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2012年4月10日 (火)

相対論的場の量子論(正準定式化)(11)

またまた,間が空きましたが,相対論的場の量子論の続きです。

 

前記事では,

 

実(Hermitian)のKlein-Gordon方程式に従う単一のスカラー場

の演算子φ^(x)のFourier積分展開による表現が,

 

エネルギー・運動量固有値として,kμ=(k0,);

0=ω≡(2+m2)1/2)を有する

Klein-Gordon方程式の正エネルギー平面波解:

k(x)=(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(-ikx),

 

および,負エネルギーの固有値:-kμ=(-k0,-)

を有する,その複素共役の平面波解:

k(x)=(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(ikx)によって,

  

演算子の展開係数:a^(),a^()を持つ表現で次のように

なることを見ました。

 

すなわち,φ^(x)=φ^(,t)

=∫d3{a^()fk(x)+a^()fk(x)}

=∫d3(2π)-3/2(2ω)-1/2[a^()exp{i(kx-ωt)}

+a^()exp{-i(kx-ωt)}] です。

  

これから,

∫d3k(,t)φ^(,t)

=(2ω)-1{a^()+a^(-)exp(2iωt)}.

 

および,∫d3k(,t)φ^d(,t)

 =(-i/2){a^ ()-a^(-)exp(2iωt)}

 です。

 

 ただし,φ^d(,t)≡∂φ^(,t)/∂tです。

 

 故に,a^()=∫d3k(,t){ωφ^(,t)+iφ^d(,t)}

 と書けます。

 

 ところで,k(,t)=(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(-ikx+iωt)

 より,i∂k(,t)/∂t=ωk(,t)です。

  

そこで,a^()

=i∫d3{k(x)(∂φ^/∂t)-(∂k/∂t)φ^(x)}

 なる表現を得ます。

 

 任煮の2つのtの関数a(t),b(t)に対して.記号:∂0を,

 a(t)∂0b(t)

 ≡a(t){∂b(t)/∂t}-{∂a(t)/∂t}b(t)

 によって定義すれば,

 

 a^()=i∫d3{fk(,t)∂0φ^(,t)}

 と簡単な表現になります。

 

(※ この記号:∂0は以前の2010年6/27の記事:

場理論におけるS行列とLSZの公式(1)」でも用いました。

 これは,以下,2010年7/6の記事:

場理論におけるS行列とLSZの公式(5)]まで,

 シリーズとして続いています。

 実は(5)は摂動論について記述しており,本題のLSZの公式の

 記述をしているのは(4)です。※)

 

(※注11-1):∫d3k(,t)φ^(,t)

 =(2π)-3∫d3'(4ωω')-1/2∫d3

 [a^(')exp{-i(')+i(ω-ω')t}

 +a^(')exp{-i(')+i(ω+ω')t}]

 

 =∫d3'(4ωω')-1/2[a^(')δ(')exp{i(ω-ω')t}

 +a^(')δ(')exp{i(ω+ω')t}]

 =(2ω)-1{a^()+a^(-)exp(2iωt)} です。

 

 また,φ^d(,t)≡∂φ^(,t)/∂t

 =-i∫d3(2π)-3/2(2ω)-1/2ω[a^()exp{i(kx-ωt)}

 -a^()exp{-i(kx-ωt)}] ですから,

 

 ∫d3k(,t)φ^d(,t)

 =-i(2π)-3∫d3'(4ωω')-1/2ω'∫d3

 [a^(')exp{-i(')+i(ω-ω')t}

 -a^(')exp{-i(')+i(ω+ω')t}]

 

 =(-i/2)∫d3'(ω')1/2[a^(')δ(')

 exp{i(ω-ω')t}-a^(')δ(')exp{i(ω+ω')t}]

 =(-i/2){a^()-a^(-)exp(2iωt)}

 を得ます。

 

(注11-1終わり※)

 

ところで,a^()=i∫d3{fk(,t)∂0φ^(,t)}

の左辺はのみの関数のはずですが,これの右辺は一見したところ

ではtの関数の形をしています。

 

 しかし,fk(,t)とφ^(,t)が共にKlein-Gordon方程式の解

 なのでGreenの定理を用いて右辺がtに依存しないことを示すこと

 ができて,これは問題ないことがわかります。

 

(※注11-2):a^()=i∫d3{fk(,t)∂0φ^(,t)}

 =i∫d3{fk(x)(∂φ^/∂t)-(∂fk/∂t)φ^(x)}

 なので,

 

∂a^()/∂t

i∫d3{fk(∂2φ^/∂t2)-(∂2k/∂t2)φ^}

 ですが,

 

(□+m2)φ^=∂2φ^/∂t2-∇2φ^+m2φ^=0 より,

2φ^/∂t2=(∇2+m2)φ^です。

 

同様に∂2k/∂t2=(∇2+m2)fk* です。

 

それ故,Greenの定理を用いることができて,

  

∂a^()/∂t=i∫d3{fk2φ^-(∇2k)φ^}

i∫d3[∇{fk∇φ^-(∇fk)φ^}

-(∇fk)(∇φ^)+(∇fk)(∇φ^)]

 

i∫d3[∇{fk∇φ^-(∇fk)φ^}]

i∫d2{fk∇φ^-(∇fk)φ^}

です。

 

最後の表面積分は半径:R=||=∞ の球面で行なうので, 

 |∂a^()/∂t|

≦limR→∞[(4πR2)max|x|=Rk∇φ^-(∇fk)φ^|] 

です。

 

||=∞では場はゼロ:φ^(,t)=0 と仮定していますが,

さらに,R=||~∞で,|fk∇φ^-(∇fk)φ^|≦O(R-3)

なら,(4πR2)max|x|=Rk∇φ^-(∇fk)φ^|≦O(1/R)=0

なので,

 

∂a^()/∂tを表わす式の右辺はR→∞でゼロとなります。

 

そうして,∂a^()/∂t=0 により,a^()は確かにtに独立

であることが示されます。

 

|fk|=(2π)-3/2(2ω)-1/2,|∇fk|=(2π)-3/2(2ω)-1/2||

で,これらはRには無関係ですから,

 

R=||~∞ での被積分関数の絶対値:

|fk∇φ^-(∇fk)φ^|のオーダーはφ^(,t)のそれで

決まります。 

 

これは理論が無矛盾であるためには必要なことなので,無限遠方

でのφ^のオーダーはa^()がtに依存しないようなオ^ダー

であると仮定しておきます。

 

(注11-2終わり※)

 

^()=i∫d3{fk(,t)∂0φ^(,t)}なる形は,以前に

伝播波関数(propagaator)について議論したときに遭遇した内部積

を思い起こさせます。

 

さて,φ,π^の正準同時刻交換関係:

 [φ^(,t),φ^(,t)]=[π^(,t),π^(,t)]=0,

 および,[π^(,t),φ^(,t)]=-iδ3()と,

 

 a^()=i∫d3{fk(,t)∂0φ^(,t)}から,

 a^()の交換関係を導くことができます。

 

すなわち,まず,

[a^(),a^(')]

=∫d33[{fk(,t)∂0φ^(,t)},

{f(,t)∂0φ^(,t)}] 

=i∫d3k(,t)∂0'(,t)

 =δ3(') です。

 

同様にして,[a^(),a^(')]=[a^(),a^(')]=0

が得られます。

 

科学記事の草稿を作るスピ-ドは最近,遅くなってきていることも

あり,記事をアップする間があまり長くならないよう短く区切るこ

とにしして,ここでまた一休みです。

 

余談ですが,昨晩,テレビのクイズ番組を見ていると,speedの日本語

訳の解答が速度であるとしていました。

  

一般常識としては速度も速さも同義でしょうから,別に間違いでは

ないでしょうが,

 

理系用語としてこまかい重箱の隅をつつけば,速度はvelocityであり

一方,speedは速さでしょう。

 

何が違うかといえば,速度は向きも含んだ概念で,一方,速さは

運動がどちら向きとかには関係のない速度の大きさだけを示す

概念ですね。

 

(↑ またまた,どうでもいいのに,ヒマ人だなあ。。>自分)

 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill)

 

PS:,東北では,よせばいいのにエラソウに,

 

 「年齢がいくつになっても遅すぎるとか,手遅れということはない,,

 また,たとえ体に障がいがあっても必ずしもあきらめることはない

 ,夢を持って何かをやれば今からも達成できるカモ。。」

 

 というような説教めいたことを言って,昔,ニュースで見た中国の両手が

 不自由で足でピアノを弾く人の話をしました。

 

 これ,実は私自身に対するハゲまし,でもあります。

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114 . 場理論・QED」カテゴリの記事

コメント

おお,謙信。。なつかしい。TOSHIです。

 15年か20年前になるかねえ。

 湯河原でしげちゃんともども一緒に将棋合宿でお泊りオフで会ったのは婚約か結婚をしたばかりのころでしたかね。(「暁の信公」と接近遭遇)

 12~13年前,大阪は生野区の次兄夫婦のうちに行き3日ほど滞在して,通天閣の中の「三桂」という道場で遊んだりしたとき,

 名刺もらったのを思い出して連絡取ろうとして失敗したこともありました。

 だいぶ年を食って多弁になり,mixで発見して10年ぶりに会ったEcQさん,ナンボクさんたちもあきれてました。

 風貌も性格も変人そのもおなので会うとびっくりしますが近くにいるならぜひ会いたいですね。

 私のPCのメアドは*****@*****です。

 私つくづくバカですね。

 私のメアドを公開してメールをもらわなくても,ここのコメントにメアドが書いてあれば私だけにはわかるのでした。。

            TOSHI

投稿: TOSHI | 2012年4月10日 (火) 16時40分

師匠、こんにちは。
本当にお久しぶりです。
(かれこれ20年ぶりくらい?)

ネットをさまよううちに、偶々師匠の
HPを見つけて、思わず懐かしくて書き込み
してしまいました。

相変わらず将棋も指しておられるようで。
私は師匠に鍛えてもらった頃からさっぱり
強くなっていませんが。(苦笑

今私は東京に住んでいますので、出来れば
一度酒でも御一緒したいですね。
どうやって連絡取ればよろしいでしょうか?
(メアドをここに載せれば大丈夫ですか?)

投稿: 上杉謙信 | 2012年4月10日 (火) 15時39分

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