相対論的場の量子論(正準定式化)(3)

　場の量子論の正準定式化の紹介記事の続きです。

　まだまだ準備段階です。

　前回の最後に例として挙げた１次元調和振動子の量子論を,改めて最初から記述し直します。

　単なる量子化の例と書きましたが,実はこれが波動場の理論の基礎となるので,今日は１次元調和振動子に集中して次回からは自由度を多次元に拡張する予定です。

Hamiltonianの中に運動エネルギー項だけでポテンシャル項がない自由粒子のHamiltonianでなく,何故,線型振動するバネに束縛された粒子のようなポテンシャルを持つ振動子を考えるのか？ということの理由は次の通りです。

後に進むに従ってわかるように,謂わゆる光波(電磁波)のような波動方程式に従う場の波動の数学的記述は多くの調和振動子の集まりのそれに等価だからです。

こうした,Heisenberg表示での扱い故,Heisenbergの行列力学(matrix mechanics)によろ１次元調和振動子の記述は,Landauの教科書を初めとして多くの標準的なテキストに載っている事柄ですが,

その離散的固有値を持つ可算個の固有状態を基底として張られるnormを持つ線形空間が完備であり,さらベクトル(元)のスカラー積(ユニタリ内積)が定義され付与されたHilbert空間であること,

そして,この状態の空間は線型空間なので,必然的に物理的状態としては意味不明なnorm(確率)がゼロの零元:0 を持つことetc.が,

後に生成・消滅演算子に対応するエネルギ－準位の昇降演算子による基底状態(場理論では真空)の定義に関わるなど,調和振動子の模型には場の量子論で重要な理論の基礎が含まれています。

私自身も,初学の頃には色々と解釈に悩んだ時期もあったので,躓きやすい項目には特に注を入れて明確な記述をしたいと思います。

さて,本題ですが,１次元調和振動子のHamiltonianＨ^のHeisenberg表示の座標ｐ(ｔ),ｑ(ｔ)による表現はＨ^＝(1/2)(ｐ^²＋ω₀²ｑ^²)です。

これに,正準量子条件:[ｐ(ｔ),ｑ(ｔ)]＝－i が課せられます。

　運動方程式は,ｄｐ^(ｔ)/ｄｔ＝ｐ^^d(ｔ)＝i[Ｈ^,ｐ^]＝－ω₀²ｑ^(ｔ),

ｄｑ^(ｔ)/ｄｔ＝ｑ^^d(ｔ)＝i[Ｈ^,ｑ^]＝ｐ^(ｔ) です。

それ故,ｄ²ｑ(ｔ)/ｄｔ²＝ｑ^^2d(ｔ)＝－ω₀²ｑ^(ｔ),

かつ,ｐ^(ｔ)＝ｑ^^d(ｔ)＝ｄｑ^(ｔ)/ｄｔ＝ｑ^^d(ｔ)です。

これらの式は,古典論の1次元調和振動子の方程式と同じ形です。

微分方程式を座標:ｐ^(ｔ),ｑ^(ｔ)について解くために,

ａ^(ｔ) ≡(2ω₀)^-1/2(ω₀ｑ^＋iｐ^),かつ

ａ^^＋(ｔ)≡(2ω₀)^-1/2(ω₀ｑ^－iｐ^)  とおきます。

すると,ｄａ^(ｔ)/ｄｔ＝ａ^^d(ｔ)＝(2ω₀)^-1/2(ω₀ｑ^^d＋lｐ^^d)

＝(2ω₀)^-1/2(ω₀ｐ^－iω₀²ｑ^)＝－iω₀(2ω₀)^-1/2(ω₀ｑ^＋iｐ^)

＝－iω₀ａ^(ｔ)です。

同様にして,ｄａ^^＋(ｔ)/ｄｔ＝ａ^^＋d(ｔ)＝iω₀ａ^^＋(ｔ)です。

それ故,ａ^(ｔ)＝ａ₀^exp(－iω₀ｔ),ａ^^＋(ｔ)＝ａ₀^^＋exp(iω₀ｔ)

と書けます。ａ₀^,ａ₀^^＋は時間ｔに依らない演算子です。

そして,交換関係は[ａ^(ｔ),ａ^^＋(ｔ)]

＝(2ω₀)^-1[ω₀ｑ^＋iｐ^,ω₀ｑ^－iｐ^]

　＝(2ω₀)^-1[(－iω₀[ｑ^,ｐ^]＋iω₀[ｐ^,ｑ^]),

つまり,[ａ^(ｔ),ａ^^＋(ｔ)]]＝1 です。

したがって,[ａ^(ｔ),ａ^^＋(ｔ)]＝[ａ₀^,ａ₀^^＋]＝1,

[ａ^(ｔ),ａ^(ｔ)]＝[ａ₀^,ａ₀^]＝0,

[ａ^^＋(ｔ),ａ^^＋(ｔ)]＝[ａ₀^＋,ａ₀^^＋]＝0

です。

　そして,ａ^(ｔ)＝ａ₀^exp(－iω₀ｔ),ａ^^＋(ｔ)＝ａ₀^^＋exp(iω₀ｔ)より,

　ｐ^(ｔ)＝i(ω₀/2)^1/2{ａ^^＋(ｔ)－ａ^(ｔ)}

　＝(ω₀/2)^1/2{ａ₀^^＋exp(iω₀ｔ)－ａ₀^exp(－iω₀ｔ)},

　ｑ^(ｔ)＝(2ω₀)^-1/2{ａ^^＋(ｔ)＋ａ^(ｔ)}

　＝(2ω₀)^-1/2{ａ₀^^＋exp(iω₀ｔ)＋ａ₀^exp(－iω₀ｔ)}

　です。

　Hamiltonia:Ｈ^は,Ｈ^＝(1/2)(ｐ^²＋ω₀²ｑ^²)

＝(1/4){(ω₀ｑ^－iｐ^)(ω₀ｑ^＋iｐ^)＋(ω₀ｑ^－iｐ^)(ω₀ｑ^＋iｐ^)

と表現されます。

　故に,Ｈ^＝(ω₀/2){ａ^^＋(ｔ)ａ^(ｔ)＋ａ^(ｔ)ａ^^＋(ｔ)}

　＝(ω₀/2)(ａ₀^^＋ａ₀^＋ａ₀^ａ₀^^＋)です。

そして,{Ψ_n}をHamiltonian:Ｈ^の全ての固有状態の系として,

これが完全系(complete set)をなすなら,任意の状態ベクトルΨは,

Ψ＝∑_nｃ_nΨ_nと展開されます。

(※注3-1):取り合えず,調和振動子の状態全体から成る状態空間の可分性(separable)を仮定し,Ｈ^の固有ベクトル系:{Ψ_n}の個数(濃度)が高々

可算無限個(Almost countable)とした表記をしています。

　後の計算で実際に,そうであることがわかります。

そして,Ψ＝∑_nｃ_nΨ_nというのは,実際には{Ψ_n}が状態空間において

稠密(dense)であり,ｎ→ ∞とするとき,強収束(norm収束)の意味で

∑_nｃ_nΨ_nが,いくらでもΨに近づくよう近似することが可能

ということです。(注3-1終わり※)

　こうして状態の展開可能性が述べられ,座標演算子の時間依存性も明らかとなったので,後は固有状態Ψ_nの性質を決める必要性を残すのみです。

　まず,[Ｈ^,ａ₀^]＝(ω₀/2)[ａ₀^^＋ａ₀^＋ａ₀^ａ₀^^＋,ａ₀^]

　＝(ω₀/2)[ａ₀^^＋ａ₀^,ａ₀^]＋(ω₀/2)[ａ₀^ａ₀^^＋,ａ₀^]ですが,

　[ＡＢ,Ｃ]＝ＡＢＣ－ＣＡＢ＝Ａ[Ｂ,Ｃ]＋[Ａ,Ｃ]Ｂなる公式

　を用いると,

[Ｈ^,ａ₀^]＝－(ω₀/2)(ａ₀^＋ａ₀^)＝－ω₀ａ₀^を得ます。

同様にして[Ｈ^,ａ₀^^＋]＝ａ₀^)＝ω₀ａ₀^^＋です。

そこで,Ｈ^Ψ_n＝ω_nΨ_nなら,

Ｈ^ａ₀^^＋Ψ_n＝ａ₀^^＋Ｈ^Ψ_n ＋[Ｈ^,ａ₀^^＋]Ψ_n

　＝ω_nａ₀^^＋Ψ_n＋ω₀ａ₀^^＋Ψ_n＝(ω_n＋ω₀)ａ₀^^＋Ψ_n

となります。

故に,ａ₀^^＋Ψ_nはＨ^のエネルギー固有値:(ω_n＋ω₀)に属する(規格化されていない)固有状態です。

　同様に,Ｈ^ａ₀^Ψ_n＝(ω_n－ω₀)ａ₀^Ψ_nです。

　ａ₀^Ψ_nはＨ^の固有値:(ω_n－ω₀)に属する固有状態ですね。

　そこで,固有値ω_nを持つ状態Ψ_nを基準にして,これにａ₀^^＋を連続的に作用させます。

ａ₀^^＋Ψ_nがＨ^の固有値:ω_n+1＝ω_n＋ω₀に属する固有関数Ψ_n+1の定数倍になると考えられて,状態にａ₀^^＋を作用させる演算を繰り返すと,Ｈ^の固有状態の無限個の列を構成できます。

他方,ａ₀^Ψ_nがＨ^の固有値:ω_n-1＝ω_n－ω₀に属する固有関数Ψ_n-1の定数倍になると考えられて,状態にａ₀^を作用させる演算を繰り返すと,やはりＨ^の固有状態の無限個の列を構成できるように見えます。

しかしながら,この後者の演算は無限に続くわけではありません。

何故なら,Ｈ^＝(1/2)(ｐ^²＋ω₀²ｑ^²)は,Hermite演算子の平方和の形をしていて,負の固有値を持つことができないからです。

(※つまり,Ｈ＾は正値(非負値)の演算子です。※)

※(注3-2):Ａ^を任意のHermite演算子とすると,Ａ^²もHermite演算子です。

そこで,φ_λをＡ^²の任意の固有状態としてその固有値をλとすると,

Ａ^²φ_λ＝λφ_λであって,λは実数値です。

一方,Ａ^の固有状態の系:{Ψ_n}があってＡ^Ψ_n＝ａ_nΨ_nとすると,

ａ_nは実数でＡ^²Ψ_n＝ａ_nＡ^Ψ_n＝ａ_n²Ψ_nですから,

Ψ_nは固有値ａ_n²に属するＡ^²の固有状態でもあります。

そして,{Ψ_n}が完全系を作るという前提から,φ_λ＝∑_nｃ_nΨ_nと

展開可能です。

故に,λ＜φ_λ|φ_λ＞＝＜φ_λ|Ａ^²|φ_λ|＞

＝＜∑_mｃ_mΨ_m|Ａ^²|∑_nｃ_nΨ_n＞＝∑_m,nｃ_m^*ｃ_nａ_n²＜Ψ_m|Ψ_n＞

ですが,ａ_m≠ａ_nなら＜Ψ_n|Ψ_m＞＝0 です。

例えば,Schmidtの直交化法等により,縮退も含めてｍ≠ｎなら

＜Ψ_n|Ψ_m＞＝0 となるように直交化することが可能です。

こうすると,λ＜φ_λ|φ_λ＞＝∑_n|ｃ_n|²ａ_n²＜Ψ_n|Ψ_m＞≧0 となりますが,

λ＜φ_λ|φ_λ＞≧0 で,かつ＜φ_λ|φ_λ＞＞0 により,

λ≧0 が得られます。

"Hermite演算子の平方の固有値は必ず非負である"と結論されます。

(注2-2終わり※)

しかし,Ｈ^の固有状態の列:Ψ_n,ａ₀^Ψ_n,(ａ₀^)²Ψ_n,..,に対する

Ｈ^の固有値列:ω_n－ω₀,ω_n－2ω₀,...,が非負値を保つためには,

固有値に下限が存在する必要があります。

そのＨ^の最低固有値に属する固有状態を基底状態(groundstate)

と呼び,それをΨ₀とします。

これは,ａ₀^Ψ₀＝0 を満たす状態ベクトルであるということで一意的に定義されます。

このような状態:Ψ₀が存在することは,１次元調和振動子にとって

必要条件なのです。

何故なら,Ψ₀ はＨ＾の固有状態ですから,もしもａ₀^Ψ₀  がゼロでないなら,これもまたnullではない調和振動が存在すべき１つの固有状態です。

ところが,このゼロでないａ₀^Ψ₀は,Ψ₀よりさらに小さいＨ^の固有値に属しますから,Ψ₀ がＨ^の最低固有値に属する固有状態であるということに矛盾するからです。

Ψ₀ がａ₀^Ψ₀＝0 を満たすＨ＾の基底状態であれば,

Ｈ^Ψ₀＝(ω₀/2)(ａ₀^^＋ａ₀^＋ａ₀^ａ₀^^＋)Ψ₀

＝(ω₀/2)ａ₀^ａ₀^^＋Ψ₀＝(ω₀/2)[ａ₀^,ａ₀^^＋]Ψ₀＝(ω₀/2)Ψ₀

です。

Ψ₀を基準にしたＨ＾のｎ番目の固有状態を,改めてΨ_nと書き,

Ｈ＾の固有状態を定義し直します。

すなわち,Ψ_n≡(ａ₀^^＋)ⁿΨ₀ と定義します。

この定義では,Ψ_n＝ａ₀^^＋Ψ_n-1ですが,Ψ_n-1＝ａ₀^Ψ_nではなく

ｃをある定数として,ａ₀^Ψ_n＝ｃΨ_n-1 です。

そして,

Ｈ^Ψ_n＝Ｈ^ａ₀^^＋Ψ_n-1＝(ω_n-1＋ω₀)ａ₀^^＋Ψ_n-1,

Ｈ^Ψ_n-1＝Ｈ^ａ₀^^＋Ψ_n-2＝(ω_n-2＋ω₀)ａ₀^^＋Ψ_n-2,

....,

Ｈ^Ψ₁＝(ω₀/2＋ω₀)ａ₀^^＋Ψ₀

Ｈ^Ψ₀＝(ω₀/2)Ψ₀

ですから,

これをまとめると,Ｈ^Ψ_n＝ω_nΨ_n：ω_n＝(ｎ＋1/2)ω₀

(ｎ＝0,1,2,..)です。

(※ここでは,Planck定数を１とする自然単位を用いています)

　もしも,Ψ_n＝(ａ₀^^＋)ⁿΨ₀(ｎ＝0,1,2,..)と係数も含めて全く別の,

　Ｈ^の固有状態が存在すると仮定して,それをΨとし,それが

　Ｈ^Ψ＝ω'Ψを満たすと仮定します。

　このとき,Ｈ^(ａ₀^)^mΨ＝(ω'－ｍω₀)(ａ₀^)^mΨですから,

　ｍが十分大きいなら,0≦(ω'－ｍω₀)≦ω₀ となるはずです。

　つまり,ｍω₀ がω'以下で,(ｍ＋1)ω₀ はω'以上であるような

　自然数:ｍが存在します。

このｍに対する(ａ₀^)^mΨの固有値(ω'－ｍω₀)が(ω₀/2)より小なら,

Ψ₀がＨ^の最低エネルギーの固有状態であるという仮定に反するし,

この固有値が(ω₀/2)とω₀の間にあるなら(ａ₀^)^m+1Ψ＝0 となる必要が

あるのでａ₀^(ａ₀^)^mΨ＝0 です。

そこで,実際にＨ^を作用させるとＨ^(ａ₀^)^mΨ＝(ω₀/2)(ａ₀^)^mΨです。

よって,Ψ₀と(ａ₀^)^mΨは１次元調和振動子の状態を記述する唯一の物理量であるＨ^の同一の固有状態を示しているので,これらは複素係数を除いて一致します。

　以上から,(複素係数を除いて)Ψ_n＝(ａ₀^^＋)ⁿΨ₀ (ｎ＝0,1,2,..)よりも

　他にエネルギ－Ｈ^の固有状態は存在し得ないことがわかりました。

Ψ₀が縮退していないことからΨ_n＝(ａ₀^^＋)ⁿΨ₀ もまた非縮退

(non-degenerate)です。

そこで,＜Ψ_n|Ｈ^{Ψ_m＞＝ω_m＜Ψ_n|Ψ_m＞＝＜Ｈ^Ψ_n|Ψ_m＞

＝ω_n＜Ψ_n|Ψ_m＞ですから,(ω_m―ω_n)＜Ψ_n|Ψ_m＞＝0 です。

それ]故,ｍ≠ｎならω_m≠ω_nなので＜Ψ_n|Ψ_m＞＝0 です。

　一方,＜Ψ_n+1|Ψ_n+1＞＝＜ａ₀^^＋Ψ_n|ａ₀^^＋Ψ_n＞

　＝＜Ψ_n{ａ₀^ａ₀^^＋|Ψ_n＞＝＜Ψ_n{Ｈ^/ω₀＋1/2|Ψ_n＞

　＝{(ｎ＋1/2)＋1/2}＜Ψ_n|Ψ_n＞＝(ｎ＋1)＜Ψ_n|Ψ_n＞です。

　ｎ

※(注3-3):Ｈ^＝(ω₀/2)(ａ₀^^＋ａ₀^＋ａ₀^ａ₀^^＋)

　＝(ω₀/2)(2ａ₀^ａ₀^^＋＋[ａ₀^^＋,ａ₀^])

　＝ω₀(ａ₀^ａ₀^^＋－1/2)です。

　故に,ａ₀^ａ₀^^＋＝Ｈ^/ω₀＋1/2です。(注3終わり)※

　したがって,＜Ψ_n|Ψ_n＞＝ｎ＜Ψ_n-1|Ψ_n-1＞

　＝ｎ(ｎ－1)＜Ψ_n-2|Ψ_n-2＞＝..＝ｎ! ＜Ψ₀|Ψ₀＞ですから,

　結局,＜Ψ_n|Ψ_m＞＝δ_nmｎ!＜Ψ₀|Ψ₀＞を得ます。

　δ_nmはKroneckerのデルタ記号です。

これから,以下では,＜Ψ₀|Ψ₀＞＝1,Ψ_n＝(1/ｎ!)^1/2(ａ₀^^＋)ⁿΨ₀と

固有状態ベクトルを再規格化して定義し直して,

＜Ψ_n|Ψ_m＞＝δ_nmとなるようにします。

この定義では,もはやΨ_n+1＝ａ₀^^＋Ψ_nではなく,

Ψ_n+1＝(ｎ＋1)^-1/2ａ₀^^＋Ψ_nであることに注意する必要があります。

　すると,ｎ＋1＝＜Ψ_n|Ｈ^/ω₀＋1/2|Ψ_n＞

　＝＜Ψ_n|ａ₀^ａ₀^^＋|Ψ_n＞＝∑_m＜Ψ_n|ａ₀^|Ψ_m＞＜Ψ_m|ａ₀^^＋|Ψ_n＞

　＝＜Ψ_n|ａ₀^|Ψ_n+1＞＜Ψ_n+1|ａ₀^^＋|Ψ_n＞より

　ｎ＋1＝|＜Ψ_n+1|ａ₀^^＋|Ψ_n＞|²です。

　先の＜Ψ₀|Ψ₀＞＝1,Ψ_n＝(1/ｎ!)^1/2(ａ₀^^＋)ⁿΨ₀の定義では,

　＜Ψ_n+1|ａ₀^^＋|Ψ_m＞＝(ｎ＋1)^1/2＝＜Ψ_n|ａ₀^|Ψ_n+1＞で行列要素

　は実数です。

　調和振動子の昇降演算子:ａ₀^^＋,ａ₀^の行列要素としてゼロでないのは

　＜Ψ_n+1|ａ₀^^＋|Ψ_n＞,＜Ψ_n|ａ₀^|Ψ_n+1＞以外にはありません。

　一般に,全ての行列要素は,＜Ψ_m|ａ₀^^＋|Ψ_n＞＝(ｎ＋1)^1/2δ_m,n+1,

　 ＜Ψ_m|ａ₀^|Ψ_n＞＝ｎ^1/2δ_m,n-1と書けます。

任意時刻ｔにおけるHeisenberg演算子の行列要素としては,例えば

＜Ψ_n+1|ａ^^＋(ｔ)|Ψ_n＞＝exp(iω₀ｔ)＜Ψ_n+1|ａ₀^^＋|Ψ_n＞

　＝＜exp(－iω_n+1ｔ)＜Ψ_n+1|ａ₀^^＋|Ψ_n exp(－iω₀ｔ)＞

　＝＜Ψ_n+1(ｔ)ａ₀^^＋|Ψ_n(ｔ)|＞となります。

　自由度が１の論議は,自由度Ｎの方程式にそのまま拡張できます。

ｎ個のHermite演算子:ｑ_i^(ｔ)(ｉ＝12..,Ｎ)(Heisenberg表示)と,

そのｎ個の共役運動量演算子:ｐ_i^(ｔ)(ｉ＝1,2..,Ｎ)による記述

ですが,それは次回にして,

　今日はここで終わります。

※(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell 「Relativistic　Quantum Fields」(McGrawHill)

ＰＳ：昨日(１/19？),別の区では雪が降ったらしい日に,どうも今度は視力がいい方の左眼から眼底出血したらしく,モヤがかかって虫が飛んだりしています。(白が少し赤いし。。。)

　右眼は,視力 0.5くらいで,去年の手術で,既に硝子体がレンズに変わっていて,めったに出血しないようですが,片目が出血すると両眼を開けてるとかえって見にくいですね。

　ここ十年以上もインシュリンは拒否してきましたが,歳も食って私自身のインシュリンに対する偏見？も薄れてきたので完全失明しないうちにインスリン注射を始めようかなあ。

　私,低血糖を起こしやすいので,数日以上入院して量を調整する必要あるでしょうが,帝京病院ではずっと拒否してたので順天病院にいくかな。。

ＰＳ2：しかし,ここのココログの最近のHTMLへの翻訳では,ワードで普通の大きさの上下の添字を単にコピーすると添字だけが必ず3/4に縮小されて見えにくいので1つ1つ直すしていますがめも悪いので閉口してます。

　文字全部の大きさなら簡単ですが添字だけなのでね。。

　元々オンラインで編集修正してブログＨＰに反映させると,文字化け起きるのは日常茶飯事ですが「。。

　数式じゃなく文章なら正常なので,今更ながら,ブログで数式を書くというのが無理なんでしょうね。

(このＰＳも行間隔開けて書いても反映すると詰まるとか色々。。)