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2012年4月 3日 (火)

相対論的場の量子論(正準定式化)(10)

 相対論的場の量子論の続きです。

 

(※考えてみると,ブログ記事の新規投稿は3月28日以来で4月になって

 初めてですね。6日くらいも書かない日が経過してました。※)

  

 具体的な粒子場の中で最も簡単な自由スカラー粒子のKlein^Gordon

 場の章に入り,その解説を始めます。

 

2章 The Klein-Gordon Field(クライン;ゴルドン場)

§2.1 Quantization and Particle Interpretatuon

  (量子化と粒子解釈)

 

自由Klein-Gordon方程式:(□+m2)φ^(x)=0 に従う

実スカラー場φ^から考察します。

 

ただし,□はD'Alwmbertian(ダランベルシャン)と呼ばれる

微分演算子であり,□≡∂2/∂t2-∇2=∂μμ

=∂2/∂xμ∂xμで定義されます。

 

 この方程式に従う単一場は,あらゆる粒子場のうちで最も単純で,

 既に部分的には実例として考察しました。

 

 作用原理δI=δ∫4x=0 から導かれる

 Euler-Lagrange方程式:/∂φ^-∂μ{∂/∂(∂μφ^)}=0

 が,上記の自由 Klein-Gordon方程式に一致するLagrangian密度は,

  

 =(1/2){(∂φ^/∂xμ)(∂φ^/∂xμ)-m2φ^2}

 =(1/2)(∂μφ^∂μφ^-m2φ^2) 

 で与えられます。

 

 このLagrangian密度から得られるφ^の共役運動量

 (conjugate momentum)は,π^=∂/∂(∂0φ^)=∂0φ^

 =φ^d≡∂φ^/∂tです。

 

(注10-1):実際,(□+m2)φ^(x)=0 が導出される変分原理は,

 δI=∫t1t2(□+m2)φ^(x)δφ^d4x=0 で与えられます。

 

具体的には,境界条件:δφ^(,t1)=δφ^(,t2)=0,かつ,

δφ^(±∞,t)=0 の下で,

 

t1t2dt∫d3(∂μμ+m2)φ^δφ^=0 です。

 

ところが,

 

t1t2dt∫d3(∂μμφ^)δφ^

=∫d4x(ημνμνφ^)δφ^

 

∫d3μνμφ^δφ^]ν-超平面境界

-∫d4x(ημνμφ^)(∂δφ^/∂xν)

 =-∫d4μνμφ^)(∂δφ^/∂xν)

 

 であり,

 

 さらに,

 最右辺=-(1/2)∫d4x{ημν(∂φ^/∂xμ)δ(∂φ^/∂xν)

 +ηνμ(∂φ^/∂xν)δ(∂φ^/∂xμ)}であって,ημνは対称

 テンソルですから,

  

結局,∫t1t2dt∫d3(∂μμφ^)δφ^

 =-(1/2)∫d4xδ{(∂φ^/∂xμ)(∂φ^/∂xμ)}

 =-(1/2)δ∫(∂μφ^∂μφ^)d4x です。

 

他方,∫d4x(m2φ^δφ^)= (1/2)δ∫(m2φ^2)d4x です。

  

したがって,∫t1t2∫d3(∂μμ+m2)φ^δφ^=0 は,

δ∫(1/2)(∂μφ^∂μφ^-m2φ^2)d4x=0

を意味します。

 

これを作用原理:δ∫4x=0 と同一視して,Lagrangian

密度(1/2)(∂μφ^∂μφ^-m2φ^2)としてよい,

ことがわかります。

 

逆に,≡(1/2)(∂μφ^∂μφ^-m2φ^2)とすれば,

作用原理:δ∫4x=0 から従うEuler-Lagrange方程式:

/∂φ^-∂μ{∂/∂(∂μφ^)}=0 は,

 

/∂φ^=-m2φ,および,∂μ{∂/∂(∂μφ^)}

=∂μμφ^により,μμφ^+m2φ^=0 : 

つまり,Klein-Gordon方程式:□+m2)φ^=0 に帰します。

 

(注10-1終わり※)

 

さて,正準量子化手法によれば,π^とφ^は任意のLorentz準拠系

の上で,

 

同時刻交換関係:

[φ^(,t),φ^(,t)]=[π^(,t),π^(,t)]=0,

および,[π^(,t),φ^(,t)]=-iδ3() 

を満たすHermite演算子です。

 

 Lagrangian密度:=(1/2)(∂μφ^∂μφ^-m2φ^2)

 に従って,場の方程式(□+m2)φ^=0 と共役運動量:

 π^=φ^d=∂φ^/∂tを持ち,

 

さらに同時刻交換関係:

[φ^(,t),φ^(,t)]=[π^(,t),π^(,t)]=0,

および,[π^(,t),φ^(,t)]=-iδ3() 

が与えられれば,

 

平行移動の生成子(generators):P^μ,および,Lorentz変換の

生成子:M^μνが,それぞれ,次の交換関係:

 

i[P^μ,φ^(x)]=∂φ^/∂xμ,および,

i[M^μν,φ^(x)]=xμ(∂φ^/∂xν)-xν(∂φ^/∂xμ) 

を満たすことを,直接の計算で確かめることによって,

 

この実スカラー場の理論が時空座標の平行移動,Lorentz変換

に対して不変であること,を証明することが可能です。 

 

 まず,以前に与えた平行移動対称性の生成子であるNoether保存量

 としてのエネルギー・運動量演算子P^μの表現を,この1自由度

 の実スカラー場に適用します。

 

今の場合,これは,P^μ=∫d3^

=∫d3ημρ[π^(∂φ^/∂xρ)-η]

です。

 

まず,エネルギーは,

P^0=H^=∫d3[π^(∂φ^/∂x0)-]

=∫(π^,φ^)d3です。

 

ただし,(π^,φ^)≡π^(∂φ^/∂x0)-

π^φ^dです。

 

Hamiltonian密度:(π^,φ^)の表現をさらに変形すると,

 H(π^,φ^)=π^φ^d-(1/2){(φ^d)2-(∇φ^)2-m2φ^2}

 =(1/2){π^2+(∇φ^)2+m2φ^2} となります。

 

座標変数を陽に書けば, 

(π^,φ^)

=(1/2)[π^(,t)2+{∇φ^(,t)}2+m2φ^(,t)^2]

です。

 

また,運動量は^=(P^1,P^2,P^3)

=-∫d3 π^∇φ^ です。

 

そこで, 

[P^0,φ^(,t)]

(1/2)∫d3[π^(,t)2,φ^(,t)]

(1/2)∫d3[{yφ^(,t)}2,φ(,t)]

(1/2)∫d3[2φ^(,t)^2,φ^(,t)]  

 なる表現式に,上記の正準交換関係を実際に適用すれば,

 

 [π^(,t)2,φ^(,t)]

 =π^(,t)[π^(,t),φ^(,t)]

 +[π^(,t),φ^(,t)]π^(,t)

 =-2iδ3()π^(,t),

  

[{∇yφ^(,t)}2,φ^(,t)]

=∇yφ^(,t)[∇yφ^(,t),φ^(,t)]

 +[∇yφ^(,t),φ^(,t)]∇yφ^(,t) で,

 

[∇yφ^(,t),φ^(,t)]=∇y[φ^(,t),φ^(,t)]=0 ,

  

 故に,[{∇yφ^(,t)}2,φ^(,t)]=0 なので,

 

[P^0,φ^(,t)]=-i∫d3δ3()π^(,t)

=-iπ^(,t)

 

つまり,i[P^0,φ^(,t)]=π^(,t)=φ^d(,t)

=∂φ^/∂x0 を得ます。

 

一方,^=(P^1,P^2,P^3)=-∫d3 π^∇φ^なので,

 

[P^k,φ^(,t)]

=-∫d3[π^(,t)∂φ^(,t)/∂yk,φ^(,t)]

 =-∫d3[π^(,t)∂φ^(,t)/∂yk,φ^(,t)]

 =-∫d3[π^(,t)φ^(,t)]∂φ^(,t)/∂yk

 =i∫d3δ3()∂φ^(,t)/∂yk=i∂φ^/∂xk

 

 です。

 

故に,

i[P^k,φ^(,t)]=-∂φ^/∂xk=∂φ^/∂xk

が得られます。

 

そこで,i[P^μ,φ^(x)]=∂φ^/∂xμ なる要請は確かに成立

しますから,P^μを平行移動の生成子として理論の平行移動に

対する不変性を得ることができます。

 

 また, 同様に,角運動量M^μνは,

^μν=∫d30μν

=∫d3(xμx-xνπ^rΞμνrsφ^s)

ですが,

 

これは,自由度1の実スカラー場ではΞμνrs=0 なので,

M^μν=∫d3(xμ-xν) と書けます。

 

ただし,=ηλρηρν

=η[{∂/∂(∂λφ^)}ρφ^-ηλρρν 

 

つまり,π^νφ-ηL です。

 

そこで,μ=νなら,

M^μν=∫d3(xμ-xν)=0

ですから,

 

この場合,明らかに,i[M^μν,φ^(x)]

=xμ(∂φ^/∂xν)-xν(∂φ^/∂xμ)=0

が成立します。 

 

また,M^0k=∫d3(x00k-xk00)

=∫d3{x0π^kφ^-xk(π^φ^d)}

=∫d3{x0π^kφ^-xk(π^,φ^)} より,

 

[M^0k,φ^(,t)]

=∫d3[-y0π^(,t){∂φ^(y)/∂yk},φ^(,t)]

(1/2)∫d3[kπ^(,t)2+yk{∇yφ^(,t)}2,φ^(,t)]

-m2(1/2)∫d3[ykφ^(,t),φ^(,t)]

 

i∫d3[y0δ3(){∂φ^(,t)/∂yk}

+ykπ^(,t)δ3()]

 

i[x0{∂φ^(,t)/∂xk}+xkπ^(,t)] 

 

です。

 

よって,[M^0k,φ^(,t)]

=x0{∂φ^(,t)/∂xk}-xk{∂φ^(,t)/∂x0}

 

を得ました。

 

さらに,M^ij=∫d3(xi0j-xj0i)

=∫d3(xiπ^jφ^-xjπ^iφ^)

ですから,

 

[M^ij,φ^(,t)]

=∫d3[-yiπ^(,t){∂φ^(y)/∂yj},φ^(,t)]

-∫d3[-yjπ^(,t){∂φ^(y)/∂yi},φ^(,t)]

i∫d3[yiδ3(){∂φ^(,t)/∂yj}

-yj{∂φ^(,t)/∂yjδ3()}

 

i[xi{∂φ^(,t)/∂xj}-xj{∂φ^(,t)/∂xi}

 

です。

  

よって, 

i[M^ij,φ^(,t)]

=xi{∂φ^(,t)/∂xj}-xj{∂φ^(,t)/∂xi}

も得られました。

  

そこで,

i[M^μν,φ^(x)]

=xμ{∂φ^(x)/∂xν}-xν{∂φ^(x)/∂xμ}

が確かに成立しますから,

 

M^μνをLorentz変換の生成子として,Lorentz変換に対する理論

の不変性を保つ量子化を得ることができます。

 

次に,更なる量子化されたKlein-Gordon場の性質を論じるために,

交換子によって指定される場の演算子の代数から,

 

状態ベクトル:Φの完全系(complete-set)を構成することを

考えます。

 

エネルギー・運動量の固有状態を作ることで,これを実行する

ことができます。

 

 この目的のため,Klein-Gordon方程式の全ての解は,平面波基本解

 のFourier積分展開で表現されることを見ます。

 

まず,(□+m2)φ^(x)=0 ,つまり∂μμφ^+m2φ^=0 ,

or ∂2φ^/∂t2=∇2φ^-m2φ^の平面波解で,かつ,

 

エネルギー・運動量の固有値としてkμ=(k0,)を持つ固有関数

を求めます。 ただし,k0=ω≡(2+m2)1/2> 0 です。

 

この正エネルギーk0=ω≡(2+m2)1/2を持つ平面波固有関数

k(x)とおけば,

 

 i∂fk(x)/∂xμ=kμk(x)ですからCを積分定数として

 fk(x)≡Cexp(-ikx), or

 fk(,t)≡Cexp(ikx-ik0t) です。

 

 ただし,k0=ω(2+m2)1/2です。

  

(x)の複素共役を取れば,f(x)=f(,t)

=Cexp(ikx)=Cexp(-ikx+ik0t) ですが,

 

これも方程式:(□+m2)f(x)=0 を満足します。

 

i∂f(x)/∂xμ=-kμk(x)ですから,

これは,エネルギー・運動量固有値:-kμ=(-k0,-)

を持つ負エネルギーの平面波解です。

 

Cがゼロでない複素数である限り,平面波の絶対値の2乗は正の

定数|C|2なので,それをの全空間で積分すると無限大に発散

するため,そのままでは規格化は不可能です。

 

しかし,∫d3xfk'(,t)fk(,t)

=∫d3|C|2exp{i('-)}

(2π)2|C|2δ3('-)  なので,

 

C≡(2π)-3/2(2ω)-1/2と定義して,

∫d3k'(,t)fk(,t)=(2ω)-1δ3('-)

となるようにします。

 

すなわち,fk(x)=(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(-ikx)

とします。

 

このfk(x)で実スカラー場:φ^(x)を展開すると,展開係数は

演算子でありφ^(x)は実スカラー場,つまりHermitianなので,

 

φ^(x)=φ^(,t)

=∫d3{a^()fk(x)+a^()fk(x)}

=∫d3.(2π)-3/2(2ω)-1/2[a^()exp{i(kx-ωt)}

+a^()exp{-i(kx-ωt)}] 

という形になります。

 

ただし,ω≡(2+m2)1/2です。

  

古典論として考えると,a^()はa^()の複素共役ですが,

場の量子論では,a^()はa^()のHermite共役演算子です。

 

そして,演算子:a^()とa^()の代数は,

 

φ,π^の正準同時刻交換関係:

 [φ^(,t),φ^(,t)]=[π^(,t),π^(,t)]=0,

 および,[π^(,t),φ^(,t)]=-iδ3()を,

 

展開係数a^().a^()によって書き直すことで得られます。

 

長くなったので,ここで一休みして続きは次回です。

 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields"

(McGrawHill)

  

(追伸):4月2日には職場の少し早いお花見で,千鳥が淵を散策して

 きました。お昼頃でやっと1分咲きくらいだったでしょうか。。

  

 本日4月4日(水)(おカマの節句?)は,普通にお仕事に行って

 くる予定ですが,5,6日は連休を取り,福島の会津若松に行って

 ボランティアのまねゴトをしてくる予定です。

 

 6日の朝には,大熊町から避難してきて会津若松の仮設住宅に

 おられる方達の前で,知人の三線(サンシン(空き缶で手作りの

 カンカラ三線))の演奏に合わせ,(← 演奏の方がメインですが)

 

「安里屋ユンタ」,「十九の春」など沖縄の唄を歌ってきます。

 

 お金がなくて,何もアゲラルモノを持たないし,労働をしても,

 恐らくは,むしろ足手まといであろう私(達)に,当座できること

 は,これくらいのコトでしょうか。。

 

 相方が申し込んだらしいのですが.声が小さいので,声だけは

 デカく て押しが強く,アカペラでも唄える私がボーカル

 ということで助太刀して,2ん共沖縄人ではないですが,

 グループ名は相談で「カンカラ沖縄」としました。

    

 歌手じゃない(カスです)し,ドラエモンの「ゴーダ・タケシ」くん

 のワンマンショーのようにならないように,

 

 日頃の飲み屋でのサクラ,タイコモチなどの才能?を生かして,

 誰か1人でも元気付けられたらいいかな,なんて。。。

   

 実は,相方は女性で一人だけでやるようなボランティアを申し込む

 など,イイコトだからやろうと思ったらそのまま進むという,とても

 行動的で優しいのはいいのですが,

   

 私は,それほど彼女のことは知らない(カレシはいるらしいのですが)

 単なるBF(ジジF)の一人ですが,

 

 体もハートも弱いみたいだし,人前で演奏したりして大丈夫かな?

 と,スケベ心よりも親心で行く気になりました。 

 (※私は人畜無害です。。。) 

  

 相方は今日4日のうちに,もう現地付近で観光をしてるらしいのです

 が,私は明日5日の朝に出るJR関東バスを昨日予約したので,バス

 の時刻表は当てになりませんが,予定通り着くなら会津若松には丁度

 お昼12時頃着きます。

  

 一泊ですが,宿は行き当たりバッタリです。

 

 普通の旅館やホテルでは,お金が足りなければカプセルでもサウナ

 でもネット喫茶でもあるだろうし。。

  

 予約したバスは,格安の2980円ですがJRなので身障者は半額

 (もしも付き添い1人いたら2人共半額)なので,

 往復でも約3000円です,

 

 往復で.せいぜい巣鴨でよく行くスナックの私の平均の飲み代

 程度です。

 

 JRの電車で行っても片道約5000円です。

  

 これも100kmを超える行き先なら運賃半額なので片道2500円ですが,

 それでもバスの方が安いですね。。(特急,急行券は割引無いです。)

 

 そろそろ出勤なので。。。またネ。

 

PS2:今,4月4日の夜19時自宅です。

  

 JR関東バスから来ていた自動配信メールを読むと,

 

 どうも上記の格安予約乗車券は今日4日の営業中に,料金を支払う必要

 があり,それを過ぎると無効らしいです。

 

 まだ,関東バスの営業時間中に,身障者割引が可能かどうかを,メールに

 書いてある電話番号に問い合わせ電話をかけると,,機械音で,

 「ビジーなのでかけ直してください。」という内容のメッセージの連続で,

 そのうち,営業時間終了になりました。

 

 "ま,いっか"ってことで,鈍行電車で普通に郡山経由でゆっくりと行くことに

 ,予定を変更します。

  

 片道2500円でも,いいや。。無料の「駅すぱあと」で見ると,最短で3時間

 行けるらしいです。

  

 予め予約をする必要もないし朝9時前に巣鴨から池袋経由でも上野経由

 でも,,王子駅に朝8時出発予定のバスと同じ12時頃に到着ですから。

 

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コメント

=∫d3x[ημν∂μ∂νφ^)δφ^]境界 → =ημν∫d3x[(∂μφ^)δφ^]ν境界
=∫H(π\,φ^)d3x → =∫H(π^,φ^)d3x
=φ^d(x,t)] → =φ^d(x,t)
M^μν=∫d3xM00μν → M^μν=∫d3xM0μν
-m2(1/2)∫d3y2[ykφ^(y,t),φ^(x,t)] → -m2(1/2)∫d3y[ykφ^(y,t)2,φ^(x,t)]
よって,1[M^0k,φ^(x,t)] → よって,i[M^0k,φ^(x,t)]

投稿: hirota | 2013年3月 8日 (金) 00時34分

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