相対論的場の量子論(正準定式化)(4)

相対論的場の理論の続きです。

今日は,多体系の自由度を連続無限に拡張して場の解析力学を展開し,

正準量子化への道筋を付けます。

さて,Ｎ個のHermite演算子:ｑ_j^(ｔ)(ｊ＝1,2..,Ｎ)

(Heisenberg表示)と,そのＮ個の共役運動量演算子:

ｐ_j^(ｔ)による記述をします。

まず,Ｎ個の１次元調和振動子の集まりとしては全系のHamiltonian

は,Ｈ^＝(1/2)∑_j=1^N(ｐ_j^²＋ω_0j²ｑ_j^²) です。

そして,正準交換関係は［ｐ_j^(ｔ),ｑ_k^(ｔ)］＝－iδ_jk

(ｊ,ｋ＝1,2..,Ｎ)で与えられます。

古典論の運動方程式は,ｄｐ_j /ｄｔ＝－∂Ｈ/∂ｑ_j＝[Ｈ,ｐ_j]_P.B,

　ｄｑ_j /ｄｔ＝∂Ｈ/∂ｐ_j＝[Ｈ,ｑ_j]_P.B (ｊ＝1,2..,Ｎ)です。

　初期時刻ｔ＝0 における,ｑ_j(0),ｐ_j(0)の全ての値を与えたとき,

　古典論の運動方程式は系の運動を完全に決定します。

　一方,それを量子化した方程式は時間ｔを陽に書いて,

　ｄｐ_j^(ｔ)/ｄｔ＝－i[Ｈ^,ｐ_j^(ｔ)],

　ｄｑ_j^(ｔ)/ｄｔ＝－i[Ｈ^,ｑ_j^(ｔ)] (ｊ＝1,2..,Ｎ)

　です。

初期時刻ｔ＝0 における座標演算子:ｐ_j^,ｑ_j^の次の正準交換

関係を満たす座標演算子:ｐ_j^,ｑ_j^の行列要素を全て与えたと

き,それらはこの量子動力学の問題を完全に決定します。

ただし,それら演算子は任意時刻のそれらと同じ換関係

[ｐ_j^(0),ｑ_k^(0)]＝－－iδ_jk,

[ｐ_j^(0),ｐ_k^(0)]＝[ｑ_j^(0),ｑ_k^(0)]＝0

(ｊ,ｋ＝1,2..,Ｎ)　

を満たす必要があるので,

与えるべき初期行列要素もこれらと無矛盾であるべきです。

§1.3 Canonical Formalism and Quantization(正準定式化と量子化 )

さらに系の自由度をＮからＮ→∞にすると,謂わゆる場の理論に

なります。

すなわち,Ｎ個の添字ｊを持つ一般化座標ｑ_j^(ｔ)が,Ｎ→∞で添字

が連続無限個の空間座標ｘの場φ(ｘ,ｔ)に変わります。

これが,空間の各点で与えられた系の互いに独立な一般化座標である

とするのが,場の理論の考え方です。

比較的単純な古典物理学での例としては,弾性運動する弦,膜,流体を

構成する各点での平衡位置からのずれの場などが,考えられます。

　この場合,場φ(ｘ,ｔ)は(ｘ,ｔ)における平衡位置からのずれを

　表わし,∂φ(ｘ,ｔ)/∂ｔはその点での局所速度を示します。

　これのアナロジーで,φ^(ｘ,ｔ)にｑ_j^(ｔ)の役目を,∂φ^/∂ｔ

　にｑ_j^{^d}＝ｄｑ_j^/ｄｔの役目をさせます。

　離散ラベルｉが連続座標変数ｘに取って代わられるわけです。

Heisenberg表示なので,場は時空座標:ｘ^μ＝(ｘ,ｔ)の関数です。

そして,Heisenberg表示では,ｘ^μ＝(ｘ,ｔ) or,φ^(ｘ,ｔ)の表

現はLorentz共変性という意味を陽に含んでいます。

　つまり,場は４元ベクトルｘ^μ＝(ｘ,ｔ)の関数ですが,座標の

　ｘ^μ＝(ｘ,ｔ) → ｘ’^μ＝(ｘ’,ｔ’)＝Λ^μ_νｘ^νなるLorentz変換:

　に伴って,場φ^が,φ → φ’と変換するとき,

　φ'(ｘ’,ｔ’)＝φ(ｘ,ｔ)(Lorentz不変なスカラー)や,

　Lorents群のベクトル表現やスピノル表現の行列Ｓについて,

　φ’_r(ｘ’,ｔ’)＝Ｓ_rsφ_s(ｘ,ｔ)を満たす４元ベクトルとか,

　スピノルの変換性を持たせて理論をLorentz不変にする上で,

　こうした場の演算子という表現方法は便利です。

　通常の量子力学では,特別視された時間座標の空間座標に対する唯

　一の優先的な役割の痕跡は,ｔ＝0 における初期条件と交換関係を

　与えるときに見られるだけです。

­　そして,ｔ＝0 という３次元超平面(surface)の選択は,理論における

　１つの非共変(non-covarint)な要素ではありますが,

　その上で初期条件と交換関係を特定できる空間的３次元超平面

　(space-like surface)という概念で置き換えることで,こうした

　非共変性も一掃されます。

※(注4-1)：

　空間的(space-like)とはｘ²≡ｘ_μｘ^μ＝ｔ²－ｘ²≦0 なる点:

　ｘ^μ＝(ｘ,ｔ),または４次元距離を意味します。

　ここで用いているｃ＝1という自然単位ではなくて,光速ｃを陽に

　書いた表現では,この空間的とはｔ≦|ｘ|/ｃ,または|ｘ|≧ｃｔ

　ということを意味しています。

これは,等号でない場合は,時刻ｔ＝0 に原点ｘ＝0 から出た

光でさえ時刻ｔにｘには到達不可能であるという事象(event)

を示しています。

そして,空間的というのは,どのような慣性座標系を採用しても

不変な性質なので,ｔ²－ｘ²≦0 を満たす事象ｘ^μ＝(ｘ,ｔ)は

慣性座標系の取り方:ｘ’＝Λｘ ｘ’^μ＝Λ^μ_νｘ^ν) 次第では,

ｔ’＝0 となり,ｘ’^μ＝(ｘ’,0)なる空間座標のみの点とする

ことが可能であることを意味しています。

一方,時間的(time-like)とは,ｘ²＝ｘ_μｘ^μ＝ｔ²－ｘ²≧0 なる

ｘ^μ＝(ｘ,ｔ),または４次元距離を意味します。

光速ｃを陽に書いた表現では,|ｘ|≦ｃｔ,またはｔ≧|ｘ|/ｃです。

これは,時刻ｔ＝0 に原点ｘ＝0 から出た光が時刻ｔに

ｘまで到達可能であること,を示しています。

時間的という性質も空間的と同様,Lorentz不変な性質です。

ｔ²－ｘ²≧0 なので,ｘ^μ＝(ｘ,ｔ)を満たす事象ｘ^μ＝(ｘ,ｔ)

から慣性座標系の取り方 (ｘ’＝Λｘ)第第では,ｘ’＝0 となり,

ｘ’^μ＝(0,ｔ’)なる時間座標のみの点とすることが可能です。

なお,ｘ²＝ｔ²－ｘ²＝0 と等号の場合は,空間的かつ時間的ですが,

特に光的(light-like)であるといいます。

これは,|ｘ|＝ｃｔを意味するので光の軌道ですね。

　結局,空間的に離れた光的でない２点:ｘとｘ₂,つまり

　(ｘ₁―ｘ₂)²＝(ｔ₁―ｔ₂)²－(ｘ₁－ｘ₂)²＜0 のケースでは,

　|ｘ₁－ｘ₂|＞ｃ(ｔ₁―ｔ₂)なので,一方が原因で他方が結果になる

　というような因果的意味では,２つの事象ｘ,とｘ₂は全く無関係で

　あるということになります。

　下図は,現在をｔ＝0 として,今自分のいる場所を原点ｘ＝0

　としたとき,過去と未来に自分が存在可能な時間的領域全体と,

　その外側の存在不可能な空間的領域を示す,ｃｔ＝±|ｘ|の光

　円錐(light-cone)です。

　(※他のホームページからの引用図です。)。

　　　　(注終わり※)

空間的な超平面は,Minkowski空間上での３次元平面として一意的

に決まる平面(＝６次元空間)です。

そこで,ｔ＝0 で初期条件を与えるの代わりに,任意に固定された

空間的平面の上で初期条件や交換条件を与えれば十分となります。

　(※共変性を明確に表現した理論形式としては,有名な朝永振一郎の

「超多時間理論]があります。

　結局は,特別な慣性系で時間軸に垂直な３次元空間を想定して

　論じるとしても,以上のことに留意すれば一般性を失うことなく,

　理論としては共変的であるということですね。(注4-1終わり※)

　空間的な３次元表面σの法線η^μは至るところで,時間的:

　η²＝η_μη^μ＞0 であるような距離となります。

　さらに,η⁰＞0 であるように向きを選びます。

空間的な３次元表面の４次元法線ベクトルが時間的であるということを

理解するには,座標原点におけるそれを想定すれば十分です。

すなわち,ηｄｘ＝η^μｄｘ_μ＝0,かつｄｘ²＝ｄｘ_μｄｘ^μ＜0 なら,

η²＝η_μη^μ＞0 となります。

※(注4-2):以下,これを証明しておきます。

　(証明)：η^μは原点における任意の空間的表面上のベクトル：

　ｄｘ^μに垂直ですから,ｄｘ²＝ｄｘ³＝0 ,つまりｘ²＝ｘ³＝0 の

　平面内での空間的微小ベクトルとも垂直です。

　この場合,η^μｄｘ_μ＝η⁰ｄｘ₀＋η¹ｄｘ₁

＝η⁰ｄｘ⁰－η¹ｄｘ¹＝0 です。

然るに,これは,　　

0＝(η⁰ｄｘ₀＋η¹ｄｘ₁)²

＝(η⁰ｄｘ₀)²＋(η¹ｄｘ₁)²＋2η⁰ｄｘ₀η¹ｄｘ₁

　＝{(η⁰)²－(η¹)²}{(ｄｘ₀)²－(ｄｘ₁)²}＋(η⁰ｄｘ₁＋η¹ｄｘ₀)²

　を意味します。

　故に,(η⁰η₀＋η¹η₁)(ｄｘ⁰ｄｘ₀＋ｄｘ¹ｄｘ₁)

　＝－(η⁰ｄｘ₁＋η¹ｄｘ₀)²≦0 ですから, ｄｘ_μが空間的:

　ｄｘ_μｄｘ^μ＝ｄｘ⁰ｄｘ₀＋ｄｘ¹ｄｘ₁≦0 なら,

　η⁰η₀＋η¹η₁≧0 です。

　ところで,時間軸を固定して空間回転のみを行なえば,ベクトル:

　η^μの成分η²,η³がゼロになるような座標系が存在するはずで,

　η²＝η_μη^μは,こうした空間回転で不変ですから,

　結局,任意の空間的ｄｘ^μに垂直な方向ベクトルη^μに対して,

　η_μη^μ≧0 (時間的)ということがわかりました。(証明終わり)

(注4-2終わり※)

　一般に,物理量を表わす関数が座標のLorentz変換に対し変化しても,

　その関数によって表わされる物理法則の方程式が変換で形を変えな

　いとき,

　あるいは,その示す量が４元スカラー,４元ベクトル成分,４元テンソ

　ル成分として変化するとき,共変的(covariant)であるといいます。

　一方,関数形と,その示す量も同一の時空点においてLorentz変換に

　よって変化しないとき,不変(invariant)であるといいます。

　さて,古典場の理論を量子化する方法は,まず,場の方程式を求める

　ことから始まり,それがわかるとHamiltonの原理からその方程式が

　再生されるLagrangian を求めます。

次に,Lagrangianから正準共役運動量が定義できます。

そして,"座標＝場"と,その共役運動量に交換関係を設定することに

よって量子化の手続きを実行することができます。

　この手続くによって,場φ_j^(ｘ,ｔ)とその正準運動量π_j^(ｘ,ｔ)

　はHilbert空間の状態ベクトルΦに作用する線型演算子

　(＝operator:作用素)となります。

Φは,場の演算子がその上で定義されているような時空点全体で

時空点に無関係に状態を示すHilbert空間のベクトルです。

通常の１粒子量子力学のケースと同じように,Hilbert空間において

状態Φは完全系を形成することを仮定します。

すなわち,Diracのbracket記号で表わすと,∑_n|Φ_n＞＜Φ_n|＝1,

または,∫|Φ＞ｄΦ＜Φ|＝1と仮定します。

　１粒子量子力学からのアナロジ－で,大抵の場合,Heisenberg表示

　の状態Φは,場φ_j^(ｘ)と運動量π_j^(ｘ)から形成される,

　Hamiltonian Ｈ^の固有状態という形で遭遇します。

　つまり,Ｈ^(φ_j^,π_j^)Φ_n＝Ｅ_nΦ_nという形です。

まず,古典質点系力学の運動方程式からLagrangian Lを構築したこと

を思い出し,模倣して場の理論でのLagrangian Lを構築します。

Newton運動の法則:

ｍ_i(ｄ²ｑ_i/ｄｔ²)＝－(∂/∂ｑ_i)Ｖ(ｑ₁,..,ｑ_N) から,

∑_i=1^Nｍ_i(ｄ²ｑ_i/ｄｔ²)δｑ_i＝－∑_i=1^N(∂Ｖ/∂ｑ_i)δｑ_i

＝-δＶです。

　次に,粒子軌道として固定した端点を持つ時間区間:[ｔ_1,ｔ₂]に

　わたって,これを積分します。

　固定端点ということは,δｑ_i(ｔ₁)＝δｑ_i(ｔ₂)＝0

　を意味します。

すると,∫_ti^t2ｄｔ{－∑_i=1^N(ｍ_i(ｄ²ｑ_i/ｄｔ²)δｑ_i－δＶ)＝0 　

(ただしδｑ_i(ｔ₁)＝δｑ_i(ｔ₂)＝0 ) です。

　これが,Hamiltonの原理:δ∫_ti^t2ｄｔ{Ｌ(ｑ_i,ｄｑ_i/ｄｔ)＝0

　に一致するようなＬを求めればいいわけです。

　ところで,

　∫_ti^t2ｄｔ{－∑_i=1^N(ｍ_i(ｄ²ｑ_i/ｄｔ²)δｑ_i}

　＝[－∑_i=1^N(ｍ_i(ｄｑ_i/ｄｔ)δｑ_i)] _ti^t2

＋∫_ti^t2ｄｔ{∑_i=1^Nｍ_i(ｄｑ_i/ｄｔ)(ｄδｑ_i/ｄｔ)}」

　＝∫_ti^t2ｄｔ{∑_i=1^Nｍ_i(ｄｑ_i/ｄｔ)δ(ｄｑ_i/ｄｔ)}

　です。

　したがって,

　∫_ti^t2ｄｔ{－∑_i=1^N(ｍ_i(ｄ²ｑ_i/ｄｔ²)δｑ_i－δＶ)

　＝∫_ti^t2ｄｔ{∑_i=1^Nｍ_i(ｄｑ_i/ｄｔ)δ(ｄｑ_i/ｄｔ)－δＶ}＝0

　と書けますが,

　∑_i=1^Nｍ_i(ｄｑ_i/ｄｔ)δ(ｄｑ_i/ｄｔ)

　＝δ{∑_i=1^N(1/2)ｍ_i(ｄｑ_i/ｄｔ)²} ですから,

　Ｌ＝∑_i=1^N(1/2)ｍ_i(ｄｑ_i/ｄｔ)²－Ｖとおけば,

　δ∫_ti^t2ｄｔ{Ｌ(ｑ_i,ｄｑ_i/ｄｔ)＝0 となり,これが作用原理

　(Hamiltonの原理)に一致することがわかります。

次に,これと丁度同じ手続きに従う実例として,

自由 Klein-Gordon方程式:

(□＋ｍ²)φ＝(∂²/∂ｔ²－∇²＋ｍ²)φ＝0 に従う古典場:φ(ｘ)

のケースに.前と同じ手続きを実行します。

　(※自由 Klein-Gordon方程式は,Ｅ²＝ｐ²＋ｍ²に,

　Ｅ＝i(∂/∂ｔ),ｐ＝－i∇を代入すれば得られます。※)

　場φは自由度が無限大の空間座標を添字とするので,座標ｑ_iに対する

　和:∑が３次元の積分:∫ｄ³ｘに置き換わります。

　まず,(∂²/∂ｔ²－∇²＋ｍ²)φ＝0 の両辺にｘにおける場の

　無限小の変分:δφを掛けます。

　変分は,δφ＝φ’(ｘ)－φ(ｘ) です。

　そして,全てのｘと時間区間:[ｔ₁,ｔ₂]の上で積分すれば,　

　∫_ti^t2ｄｔ∫_-∞^∞ｄ³ｘ(∂²φ/∂ｔ²－∇²φ＋ｍ²φ)δφ＝0

　です。

　この変分原理でも,φの変分δφはｔ₁,ｔ₂では消えるよう制限

　されるとしています。

　δφ(ｘ,ｔ₁)＝δφ(ｘ,ｔ₂)＝0  for ∀ｘ です。

また,実際には系は遠方ｘ＝±∞からは何の寄与も受けないよう,

暗に局在化されていると想定します。

　こうした制限の下で,式：

　∫_ti^t2ｄｔ∫_-∞^∞ｄ³ｘ(∂²φ/∂ｔ²－∇²φ＋ｍ²φ)δφ＝0 は,

　∫_-∞^∞ｄ³ｘ∫_ti^t2ｄｔ(∂²φ/∂ｔ²－∇²φ＋ｍ²φ)δφ＝0

　と同じです。

　∫_-∞^∞ｄ³ｘ∫_ti^t2ｄｔ(∂²φ/∂ｔ²－∇²φ＋ｍ²φ)δφ

　＝∫_-∞^∞ｄ³ｘ[(∂φ/∂ｔ)δφ]_ti^t2

－∫_-∞^∞ｄ³ｘ∫_ti^t2ｄｔ(∂φ/∂ｔ)δ(∂φ/∂ｔ)

　－∫_ti^t2ｄｔ∫_-∞^∞ｄ²Ｓ(∇φ)δφ

　＋∫_ti^t2ｄｔ∫_-∞^∞ｄ³ｘ{∇φδ(∇φ)＋ｍ²φδφ}

　＝－δ∫_ti^t2ｄｔ∫_-∞^∞ｄ³ｘ{(1/2)(∂φ/∂ｔ)²

－(1/2) (∇φ)²－(1/2)ｍ²φ²}＝0

　です。

　したがって,

　Ｌ(φ,∂_μφ)≡(1/2)(∂φ/∂ｔ)²－(1/2)(∇φ)²－(1/2)ｍ²φ²

＝(1/2){(∂φ/∂ｘ^μ)(∂φ/∂ｘ_μ)－ｍ²φ²}

　とおけば,δ∫_ti^t2∫_-∞^∞Ｌ(φ,∂_μφ)ｄ⁴ｘ＝0

　を得ます。

　ただし,∂_μφ≡∂φ/∂ｘ^μ,∂^μφ≡∂φ/∂ｘ_μとします。

(※ Hamiltonの最小作用の原理における,このLagrangianの符号の

　選択は後の定式化に従って正当化されます。※)

Ｌ(φ,∂_μφ)は,φとその１次導関数のLorentz不変な関数形を

しています。

これを,Lagrangian密度(Lagrangian density)といいます。

系のLagrangianはＬ＝∫_-∞^∞ｄ³ｘＬ(φ,∂_μφ)で与えられます。

今日はここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken,＆ S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields"(MacGrawHill)

PS:そうでなくても外出から帰ると同じくらいの時間は休まないと

部屋内で動くことも辛いのですが,

今は,寒いので風邪を引かぬように,腹筋などの筋肉を緊張させて耐

えている時間が長いいせいか？もっと疲れて,18時前後に帰宅しても

22時近くまで昏睡？してることが多いです。

部屋明るいままで外出着のまま寝てしまったときには,電話がかかっ

てきたくらいでは起きないみたですね。

起きて携帯を見ると,いくつか着信が入ってたりします。

話は変わりますが,昨日,ふとドキュメンタリ－番組を見たら,過去の

ビキニ環礁での水爆実験で大漁被曝した福竜丸のせっかく獲った被曝

マグロがもったいないので,いくらか市場に出まわったそうな。,　

イヤ,チョット通りすがりで,どの程度の放射線被曝か知らないし,そ

の頃の放射能汚染に対する意識がどの程度かも知らない素人の素朴な

感想で「風評被害」の当てコスリかも知れないですが。。。

まあ,例え話ですが,いくら見かけは立派な食品で捨てるのがもったい

なくて,また,売ればお金になりそうだったにしても,毒入り？の食品

とわかっているモノなら,マサカそれを売ったりすることはないと思

います。

もちろん,加害者は米国の水爆実験を命令したり実施した当事者であ

って,日本のマグロ船は被害者には違いないですが。。

無責任な一過性の感想で,これ以上発展させる気はないです。