相対論的場の量子論(正準定式化)(5)

　相対論的場の量子論のきです。

　前記事の最後では.系のLagrangian密度として,

　Ｌ(φ,∂_μφ)＝(1/2){(∂φ/∂ｘ^μ)(∂φ/∂ｘ_μ)－ｍ²φ²}

＝(1/2)(∂_μφ∂^μφ－ｍ²φ²)を得ました。,

※(注3):φは,Lorentzスカラーなので,∂^μφ＝∂φ/∂ｘ_μ

＝(∂φ/∂ｔ,－∇φ)は,反変ベクトルであり,∂_μφ＝∂φ/∂ｘ^μ

＝(∂φ/∂ｔ,∇φ)は共変ベクトルです。

故に,(∂φ/∂ｘ^μ)(∂φ/∂ｘ_μ)＝∂_μφ∂^μφはLorentzスカラー

であり,－ｍ²φ²もLorentzスカラーなので,それらの和のスカラー

倍はLorentzスカラーです。　(注3終わり※)

　粒子力学におけるものと同じLagrangian Ｌは,このLagrangian密度の３次元体積積分によって定義されます。

　すなわち,Ｌ≡∫_-∞^∞Ｌ(φ,∂_μφ)ｄ³ｘです。

この例だけではなく,一般の理論においても,常に場の方程式は

Lagrangian密度から導かれると仮定します。

作用原理:δＪ＝δ∫_t1^t2Ｌ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ)ｄｔ＝0 のアナロジー

として,運動方程式の解である場に対しては,作用Ｊが停留値をとる

べきことを要求します。

つまり,δ∫_t1^t2ｄｔ∫ｄ³ｘＬ(φ,∂_μφ)＝0 を要求します。

この左辺の変分の計算を積分区間における場φを変化させること

によって実行し,ｔ_,1,ｔ₂における場φの境界値を固定しておけば,

場の発展を与えるEuer-Lagrange方程式を得ます。

特に,系が単一の場で記述され,Ｌがφと∂φ/∂ｘ^μの関数で

あるような単純なケースに対しては,

作用原理:δ∫_t1^t2ｄｔ∫ｄ³ｘＬ(φ,∂_μφ)＝0 は,

∫_t1^t2ｄｔ∫ｄ³ｘ[Ｌ{φ＋δφ,(∂φ/∂ｘ^μ)＋δ(∂φ/∂ｘ^μ)}

－Ｌ(φ,∂φ/∂ｘ^μ)φ]]＝0 です。

これは,∫_t1^t2ｄｔ∫ｄ³ｘ[(∂Ｌ/∂φ)δφ

＋{∂Ｌ/∂(∂φ/∂ｘ^μ)}δ(∂φ/∂ｘ^μ)]＝0　

と変形されます。

ところがδ(∂φ/∂ｘ^μ)＝∂(δφ)/∂ｘ^μですから,結局,

∫_t1^t2ｄｔ∫ｄ³ｘδφ[(∂Ｌ/∂φ)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ/∂ｘ^μ)}]

＝0 が得られます。

よって,場の方程式＝Euer-Lagrange方程式は,

(∂Ｌ/∂φ)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ/∂ｘ^μ)}＝0

となります。

こうして得られる方程式は,局所的に各時空店での微分で表現される

微分方程式です。

Ｌがφ(ｘ)の１次導関数のみを含んでいる限り,場はある微分方程式を

満足し,理論は局所的です。

ここで与えられる波動の正準な発展方式は,長距離に対する"対応原理"

の意味においてのみ適切なものです。(※もしも自然が短距離では非局所

的か,または粒子状であるのなら。。)

全てのケースについて,Lagrangianの選択は場が従う特殊な方程式

によって支配され指定されます。

例えば,スカラー場のLagrangian密度:

Ｌ(φ,∂_μφ)＝(1/2)(∂_μφ∂^μφ－ｍ²φ²)は,作用原理から

から導かれるEuer-Lagrange方程式がKlein-Gordon方程式に

なるように意図されています。

この他に,特に関心がある例は,Dirac方程式とMaxwell方程式です。

ベクトル,スピノルを含むような,１個より多くの独立な場:

φ_r(ｘ)(ｒ＝1,2,…,Ｎ)で記述される系では,作用原理から

Ｎ個のEuer-Lagrange方程式:

(∂Ｌ/∂φ_r)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ_r/∂ｘ^μ)}＝0

　(ｒ＝1,2,..,Ｎ)を得ます。

　さて,次の手順に移ります。

　テキストに書かれている項目の標題は,　

　"Canonical Formalism and Quantization Procedure(Analogy of classical particle mechanics)"

　これは訳すと,

「正準量子化と量子化手法(古典質点系力学のアナロジー)」です。

　場と粒子の力学を平行して扱うため,３次元空間を体積ΔＶの

　セル(細胞)に分割して,有限(離散)自由度の系の話に戻します。

　そうして,ｊ番目の座標φ_j(ｔ)をｊ番目のセルΔＶ_jにわたる

　場φ(ｘ)＝φ(ｘ,ｔ)の平均値と定義します。

つまり,φ_j(ｔ)≡(1/ΔＶ_j)∫_ΔＶjｄ³ｘφ(ｘ,ｔ)です。

さらに,φ_j^d(ｔ)≡ｄφ_j(ｔ)/ｄｔ

≡(1/ΔＶ_j)∫_ΔＶjｄ³ｘ{∂φ(ｘ,ｔ)/∂ｔ} とします。

　こうすると全系のLagrangian:Ｌ＝∫_ΔＶjｄ³ｘＬ は,

　∑_jΔＶ_jＬ~_j(φ_j^d(ｔ);φ_j(ｔ),φ_j±1(ｔ),))

と書き直されます。

すると,正準運動量Ｐは,簡単にＰ_j(ｔ)＝∂Ｌ/∂φ_j^d(ｔ)

＝ΔＶ_j{∂Ｌ/∂φ_j^d(ｔ)}＝ΔＶ_jπ_j(ｔ)と書けます。

そこで,系のHamiltonianＨは,Ｈ≡∑_jＰ_j,φ_j^d－Ｌ

＝∑_jΔＶ_j(π_jφ_j^d－Ｌ~_j) です。

ここで,連続体の記法に戻り,φ(ｘ)＝φ(ｘ,ｔ)に共役な運動量

を,π(ｘ)＝π(ｘ,ｔ)≡∂Ｌ(φ,∂_μφ)/∂φ^d(ｘ,ｔ)

で定義します。

　すると,Ｈ＝∑_jΔＶ_j(π_jφ_j^d－Ｌ~_j)は,ΔＶ_j→ 0 の連続体極限

　では,Ｈ＝∫ｄ³ｘＨ(π(ｘ,ｔ),φ(ｘ,ｔ)),

　;Ｈ(π(ｘ,ｔ),φ(ｘ,ｔ))≡πφ^d－Ｌ なる形になる

　と考えられます。

　さて,φ_j(ｔ)の正準運動量Ｐ_j(ｔ)が明示されたので,

　多粒子系の量子力学の交換関係[ｐ_j^(ｔ),ｑ_k^(ｔ)]­＝－iδ_jk,

　[ｐ_j^(ｔ),ｐ_k^(ｔ)]＝0,[ｑ_j^(ｔ),ｑ_k^(ｔ)]­＝0 からの

　アナロジーで, 　

　力学変数ｑ_j^(ｔ),およびｐ_j^(ｔ)を,それぞれHermite演算子

　φ_j(ｔ),およびＰ_j(ｔ)で置き換える量子化手続:きを行なう

　ことで,

交換関係;[φ_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]＝0,[Ｐ_j^(ｔ),Ｐ_k^(ｔ)]­＝0,

および,[Ｐ_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]­＝－iδ_jkが自然に得られます。

　最後の式は,[π_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]­＝－iδ_jk/ΔＶ_jとも

　書くことができます。

これらはΔＶ_j→ 0 の連続体極限では,

　[φ^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]＝0,[π^(ｘ,ｔ),π^(ｙ,ｔ)]­＝0,

　および,[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]­＝－iδ³(ｘ―ｙ)

　を意味します。

※(注4):[φ_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]＝0 より,

∫_ΔＶjｄ³ｘ∫_ΔＶkｄ³ｙ[φ^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]＝0 ですが,

これがΔＶ_j,ΔＶ_kを任意にゼロに近づけるとき常に成立するため,

　[φ^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]＝0 と結論されます。

　同様にして,[π^(ｘ,ｔ),π^(ｙ,ｔ)]­＝0 も明らかです。

　また,[π_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]­＝－iδ_jk/ΔＶ_jの左辺のΔＶ_j→ 0 の

極限は,∫_ΔＶkｄ³ｙ[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]ですから,ΔＶ_k→ 0

では,[π_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]­＝[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]ΔＶ_kです。

他方,右辺のδ_jk/ΔＶ_jがΔＶ_j→ 0,ΔＶ_k→ 0 のとき,Δ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k

になると仮定すれば,Δ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k＝∫_ΔＶkｄ³ｙΔ(ｘ,ｙ)です。

また,交換関係:[π_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]­＝－iδ_jk/ΔＶ_jは,

[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]ΔＶ_k＝－iΔ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k

を意味します。

そして,Δ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k­＝δ_jk/ΔＶ_jは,ｋ＝ｊのとき,つまりｙが

ｘと空間の同じセルに属するとき,そのときに限って,

∫_ΔＶkｄ³ｙΔ(ｘ,ｙ)＝Δ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k＝ΔＶ_kであり,

それ以外では,∫_ΔＶkｄ³ｙΔ(ｘ,ｙ)＝Δ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k＝0です。

つまり,Δ(ｘ,ｙ)はDirac＝のデルタ関数の定義に一致するので,

Δ(ｘ,ｙ)＝δ³(ｘ―ｙ)であり,

[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]ΔＶ_k＝－iΔ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k は

[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]ΔＶ_k＝－iδ³(ｘ―ｙ)ΔＶ_kとなるので

,[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]＝－iδ³(ｘ―ｙ)を得ます。(注終わり※)

　ここまでの手順を要約すると,

　π^(ｘ)＝∂Ｌ/∂φ^^d(ｘ)の正準運動量の定義,

　そしてHamiltonian,およびHamiltonian密度の定義,:

　Ｈ^＝∫ｄ³ｘＨ^(π^(ｘ,ｔ),φ^(ｘ,ｔ)),および

　Ｈ(π(ｘ,ｔ),φ(ｘ,ｔ))≡πφ^d－Ｌ が与えられ,

これらに正準交換関係:[φ^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]＝0,

[π^(ｘ,ｔ),π^(ｙ,ｔ)]­＝0,[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]­

＝－iδ³(ｘ―ｙ),および運動方程式

を加えれば,正準量子場の理論の基礎が与えられたことに

なります。

次に,いくつかの独立な場φ_r^(ｘ,ｔ)が記述される物理系

へと一般化するために,各々の場に共役な運動量を

π_r^(ｘ,ｔ)≡∂Ｌ/∂φ_r^^d(ｘ,ｔ) によって定義します。

　そして,系の Hamiltonian密度を,

　Ｈ^(π₁..,,φ₁..)≡∑_rπ_r^φ_r^^d－Ｌとします。

正準交換関係は,[φ_r^(ｘ,ｔ),φ_s^(ｙ,ｔ)]＝0,

[π_r^(ｘ,ｔ),π_s^(ｙ,ｔ)]­＝0 および,

[π_r^(ｘ,ｔ),φ_s^(ｙ,ｔ)]­＝－iδ_rsδ³(ｘ―ｙ)

です。

　最後に運動方程式は,∂π_r^(ｘ,ｔ)/∂ｔ＝i[Ｈ^,π_r^(ｘ,ｔ)],

　∂φ_r^(ｘ,ｔ)/∂ｔ＝i[Ｈ^,φ_r^(ｘ,ｔ)]と多体系の問題から

　書き写されることがわかります。

　ただし,これは証明すべきことではなく,"これこそ場の運動方程式

　になるべきである"という前提です。

　この正準アナロジーの流れではこちらのHeisenbergの方程式

　の方が本質的で方程式としてのPriorityは上です。

この正準定式化では,Euler-Lagrange方程式が場の方程式に

一致するようにLagrangianが意図されて構成された初めから,

Heisenbergの方程式が場の運動方程式に一致すること

が保証されているのです。

今日はここまでにします。

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields"(McGrawHill)