相対論的場の量子論(正準定式化)(6)

さて,訃報ばかりじゃなく,相対論的場の量子論の続きを書きます。

余談ですが,私の１Kの自宅にはベッドのある広い方の部屋の窓側

にエアコンが１つあるだけです。

狭いので通年は暖房も冷房も,これだけで十分なのですが,ここの

ところ異常に寒いので,帰宅してエアコンを28度の暖房設定で動

かしても,部屋で普通に過ごせるまでには10時間くらいかかる

みたいです。

糖尿病,心臓病,その他病気持ちの私は疲れやすく,過ごし

やすい気温のときで帰宅して４時間くらいは,寝るとはなしに

横たわわって身体を休めないと,次の作業をする意欲も体力も

回復しない状態です。

そこで部屋内で動けるまでは,必要以外ではベッドで毛布を

かぶってるだけですから,いつでもやらねばという気持ちは

あるのですが,長時間かけてブログ原稿書く気になりません。

そうはいってもタマには書かねば,。。

というわけで以下,本題です。

§1.4 Symmetry and　Conservation Law(対称性と保存則)

 Lagrangian定式化は古典場の理論によって,正準方程式

(運動方程式)を引き出して.それを量子場に同定するという便利

で系統的な方法を与えてくれます。

１つのLagrangianからスタートすれば,場のLagrangian密度

Ｌと運動方程式(Euler-Lagrange)の形を不変に保つような,

無限小の対称性変換の各々に対して保存則存在し,運動の定数

(＝時間的に一定な保存量)が伴なうことが示されます。

　これは,「Noether(ネーター)の定理」として知られています。

この定理は,自然において観測される選択則が,直接Ｌに対する

対称性の要求によって記述されることを許すものであり,

新理論を展開していく際には,相互作用項を導入するガイドとして

とても有用なものです。

まずは,時間,および空間の一様性という対称性の例を挙げます。

要するに,時間ｔについていつの時点をｔ＝0に取ろうと,また

空間のどこに原点ｘ＝0 を取ろうと,理論や法則は変わらない

という基本的な相対性原理を示す対称性です。

重要な対称性ですね。

これに「Noetherの定理」がどう関わり対対称性が保存則に

いかに反映されるか?を見ます。

１. 平行移動不変性:

平行移動は,制限されたPoincare'群(ポアンカレ群)と呼ばわれる

４次元時空の座標変換群に属する１つの変換です。

箱の中に閉じ込められているような特別な物理系でないなら,

系のLagrangian密度Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))は,このPoincare

群の変換に属する平行移動の下では,スカラー(不変)です。

つまり,まず,ｘ~を平行移動された位置座標,φ~_rを平行移動

により変換された座標系から見た場の振幅と考えるとき,

平行移動:ｘ→ｘ~によって,Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))から変化した　Lagrangian密度を,Ｌ~(φ~_r(ｘ~),∂_μφ~_r(ｘ~))と書けば,

Ｌ~(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))＝Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))

です。

　次に,理論の不変性:すなわち,２階常微分方程式の表現による

運動方程式の陽な形が,変換された系の観測者に対しても変換前

と同じであるべきという条件から,

Ｌ~(φ~_r(ｘ~),∂_μφ~_r(ｘ~))＝Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))

です。

以上から,Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))＝Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))

なる等式が得られます。

　それ故,無限小平行移動:ｘ^μ→ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μに対して,

 δＬ≡Ｌ(φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~))－Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))

　＝ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)ですが,

このδＬは

Ｌ(φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~))－Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))

＝－Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))＋Ｌ(φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~))

に等しく,

　したがって,ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)＝δＬ

 ＝∑_r[(∂Ｌ/∂φ_r)δφ_r＋{(∂Ｌ/∂_μφ_r)δ(∂_μφ_r)}]

　です。

ただし,δφ_r≡φ_r(ｘ~)－φ~_r(ｘ~)＝φ_r(ｘ＋ε)－φ_r(ｘ)

＝ε^μ(∂φ_r/∂ｘ^μ)です。

※(注6-1):(重要):座標系の平行移動:ｘ^μ→ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μ

に対しては,通常は,φ~_r(ｘ~)＝φ~_r(ｘ＋ε)＝φ_r(ｘ)です。

(注6-1終わり※)

同様に,δ(∂_μφ_r)≡∂~_μφ_r(ｘ~)－∂~_μφ~_r(ｘ~)

＝∂_μφ_r(ｘ＋ε)－∂_μφ_r(ｘ)＝ε^ν(∂_ν∂_μφ_r) です。

　以上から,ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)＝

∑_r[(∂Ｌ/∂φ_r)ε^μ(∂φ_r/∂ｘ^μ)＋{(∂Ｌ/∂_μφ_r)ε^ν(∂_ν∂_μφ_r)}]

を得ます。

ここで,Euer-Lagrange方程式:

(∂Ｌ/∂φ_r)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ_r/∂ｘ^μ)}＝0

より,∂Ｌ/∂φ_r＝∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}

を上式に代入すると,

　ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)＝∂_μ∑_r{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}ε^μ(∂φ_r/∂ｘ^ν)}

　となります。

そこで,ε^ν(∂/∂ｘ^μ)[∑_r {∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}(∂φ_r/∂ｘ^ν)]

－ε^νｇ_μν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)]＝ 0 ですが,ε^νは任意なので,

(∂/∂ｘ^μ)[∑_r{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}(∂φ_r/∂ｘ^ν)－ｇ_μνＬ]＝0

が成立します。

そこで,Ｔ_μν≡∑_r {∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}(∂φ_r/∂ｘ^ν)－ｇ_μνＬ

と定義すれば,∂Ｔ_μν/∂ｘ^μ＝0 です。

そこで,このＴ_μνを１つのエネルギー運動量密度テンソル　(energy^momentum stress tensor)と名付ければ,

Ｐ_νをＰ_ν≡∫ｄ³ｘＴ_0ν＝∫ｄ³ｘ[∑_rπ_r(∂φ_r/∂ｘ^ν)－ｇ_0νＬ]と

定義すると,ｄＰ_ν/ｄｔ＝0 なる保存法則が見出されます。

(※ただし,計量テンソル(metric-tensor):ｇ_μνは,今対象の平坦

なMinkowski時空ではη_μνと表現することが多いです。)

※(注6-2):一応,ｄＰ_ν/ｄｔ＝0 を証明しておきます。

∂Ｔ_μν/∂ｘ^μ＝0 なので∂Ｔ_0ν/∂ｘ⁰＝－∂Ｔ_kν/∂ｘ^kです。

テンソルＴ_μνはνを固定しておけば,４次元の共変ベクトルなので,

－Ｔ_kν(ｋ＝1,2,3)は３次元ベクトルの成分です。

この空間ベクトルを－Ｔと書けば,∂Ｔ_kν/∂ｘ^k＝－∇Ｔ

なのでGaussの積分定理によって,

ｄＰ_ν/ｄｔ＝∫ｄ³ｘ(∂Ｔ_0ν/∂ｘ⁰)＝∫ｄ³ｘ∇Ｔ

＝∫ｄＳ(Ｔｎ)＝0 を得ます。

(表面積分∫ｄＳは無限遠の閉曲面上を想定していますが,

そこでは,Ｔ＝0 です。)

(注6－2終わり)※

そして,既に見たようにＴ₀₀＝∑_rπ_rφ_r^d －Ｌは,系のHamiltonian

密度:Ｈ に一致しています。

それ故,Ｐ₀＝∫ｄ³ｘＴ₀₀は,系のHamiltonian:Ｈです。

よって.ｄＰ₀/ｄｔ＝0 はｄＨ/ｄｔ＝0 を意味します。

こうして,時間の一様性＝時間の平行移動対称性から,

系のエネルギー(場のエネルギー):Ｈに対するエネルギー

保存則を得ました。

同様に,Ｐ^ｋ＝－Ｐ_k＝∫ｄ³ｘＴ_0k＝－∫ｄ³ｘ[∑_rπ_r(∂φ_r/∂ｘ^k)]

は場の運動量Ｐの成分です。

ｄＰ_k/ｄｔ＝0 は運動量の保存ｄＰ/ｄｔ＝0 を意味します。

これは空間の一様性の反映です。

今日は,いつもの半分程度と短かい記事ですが,当座のツナギと

いうことで,取り合えず,ここまでにします。

次回予告ですが,まずは３つの直交座標軸の系をどの向きに

選んでも法則,理論は同じであるという空間の等方性という

対称性,つまり,軸の無限小回転に対してLagrangian密度Ｌ,

および運動方程式が不変であるという対称性変換から角運動量

の保存則を見出すところからです。

科学記事もセッセと書かなきゃね。

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell 「Relativistic　Quantum Fields」(McGrawHill)

PS:何故か,私の中古PCがここのところとても遅くイライラするので,

OSが古いけどお気に入りのXPであるせいなのかな？と思ってネット

で調べてみると,

お金をかけずにできる方法として,まず,デスクトップ画面を

右クリックしてプロパティを左クリックで選択して,カスタマイズ

しないを選び,

画面をwindowsクラシックの青だけの無地の背景にしたら,かなり

改善されました。