うるう年

　太陽の平均公転周期は365日丁度ではなく約365.2422日であると,小学校で習った記憶があります。

　これによると,４年で,(365×4＋0.9688日)ですから,1年365日勘定だと,４年ごとに,あと1日追加しないとだんだんズレることになりますから,４で割り切れる年には２月29日の1日を追加して１年366日となるように暦を修正しています。

　これが閏(うるう)年です。

　今年2012年は4で割り切れるので,今日の２月29日があるのですね。

　ところが,,1－0.9688＝0.0312なので,0.0312×100＝3.12ですから,これだと400年間に約３日多くカウントして超過になります。

　そこで,4で割り切れて,同時に100で割り切れる年は365日のまま,うるう年から除外することにします。

　すると,今度は３日超過なのに４日減らすので１日足りません。

　そこで,400で割り切れる年は.うるう年に勘定し直すことにします。

　つまり,西暦1900年や2100年はうるう年ではないけれど,,2000年はうるう年である,ということにするわけです。

　これでも,400年に0.12日＝3600秒×24×0.12＝10368秒足りません。

　10368/400は2.50911ですから,１年当たり2.5秒,4年当たり10秒程度足りないので,ときどき,12月末や６月末に1秒加えて標準時を調整しているようです。

　最後の話は,小学校や中学,高校で習った記憶はなくて,後付けでどこかで得た知識ですが,うるう秒と呼ばれているそうです。

　まあ,結局は暦と太陽公転周期との噛み合わせが狂ってきたら,その都度秒単位で修正すればいいだけです。

　1日というのは地球の平均自転周期で,１年が約365日というのは太陽の公転周期を地球の自転周期で割った数です。

　この365日では半端なので,360日とした暦もあって,これが1回転を360度という角度の単位の起源らしいです。

　今となっては,こんな面倒な調整をせずとも,毎年丁度365日になるように,予め標準時計の1秒を365.2422/365倍だけ長く定めておけばいいと思いますが,もう歴史的に後戻りはかないませんね。

　まあ,今日は軽い話題でお茶を濁しました。

　蛇足ですが角度の単位をラジアンとするのは半径が1の円＝単位円の弧の長さを角度と同一視したものです。

　1周で長さ2πなので360度＝2π(ラジアン)です。

　角度とかラジアンというのは実は無単位扱いです。

　半径がｒの円は半径1の円と相似でその相似比がｒですから,単位円で長さがθの円弧と同じ角度の円弧の長さはｒθです。

　角度θの円弧と2本の半径で囲まれた弓形は,底辺が ｒΔθで高さが ｒの面積が ｒ²Δθ/2の無限小三角形の円弧の総和:θ＝∑Δθと同一視できると考えられるのでその面積は,ｒ²θ/2で与えられます。

　これはまた,アルキメデスだったか？の求積という意味での定積分の起源だったと思います。

PS:コメントでわか様にご指摘されているように,またまた軽はずみ(オッチョコチョイ)を露呈してしまいました。

　時間の単位を変えても,太陽公転周期が地球自転周期の約365.2422倍であるという事実に変わりはなく,

　無理に１年を365日にすると,逆に１日が地球自転周期である,という定義ではなくなってしまいますね。

　ちょっとした思い付きで,無理に自分のオリジナル？なｱｲﾃﾞｱを入れようと意図して,変なコトくを追加で述べてごめんなさい。.

相対論的場の量子論（正準量子化）(７)

　相対論的場の量子論の続きです。

　体感気温が低いせいか疲れやすくて根気が続かず,またPC画面

　は見えてもノートの文字はなかなか読みつらく,遅々として進

　みません。

　前回の,"1.平行移動対称性(一様性)"に続く時空の対称性:

 今日は"等方性＝(４次元)回転対称性"を考察します。

2. Lorentz変換(空間回転含む)に対する不変性から,

　"角運動量が運動の常数(保存量)であること"を導きます．

　そのために,無限小のLorentz変換:

　ｘ^μ →ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν (ε_νμ＝－ε_μν)

　を考えます。

※(注7-1):ｘ^μ→ ｘ~^μがLorentzZ変換であるための必要十分

条件は,　ｘ~_μｘ~^μ＝ｘ_μｘ^μです。

 これは,ｘ~_μｘ~^μ＝(ｘ_μ＋ε_μ^λｘ_λ)(ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν)

＝ｘ_μｘ^μ＋ε_μ^λｘ_λｘ^μ＋ε^μ_νｘ_μｘ^ν＝ｘ_μｘ^μ を

意味しますから,ε_ν^λｘ_λｘ^μ＋ε^μ_νｘ_μｘ^ν＝0 です。

　つまり,ε_μνｘ^νｘ^μ＋ε_μνｘ^μｘ^ν

 ＝(ε_νμ＋ε_μν)ｘ^μｘ^ν＝0 ですが,

 ｘ^μは任意の時空点の座標ですから,

　これはε_νμ＋ε_μν＝0 :ε_νμ＝－ε_μνを意味します。

何故なら,例えば,ｘ^μ＝(1,0,0,0)＝δ^μ0とおけば,

ｘ^μｘ^ν＝δ^μ0δ^ν0 なので,(ε_νμ＋ε_μν)ｘ^μｘ^ν＝0 は

ε₀₀＋ε₀₀＝0 を意味するので,ε₀₀＝0 です。

同様に,ｘ^μ＝δ^μρならε_ρρ＋ε_ρρ＝0 となるので,

ε_μνの対角成分は全てゼロとなることがわかります。

次に,ｘ^μ＝(1,1,0,0)＝δ^μ0＋δ^μ1としてみると,

(ε_νμ＋ε_μν)ｘ^μｘ^ν＝0 から,その上にε_νμの対角

成分がゼロであることも考慮して,ε₁₀＋ε₀₁＝0:

つまり,ε₁₀＝－ε₀₁を得ます。

(注7-1終わり※)

　さて,Lorentz不変性の実際的なテストは,運動方程式のφ_r(ｘ)

　部分に,Ｓ^-1_ｒｓφ~_ｓ(ｘ~)を代入してφ~_ｒ(ｘ~)に対する方程式

　が元の系での運動方程式の形と同じであるかどうかを見ること

　です。

　スカラー場の場合は,Ｓ_ｒｓ＝δ_ｒｓとおけばいいです。

 Dirac方程式における４元スピノルの変換係数:Ｓ_ｒｓ(ε)が,

　Ｓ_ｒｓ(ε)＝δ_ｒｓ＋(1/8)[γ^μ,γ^ν]_ｒｓε_μν＋Ｏ(ε²)で与え

　られることは,既に相対論的量子力学からわかっています。

　実際に,この無限小Lorentz変換を,Lagrangian密度において

 実行します。

　Lagrangian密度のLoentz不変性を要求すれば,

　Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_ｒ(ｘ))＝Ｌ(φ~_ｒ(ｘ~),∂~_μφ~_ｒ(ｘ~))

 において,φ~_r(ｘ~)＝Ｓ_rsφ_s(ｘ)より,

 φ_ｒ(ｘ)＝Ｓ^-1_ｒｓφ~_ｓ(ｘ~)なので,

　Ｌ(Ｓ^-1_ｒｓφ~_ｓ(ｘ~),∂~_μＳ^-1_ｒｓφ~_ｓ(ｘ~))

 ＝Ｌ(φ~_ｒ(ｘ~),∂~_μφ~_ｒ(ｘ~))　です。

　これは作用原理において導出される運動方程式が,

　変換の前後で形を変えないことを保証します。 

 平行移動の場合と同様に, 

 δＬ＝Ｌ(φ~_ｒ(ｘ),∂~_μφ~_ｒ(ｘ))－Ｌ(φ_ｒ(ｘ),∂_μφ_ｒ(ｘ))

　＝Ｌ(φ~_ｒ(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))－Ｌ(φ_ｒ(ｘ~),∂_μφ~_ｒ(ｘ~))

 ですが,

 Diracスピノル場に限らず,スカラー場,ベクトル場,テンソル場

　eyc.も含め,Ｓ_ｒｓ(ε)≡δ_rｓ＋(1/2)Ξ^μν _rｓε_μν

 と定義できる場合には,

 Ｓ^-1_ｒｓ(ε)＝δ_ｒｓ－(1/2)Ξ^μν _ｒｓε_μνです。

　μ,νの交換に対してもε_μνが反対称なので,行列:Ξ^μνも,

　μ,νの交換に対して反対称となるように,係数を選択します。

　すると,δＬ＝Ｌ(ｘ~)－Ｌ(ｘ)＝ε^μ_νｘ^ν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)

　＝∑_r[(∂Ｌ/∂φ _r)δφ _r＋{(∂Ｌ/∂_μφ _r)δ(∂_μφ _r)}]

　が成立します。

 Euer-Lagrange方程式:

 (∂Ｌ/∂φ_r)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ_r/∂ｘ^μ)}＝0 より,

　∂Ｌ/∂φ_r＝∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)} を上式に代入すると,

 上の等式は,ε^μ_νｘ^ν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)

　＝(∂/∂ｘ^μ)∑_r{(∂Ｌ/∂_μφ_r)δφ_r}}

　と書けます。 

そして,δφ_ｒ≡φ_ｒ(ｘ~)－φ~ _ｒ(ｘ~)

＝φ_ｒ(ｘ~)－Ｓ_ｒｓφ_ｓ(ｘ)

＝φ_ｒ(ｘ~)－(δ_ｒｓ＋(1/2)Ξ^μν_ｒｓε_μν)φ_s(ｘ)

＝φ _ｒ(ｘ~)－φ_ｒ(ｘ)－(1/2)Ξ^μν _ｒｓε_μνφ_ｓ(ｘ)

　＝ε^μνｘ_ν(∂φ_ｒ/∂ｘ^μ)－(1/2)Ξ^μν _ｒｓε_μνφ_ｓ(ｘ)

　です。

　(※δφ_ｒは,Lie変分:δφ _ｒ≡φ _r(ｘ~)－φ~ _r(ｘ~)

　 ＝－{φ~ _ｒ(ｘ)－φ _ｒ(ｘ)}です。)

　故に,ε^μνｘ_ν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)

　＝(∂/∂ｘ^μ)[∑_ｒ[(∂Ｌ/∂_μφ_ｒ){ε^λνｘ_ν(∂φ_ｒ/∂ｘ^λ)

　－(1/2)Ξ^λν_ｒｓε_λνφ_ｓ}　です。

　同様に,ε^νμｘ_μ(∂Ｌ/∂ｘ^ν)

　＝(∂/∂ｘ^μ)∑_ｒ[(∂Ｌ/∂_μφ_ｒ){ε^νλｘ_λ(∂φ_ｒ/∂ｘ^ν)

　－(1/2)Ξ^λν_ｒｓε_λνφ_ｓ}　です。

これらの両辺を辺々加えると,

ε^νμ＝－ε^μν,ε^νλ －ε^λνですから,

ε^μν{ｘ_ν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)－ｘ_μ(∂Ｌ/∂ｘ^ν)}

　＝ε_λν(∂/∂ｘ^μ)[∑_ｒ[(∂Ｌ/∂_μφ_ｒ){ｘ^ν(∂φ_ｒ/∂ｘ_λ)

　－ｘ^λ(∂φ_ｒ/∂ｘ_ν)－Ξ^λν_ｒｓε_λνφ_ｓ}]

　を得ます。

　左辺＝ε^μν{ｘ_ν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)－ｘ_μ(∂Ｌ/∂ｘ^ν)}

　＝ε_μν{∂ (ｘ^νＬ)/∂ｘ_μ－∂(ｘ^μＬ)/∂ｘ_ν}

　＝ε_νλ{∂ (ｘ^λＬ)/∂ｘ_ν－∂(ｘ^νＬ)/∂ｘ_λ}

　＝ε_λν(∂/∂ｘ^μ){(ｘ^νｇ^μλ－ｘ^λｇ^μν)Ｌ}　

　です。

　また,右辺＝ε_λν(∂/∂ｘ^μ)[∑_r(∂Ｌ/∂_μφ_ｒ)

　(ｘ^ν∂^λφ_ｒ－ｘ^λ∂^νφ_ｒ＋Ξ^νλ_ｒｓφ_ｓ)]

　です。

　したがって,ε_λν,ε^λνての反対称性からゼロでない無限小の

独立　成分が６個だけであることを考慮すれば,

　Ｍ ^μνλ≡∑_ｒ(∂Ｌ/∂_μφ_ｒ)(ｘ^ν∂^λφ_ｒ－ｘ^λ∂^νφ_ｒ＋Ξ^νλ_ｒｓφ_ｓ)

　－(ｘ^νｇ^μλ-ｘ^λｇ^μν)Ｌと定義して,∂Ｍ ^μνλ/∂ｘ^μ＝0

を得ます。

ところで,先に平行移動対称性による保存量として得た

エネルギー・運動量密度テンソルは,

Ｔ_μν＝∑_r{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}∂_νφ_r－ｇ_μνＬ

です。

それ故,Ｔ ^0λ＝∑_ｒπ_ｒ∂^λφ_ｒ－ｇ^0λＬより,

Ｍ ^0νλ＝ｘ^νＴ ^0λ-ｘ^λＴ ^0μ＋∑_ｒ,ｓπ_ｒΞ^νλ_ｒｓφ_ｓです。

そこで,Ｍ^νλ≡∫ｄ³ｘＭ ^0νλ

≡∫ｄ³ｘ(ｘ^νＴ ^0λ-ｘ^λＴ ^0μ

＋∑_rπ_rΞ^νλ_rsφ_s)と定義すればｄ,Ｍ^νλ/ｄｔ＝0　

が成立します。

(※ただし,計量テンソル(metric-tensor):ｇ_μνは,今対象の

平坦なMinkowski時空ではη_μνと表現することが多いです。)

特に,場φ_rが,Diracのスピノル:Ψ＝^t(ψ₁,ψ₂,ψ₃,ψ₄)の場合,

Ｓ_ｒｓ(ε)＝δ_ｒｓ＋(1/2)Ξ^μν_ｒｓε_μν

＝δ_ｒｓ＋(1/8)[γ^μ,γ^ν]_ｒｓε_μν

なので,

Ξ^μν＝(1/4)[γ^μ,γ^ν]＝(－i/2)σ^μνです。

ただし,σ^μν≡(i/2)[γ^μ,γ^ν]で謂わゆるスピン行列です。

そこで,Dirac場のケースなら,Ｍ^νλ≡∫ｄ³ｘＭ ^0νλ

＝∫ｄ³ｘ[ｘ^νＴ ^0λ-ｘ^λＴ ^0μ＋(－i/2)πσ^νλΨ]です。

空間の角運動量Ｍの第３軸成分なら,Ｍ³＝Ｍ¹²

＝∫ｄ³ｘＭ ⁰¹²

＝∫ｄ³ｘ[ｘ¹Ｔ ⁰²-ｘ²Ｔ ⁰¹＋(－i/2)πσ¹²Ψ]

です。

今日もいつもの半分くらいで短いですがここまでにします。

(参考文献):J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGrawHil)

PS:編集作業してるとよく文字が消えます。

デフォルトの挿入モードでタイプしてるのに勝手に削除

(＝文字の置換)モードに変わっている。

直してもまた勝手に変わったり。。

そしてまた,後で途中に追加した文をブログ画面に反映すると,

勝手に文字サイズが大きくなったり,挿入位置が最後尾に移っ

ていたりとか。。。

本当にイライラします。

訃報！！北公次さん。

　元フォーリーブスの北公次さんが,２月22日未明に肝臓ガンで亡くなられたということです。６３歳でした。(←へえ,。私より１歳上だったんだ。。)

　ニュース　→　速報:フォ＾リーブス,北公次さん,死去

　　　　　　

　フォーリブスといえば,北公次さんをリーダーとして

　,江木俊夫, 青山孝史, おりも政夫との４人をメンバーとする

　1970年代のジャニ－ズ事務所のアイドルグル－プでした。

　　　　

　メンバーのうち,青山孝史さんも3年前の2009１月に57同じ肝臓ガンで57歳で亡くなられています。

　ちなみに初代ジャニーズは,真家いろみをリーダーとして

　飯野おさみ, 中谷良, あおい輝彦がメンバ＾のグループです。

　フォーリーブスは,二代目ということになりますかね。

　初代ジャニーズはリーダーの真家さんが既に2000年に心筋梗塞で５３歳で

他界されたようですが,他の3人は現在64歳～66歳で健在です。

ＰＳ：昨日22日は休みを取って帝京大病院で眼歳科と整形外科をかけもちで受診してきました。

　左目は１月下旬に眼底出血したので視力検査はできないほどでしたが,

　１ヶ月か2ヶ月くらいは止血剤を服用して様子を見て,

　それでも血が引かなければ昨年５月31日に手術した右目と同様,入院して手術を受けるかもしれません。

いずれにしろ,今はなんにもしていない原因の糖尿病を治療しないと

　,眼の手術で血を止めても,いずれまた出血して失明も有り得るので,のん気な私も早々に治療しないといけませんね。

　(心不全や腎性貧血,動脈硬化も何もしてない。)

　また,左の頚椎炎症のため？昨年10月から左腕と左肩が痛くてたまらなくて整形外科にかかっていますが

　こちらは痛み止めとビタミン剤だけで左腕を使わないときには痛みはなくなってきています。

相対論的場の量子論(正準定式化)(6)

さて,訃報ばかりじゃなく,相対論的場の量子論の続きを書きます。

余談ですが,私の１Kの自宅にはベッドのある広い方の部屋の窓側

にエアコンが１つあるだけです。

狭いので通年は暖房も冷房も,これだけで十分なのですが,ここの

ところ異常に寒いので,帰宅してエアコンを28度の暖房設定で動

かしても,部屋で普通に過ごせるまでには10時間くらいかかる

みたいです。

糖尿病,心臓病,その他病気持ちの私は疲れやすく,過ごし

やすい気温のときで帰宅して４時間くらいは,寝るとはなしに

横たわわって身体を休めないと,次の作業をする意欲も体力も

回復しない状態です。

そこで部屋内で動けるまでは,必要以外ではベッドで毛布を

かぶってるだけですから,いつでもやらねばという気持ちは

あるのですが,長時間かけてブログ原稿書く気になりません。

そうはいってもタマには書かねば,。。

というわけで以下,本題です。

§1.4 Symmetry and　Conservation Law(対称性と保存則)

 Lagrangian定式化は古典場の理論によって,正準方程式

(運動方程式)を引き出して.それを量子場に同定するという便利

で系統的な方法を与えてくれます。

１つのLagrangianからスタートすれば,場のLagrangian密度

Ｌと運動方程式(Euler-Lagrange)の形を不変に保つような,

無限小の対称性変換の各々に対して保存則存在し,運動の定数

(＝時間的に一定な保存量)が伴なうことが示されます。

　これは,「Noether(ネーター)の定理」として知られています。

この定理は,自然において観測される選択則が,直接Ｌに対する

対称性の要求によって記述されることを許すものであり,

新理論を展開していく際には,相互作用項を導入するガイドとして

とても有用なものです。

まずは,時間,および空間の一様性という対称性の例を挙げます。

要するに,時間ｔについていつの時点をｔ＝0に取ろうと,また

空間のどこに原点ｘ＝0 を取ろうと,理論や法則は変わらない

という基本的な相対性原理を示す対称性です。

重要な対称性ですね。

これに「Noetherの定理」がどう関わり対対称性が保存則に

いかに反映されるか?を見ます。

１. 平行移動不変性:

平行移動は,制限されたPoincare'群(ポアンカレ群)と呼ばわれる

４次元時空の座標変換群に属する１つの変換です。

箱の中に閉じ込められているような特別な物理系でないなら,

系のLagrangian密度Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))は,このPoincare

群の変換に属する平行移動の下では,スカラー(不変)です。

つまり,まず,ｘ~を平行移動された位置座標,φ~_rを平行移動

により変換された座標系から見た場の振幅と考えるとき,

平行移動:ｘ→ｘ~によって,Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))から変化した　Lagrangian密度を,Ｌ~(φ~_r(ｘ~),∂_μφ~_r(ｘ~))と書けば,

Ｌ~(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))＝Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))

です。

　次に,理論の不変性:すなわち,２階常微分方程式の表現による

運動方程式の陽な形が,変換された系の観測者に対しても変換前

と同じであるべきという条件から,

Ｌ~(φ~_r(ｘ~),∂_μφ~_r(ｘ~))＝Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))

です。

以上から,Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))＝Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))

なる等式が得られます。

　それ故,無限小平行移動:ｘ^μ→ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μに対して,

 δＬ≡Ｌ(φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~))－Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))

　＝ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)ですが,

このδＬは

Ｌ(φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~))－Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))

＝－Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))＋Ｌ(φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~))

に等しく,

　したがって,ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)＝δＬ

 ＝∑_r[(∂Ｌ/∂φ_r)δφ_r＋{(∂Ｌ/∂_μφ_r)δ(∂_μφ_r)}]

　です。

ただし,δφ_r≡φ_r(ｘ~)－φ~_r(ｘ~)＝φ_r(ｘ＋ε)－φ_r(ｘ)

＝ε^μ(∂φ_r/∂ｘ^μ)です。

※(注6-1):(重要):座標系の平行移動:ｘ^μ→ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μ

に対しては,通常は,φ~_r(ｘ~)＝φ~_r(ｘ＋ε)＝φ_r(ｘ)です。

(注6-1終わり※)

同様に,δ(∂_μφ_r)≡∂~_μφ_r(ｘ~)－∂~_μφ~_r(ｘ~)

＝∂_μφ_r(ｘ＋ε)－∂_μφ_r(ｘ)＝ε^ν(∂_ν∂_μφ_r) です。

　以上から,ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)＝

∑_r[(∂Ｌ/∂φ_r)ε^μ(∂φ_r/∂ｘ^μ)＋{(∂Ｌ/∂_μφ_r)ε^ν(∂_ν∂_μφ_r)}]

を得ます。

ここで,Euer-Lagrange方程式:

(∂Ｌ/∂φ_r)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ_r/∂ｘ^μ)}＝0

より,∂Ｌ/∂φ_r＝∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}

を上式に代入すると,

　ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)＝∂_μ∑_r{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}ε^μ(∂φ_r/∂ｘ^ν)}

　となります。

そこで,ε^ν(∂/∂ｘ^μ)[∑_r {∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}(∂φ_r/∂ｘ^ν)]

－ε^νｇ_μν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)]＝ 0 ですが,ε^νは任意なので,

(∂/∂ｘ^μ)[∑_r{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}(∂φ_r/∂ｘ^ν)－ｇ_μνＬ]＝0

が成立します。

そこで,Ｔ_μν≡∑_r {∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}(∂φ_r/∂ｘ^ν)－ｇ_μνＬ

と定義すれば,∂Ｔ_μν/∂ｘ^μ＝0 です。

そこで,このＴ_μνを１つのエネルギー運動量密度テンソル　(energy^momentum stress tensor)と名付ければ,

Ｐ_νをＰ_ν≡∫ｄ³ｘＴ_0ν＝∫ｄ³ｘ[∑_rπ_r(∂φ_r/∂ｘ^ν)－ｇ_0νＬ]と

定義すると,ｄＰ_ν/ｄｔ＝0 なる保存法則が見出されます。

(※ただし,計量テンソル(metric-tensor):ｇ_μνは,今対象の平坦

なMinkowski時空ではη_μνと表現することが多いです。)

※(注6-2):一応,ｄＰ_ν/ｄｔ＝0 を証明しておきます。

∂Ｔ_μν/∂ｘ^μ＝0 なので∂Ｔ_0ν/∂ｘ⁰＝－∂Ｔ_kν/∂ｘ^kです。

テンソルＴ_μνはνを固定しておけば,４次元の共変ベクトルなので,

－Ｔ_kν(ｋ＝1,2,3)は３次元ベクトルの成分です。

この空間ベクトルを－Ｔと書けば,∂Ｔ_kν/∂ｘ^k＝－∇Ｔ

なのでGaussの積分定理によって,

ｄＰ_ν/ｄｔ＝∫ｄ³ｘ(∂Ｔ_0ν/∂ｘ⁰)＝∫ｄ³ｘ∇Ｔ

＝∫ｄＳ(Ｔｎ)＝0 を得ます。

(表面積分∫ｄＳは無限遠の閉曲面上を想定していますが,

そこでは,Ｔ＝0 です。)

(注6－2終わり)※

そして,既に見たようにＴ₀₀＝∑_rπ_rφ_r^d －Ｌは,系のHamiltonian

密度:Ｈ に一致しています。

それ故,Ｐ₀＝∫ｄ³ｘＴ₀₀は,系のHamiltonian:Ｈです。

よって.ｄＰ₀/ｄｔ＝0 はｄＨ/ｄｔ＝0 を意味します。

こうして,時間の一様性＝時間の平行移動対称性から,

系のエネルギー(場のエネルギー):Ｈに対するエネルギー

保存則を得ました。

同様に,Ｐ^ｋ＝－Ｐ_k＝∫ｄ³ｘＴ_0k＝－∫ｄ³ｘ[∑_rπ_r(∂φ_r/∂ｘ^k)]

は場の運動量Ｐの成分です。

ｄＰ_k/ｄｔ＝0 は運動量の保存ｄＰ/ｄｔ＝0 を意味します。

これは空間の一様性の反映です。

今日は,いつもの半分程度と短かい記事ですが,当座のツナギと

いうことで,取り合えず,ここまでにします。

次回予告ですが,まずは３つの直交座標軸の系をどの向きに

選んでも法則,理論は同じであるという空間の等方性という

対称性,つまり,軸の無限小回転に対してLagrangian密度Ｌ,

および運動方程式が不変であるという対称性変換から角運動量

の保存則を見出すところからです。

科学記事もセッセと書かなきゃね。

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell 「Relativistic　Quantum Fields」(McGrawHill)

PS:何故か,私の中古PCがここのところとても遅くイライラするので,

OSが古いけどお気に入りのXPであるせいなのかな？と思ってネット

で調べてみると,

お金をかけずにできる方法として,まず,デスクトップ画面を

右クリックしてプロパティを左クリックで選択して,カスタマイズ

しないを選び,

画面をwindowsクラシックの青だけの無地の背景にしたら,かなり

改善されました。

訃報！！左右田一平さん。

　俳優の左右田一平(そうだいっぺい)さんが２月10日にＳ状結腸ガン亡くなられていたそうです。81歳でした。

　ニュース→俳優の左右田一平氏死去

　※　↓　とってもいいヤサシそうな笑顔ですねえ！！。。。

　　　　　　　　

　モノ静かですが心に何か秘めているような,味のある役者さんでした。

　私は最初に時代劇で見たときから印象に残り,以後好きなタイプの脇役俳優でしたね。

　ご冥福をお祈りします。　　合掌！！

訃報！！淡島千景さん。

　女優の淡島千景さんが２月16日すい臓ガンで亡くなられました。

　87歳でした。

　ニュース　淡島チ景さん死去,森繁さん待つ天国へ

　　　　　

　ご冥福をお祈りします。　　合掌！！

ＰＳ：昨日,この訃報を書いている最中にうっかり,タコ足配線のどこかのコードが抜けてＰＣ電源が落ちてしまい復旧するのに半日もかかりました。

　短かいとはいえ,,オンライン書き込み中の原稿が突然全部消えたので,一時ブログを書くモチベーションが減退していました。

　雪や霙も降って,このところかなり寒く,５年前の春に冠動脈７本をつなぐ10時間以上の心臓バイパス手術をしても,なお収縮率が常人の32％程度らしい心不全の私の心臓にはこの気温は堪えているらしいです。

(※おそれ多くも,天皇陛下も同じ手術を同じ天野先生中心の執刀で受けられるようですが,５～６時間の手術なら普通の手術です。心配ないでしょう。)

　偶数月の15日には２ヶ月分の年金入るので,,ツケで飲む習慣のない私はこの15日の週にはイツモは疎遠な飲み屋へと,ついつい足が向いてしまいます。

　心臓の他に足の動脈硬化と運動不足の筋肉の衰えか？昼間から酔っ払いのような足どりで,視力がいい方の左眼出血で片眼しか見えず暗いので２日続づけて車止めに,つまづいて転倒しましたが幸いケガはありませんでした。

　転ぶのにも慣れたようです。夕方で酔っ払いと思われたのか人通りが多い場所で派手に転んで起きようとしていても,よけて通られましたね。

　って,またも自虐ネタ「ですね。

　普通の記事も書こうと思いながら,このところ訃報ばかりです。

PS2二階の３部屋の真ん中に私が住んでいるアパートの両隣の中国人カッルルが両方とも旧正月の頃出て行ったらしいので,

　一昨年夏の引越しのとき暫定的に配置していた冷蔵庫,ベッド,本箱など大きいモノをこの際使いやすいように配置換えしようとして10日以上もガタガタ押したり引いたりをやってます、

　ブログも原稿資料,ノートの一時行方不明等があって書きづらく,計画性のないドミノ移動なのでPCまわりもゴミだらけで,ついつい電源落ちました。

訃報！！三崎千恵子さん

　「フーテンの寅さん」の"おばちゃん"こと,三崎千恵子んが２月13日午後亡くなられたそうです。死因は老衰ということです。　

　まあ,ここ一連の訃報とは異なり,病気や事故ではなくて,90歳。。

　大往生でしょう。

　　ニュース→　 三崎千恵子さん死去,90歳

　　　　　　　。

今,ええてみても「寅さん」以外では,お見かけしたという記憶がないので,,

　役柄と地が重なってしか見えませんが,女優としても気負った様子もなくさりげなく主役をフォローしているようで凄いい方だと思います。

　ご冥福をお祈りします。　　合掌！！

訃報！！田子の浦親方(久島海)急死

　酷寒の季節のせいか？訃報が続きます。２月13日,元幕内久島海(田子の浦親方),が血を吐いて病院に運ばれた後,亡くなられました。まだ46歳でした。

　ニュース→　 元幕内久島海が急死,部屋で吐血...倒れる。

　　　　　　　

　久島達也(本名)氏は高校生で初めてアマ横綱になり,日大相撲部では学生横綱として有名で,した。数々のアマチュア記録を持って期待されて角界入りしました。

　現役時代は結局大関,横綱にはなれませんでしたが,常に真剣勝負的な相撲態度でいた。,

　土俵の外では目尻の下がった愛くるしい童顔が印象的だったです。

　ご冥福をお祈りします。　　合掌！！

　(彼の故郷:'和歌山は私の母親の故郷です。)

訃報！！Whitney Houston さん

　表題の通り,グラミー賞歌手で女優のWhitney Houston(ホイットニー・ヒューストン)さんが亡くなられました。まだ,48歳でした。

　ニュース→　ホイットニー・ヒューストン．48歳で死去

             　

　私も,今から,約20年前,Kevin Costner(ケビン・コスナー)の相手役として映画「Body guard(ボディガード)」の中で警護される大物女性歌手の役で出演していたのを見て,その衝撃的な歌唱力と存在感に驚かされて以来ファンです。

　その映画主題歌の「Ａｌｗａｙｓ　Lｏｖｅｓ　Ｙｏｕ」は,今は私の下手なカラオケのレパートリ＾にも入っているくらいですが,これも含めた映画サントラ盤のCDは名曲ぞろいですね。

　２月12日に浴槽の中で沈んで亡くなってる遺体が発見されました。

　急死ということで亡くなられたのは前日の２月11日らしいです。

　最近は,薬物中毒でもあったらしいです

　Billy HolidayやMichael Jackson などと同じく,,米の黒人の有名歌手にありがちな不幸な？最期であったのかもしれません。

　イヤ,私が昔から大ファンである故Janis Joplin(ジャニスジョプリン)もまた薬物依存だったし日本人でもありがちですから,,天才的に才能がある芸術家には特有のことで,薬物は黒人ばかりというわけでもないようですが。。。

　私など,ウィスキーのストレートとある種の睡眠薬を飲めば心臓で死ぬのは当然です。その上,泥酔入浴では助からないでしょう。(憶測に過ぎませんが)

　　ご冥福をお祈りします。　　合掌！！

　このブログで取り上げた外国芸能人のっ訃報は,Elizabeth Taylor(エリザベス・テーラー)以来でしょうか？

　(2011年３/24の記事「リズ 死去!!l」参照)

PS:畏れ多くも,天皇陛下様が,私と同じ病気で,私と同じ執刀医を含むチームで心臓バイパス手術を受けられるようです。

　手術自体は,特別重症でない限りは,大丈夫でしょうが,,

　普通は高齢では必要であっても,体力的に心臓手術を受けられないケースが多いので,高齢であられることは懸念されます。

PS2:関係ないですが,最近はベッドから立ち上がって１～２ｍ歩くにもよく転倒したりぶつかって何かを落としたりするので,

　現在,日常茶飯事の他にベッドまわりの障害物を除去して広くし,しかも,つかまる場所が多いように室内をボチボチ改装中でイツモ疲れています。

　貧乏なせいか食が細く食べないため,よく便秘をして,便秘が解消されるたびに急に食欲が出るという悪循環もあり,栄養が炭水化物ばかりに偏って慢性栄養失調で「骨粗しょう症」の一種なのか？

　(※食事代をケズっても,ヤリタイことは,いっぱいあります。)

　はたまた,大原麗子さんや安岡力也さんのような「ギラン・バレー症候群」なのか?さらに片眼状態でもあり,特に自室内でよく転び,,外では他人とぶつかったりしています。

　(※何,メタボでダイエット？←うらやましい。)

　冗談ではなく,財布から小銭を出したり箸でおカズをつかむのも容易でなくなりつつある状態なので,,常人には大したことない室内改装といっても

　.少しずつ休み休みで,,軽いモノしか運べず,大きいモノのは少しずつ押したり引いたりしていますが,引越し後の整理の時と同様,誰に頼むわけにもいかずまた数ヶ月かかるかも知れませんね。

　(※↑別に,無理に仕事っを作って疲れる必要もなく,食事・トイレ以外は室内では寝てればいいのに貧乏性だね。)

　私は糖尿病,虚血性心不全,両足の動脈硬化,腎性貧血,

　そして,糖尿性網膜症(眼底出血),糖尿性神経マヒ(両足や左手など,といどきカユい,しびれて痛い,しかし,ぶつけても痛みもないし寒くもないいずれは壊死？),プラス,30,年来の慢性うつ病etc.で病気の総合商社です。

　さらに顔が悪い,性格が悪い,頭も悪いし変態性でハゲてると,悪いことダラケです。

　まあ,別に自慢ではアリマセンが。。

　(※↑またまた,お得意の自虐ネタの病気自慢かい？)

福祉大相撲（ＮＨＬ主催)に行ってきまじた。

　昨日11日は,両国の国技館で開催された第45回ＮＨＫ福祉大相>に,障がい者枠の無料招待客の１人として行ってきました。

　先月,,職場に15名の障がい者招待無料券が入り,希望者13名と支援スタッフ２名が行く予定でしたが,希望者が12名だったのでスタッフ１名追加の15名で見にいきました。

　会場は13時開始で17時半に終わる予定でした。

　我々の席は向正面二階席前列７,８番目くらいで,二階席とはいって急な階段状で,土俵もステージもはるか下に見下ろすという感じでした。

　自宅で出かける前の朝に20年くらい前に購入していた双眼鏡を探し出して持参したのは正解でした。

　主催者あいさつの後,タ呼び出しの太鼓,の紹介披露,幕下優秀力士16名のトーナメント,そして初っきりや,ちびっこ力士の把瑠都,隠岐の海,松凰山への挑戦などがあり,その後休憩しました。

　第二部では日本人大関(琴奨菊,と稀勢の里)へのインタビュー.,そして天童よしみ,伍代夏子,長山洋子,石原旬子や,スマイレージと力士親や方との歌の競演,このチャリテイの目玉であろう日産のワゴン車８台の施設への贈呈式などが,4ありました。

　そして第三部,は,幕内力士,横綱白鳳の土俵入りの後,取り組間の時間短縮版で普通の幕内の全取り組みがありました。

　ときどき,ＮＨＫのカメラの照明はこちらの,二階席にもきていましたが,この収録の放映は来週日曜の19日にやるらしいですね。　

　しかし第三部の開始が40分くらい遅れれて,場内が寒くなってきたことと,終わりが18時を過ぎるために,Ｔ,Ｉさんが薬と食事を取る必要性から,先に帰ることになったので,チョッと見たかった幕内三役以後の取り組みを残して,私と彼女だけ先に17時半頃には国技館を退出し,ました。

　少し迷って,18時頃に大江戸線両国駅付近で食事をした後,大江戸線両国駅19時30分頃発の電車に乗り,春日で三田線に乗り換えて無事帰りました。

　昨年も見に行く予定だったのですが八百長騒ぎ中止になり,今年が初めてでしたが,テレビや写真以外で,.まわし姿の相撲取りや生の大相撲の土俵入り,対戦を見たことはなかったので,またしてもいい経験になりました。

　普通にサラリーマンをやってている健常者であったなら.これら色々な経験はしなかったかも。。。

訃報！！大平シローさん。

　漫才の「大平(タイヘイ)サブロー・シロー」の太平シローさんが昨日２月９日の午後急死されました。まだ５５歳でした。　

ニュース→ :大平シローさん,急死,55歳,心生じると室細動,サブロー..「信じられない」

　　　　　l

　心室細動とは急性心筋梗塞が起きた際に,これが生じると,すぐに,AEDの電気ショック)や心臓マッサージをしないと,ほぼ助からないという症状です。

　私が急に心不全で心筋梗塞になったのも56歳(2006年)の12月でしたから,これはヒトゴトとは思えません。

　冬場の急性心筋梗塞は,平均気温が6度以下では多発しやすいと言われているらしいです。

(※私も夏の猛暑もそうですが,この寒さでは屋外ではキツいです。

　心臓病の場合,心臓は適温でなければ,テキメンに動きが鈍くなりますね。

　普通の季節でも常人の32％ﾄしか収縮してないと診察されたのに。。)

　まさに,この寒波の影響が大きいでしょう。心臓がヤバいと思ってる人はゼヒ暖かくしてください。( ＞ 特に,優子リン。。）

　シローさん。。まだまだ若い。惜しい。。　　　　

　「太平サブロー・シロー」は,口にくわえたゴムで顔をパッチンするネタで有名な「ユートピア」ど共に,あの時代に大好きなキャラの一人でした。。

　　　冥福を祈ります。合掌

相対論的場の量子論(正準定式化)(5)

　相対論的場の量子論のきです。

　前記事の最後では.系のLagrangian密度として,

　Ｌ(φ,∂_μφ)＝(1/2){(∂φ/∂ｘ^μ)(∂φ/∂ｘ_μ)－ｍ²φ²}

＝(1/2)(∂_μφ∂^μφ－ｍ²φ²)を得ました。,

※(注3):φは,Lorentzスカラーなので,∂^μφ＝∂φ/∂ｘ_μ

＝(∂φ/∂ｔ,－∇φ)は,反変ベクトルであり,∂_μφ＝∂φ/∂ｘ^μ

＝(∂φ/∂ｔ,∇φ)は共変ベクトルです。

故に,(∂φ/∂ｘ^μ)(∂φ/∂ｘ_μ)＝∂_μφ∂^μφはLorentzスカラー

であり,－ｍ²φ²もLorentzスカラーなので,それらの和のスカラー

倍はLorentzスカラーです。　(注3終わり※)

　粒子力学におけるものと同じLagrangian Ｌは,このLagrangian密度の３次元体積積分によって定義されます。

　すなわち,Ｌ≡∫_-∞^∞Ｌ(φ,∂_μφ)ｄ³ｘです。

この例だけではなく,一般の理論においても,常に場の方程式は

Lagrangian密度から導かれると仮定します。

作用原理:δＪ＝δ∫_t1^t2Ｌ(ｑ,ｄｑ/ｄｔ)ｄｔ＝0 のアナロジー

として,運動方程式の解である場に対しては,作用Ｊが停留値をとる

べきことを要求します。

つまり,δ∫_t1^t2ｄｔ∫ｄ³ｘＬ(φ,∂_μφ)＝0 を要求します。

この左辺の変分の計算を積分区間における場φを変化させること

によって実行し,ｔ_,1,ｔ₂における場φの境界値を固定しておけば,

場の発展を与えるEuer-Lagrange方程式を得ます。

特に,系が単一の場で記述され,Ｌがφと∂φ/∂ｘ^μの関数で

あるような単純なケースに対しては,

作用原理:δ∫_t1^t2ｄｔ∫ｄ³ｘＬ(φ,∂_μφ)＝0 は,

∫_t1^t2ｄｔ∫ｄ³ｘ[Ｌ{φ＋δφ,(∂φ/∂ｘ^μ)＋δ(∂φ/∂ｘ^μ)}

－Ｌ(φ,∂φ/∂ｘ^μ)φ]]＝0 です。

これは,∫_t1^t2ｄｔ∫ｄ³ｘ[(∂Ｌ/∂φ)δφ

＋{∂Ｌ/∂(∂φ/∂ｘ^μ)}δ(∂φ/∂ｘ^μ)]＝0　

と変形されます。

ところがδ(∂φ/∂ｘ^μ)＝∂(δφ)/∂ｘ^μですから,結局,

∫_t1^t2ｄｔ∫ｄ³ｘδφ[(∂Ｌ/∂φ)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ/∂ｘ^μ)}]

＝0 が得られます。

よって,場の方程式＝Euer-Lagrange方程式は,

(∂Ｌ/∂φ)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ/∂ｘ^μ)}＝0

となります。

こうして得られる方程式は,局所的に各時空店での微分で表現される

微分方程式です。

Ｌがφ(ｘ)の１次導関数のみを含んでいる限り,場はある微分方程式を

満足し,理論は局所的です。

ここで与えられる波動の正準な発展方式は,長距離に対する"対応原理"

の意味においてのみ適切なものです。(※もしも自然が短距離では非局所

的か,または粒子状であるのなら。。)

全てのケースについて,Lagrangianの選択は場が従う特殊な方程式

によって支配され指定されます。

例えば,スカラー場のLagrangian密度:

Ｌ(φ,∂_μφ)＝(1/2)(∂_μφ∂^μφ－ｍ²φ²)は,作用原理から

から導かれるEuer-Lagrange方程式がKlein-Gordon方程式に

なるように意図されています。

この他に,特に関心がある例は,Dirac方程式とMaxwell方程式です。

ベクトル,スピノルを含むような,１個より多くの独立な場:

φ_r(ｘ)(ｒ＝1,2,…,Ｎ)で記述される系では,作用原理から

Ｎ個のEuer-Lagrange方程式:

(∂Ｌ/∂φ_r)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ_r/∂ｘ^μ)}＝0

　(ｒ＝1,2,..,Ｎ)を得ます。

　さて,次の手順に移ります。

　テキストに書かれている項目の標題は,　

　"Canonical Formalism and Quantization Procedure(Analogy of classical particle mechanics)"

　これは訳すと,

「正準量子化と量子化手法(古典質点系力学のアナロジー)」です。

　場と粒子の力学を平行して扱うため,３次元空間を体積ΔＶの

　セル(細胞)に分割して,有限(離散)自由度の系の話に戻します。

　そうして,ｊ番目の座標φ_j(ｔ)をｊ番目のセルΔＶ_jにわたる

　場φ(ｘ)＝φ(ｘ,ｔ)の平均値と定義します。

つまり,φ_j(ｔ)≡(1/ΔＶ_j)∫_ΔＶjｄ³ｘφ(ｘ,ｔ)です。

さらに,φ_j^d(ｔ)≡ｄφ_j(ｔ)/ｄｔ

≡(1/ΔＶ_j)∫_ΔＶjｄ³ｘ{∂φ(ｘ,ｔ)/∂ｔ} とします。

　こうすると全系のLagrangian:Ｌ＝∫_ΔＶjｄ³ｘＬ は,

　∑_jΔＶ_jＬ~_j(φ_j^d(ｔ);φ_j(ｔ),φ_j±1(ｔ),))

と書き直されます。

すると,正準運動量Ｐは,簡単にＰ_j(ｔ)＝∂Ｌ/∂φ_j^d(ｔ)

＝ΔＶ_j{∂Ｌ/∂φ_j^d(ｔ)}＝ΔＶ_jπ_j(ｔ)と書けます。

そこで,系のHamiltonianＨは,Ｈ≡∑_jＰ_j,φ_j^d－Ｌ

＝∑_jΔＶ_j(π_jφ_j^d－Ｌ~_j) です。

ここで,連続体の記法に戻り,φ(ｘ)＝φ(ｘ,ｔ)に共役な運動量

を,π(ｘ)＝π(ｘ,ｔ)≡∂Ｌ(φ,∂_μφ)/∂φ^d(ｘ,ｔ)

で定義します。

　すると,Ｈ＝∑_jΔＶ_j(π_jφ_j^d－Ｌ~_j)は,ΔＶ_j→ 0 の連続体極限

　では,Ｈ＝∫ｄ³ｘＨ(π(ｘ,ｔ),φ(ｘ,ｔ)),

　;Ｈ(π(ｘ,ｔ),φ(ｘ,ｔ))≡πφ^d－Ｌ なる形になる

　と考えられます。

　さて,φ_j(ｔ)の正準運動量Ｐ_j(ｔ)が明示されたので,

　多粒子系の量子力学の交換関係[ｐ_j^(ｔ),ｑ_k^(ｔ)]­＝－iδ_jk,

　[ｐ_j^(ｔ),ｐ_k^(ｔ)]＝0,[ｑ_j^(ｔ),ｑ_k^(ｔ)]­＝0 からの

　アナロジーで, 　

　力学変数ｑ_j^(ｔ),およびｐ_j^(ｔ)を,それぞれHermite演算子

　φ_j(ｔ),およびＰ_j(ｔ)で置き換える量子化手続:きを行なう

　ことで,

交換関係;[φ_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]＝0,[Ｐ_j^(ｔ),Ｐ_k^(ｔ)]­＝0,

および,[Ｐ_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]­＝－iδ_jkが自然に得られます。

　最後の式は,[π_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]­＝－iδ_jk/ΔＶ_jとも

　書くことができます。

これらはΔＶ_j→ 0 の連続体極限では,

　[φ^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]＝0,[π^(ｘ,ｔ),π^(ｙ,ｔ)]­＝0,

　および,[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]­＝－iδ³(ｘ―ｙ)

　を意味します。

※(注4):[φ_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]＝0 より,

∫_ΔＶjｄ³ｘ∫_ΔＶkｄ³ｙ[φ^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]＝0 ですが,

これがΔＶ_j,ΔＶ_kを任意にゼロに近づけるとき常に成立するため,

　[φ^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]＝0 と結論されます。

　同様にして,[π^(ｘ,ｔ),π^(ｙ,ｔ)]­＝0 も明らかです。

　また,[π_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]­＝－iδ_jk/ΔＶ_jの左辺のΔＶ_j→ 0 の

極限は,∫_ΔＶkｄ³ｙ[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]ですから,ΔＶ_k→ 0

では,[π_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]­＝[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]ΔＶ_kです。

他方,右辺のδ_jk/ΔＶ_jがΔＶ_j→ 0,ΔＶ_k→ 0 のとき,Δ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k

になると仮定すれば,Δ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k＝∫_ΔＶkｄ³ｙΔ(ｘ,ｙ)です。

また,交換関係:[π_j^(ｔ),φ_k^(ｔ)]­＝－iδ_jk/ΔＶ_jは,

[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]ΔＶ_k＝－iΔ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k

を意味します。

そして,Δ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k­＝δ_jk/ΔＶ_jは,ｋ＝ｊのとき,つまりｙが

ｘと空間の同じセルに属するとき,そのときに限って,

∫_ΔＶkｄ³ｙΔ(ｘ,ｙ)＝Δ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k＝ΔＶ_kであり,

それ以外では,∫_ΔＶkｄ³ｙΔ(ｘ,ｙ)＝Δ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k＝0です。

つまり,Δ(ｘ,ｙ)はDirac＝のデルタ関数の定義に一致するので,

Δ(ｘ,ｙ)＝δ³(ｘ―ｙ)であり,

[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]ΔＶ_k＝－iΔ(ｘ,ｙ)ΔＶ_k は

[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]ΔＶ_k＝－iδ³(ｘ―ｙ)ΔＶ_kとなるので

,[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]＝－iδ³(ｘ―ｙ)を得ます。(注終わり※)

　ここまでの手順を要約すると,

　π^(ｘ)＝∂Ｌ/∂φ^^d(ｘ)の正準運動量の定義,

　そしてHamiltonian,およびHamiltonian密度の定義,:

　Ｈ^＝∫ｄ³ｘＨ^(π^(ｘ,ｔ),φ^(ｘ,ｔ)),および

　Ｈ(π(ｘ,ｔ),φ(ｘ,ｔ))≡πφ^d－Ｌ が与えられ,

これらに正準交換関係:[φ^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]＝0,

[π^(ｘ,ｔ),π^(ｙ,ｔ)]­＝0,[π^(ｘ,ｔ),φ^(ｙ,ｔ)]­

＝－iδ³(ｘ―ｙ),および運動方程式

を加えれば,正準量子場の理論の基礎が与えられたことに

なります。

次に,いくつかの独立な場φ_r^(ｘ,ｔ)が記述される物理系

へと一般化するために,各々の場に共役な運動量を

π_r^(ｘ,ｔ)≡∂Ｌ/∂φ_r^^d(ｘ,ｔ) によって定義します。

　そして,系の Hamiltonian密度を,

　Ｈ^(π₁..,,φ₁..)≡∑_rπ_r^φ_r^^d－Ｌとします。

正準交換関係は,[φ_r^(ｘ,ｔ),φ_s^(ｙ,ｔ)]＝0,

[π_r^(ｘ,ｔ),π_s^(ｙ,ｔ)]­＝0 および,

[π_r^(ｘ,ｔ),φ_s^(ｙ,ｔ)]­＝－iδ_rsδ³(ｘ―ｙ)

です。

　最後に運動方程式は,∂π_r^(ｘ,ｔ)/∂ｔ＝i[Ｈ^,π_r^(ｘ,ｔ)],

　∂φ_r^(ｘ,ｔ)/∂ｔ＝i[Ｈ^,φ_r^(ｘ,ｔ)]と多体系の問題から

　書き写されることがわかります。

　ただし,これは証明すべきことではなく,"これこそ場の運動方程式

　になるべきである"という前提です。

　この正準アナロジーの流れではこちらのHeisenbergの方程式

　の方が本質的で方程式としてのPriorityは上です。

この正準定式化では,Euler-Lagrange方程式が場の方程式に

一致するようにLagrangianが意図されて構成された初めから,

Heisenbergの方程式が場の運動方程式に一致すること

が保証されているのです。

今日はここまでにします。

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields"(McGrawHill)

アクセス数60万突破！！

　表題の通りアクセス数が60万を超えました。　

　→ (記事左上,プロフィール画像の下のアクセスカウンターを参照)

　昨年５月13日の「アクセス数50万突破！！」から268日です。

　　10万/268日なので,1日平均アクセス数373です。

　前回の10万/319日＝256より45パーセントも増えているようです。

　1ヶ月に.1万１千のペースなので今のままなら,９ヶ月後の11月初め頃には70万アクセスでしょうね。

　このブログ開始の2006年３月20日からあと１ヶ月余りで丸６年,３月末から７年目に入ります。最初の頃は1日のアクセス数は２桁でしたね。

　まあ,100万までは通過点と考えているので大騒ぎはしません。

PS:昨日は芝浦で「将棋チェスネット」の新年会があったので出席したかったのですが,,先立つモノが乏しいこともあり,また寒いので今回は遠慮しました。

(※元々５日はそのために,イツモの日曜出勤をやめて予め休日を申請していたのですが,結局,ただの「寝てヨウビ」でした。)

　蛸島先生や坂東女流(バンカナ)さんが来られたらしく,,久しぶりにお会いして教えて頂きたたかったのですが,

　近年の私の将棋は,精神状態を反映したカガミでしょうか？,相変わらず荒れ気味jで相手に対して失礼な指し手が多いです。

　また,気候がもう少し,イツモの温暖になってイツモの北島先生やDECAさんが来られる会には参加したいですね。

今日の癒し。。

　１月31日に届いたYou-tubeメールの動画からです。

本日誕生日です。

　表題のとおりです。,冥土の旅の一里塚。めでたくもありめでたくもなし。

　私は,1950年(昭和25年)２月１日生まれの寅年です。62歳になりました。

　イヤ,節分,立春前の丑と寅の境目ですから正確には「鬼年」かな？

　牛の角に虎皮のパンツで鬼ですが,昔ウシトラ(丑寅)の方角は,鬼門と言われていましたね,。　

　子を北として全方位を12等分するので,丑が右回りに30度で,寅が60度です。,丑寅の方角は45度の北東ですね。

　この方角から,鬼がやってくる,というわけです。

(※下図は,「丑寅の方角」で検索して,どこかのホームページに,ぴったりの図があったのでｺﾋーしたもので,パクリですね。※)

　　　　　　

　また,時刻も子を零時として１日の時間を12等分します。

　２時間おきですから,丑は午前２時,寅は午前４時です。。

　しかし一般には,前後１時間を指すようで,子の刻が前日23時から午前１時,まで,丑の刻が1時から３時まで,,寅の刻が3時から５時までという具合です。

　丑満刻または丑三つ刻 (ウシミツどき)というのは,ウシの刻が満ちて,トラの刻の近くで３時くらいかな？

　昔はこの時刻は全くの闇夜で,,モノノケが出るんじゃないか？と恐れられていたような時刻でしたね。

　そういえば,方違へ(カタタガエ：方角違い＝「風水」にも見られるように,家を建てる際の方角を間違えると怖いという)の祟り神,荒ぶる神(荒神様)であるところの,「艮のｊ金神(ウシトラのこんじん)＝国常立大神i(クニトコタチの神)」を

　江戸時代に,川手文治郎が,「天地金乃神(てんちこんおかみ)＝金光大神」として祀って開いたのが金光教であるという歴史を,40 ～ 50年前母校の金光学園中学高校在学時に聞かされた,のを思い出しました。

　ところで,,朝ＴＶを見ていたらギタリストで今井美樹のダンナ様の布袋寅泰(ほていともやす)が,50歳の誕生日と報道してましたから,丁度一まわり下ですね。

　全く同じ生年月日の芸能人なら,山本譲二がいます。そして１つ下の1951年の２/１生まれに中村雅俊(これもトシ？)がいます。

　以下,2月１日生まれで検索してみたら,磯野貴理子(まあ,好きな方)と,

　何？,クラーク・ゲーブル？沢村賞のモトになった巨人軍の永久欠番背番号14の沢村栄冶 投手くらいかな。。ほかに気になったのは。。。

　時給で仕事してるのに,正月４日まで休んだツケで25日から７日連続出勤していたので今日は休みを取りました。

　左目の眼底出血の止血剤でも貰いに,朝早く予約なし飛び込みで眼科に行こうと思ってましたが,目覚めたら10時過ぎで,つい昼まで寝てしまいました。

　私,意志が弱く,昔から試験も一夜ヅケ,仕事も締切り間際にならないと本気でやらないという性格なので,予約という時間的拘束もなく強制力のないコトについては,,ついサボりがちです。  (※アスタマニヤーナ  ← 日本語みたい。。)

　というわけで,今日は「寝てヨウビ」で,出かけるとしても夕方くらいでしょう。

　誕生日をネタに,飲み代を踏み倒してプレゼント強奪するとか。。

　とにかく,今日は家賃と電気代に携帯代,それに「フレッツ光＋プロバイダ」料金を払ったこともあり,また15日の給料日＋２ヶ月毎の年金(厚生年金分()支給日までは残りわずかの金しかありませんね。

　　また,昼寝でもするかな。

PS:とても寒い中を16時頃から神保町で本屋めぐりをして,その後,巣鴨に帰って駅の「富士そば」で軽い夕食を取り,19時頃に１件だけツケの残っていたスナック「美代」に飲みにいきました。

　そこは,巣鴨一番街では,割と最近(2年くらい前から)行くようになった店で,,たまにしか行かない店ですがイツ金が入るかを知っててお誘い電話がきます。

　このお店で,は客の平均年齢が70歳前後ですがマスターが「いいオトコ」なので女性客も多いです。

　昨夜(２/１)は,カウンターで私の左隣に座っていた女性'「たんぽぽ」のママ)は,87歳で,私の母(90歳)と同年代でしたね。若いので驚きました。

　「湖畔の宿」を唄われたので昔の歌大会となり私も小林旭の「惜別の唄」や竹山逸郎･藤原.某.のデュエット「月よりの使者」を唄いました。

　「あざみの歌」も出てきたので「ゴンドラの歌」や「鈴懸けの道」など定番が次々と頭に浮かんできましたが遠慮しました。

　まあ,そこでは私のようなアラ還は,まだまだ「ハナタレ小僧」です。

　自分が今日誕生日だと言っても,「あ。そうなの。オメデトウ」という程度だったので,最近毎年誕生日の前後どこかの店で誰も歌ってくれないトキに唄ってる「ハッピバースデー・トゥー・ミー」を唄いましたが,受けはイマイチでした。

　寒い中を歩き回って]疲れたのに休みもせずそのまま飲んだせいなのか？はたまた,先輩客たちに気を使い過ぎたせいなのか？21時頃には異常に酒がまわってきたと感じたので,帰宅しました。

　私の場合は心筋梗塞２回やった後でバイパス手術を受けて,当分(10年くらい)は大丈夫,心筋梗塞は起きないらしいのですが,一般に平均気温が６度Ｃ以下だと心筋梗塞が起き安いと言われているようです。

　一応慢性の虚血性心不全で障害者４級ですから,気温の低いのが心臓に影響しないわけはないので,急に酒が弱くなったというよりも,これは今夜が特別寒いせいだと思っています。

　まあ,私の場合病気の自覚症状には,敏感で手術以降は平気でバンバン救急車を呼びますし,ダメならダメでしかたないでしょう。自業自得。。