※)

　ｕ(ｐ,ｑ,ｔ)を任意の微分可能な関数とすると,

ｄｕ/ｄｔ＝∑_i{(∂ｕ/∂ｐ_i)ｐ_i^d＋(∂ｕ/∂ｑ_i)ｑ_i^d}＋(∂ｕ/∂ｔ)

＝∑_i {(∂ｕ/∂ｑ_i)(∂Ｈ/∂ｐ_i)－(∂ｕ/∂ｐ_i)(∂Ｈ/∂ｑ_i)}

＋(∂ｕ/∂ｔ)です。

すなわち,ｄｕ/ｄｔ＝ｕ^d＝{Ｈ,ｕ}_P.B＋(∂ｕ/∂ｔ)を得ます。

ｕ＝ｐ_kならｐ_k^d＝{Ｈ,ｐ_k}_P.B,ｕ＝ｑ_kならｑ_k^d＝{Ｈ,ｑ_k}_P.Bです。

実際,Poisson括弧式の定義から{Ｈ,ｐ_k}_P.B＝－∂Ｈ/∂ｑ_k,および,

{Ｈ,ｑ_k}_P.B＝∂Ｈ/∂ｐ_kなので,

ｐ_k^d＝{Ｈ,ｐ_k}_P.B,ｑ_K^d＝{Ｈ,ｑ_k}_P.Bは,Hamiltonの正準方程式:

ｑ_k^d＝∂Ｈ/∂ｐ_k,ｐ_k^d＝－∂Ｈ/∂ｑ_kと同値です。

(※余談ですが,電磁場の場合などゲージ(gauge)不変性を持つ場では,ｐ_i＝∂Ｌ/∂ｑ_i^dを陰関数表示として解くための係数行列:(∂²Ｌ/∂ｑ_i^d∂ｑ_j^d)のJacobian:det:(∂²Ｌ/∂ｑ_i^d∂ｑ_j^d)がゼロの特異行列となるので,

方程式:∂Ｌ/∂ｑ_i^d＝ｐ_iから,ｑ^dをｑ^d＝ｑ^d(ｐ,ｑ)なる形に解くことができません。

そのため,Poisson括弧式を修正したDirac括弧式を用いた対応原理で以下の量子化が実行されます。※)

(※なお,解析力学については,2006年10/８の記事「WKB近似,ハミルトン・ヤコービ方程式,経路積分」や2007年11/２の記事「解析力学の初歩」,　

2008年５/19の記事「電磁気学と相対論(4)(真空中の電磁気学３)」,

５/30の記事「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」,

そして,2008年６/22の「ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル」と６/27の「ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル(補遺)」および,2010年２/６の記事「電磁力学と解析力学」

などを参照してください。

そしてちょっとマニアックな話題ですが2008年２/21,２/25の「非ネーター保存量」,および「非ネーター保存量(続き) 」 もあります。

また,飛躍しますが量子化した後にも関連したトピックとしては,

2007年５/７の「量子化された場と調和振動子（パラ統計）」,

2007年８/７の「場の演算子とリー群(Lie群)の生成子」,

2008年２/29の「ネーターの定理と場理論」

などあります。※)

　さて、本文に戻って量子化(quantization)の手順です。

　量子論ではｑ^はHilbert空間に作用するHermite演算子で,共役運動量は

　ｐ^＝－i∂/∂ｑ^(※Schroedinger表現)ですが,これも演算子です。

[Ａ,Ｂ]≡ＡＢ－ＢＡで交換子(commutator)を定義すると,

ｑ-表示の任意の状態関数ψ＝Ψ(ｑ)に対して,

[ｐ^,ｑ^]ψ＝ｐ^(ｑ^ψ)－ｑ^(ｐ^ψ)＝－iψですから,

[ｐ^,ｑ^]＝－iです。

　一方,古典変数のPoisson 括弧式では,{ｐ,ｑ}_P.B＝1ですね。

　これが量子化のヒントになります。

　(※この対応原理による量子化は,Diracの発見です。)

　演算子ｐ^は,もちろんHermite(Hermitian operator)です。

　何故なら,ｑ表示で∫_-∞^∞χ^＊ｐ^ψｄｑ＝－i∫_-∞^∞χ^＊(∂ψ/∂ｑ)ｄｑ

　＝－i[χ^＊ψ]_-∞^∞＋i∫_-∞^∞∞(∂χ^＊/∂ｑ)ψｄｑ＝∫_-∞^∞(ｐ^χ)^＊ψｄｑ

　だからです。

つまり,＜χ|ｐ^|ψ＞＝＜ｐ^χ|ψ＞＝＜ψ|ｐ^χ＞^＊ですから,

ｐ^はHermitianなのです。

　粒子の動力学はＨ^(ｐ,ｑ)をHamiltonian演算子として,

　Ｈ^(ｐ,ｑ)Ψ(ｔ)＝i∂Ψ(ｔ)/∂ｔ(Schroedinger方程式)

　で与えられます。

　ここでのΨは状態を表わすHilbert空間のベクトル(元)です。

　初期状態:Ψ|_t=0を任意に与えると,上記のSchroedinger方程式は将来の全ての時刻ｔの状態における物理量の期待値を決定します。

※(注2-3):Ｈ^Ψ＝i(∂Ψ/∂ｔ)の解;Ψ(ｔ)は,Ψ_n(ｔ)＝ｕ_nexp(－iＥ_nｔ)

　で展開され,Ψ(ｔ)＝∑_nｃ_nｕ_nexp(－iＥ_nｔ)＝∑_nａ_n(ｔ)ｕ_n(ｑ)

　となります。

ここで,Ｈ^ｕ_n＝Ｅ_nｕ_nでありΨ(0)を与えると全てのａ_n(0)＝ｃ_nが定まるのでΨ(ｔ)が完全に定まります。

Ψ(0)＝∑_nｃ_nｕ_nなのでｕ_nが規格化されていれば＜ｕ_n|Ψ＞＝ｃ_nとなるからです。(注2-3終わり)※

　粒子の運動は今の時間変化の定式化では,時間に依存しない演算子ｐ,ｑに対してΨの中に全ての時間依存性が含まれています。

　これはSchroedinger表示と呼ばれる表示です。

一方,Heisenberg表示では,状態ベクトルΨではなく演算子ｐ^(ｔ),ｑ^(ｔ)の方が時間依存性を有します。

Schroedinger表示の状態ベクトル:Ψ(ｔ)を改めてΨ_Ｓ(ｔ)と記し,

Ψ_Ｓ(ｔ)＝exp(－iＨ^ｔ)Ψ_Ｓ(0)≡exp(－iＨ^ｔ)Ψ_Ｈとします。

そして,時間ｔに依存しないΨ_Ｈ≡Ψ_Ｓ(0)をHeisenberg表示の状態ベクトルと呼びます。

ただし,exp(－iＨ^ｔ)の意味は,exp(－iＨ^ｔ)

≡∑_n=0^∞{(i/ｎ!)(－iｔＨ^)ⁿ}です。

　逆に,時間ｔには依存しないΨ_Ｈに対して,Ψ_Ｓ(ｔ)＝exp(－iＨ^ｔ)Ψ_Ｈと定義すれば,明らかに i(∂Ψ_Ｓ/∂ｔ)＝Ｈ^Ψ_Ｓとなって,

　Ψ_Ｓ(ｔ)＝exp(－iＨ^ｔ)Ψ_ＨがSchroedinger方程式に従う

　Schroedinger表示の状態ベクトルとなります。

そして,Schroedinger表示の演算子Ｏ_Ｓ^はユニタリ変換によって,時間に依存するHeisenberg表示の演算子Ｏ_Ｈ^(ｔ)に変換されます。

Ｏ_Ｈ^(ｔ)≡exp(iＨ^ｔ)Ｏ_Ｓ^exp(－iＨ^ｔ)です。

こう変換すれば,

Ｏ_Ｈmn(ｔ)＝＜Ψ_Ｈm|Ｏ_Ｈ^(ｔ)|Ψ_Ｈn＞

＝＜Ψ_Ｈm|exp(iＨ^ｔ)Ｏ_Ｓ^exp(－iＨ^ｔ)|Ψ_Ｈn＞

＝＜exp(－iＨ^ｔ)Ψ_Ｈm|Ｏ_Ｓ^|exp(－iＨ^ｔ)Ψ_Ｈn＞

＝＜Ψ_Ｓm(ｔ)|Ｏ_Ｓ^(ｔ)|Ψ_Ｓn(ｔ)＞＝Ｏ_Ｓmn(ｔ)

となって,行列要素が変換の前後で不変です。

　Heisenberg表示では,時刻ｔ＝0 の状態ベクトルΨ_Ｈ＝Ψ_Ｓ(0)が既知のときHeisenberg表示の演算子Ｏ_Ｈ^(ｔ)の時間発展の方程式を解くことが主題となります。

　この演算子に対する方程式は,ｄＯ_Ｈ^(ｔ)/ｄｔ＝i[Ｈ^,Ｏ_Ｈ^(ｔ)]です。が,これをHeisenbergの運動方程式といいます。

　ただし,Schroedinger表示のＯ_Ｓ^が時間に依存する場合は,

　ｄＯ_Ｈ^/ｄｔ＝i[Ｈ^,Ｏ_Ｈ^]＋∂Ｏ_Ｈ^/∂ｔです。

　特に,Hamiltonian演算子:Ｈ^については,Ｈ^が陽に時間に依らない限り,

　Ｈ_Ｈ^(ｔ)≡exp(iＨ^ｔ)Ｈ^exp(－iＨ^ｔ)＝Ｈ＝Ｈ_Ｓであり,

　ｄＨ^/ｄｔ＝i[Ｈ^,Ｈ^]＝0 です。

※(注2-4):Schroedinger方程式:Ｈ^Ψ_Ｓ(ｔ)＝i{∂Ψ_Ｓ(ｔ)/∂ｔ}の内容は,

　実際,全てΨ_Ｈ＝exp(iＨ^ｔ)Ψ_Ｓ(ｔ)の中に含まれています。

時刻ｔにおける確率を含む期待値が表示によって変わらない条件:

＜Ψ_Ｓ(ｔ)|Ｏ_Ｓ^|Ψ_Ｓ(ｔ)＞＝＜Ψ_Ｈ|Ｏ_Ｈ^(ｔ)|Ψ_Ｈ＞を満たすよう

Schoedinger表示の演算子からユニタリ変換:

Ｏ_Ｈ^(ｔ)≡exp(iＨ^ｔ)Ｏ_Ｓ^exp(－iＨ^ｔ)で定義される

Heisenberg表示の演算子は,実際Ｏ_Ｓ^がｔに独立なら

ｄＯ_Ｈ^/ｄｔ＝iＨ^Ｏ_Ｈ^－iＯ_Ｈ^Ｈ^＝i[Ｈ^,Ｏ_Ｈ^]

を満たします。

逆に,ｄＯ_Ｈ^/ｄｔ＝i[Ｈ^,Ｏ_Ｈ^]＝iＨ^Ｏ_Ｈ^－iＯ_Ｈ^Ｈ^を記号的に積分すれば,Ｏ_Ｈ^(ｔ)＝exp(iＨ^ｔ)Ｏ_Ｈ^(0)exp(－iＨ^ｔ)が得られます。

　これらの式は同じ演算子Ｏ^の時間依存性を示す方程式の解です。

　(注2-4終わり)※

　波動関数については,Schroedinger表示の波動関数:

　ψ_n(ｑ,ｔ)＝exp(－iＥ_nｔ)ｕ_n(ｑ)に対して,

　Heisenberg表示のそれはψ_n(ｑ,0)＝ｕ_n(ｑ)です。

相対論的場の量子論では,Heisenberg表示の方が便利です。

何故ならLorentz不変性をより容易に見ることができるからです。

つまり場の演算子は時間ｔだけに依存するだけでなく,時空座標に依存する演算子として一般化されたと見ることができます。

さて,ｐ^,ｑ^をHeisenberg表示で見ると[ｐ^(ｔ),ｑ^(ｔ)]＝－iです。

そこで,１つの表示としてｐ^(ｔ)＝－i{∂/∂ｑ^(ｔ)},または

ｑ^(ｔ)＝i{∂/∂ｐ^(ｔ)}と定義することができます。

　故に,ｄｐ^(ｔ)/ｄｔ＝i[Ｈ^,ｐ^(ｔ)],ｄｑ^(ｔ)/ｄｔ＝i[Ｈ^,ｑ^(ｔ)]を[ｐ^(ｔ),ｑ^(ｔ)]＝－iの正準交換関係の原理と一緒にすると,

　これは古典論の方程式ｄｐ(ｔ)/ｄｔ＝－∂Ｈ/∂ｑ(ｔ)＝{Ｈ,ｐ(ｔ)}_P.B,ｄｑ(ｔ)/ｄｔ＝∂Ｈ/∂ｐ(ｔ)＝{Ｈ,ｑ(ｔ)}_P.B,および

{ｐ(ｔ),ｑ(ｔ)}_P.B＝1の焼き直しに見えます。

　Heisenberg表示による量子力学の定式化は,古典力学の定式化に方程式の形だけはそっくりです。

　古典力学のPoisson括弧:{ , }_P.Bを交換関係:[ , ]に変えて,iを掛ければ量子化した方程式が得られます。

　{Ｈ,ｐ(ｔ)}_P.B ～ i[Ｈ^,ｐ^(ｔ)],{Ｈ,ｑ(ｔ)}_P.B ～ i[Ｈ^,ｑ^(ｔ)],

　{ｐ(ｔ),ｑ(ｔ)}_P.B ～ i[ｐ^(ｔ),ｑ^(ｔ)] or

　[Ｈ^,ｐ^(ｔ)] ～ (－i){Ｈ,ｐ(ｔ)}_P.B,

　[Ｈ^,ｑ^(ｔ)] ～ (－i){Ｈ,ｑ(ｔ)}_P.B,

　[ｐ^(ｔ),ｑ^(ｔ)] ～ (－i){ｐ(ｔ),ｑ(ｔ)}_P.Bです。

そして,この動力学を完全に決定するためには,演算子ｐ^,ｑ^の初期時刻における全ての行列要素を具体的に与える必要があります。

古典論において,初期値ｐ(0),ｑ(0)に課せられる初期条件は量子論では,

ｔ＝0 で如何なる物理的状態においても満足さるべき正準交換関係:

[ｐ^(ｔ),ｑ^(ｔ)]＝－i によって補足されます。

※(例):Heisenberg表示で１次元の単純な調和振動子を量子化します。

まず,Ｈ^＝(1/2)(ｐ^²＋ω₀²ｑ^²)です。

これから,ｄｐ^(ｔ)/ｄｔ＝ｐ^^ｄ(ｔ)＝i[Ｈ^,ｐ^]

＝(iω₀²/2)[ｑ^²,ｐ^}＝－ω₀²ｑ^(ｔ)です。

同様に,ｄｑ^(ｔ)/ｄｔ＝ｑ^^ｄ(ｔ)＝i[Ｈ^,ｑ^]

＝(i/2)[ｐ^²,ｑ^}＝ｐ^(ｔ)です。

以上から,ｄ²ｑ^(ｔ)/ｄｔ²＝ｑ^^2d(ｔ)－ω₀²ｑ^(ｔ)＝0,

ｐ^(ｔ)＝ｑ^^d(ｔ)＝ｄｑ^(ｔ)/ｄｔです。

　,

この式は古典論の調和振動子の方程式と同じ形です。

方程式を座標:ｐ^(ｔ),ｑ^(ｔ)について解くため,慣例に従って

ａ^≡(2ω₀)^-1/2(ω₀ｑ^＋iｐ^),ａ^^＋≡(2ω₀)^-1/2(ω₀ｑ^－iｐ^)

とおきます。

　こうおけば,ｄａ^(ｔ)/ｄｔ＝ａ^^d(ｔ)＝(2ω₀)^-1/2(ω₀ｑ^^d＋iｐ^^d)

＝(2ω₀)^-1/2(ω₀ｐ^－iω₀²ｑ)＝(－iω₀)(2ω₀)^-1/2(ω₀ｑ^＋iｐ^)

＝－iω₀ａ^(ｔ)となります。

同様にして,ｄａ^^＋(ｔ)/ｄｔ＝iω₀ａ^^＋(ｔ)です。

これらを解けば,ａ^(ｔ)＝ａ^₀exp(－iω₀ｔ),

ａ^^＋(ｔ)＝ａ^₀^＋exp(iω₀ｔ)となります。

ただし,ａ^₀ ,ａ^₀^＋は時間 ｔには依存しない演算子です。

そして,,交換関係は,[ａ^(ｔ),ａ^^＋(ｔ)]

＝(2ω₀)^-1[ω₀ｑ^＋iｐ^,ω₀ｑ^－iｐ^]

＝(2ω₀)^-1(－iω₀[ｑ^,ｐ^]＋iω₀([ｐ^,ｑ^])＝1 です。(つづく)

※なお,余談の続きですが,物質中の電磁エネルギー運動量テンソルの正しい形はどうなるのか？"という関連記事の問題については,

　2009年１/７の記事「運動物質内の相対論(13)(物質中の電磁エネルギー運動量:前編)」,および１/12の記事「h運動物質内の相対論(14)(物質中の電磁エネルギー運動量:中編)」,１/15の記事「運動物質内の相対論(15)(物質中の電磁エネルギー運動量]後編)」において既に解決済みです。

※(参考文献):J.D.Bjorken ＆ S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields"(MacGrawHill)