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2012年3月23日 (金)

相対論的場の量子論(正準定式化)(9)

「久しぶりでんな。シガマサルや。」(カラオケレパートリー

1つである,"ベートーベン"作曲「女」より)ではないけれど,

久しぶりの「相対論的場の量子論」シリーズの続きです。

 

このブログの科学記事については,色々と簡単な思い付きの計算,

過去の記事の再掲などで場ツナギしていました。

 

私の中では,これらがサブ記事で,表題のモノはメインの記事で

る,というランク付けなど考えてないツモリで,どちらもメイ

ントピックスですが,書くのに何日も要した記事は数時間で書い

たモノより,時間が長くかかったけの重みはありますね。

  

さて,前記事では準拠系Sの時空点の座標xμが,Poicare'群

る座標変換:x'μ=aμνν+bμによって関係付けられ

る座標x'μ表現される別のLorentz座標系(慣性系)S'の観測

者にとっては,あるユニタリ演算子;U(a,b)が存在して,

 

2つのLorentz座標系:S,S'のそれぞれの系の上での状態空間の

表示において同一の状態を表示する,対応する状態ベクトル間に,

|Φ'α>=U^(a,b)|Φαユニタリ変換がなされると見る

ことで望ましい変換が得られる,と定式化しました。

 

 この状態の変換式|Φ'α>=U^(a,b)|Φαを,

 量子場の期待値と古典場の振幅とが一致する,という

 対応原理を示す次の式:

 

 <Φ'α|φ^r(x')|Φ'β>=Srs(a)<Φα|φ^s(x)|Φβ

 に代入すると,

  

 <Φ'α|S-1rs(a)φ^s(x')|Φ'β

 =<Φα|U^φ^r(x)U^-1β> となります。

 

 この式から,

 U^(a,b)φ^r(x)U^(a,b)-1=S-1rs(a)φ^s(x') 

 る量子場の変換式が得られます。

 

 前回は,この後,特にa=1の平行移動:x'μ=xμ+bμという

 全く回転もBoostも無いSrs(a)=Srs(1)=δrsの場合を考え,

 

 対称性に伴うNoether保存量(演算子)としての,

 エネルギー・運動量4元ベクトル:μ=(H^,P^)

 を得ました。

 

 今回は,a=1ではない一般のLentz回転:x'μ=aμνν

 考えます。

 

 無限小平行移動:x'μ=xμ+εμに対するU(1,ε)

 =exp(iεμμ)=1+iεμμのアナロジーで,

 

 無限小Lorentz変換:x'μ=xμ+εμνν

 νμ=-εμν)対応するユニタリ演算子を,

 U(1+ε,0)≡1-(i/2)εμνμν と書きます。

 

 (↑ ※ U(1,ε)=exp(iεμμ)=1+iεμμであったのに,

 U(1+ε,0)≡1-(i/2)εμνμνであり,両者で生成子μ

 μνについての符号係数が異なる理由については,

 

 これが,ずっとPendingとなっていたのに気付かず,長期間放置し

 ていましたが,既に以下(※注9-2)で回答していました。

  

 要するに,U(1,ε)=exp(iεμμ)=1+iεμμ

 =1+iε0-iε=exp(iε0)×exp(-iε)

 であり,一方,U(1+ε,0)=exp(-iεμνμν/2)

 =1-(i/2)εμνμνですから,

  

 後者はz軸(3軸)のまわりの無限小回転角:δφの回転なら.

 1-iδφ 3=1-(i/2)(ε12 12+ε21 21)

 (ε12=-ε21≡δφ, 12=- 21 3) なので,

   

 時間軸の平行移動:1+iε0という特別な軸を除いた空間部分

 で比較すると,実は符号も係数も同じであることがわかります。※)

   

 μν,ユニタリ演算子:U=U(1+ε,0)を,

 exp{-(i/2)εμνμν}=1-(i/2)εμνμν

 と表現する際のHermite演算子です。

 

 Uφ^r(x)U-1=S-1rs(ε)φ^s(x'),かつ,

 Srs(ε)≡δrs+(i/2)Ξμνrsεμν より,

 

 {1-(i/2)εμνμν}φ^r(x){1+(i/2)εμνμν}

 =S-1rs(ε)φ^s(x+εx) なので,

 

 i[μν.φ^r(x)]=xμ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ)

 +Ξμνrsεμνφ^s(x) 

 

 を得ます

 

※(注9-1):何故なら,μν[μν,φ^r(x)]

 =2φ^r(xμ+εμνν)-2φ^r(x)-Ξμνrsεμνφ^s(x)

 =2(∂φ^r/∂xμμνν-Ξμνrsεμνφ^s(x) ですが,

 

 ενμ=-εμνなので,最右辺の第1項は,

   

 2(∂φ^r/∂xμμνν

 =(∂φ^r/∂xμμνν-(∂φ^r/∂xννμμ

 =-εμν{xμ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ)}

 

 となるからです。

 

 故に,iεμν[μν,φ^r(x)]

 =εμν{xμ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ)

 +Ξμνrsφ^s(x)} となります。

 

 ところがμνは任意の無限小反対称テンソルですから,結局,

 i[μν,φ^r(x)]=xμ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ)

 +Ξμνrsεμνφ^s(x) を得ます。

  

 (↑※元ネタのノ-トには,当時初学の私らしくこれの証明も

 細かく書いてありますが,冗長なので省略します。)

 

(注9-1終わり)※

 

 前の平行移動と運動量の対応のケースと同様,Lorentz変換を起こす

  生成子(generator)であるμνを古典論での角運動量テンソル:

 Mμν≡∫d3 0μν

 ≡∫d3(xμ-xνπrΞμνrsφs)

 

 と同一視します。

  

 すなわち,M^μνを角運動量テンソル演算子として,μν

 =M^μνと考えると,古典的非相対論量子力学との対応に

 頼ることで,

 

 上記の交換関係:

 i[μν,φ^r(x)]=xμ(∂φ^r/∂xν)-xν(∂φ^r/∂xμ)

 +Ξμνrsεμνφ^s(x)において,添字μ,νがi,jの場合の

 3次元空間成分は,

 

 よく知られた3次元回転を生じさせる角運動量演算子:

 ^=(L1^,L2^,L3^)=(M^23,M^31,M^12)が満たす交換関係

 に他ならないことがわかります。(※軌道角運動量部分です。)

  

(注9-2):ψ()を非相対論的量子力学の定常状態の波動関数

 とすると,系の空間的な回転に対して理論が不変な場合,

 

 座標系(または系)の回転に対するの変換を'=R

 と表わし,それに対する波動関数の変換をψ → ψ'=PR

 とすると,

 

 ψ'(')=ψ'(R)=ψ()より,

 ψ'()=ψ(R-1) or PR^ψ()=ψ(R-1) です。

 

 極座標で,(r,θ,φ),'= (r,θ,φ+ω)

 (系がωだけ回転,または座標系が-ωだけ回転)の場合は,

 R^ψ(r,θ,φ)=ψ(R-1)=ψ(r,θ,φ-ω) です。

 

 ところが,ψ(r,θ,φ-ω)

 =∑ν=0{(-ω)ν/ν!}(∂νψ/∂νφ)

=exp{-ω(∂/∂νφ)}ψ(r,θ,φ)ですから,

 

R^=exp{-ω(∂/∂νφ)}=exp(-iωL3^)と書けます。

何故なら,座標表示では,L3^=-i(∂/∂φ)であるからです。

 

 そこで,このケースでは,L3^が状態の波動関数を3軸(z軸)の

まわりにωだけ回転させる生成子となっています。

 

 一方,δωを無限小とすると,無限小Lorentz変換:

 x'μ=xμ+εμννとU(1+ε,0)=exp{-(i/2)εμνμν}

 =1-(i/2)εμνμνなる表現において,

 

 回転角がδωの純粋回転は,

 x'1=x1cos(δω)-x2sin(δω)=x1-x2δω,

 x'2=x1sin(δω)+x2cos(δω)=x1δω+x2 です。

 

 つまり,この無限小回転は,ε12=-δω,ε21=δω:

 ε12=-ε21=δω 以外のεμνが全てゼロの無限小Lorentz

 変換なので,

 

 対応するユニタリ変換は,U(δω)=U(1+ε,0)

 =1-(i/2)δω(1221) と書けます。

  

 これは,12=-21'=R,ただし=(r,θ,φ),

 '=(r,θ,φ+ω)なる変換に対して理論が不変になるよう,

  

 状態ψ()に変換:ψ() → ψ'()=U(δω)ψ()

 (UU=1)を生じさせるユニタリ演算子:U=U(δω)

 =1-iδωL3^の生成子L3^に対応することを意味します。

 

 上で,特別な回転軸として考えた3軸(z軸)は,通常の開放された

 等方的空間では座標軸を自由に取ることができるので,

 

 一般のケースには回転軸の向きを持ち大きさがδωのδω

 無限小 回転角ベクトルとしてU(δω)=1-iδωL^と書く

 ことができます。

 

 Heisenberg表示の任意の3次元の場の演算子をO^(,t)と

 書くと,回転R:’=Rに対する行列要素の不変性から,

 |ψ>を状態ベクトルとすると,

 <ψ|O^(,t)|ψ>=<ψ'|O^(',t)|ψ'> です。

 

 波動関数に対するユニタリ変換:ψ'()=U(δω)ψ()

 が状態ベクトルに対する変換:|ψ'>=U^(δω)|ψ>に

 起因する表現では,

 

 ψ'()=<|ψ'>=<|U^|ψ>

 =∫d3|U^|><|ψ>

 =∫d3|U^|>ψ() です。

 

 波動関数のユニタリ変換の微分演算子:U(δω)はU~(δω)

 を座標表示で対角化したときの対角成分と見なすことができます。

 

 つまり.<|U^|>=U(δω3()ですね。

  

 "理論の不変性=期待値の不変性":

 <ψ|O^(,t)|ψ>=<ψ'|O^(',t)|ψ'>

 =<ψ|U^O^(',t)U^|ψ> から,

 

 O^(,t)=U^O^(',t)U^,または

  ^(',t)=U^O^(,t)U^+ を得ます。

 

 抽象Hilbert空間における演算子:U^(δω)は,座標表示

 空間におけるU(δω)=1-iδωL^に対応するので,

 単に^をHilbert空間における演算子に読み直して同じ

 角運動量の記号を用いれば,

 

 O^(',t)-O^(,t)=-iδω[^,O^(,t)]

 を得ます。

 

 特に,δωが3軸x(z軸)のまわりの回転パラメータを示して

 いる場合には,右辺は-iδω[L^3,O^(,t)] です。

 

 このとき:x'1=x1-x2δω,x'2=x1δω+x2ですから,

 O^(',t)-O^(,t)

 ={x1(∂/∂x2)-x2(∂/∂x1)}δω

 と書けます。

 

 以上から,i[L^3,O^]=-x1(∂/∂x2)+x2(∂/∂x1)]

 です。

 

 同様な式が,L^1,L^2,についても成立することがわかります

 から,結局,

 

 i[L^k,O^]=-εklml(∂/∂xm)=εklml(∂/∂xm),

 または,i[M^lm,O^]=xl(∂/∂xm)-xm(∂/∂xl)

 が得られます。(注9-2終わり)※

 

 さて,μνがM^μνに等しいとする単純な角運動量テンソルへの」 

 同一視による交換関係の妥当性は,今のケースでは,Lorentz変換の

 下での不変性という追加要請をも満たすことをも意味します。

 

 これらは,μにおける場合と同じく,直接,陽にチェックできます。

 

 そして,現在の大部分の物理学で論じられている場の理論について

 は.LagrabgianによるアプローチとNoetherの定理が何の困難もなく

 直接に量子的領域にも適用されています。

 

 最後に,内部対称性変換φr^ → φr'^=φr^-iελrsφs^に対する

 量子論での不変性の要求は,

 

 <Φαr^(x)|Φβ

 =<Φ'αr^(x)-iελrsφs(x)|Φ'β

 =<Φα|U^(ε)r^(x)-iελrsφs(x)}U^(ε)|Φ'β

 

 です。

 

 これによって,

 φr^(x)=U^(ε)r^(x)-iελrsφs(x)}U^(ε),

  or U^(ε)φr^(x)U^(ε)=φr^(x)-iελrsφs(x)

 を得ます。

  

 そこで,U^(ε)≡1*iε^とおけるHermite演算子^が存在

 すれば,iε[^,φr^(x)]=-iελrsφs(x)となります。

 

 εの任意性から,[^,φr^(x)]=-λrsφs(x)を得ます。

 

(注9-3):内部対称性変換:φr →φr'=φr-iελrsφsは,場φr

 (r=1,2..N)を縦ベクトルで,φt12,..,φN)と表現し,

 Λをλrs(r,s=1,2..N)き成分とするN×N行列とすれば,

 

 φ φ'(x)=exp(-iΛε)φ(x)なる位相変換です。

 

 この対称性についてのこれまでの論旨は,εが有限パラメータ

 の場合の上記位相変換に対して成立する理論の不変性を,

 Lagrangian密度:f(φ,∂μφ)の不変性で表現し,

 特にεを無限小とした同値な接触変換を用いて論じている

 ものです。

 

 εが定数である場合のこうした変換を,第1種のゲ-ジ変換:

 (first-kind gauge transformation)と呼びます。

 

 一方,εが定数ではなくε(x)と局所的な時空点xに依存する

 場合の同様な位相変換:φ φ'(x)=exp{-iΛε(x)}φ(x)

 φ(x)-iε(x)Λφ(x),

  or φr →φr'=φr-iε(x)λrsφs第2種のゲージ変換と

 呼びます。

  

 第2種のゲージ変換の場合には,Lagrangian密度は,

 Lf(φ,∂μφ)という形の粒子場φ単独の形ではなく,ゲージ粒子

 と呼ばれる他の粒子場;(x)が混合され,それらの相互作用int

 を含んだ形の系全体のそれ:

   

 L(φ,∂μφ,,∂μ,)

 =f(φ,∂μφ)+a(,∂μ)

 +int(φ,∂μφ,,∂μ,)

 

 の形でなければ,元の粒子場の位相変換に対するLagrangian

 密度の不変性(=理論の不変性)が保たれないというものです。

   

 これは,現在よく知られているYang-Millsに始まるゲージ理論

 です。

 

 一般には第2種のゲージ変換を単にゲージ変換と呼ぶようですが,

 第2種のゲージ変換に対して理論が不変という対称性が成立する

 なら.特別な場合としてε(x)=ε(定数)の第1種のゲージ変換は

 必ず成立して,粒子単独のNoether保存量が定義できます。

 

 (※しかし,逆に第1種のゲージ変換不変性が成立しても,第2種の

 不変性は必ずしも成立しないのはもちろんです。)

 

 ε(x)=ε(定数)は局所的な時空点xによらず時空の大域的領域を

 カバーするので第1種のゲージ変換不変性を大域的対称性よ呼び,

 他方,第2種のそれを局所的対称性と呼ぶこともあります。

 

 この当たりの対称性,期待値の対応原理による古典論でのNoetherの

 定理の量子論への拡張等について,サラリと理解して通過したよう

 に見えますが,実際にはこれらに初めて接した当時には,数学ではな

 く物理的な意味で,スッキリとは理解できず,

 

 院に入学当時に研究室用図書館から,L,Fonda and G.C.Ghirardy著

 の「SymmetryPrinciples in Quantum Physics」という書を見つけ

 出して本当に熟読しました。

  

まあ,その当時は物理学そのものを初めて真面目に勉強した頃で,

その最初に出会ったのが参考文献のテキストでした。

 

このBjorken and DrellのField(場の理論)に遭遇して後に,逆に

これが,テキスト:Mechanics(力学)の続きであることを知ったの

で,その当時,全くチンプンカンプンの手探りであったのは尚更で

したが。。。

 

この対称性の部分は,学生を卒業(修了)後に東京で普通に会社に

就職した後もスッキリせず,

先の「SymmetryPrinciples in Quantum Physics」を新宿の紀伊国

屋書店で注文して,船便で1ヶ月くらいで届いた後に改めて熟読を

続けてある程度の理解に達したという経緯があります。

  

私が躓いたことに関係する部分は,その書ではほんの数ページだけ

で,他の部分の変換群の既約表現,や超選択則等から貴重な知見を

得ました。

   

私の認識能力の閾値(threshold)は,他の多くの方々より,かなり低い

みたいで,色々なコトを学んでも一向に変化上昇せず,今だに1個と

1個で2個になる,というレベルまで降りないとスッキリしないの

は困ったもんですね。

  

こうした理由で,たった1行わからず,ささやかな自己満足のため,

ときどき数年を棒に振っています。

  

冗長な余談失礼しました。(注9-3終わり※) 

    

§1.5 他の定式化(Other formalisms)

 

 これまでの与えられた処理手法は,場の正準方程式と正準交換

 関係を導出するためチェックするものとして,古典論から得た

 Lsgrangian(密度)を用いています。

 

 そうして,場の方程式とその解,そして正準交換関係と系の状態

 の性質との中という意味で,物理学が存在していることを強調

 しておきます。

  

 しかしながら,理論を初めから量子論の作用原理によって定式化

 することも可能です。

 

そうした理論では,Lagrangianはさらに中心的役割を果たします。

 

この有力な,しかし抽象的なアプローチと局所的な場の理論は,

種々の文献の中,特にSchwingerによって主体的に議論されてい

ます。

 

逆に,Lagrangianを使わずに理論を定式化することもできます。

 

公理論的意味での一般的アプローチは,

LSZ(Lehman- Synmanzik.Zimmerman)によって与えられて

います。

  

(※ただし,この最後のセクションの文章は単なる参考文献テキスト

の直訳で,著者Bjorken & Drellが,当時の状況を延べたものです。)

 

参考文献のテキストでは,これで§1と第1章は終わりです。

 

次では具体的話に入っていきます。

 

第2章の題は,Klein-Gordon field(クライン・ゴルドン場)で,

§2.1 Quantization and Particle-(量子化と粒子解釈)から

始まります。

 

次回からのこのシリーズでは,これらを解説することから始める

予定ですが,今日のところはキリもいいのでここで終わります。

 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields"(McGrawHill)

 

PS:私のブログのコメント欄で不毛な(私はハゲですが)論争が

されているようですが,できたらやめてくださいね。

 

恐らく片方は掲示板的なところに書くこと自体に不慣れなので.

話し言葉と書き言葉が違っています。

 

(面と向かって話すのとは違って書いてもスグに反応,返答を期待

できないし,今か今かと掲示板を見ても何もなかったり。。)

 

実際に相手が目の前にいて話していると思って書いてください。

 

論破とか,なんとかは。。。元々自然科学向きではないですが。。

 

また,知ってるとか知らないとかの水掛け論も,ナンダカなあ。。

知らなければ調べればいいだけのことですし。。

  

まあ,善悪,美醜,正否にしても相対的価値観だろうし.何らかの

普遍的な上下,優劣の絶対的価値判断の基準があるとしても,

不完全な人間の認知するところではないでしょう。

  

とにかく,論争の勝敗で結果が決まるようなモノは,何だか悲しいし

空しいです。

 

相対論や,量子論,一般的にむずかしい理論かも知れませんから

私のアインシュタインetcからの多くの人のリレーで伝聞した

"パクリ=学び"も正しいパクリではなく間違っているかも知れ

ませんが,所詮はパクリです。

  

パクリ方の正しさで自慢したり,けなしたりしてもいいでしょう

し,そうした自己主張,自己顕示で論争できる元気があること自体,

  

もうヨモヨボで棺桶に足が1本半まで入っている死に損ないの

クソジジイの自分には,ある意味うらやましい限りです。

 

私には,コメントを削除したり交通整理で沈静化させたりするよう

な趣味はないので放置プレイですが,ここは掲示板じゃなく個人の

ブログなので適当なところで一方がシカトしてください。

 

私への批判,中傷等であっても不毛と感じたら元々シカトしてます。

  

長い主張をしたければ,自分でブログやホームページを開いて書く

のも1つの便法です。

 

不毛でなければ地獄の底まででもお相手しますが。。。

 

何しろ,私はヨボヨボで。。

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114 . 場理論・QED」カテゴリの記事

コメント

=1-(i/2)δω(M12-M121) → =1-(i/2)δω(M12-M21)
M12=-M121 → M12=-M21
=Lf(φ,∂μφ)+Lf(A,∂μA) → =Lf(φ,∂μφ)+La(A,∂μA)

投稿: hirota | 2013年3月 9日 (土) 22時05分

そういえば、
http://aurasoul.mb2.jp/_grn/1545.html
http://aurasoul.mb2.jp/_tetsugaku/650.html
は完全に独り言になってましたが、どなたか親切に誤りを訂正していただける方が現れる事をお待ちしております。
I'm waiting for the advent of a kind person who knows everything of truth and revises my misunderstandings.

投稿: 凡人 | 2012年4月 5日 (木) 01時39分

 ども凡人さん。。TOSHIです。

 ミスのご指摘ありがとうございます。

 みっともないのでご指摘のものや気づいたミスは直しておきました。

 この記事シリーズのの(8)では,hirotaさんにもご指摘頂きましたが,

 自己満足だけでなく,何人かは読者がおられると思うので後からでもよく読み返して編集しないとダメですが

 少し.個人的野暮用で(主に動けなくなってきている自分用に部屋の模様替え)で,バタバタしておりました。
 
 また,論争か?独り言か?については,まあそうした表現が曖昧でよくわからない文章という感想はありますね。

 それらは,このブログでのコメントですが,自分に向けられた言ではないと思います。
>hirotaさん。凡人さん

投稿: TOSHI | 2012年4月 4日 (水) 09時09分

>一般には第2種のゲ^ジ変換を単にゲ^ジ変換と呼ぶようですが,第2種のゲ^ジ変換に対して理論が不変という対称性が成立するなら.
は、
>一般には第2種のゲージ変換を単にゲージ変換と呼ぶようですが,第2種のゲージ変換に対して理論が不変という対称性が成立するなら.
ではないでしょうか?

投稿: 凡人 | 2012年4月 2日 (月) 23時46分

hirotaさん、「独り言」と言えば、
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log09086.html
のNo.9105とか、
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log09052.html
No.9111,9115,9140とかいうのがありましたね。
誰かさんがhirotaさんのコメントを消したみたいなんで、私が独り言を言っているように思われるかもしれませんが・・・

投稿: 凡人 | 2012年4月 2日 (月) 00時12分

論争って、あったっけ?
誰が相手なのか、何の話なのか不明なコメントが連なってたけど、論争じゃなくて独り言では?
folomyも、独り言で埋まってたから見に行ってないなー。

投稿: hirota | 2012年4月 1日 (日) 13時00分

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