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2012年8月

2012年8月31日 (金)

相対論的場の量子論(正準定式化)(21)

Klein-Gordon方程式に従うπ中間子の量子力学について言及してい

なかったことが気になって,相対論的量子力学に寄り道しましたが,

ここでまた相対論的場の量子論の続きに立ち帰ります。

 

これ以後は,両方のシリーズを並行してアップしていく予定です。

 

相対論的量子力学のシリーズでは,私が学んで記事の種ノートを作成

した時代が古いので,現在書いている強い相互作用では湯川相互作用

  

それに,続く予定の弱い相互作用では,V-A current,

つまり,(極性ベクトル)-(軸性ベクトル)のcurrent相互作用

によるFermi理論紹介になりますが,歴史的,古典的な古いモノ

も現在の理論の一つの糧になると思います。

  

さて本題に入り,前回8/3の記事)の予告通りDirac場の量子化です。

 

 第3章 Dirac場の第2量子化

 (Second Quantization of the Dirac Field)

 

 §3.1 n-同種粒子の量子力学

 (Quantum Mechanics of n identical particles)

 

ここまでは,古典的な手法によって古典場を量子化した結果を探求

してきました。

 

そうして,このやり方で,Bose-Einstein統計に従う粒子の一つの

首尾一貫した記述を獲得しました。

 

この定式化は粒子の生成や消滅を許すに十分柔軟なものであり,

これにより首尾よく負エネルギ-解とか,負の確率という1粒子

理論で見られる困難を克服しました。

 

 こうした点から,この定式化を同様な多粒子理論を展開させていく

 上に適用するのは当然であろうと考えられます。

 

そこで,非相対論的Schroedinger方程式,または,恐らくspinが1/2の

粒子に対する方程式であるDirac方程式に導かれる種々のLagragian

から話を始めるのが妥当と考えられます。

 

しかし,そうしたプログラムでは,何らかの困惑させる問題が出現する

であろうと予想されます。

 

何故なら,これまで正準量子化手法からはBose^Einstein統計に従う

粒子が出現することだけを見てきましたが,spinが1/2の粒子,例えば

電子,核子はFermi-Dirac統計に従い,それ故,Pauliの排他原理

(Exclusion Principle)に]従うことが観測されているからです。

 

Fermi-Dirac統計に導かれるのと同じ変更は,また別の理由からも要求

されます。

 

これらを以下で見てゆきます。

 

そして,それにより場の量子論の1つの大きな成果である,

「粒子のspinと統計の関連性」に到達するでしょう。

 

こうした量子化手続きにおいて要求される変更へと真っ直ぐ到達

するため,ここで全く方向転換して,多体(n体)-Schroedinger方程

式に基づき,Fermi-粒子の多粒子系から議論を開始します。

  

そうして,その後にそれを量子場の理論として再定式化します。

 

前章までのように,多粒子理論に到達するために,古典場の理論を

量子化するという手法を用いる代わりに,まず多粒子系の量子力学

から出発して,Pauliの排他原理と矛盾しない量子場の理論の形を

追求する方法を取ることにします。

 

出発点は,n個の同種粒子に対するSchroedinger方程式です。

 

これは,Ψをn体波動関数(状態関数):Ψ(1,2,..,n;t)

として,i(∂Ψ/∂t)=H^Ψです。

 

右辺の演算子:H^はn体のHamiltonianですが,

これは,H^=Σj=1nS^(j,j)と,全てが同じ形の個々の1体

Hamiltonian:S^(,)の総和で与えられます。

 

こうした問題では,解は変数分離nできて独立な特殊解は,積の形:

 Ψ(1,2,..,;t)=Πi=1nαi(i,t) で表現できます。

 

ここで,uα(,t)は単一粒子のSchroedinger方程式の解です。

 

つまり,uα(,t)は,HS^uα(,t)=i{∂uα(,t)/∂t}

を満足しています。

 

そこで, i(∂Ψ/∂t)=H^Ψの一般解は,独立なuα(,t)の積

形の特殊解:Ψ(1,2,..,n;t)=Πi=1nαi(i,t)

の重ね合わせ(1次結合)で与えられます。

 

すなわち,任意の状態の波動関数は,

Ψ(1,2,..,n;t)(n!)-1/2Σα1..αn=1NC(α12,..,αn)

×uα1(1,t)uα2(2,t)..uαn(n,t)

で与えられるわけです。

 

ここで,係数:(n!)-1/2を挿入したのは,後の都合であり,またΣ記号

の上添字Nは単一粒子の状態αの個数です。

 

αi(i,t)が1つの正規直交系のメンバーであると仮定すれば,

展開係数に課せられる規格化条件は,

(n!)-1Σα1..αn=1N|C(α12,..,αn)|2=1です。

 

※(注21-1):何故なら,状態のノルムが1に規格化されていれば,

 

 1=<Ψ(1,2,..,n;t)|Ψ(1,2,..,n;t)>

 =(n!)-1Σα1..αn=1NΣβ1..βn=1N

 12,..,βn)C(α12,..,αn)δα1β1δα2β2..δαnβn

 =(n!)-1Σα1..αn|C(α12,..,αn))|2

 

となるからです。(注21-1終わり)※

 

Ψ(1,2,..,n;t)(n!)1/2Σα1..αnC(α12,..,αn)

×uα1(1,t)uα2(2,t)..uαn(n,t)においては,

 

係数:C(α12,..,αn)のスペクトル(spectrum);

つまり(α12,..,αn)の関数としてのC(α12,..,αn)の全体

がn粒子の状態を決定します。

 

このスペクトルは,「同種粒子の同等性(区別不可能性)の原理」

を満足する必要があります。

 

これは密度関数:|Ψ(1,2,..,n;t)|2が,その引数iの如何

なる交換の下でも不変であることを要求します。

 

それ故,Ψ自身は,そうした引数交換の下で,対称か反対称の

いずれかであることが必要です。

 

 これに相当して, C(α12,..,αn)も,その引数αiの交換の下で

 対称か反対称のいずれかであることを要求されます。

 C(α1,..,αj,..,αi,.., αn)=±C(α1,..,αi,..,αj,.., αn)

 であることが必要条件です。

 

(注21-2):何故なら,ij(i<j)を交換すれば,

 Ψ(1,..,j,..,i,..,n;t)

 =(n!)-1/2Σα1,..αn=1NC(α12,..,αn)uα1(1,t)..uαi(j,t)

 ..×uαj(i,t)..uαn(n,t) なので,

 

 |Ψ(1,..,j,..,i,..,n;t)|2

 =(n!)-1Σα1,..αn=1Σβ1,..βn=112,..,βn)C(α12,..,αn)

 ×uβ1(1,t)uα1(1,t)..uβi(j,t)uαi(j,t)..

 ×uβj(i,t)αi(ii,t)..uβn(n,t)uαn(n,t)

 です。

  

 一方,交換前では,|Ψ(1,2,..,n;t)|2

 =(n!)-1Σα1,..αn=1NΣβ1,..βn=1N12,..,βn)C(α12,..,αn)

 ×uβ1(1,t)uα1(1,t).... uβn(n,t)uαn(n,t)

 です。

 

 そこで,確率密度が交換に対して不変であること:

 |Ψ(1,..,j,..,i,..,n;t)|2=|Ψ(1,2,..,n;t)|2

 を要求すれば.

 

 粒子交換の前後で,対応する同じ項,

 uβ1(1,t)uα1(1,t)..uβi(j,t)uαi(j,t)..

 ×uβj(i,t)αi(ii,t)....uβn(n,t)uαn(n,t)

 の係数は全く一致しなければなりません。

 

 したがって,C12,..,βn)C(α12,..,αn)

 =C1,..,βj,..,βi,.,βn)C(α1,..,αj,..,αi,..,αn)

 ですが,

 

 特に,C12,..,αn)C(α12,..,αn)

 =C1,..,αj,..,αi,..,αn)C(α1,..,αj,..αi,..,αn),

 

つまり,|C(α12,..,αn)|2=|C(α1,..,αj,..,αi,..,αn)|2

が必要条件となります。 

 

そこで,C(α12,..,αn)

=exp(iη)・C(α1,..,αj,..,αi,.., αn)なる一般等式が得られ

ます。(※ exp(iη)は絶対値が1の位相因子なのでηは実数)

 

ところで,「粒子の同等性の原理」は,ijの交換に対し

状態関数Ψ自身がその定数倍にしか変換されない原理である,

と考えられます。

 

そこで,Ψ(1,..,j,..,i,..,n;t)=λΨ(1,2,..,n;t)

とすれば,

 

連続した同じ2回の互換では,元に戻って,

Ψ(1,..,i,..,j,..,n;t)=λ2Ψ(1,2,..,n;t)

になると考えられるため,λ21,つまりλ=±1を得ます。

 

 このことから,Ψ(1,..,j,..,i,..,n;t)と,

 Ψ(1,2,..,n;t)の同じ展開項:

 α1(1,t)..uαi(j,t)..uαi(j,t)..βαn(n,t)

 の係数を比較すれば,

 

 C(α1,..,αj,..,αi,..,αn)=±C(α1,..,αi,..,αj,.., αn)

 が得られます。

 

(※ただし,私的には,Ψ自身は状態を示す射線(ray)というある種

同値類の単なる代表元を示すもので,これが「物理的に観測可能

実在ではない。」とする立場で考えると,

 

同じ互換を2回連続作用させても,Ψが元に還るとは限らず,結果

位相変化が生じてもいい,つまり,λ2=1でなくてもいいと思わ

れるので,

 

必ずしも,引数の交換についてΨが対称か反対称のいずれかで

なくてもいいと考えられますから,Ψの対称性,または反対称性

は単なる要請,または仮説であると思います。) 

 

(注21-2終わり)※

  

 C1,..,αj,..,α1,..,αn)=±C(α1,..,αi,..,αj,..,αn)

 の右辺の符号が+(対称)か-(反対称)かの選択は,それぞれ,

 粒子Bose-Einstein統計に従うか,Fermi-Dirac統計に従うか

 に導きます。

 

そして,この等式の中には莫大な情報が含まれています。

 

何故なら,もしも,

Ψ(1,2,..,n;t)(n!)-1/2Σα1,..αn=1C(α12,..,αn)

α1(1,t) uα2(2,t)..uαn(n,t)

 の係数:C(α12,..,αn)の1つがわかれば,対称か反対称かを

 示す上の式から直ちに残りの(n!―1)個の係数が全てわかるから

 です。

 

 このとき,状態αの自然な順序を指定して次のように定義すること

 により上記の重ね合わせの展開表現よりも簡潔な展開表現を作る

 ことができます。

 

 すなわち,C~(α1,..,αn)を,α1<α2<..<αnなら,

 C(α1,..,αn)に等しく,さもなければゼロである,

 と定義します。

 

すると,Fermi-Dirac統計に従う場合には,

Ψ(1,2,..,n;t)(n!)-1/2Σα1,..αn=1C~(α12,..,αn)

×ΣPδP α1(p1,t)..uαn(pn,t),

 

つまり,Ψ(1,2,..,n;t)

と書けます。

 

(※右辺の行列式はSlater行列式と呼ばれています。) 

  

ここでPは(1,2,..,n)における下添字のあらゆる置換;

P=(1,2,..,n)→(p1,p2,,..,pn)についての和を意味して

おり,δPは個々の置換Pの符号です。

 

~(α12,..,αn)は,α1<α2<..<αnのときのみゼロでなく,

そのときには,置換Pが偶置換ならα1(p1,t)..uαn(pn,t)

係数は,C(α12,..,αn)となります。

 

つまり,偶数個の互換にい対しては,

α1(p1,t)..uαn(pn,t)の係数は

α1(1,t)..uαn(n,t)の係数に一致するという性質

を示しています。

 

他方Pが奇置換なら係数は,-C12,..,αn)となり,

α1(p1,t)..uαn(pn,t)の係数はuα1(1,t)..uαn(n,t)

の係数に(-)符号を付けたものとなります。

 

これらは,確かにFermi-Dirac統計の性質に一致します。

   

やや短いですが今日はここで終わります。

  

次回は今回の結果を利用して,謂わゆる,

状態の個数表示(Number-Representation of States)」

について記述する定です。

  

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill)

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2012年8月27日 (月)

韓国のバカ大統領

 これまでは,むしろ,親しみを感じていたのに,そして戦前とはいえ日本の大阪生まれで,内実はよくわかってるはずなのに,国のためではなく恐らく単に自己保身のため?韓国のバカ大統領が余計なことをするから,結果的に自国の民の首を締め,足を引っ張っていると見えます。

 (※2009年11月に北区の特養老人ホームで一緒にヘルパー実習をした,テグ(大邸)出身で赤羽在住だったイケメンの韓国人男性の辛クン(当時28歳)も,

  「若い世代はそういう教育はされても,決して日本が嫌いじゃないけれど,今の大統領も,もし日本寄りの意思表示をすれば次の大統領選挙には勝てない事情があり,結局,植民地時代の記憶のある世代が完全に交替しない限り,政治的な友好関係は難しい。」という内容のことを話してましたね。)

 韓国の人口は日本の半分以下で5千万人?くらいしかいない。(※北朝鮮も含めるとかなりの人口になるけれど。。)

 近年では日韓の交流が進み,液晶TVなど安価で優秀な電気製品,そしてキムチなどの食料品や新大久保,そして互いの旅行業界や芸能界韓流スターのグッズ,CD,DVDの売り上げなど,

 韓国の国内市場だけでは規模が小さく,恐らく最大の海外市場であろう人口約1億2千万?の日本との交流が無くなるような事態になれば,結局困るのは直接竹島とか政治問題に無関係な韓国民,特に在日も含め日本で商売に関わっている人たちの首を絞めることになるのでは。。と思います。

 せっかく,色々と盛り上がっているのに。。。。

 昨日見た男女の日本ツlァーのゴルフでも韓国人が大活躍でした。

(※7月から私も韓国語の勉強を始めました。

 私個人的には,「猟奇的な彼女」の主演のチョン・ジヒョンやKara(カラ)も大好きです。2008年11/10の記事「白夜行(東野圭吾)」や2009年1/27の記事「イルマーレ(チョン。ジヒョン)」も参照,されたい。

 下はチョン・ジヒョンの写真です。※)

        

 そりゃ日本は,私の父母や祖父,祖母の時代ですが,侵略行為,植民地支配をし,固有の文化をも否定してアイデンティティを犯す創氏改名などという暴挙までしたという過去もあるでしょう。

 確かに,東野圭吾の殺人犯の兄を持つ弟の苦しみを描いた小説「手紙」や現実の連続幼女殺しの犯人として逮捕された宮崎勤の父親などにも見られるように,

 自分の親や子供,肉親が人非人的犯罪を犯せば,日本社会でも「罪を憎んで人を憎まず」というわけにはいかず,社会的に抹殺され,ムラハチなども当然という事態になるようですから。。。

 犯人の親というか,今では学校での自殺の原因となった?イジメをした張本人の親,と名指しされると,「殺すぞ」とか無言電話とか過剰な抗議の嵐らしい。

 中国の方は大丈夫と思うけど,エスカレートすると大山のお店のりくチャンや,かなチャンも心配ですね。

PS:24日の金曜日は18時半に巣鴨駅で待ち合わせて,一年ぶりにりに,人妻?になったMさんと待ち合わせ。と思っていたら,旦那のMクンも一緒でした。

 お呼びでないのに,何故かハナが利く同い歳のタローちゃんも一緒に,19時から220時頃まで駅前の居酒屋で飲み,それから私は半年振りくらいの地蔵通りから郵便局通りにあるカラオケ居酒屋「けんちゃん」で,翌25日の夜中1時くらいまで飲んでそれから地蔵通りを歩いて25分くらいで帰宅しました。

 全財産の5千円が消えましたが楽しかったです。

 25日の土曜日は普通に出勤して前日の深酒で夜は疲れてたので爆睡したのでした。(※最初PSをアップしたときには,1日記憶が飛んでいました。)

 そして,元々,26日の日曜日の朝10時から竹芝桟橋付近で毎月最終日曜日に開催される,将棋の社団戦の3日目に,我がチーム「将棋チェスネット2」のメンバ-として出場するために休みを取ったのですが,財布がスッカラカンです。

 都営交通は障害者割引で全てタダなので,三田線で三田駅まで行き,そこから大江戸線(浅草線)の大門駅まで行けば徒歩10分足らずで電車賃ゼロで往復できるのですが,出場会費も無いし,最近は必要な7名以上が来ていて人数は間に合ってると思ったし,

 それほど戦力にもならない私はクソ暑いし怠け心も湧いて,結局26日の日曜日は"寝てヨウビ"と化してしまいました。

 先週は土日出勤の代替で月,火と連休を取りましたが,今週は金も無く,交通費は都営タダで,食事代は給料に含まれていて取り合えずお金が不要な職場の食堂で昼食を食べたいこともあり,今日の27日月曜日は出勤予定です。

(↑ ナサケナイね。。。高楊枝でしょ?)

 生活費がギリギリなのに,食事代は後回しで,本や趣味の,AV(Audio-Visual;テレビやアンプ,スピーカー,DVD,CD tc.)や,パソコン関連の機器等で無駄?な買い物や外での飲酒など,

 本当はエンゲル係数100のはずなのに,身の程もわきまえず生活感が乏しくて優先順位がオカシイ??

(※血糖値が高いと空腹感無いので,食事もときどきウッカリ忘れます。)

 外での飲酒は親切な人からモッタイナイからやめた方がいいなどと,ときどき忠告して頂けるけど,

 私は高校を出て浪人1年後に19歳で故郷を出て下宿してから,今まで40年以上も全くの一人暮らしで,今では1年以上,イヤ,長期のお付き合いがある友人?,知己は,"袖擦り合うお客"も含め,飲み屋の関係者しかいません。

 私にとっては,そこは社交場であり,お金を払ってるからの錯覚カモ知れませんが,東京で家族を感じさせてくれる唯一の場所です。

 自宅では一滴も飲酒せず,部屋にも酒類は置いてないし,来客がなければ酒類を買うこともありません。酒は嫌いじゃないけど一人では必要ないので。。。

 私の場合,素面が最もテンションが高く,飲み屋では酒は嫌いじゃないし飲まなきゃテンションが上がらない相手などに付き合うコトで,店に奉仕しています。

(↑ なんともヤな性格だね。酒は憂き世を忘れて酔うために飲むんだよ。)

 

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2012年8月23日 (木)

今日の癒し動画

 恒例のYou-tubeの動画メールを8/20に頂きました。

 今日の癒しとして下に公開します。

PS:毎日暑いですね。

 冬の生まれのせいか?寒さよりも暑さのほうが苦手です。

 8/20は,休みを取って予約していた東京医科歯科大歯科の義歯外来に行って来ました。

 先月の16日に大山の居酒屋でトマトを食べたとき,まだ残っている上の歯に引っ掛ける留め金を思いっ切り噛んで曲げたので,2年前に義歯を作ってもらったここの歯科に来たのでした。

 当時,主治医であった青(藍一郎)先生は,まだ同じところに居られてなつかしかったです。実はそのときに上の義歯の土台にもヒビが入っていて修復していただきました。

 念のため1ヶ月後の8/20に診てもらいましたが異常なしということで診察はこれにて終了でした。

 珍しい苗字の青先生とは先月久しぶりに再会しましたが,覚えていてくださったようです。

 私は,彼は前からずっと,「ルーキーズ」に主演していた俳優・佐藤隆太に似ていると思っていましたが今回もそう思いました。

    

 朝11時頃には診察おわったので,御茶ノ水駅の聖橋口から急な下り坂を降りて5分くらいで行ける万世橋に向かい,2時間ほど秋葉原でブラブラしました。

 末広町駅の辺りまで炎天下の中を,片目でヨロヨロ歩き,ました。

 数人とぶつかりましたが,中には気色の良い柔らかい感触?も。。

 ( ↑ うーん?どんな状況でもシケベだけは治らないな。。)

 1977年に東京に出てきてからズッと毎月何回かは秋葉をウロついてますが家電が中心の電気街だけだった頃から,PC全盛時代,そしてフィギュアなどオタク文化の街へと変化してからも,ずいぶんトキが流れましたね。

 典型的には「ミナミ無線」のビルが「T-ZONE」になって今は「ドンキ」です。

 8年間の新高円寺,9年間の木場から1994年5月に巣鴨に引っ越した頃には,"旧昌平校(昌平学問所)=湯島聖堂"近くの秋葉寄りの現役高校生専門の予備校で非常勤講師のアルバイトをしていたこともあり,その頃は帰りには毎日秋葉をウロついてましたね。

 まだ,8/15にもらった2か月分の老齢年金(60歳から偶数月ごとに支給される厚生年金分)が残っていたので,裏通りの昔からあるバッタ屋付近を中心に歩き回っているうち,つい「あきばおー」で

 カセットをmp3に変換できるカセットプレイヤ-を1799円,4.3インチのポータブルのメディアプレイヤーを849円,さらにミニ扇風機を650円と,必ずしも必要ないモノを購入した後,巣鴨駅まで帰って駅付近で食料を買って帰宅しました。

 昔からの衝動買いの買い物中毒ですが,金があった頃と比べて衝動買いの額もグンと減りました。

 そのトキドキの金銭感覚があって,ギャンブルもホドホドであり,何事にも持ち金を全部使って生活に困るほどにはノメり込まない分別がある自分が,実は私自身,嫌いなんですが。。。

 結局,金があるときには飲み屋に奉仕してしまうので,その前に形が残る電化製品や本の方に浪費したほうがマシではあります。

 土日出勤した代わりに,21日も休んで高校野球準々決勝の倉敷商をTVで応援しましたが高知の明徳に負けてしまいました。

 まあ,ここまで来たのはクジ運が良かったのである意味順当負けでしょう。イヤ,でも岡山代表,近年では関西以外ではよく頑張りました。

 決勝は大阪同士の対決? 青森も近年は,光星か青森山田です。

PS2:宮里美香ちゃんがアメリカで初優勝した日,一方ではシリアで政府軍の乱射でジャーナリストの山本美香さんが殉死されました。

 カワイそうに,まだ,45歳です。

 そういうことも覚悟でやってたのでしょうから,ある意味では本人は本望かも知れませんが,身内とか,イヤ傍観者の私もタマらないですね。。

 アサドも,いずれはカダフィと同じ末路だと思ってましたが,こちらはリビアとは違って内政不干渉みたいです。人民軍=反政府軍は大変みたいですね。

 軍隊を出して国民を殺してしまう大統領って何なんですかね。

 国民がいなくなったら国とか元首とかに何の意味があるのでしょうか?

 チュニジア,エジプト,リビアと続いてきた謂わゆる「ジャスミン革命」。。。

 できることなら,爆弾を抱いてアサドもろとも自爆テロで甚だしくこの世にオサラバするか。。などという衝動も出てきます。

 何をやるにもまず健康からですが。。体にイイコトをやろうと思ったことは全くないので現在の状況は自業自得です。

PS3:何の根拠もないですが,金正恩には期待しています。

 彼を除く,事実上の旧来の軍の実権を持っていた軍のトップもクーデターのような形で殺害されたみたいでて,事実上軍も掌握したようです。

 祖父の金日成の「主体(ツチェ)思想」の時代に戻れば,北朝鮮も少なくとも中国程度の体制にはなるかな?とか。。

 旧政権のやったこととして,日本の拉致被害者も帰って来るかな?などと自分に関係ないコトですが,期待しています。

 テレビで誰かが言ってたコトの尻馬にのるだけですが,銀座でのオリンピックメダリストのパレード,これってパラリンピックが終わってから障害者のメダリストも一緒にやればよかったな。と思います。

 スポンサーがつかないからかも知れないけれど,昔から日本ではほとんど注目されず,報道もされません。

 障害者でもパラリンピックに出場しているくらいの方々なら姿,形を公開されてもいいのじゃないでしょうか。

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2012年8月19日 (日)

強い相互作用(湯川相互作用)(9)(アイソスピン4)

 「強い相互作用(湯川相互作用)(8)」では記事が長くなり過ぎて

 中途までのアップに留めましたが,今回はその続きです。

 

 単に記事の続きをアップするだけなのに,間の期間が長く

 なっているのは,単に,このところの残暑による私自身の疲れ

 や怠惰,そしてタイピングの遅さによるものです。

 

 まず,前回最後の部分を再掲します。

 

(再掲記事): 

 非相対論的極限では,g0の2次N-N散乱振幅:Sfi(2)は,

ポテンシャル:(1,2)=-(f22)(1-Pex)(τ1τ2)

(σ1)(σ2)exp(-μ|12|)/|12|から得られる,

02の1次のオーダーまでの散乱振幅に一致すると見えます。

 

ここで,f2={g02/(4π)}{μ/(2M)}2であり,Pexは中性子

波動関数と陽子波動関数を入れ換えさせる演算子です。 

 

つまり,PexはN-N散乱振幅の式の第2項の交換グラフに対応

する符号(-)を除く第2項を生み出すものです。

 

実際に,Sfi(2)ポテンシャル:(1,2)によるポテンシャル

散乱の1次の散乱振幅に一致することを確認します。 

 

まず,相対論的極限では,2次のN-N散乱振幅:Sfi(2)は次の

ようになります。

 

fi(2) (-ig0)22(2π)-6(E121'E2')-1/2

(2π)4δ4(p1+p2-p1'―p2')

([χ1'(s1'){iσ(11')/(2M)}τu(s11]

(-i)/{(1'-1)2+μ2}

2'(s2'){iσ(22')/(2M)}τu(s22]

 

(([χ2'(s2'){iσ(12')/(2M)}τu(s11]

(-i)/{(2'-1)2+μ2}

1'(s1'){iσ(21')/(2M)}τu(s22])

 

(-ig0)22(2π)-6(E121'E2')-1/2

(2π)4δ4(p1+p2-p1'―p2')

{(χ1'τ1χ1)(χ2'τ2χ2)}(2M)-2(s1')u(s2')

iσ1(11')iσ2(22')u(s1)u(s2)

(-i)/{(1'-1)2+μ2}

 

{(χ2'τ1χ1)(χ1'τ2χ2)}(2M)-2(s2')u(s1')

iσ1(12')iσ2(21')u(s1)u(s2)

(-i)/{(2'-1)2+μ2}

 

です。

 

ここで,τ1,τ2またはσ1,σ2に付けた下添字は入射粒子1,2

対応するものです。

 

そして,1,2が各々散乱されて1',2'に移行した終状態を,

Isotopic-spinやspinについて,その順に並べたものです。

 

そこで,交換第2項においても添字1は左から1番目同士,添字2

左から2番目同士Isotopic^spinorやspinorに

挟まれるとします。

(再掲記事終わり)※

 

一方,V(1,2)

=-(f22)(1-Pex)(τ1τ2)(σ1)(σ2)

exp(-μ|12|)/|12| で与えられるポテンシャル

散乱の摂動の1次の散乱行列要素は,

 

fi(1)(-i)∫-∞exp{i(Ef-Ei)t}<f|V|i>dt

=-(2πi)δ(Ef-Ei) <f|V|i> で与えられます。

 

ただし,<f|V|i>

=<1',s1',χ1';2',s2',χ2'|V(1,2)

|1,s11;2,s22であって,

 

第1項(直接散乱グラフ)に寄与するものは,

|1,s11;2,s22

(2π)-3exp{i(1122)}u(s11u(s22,


 および,
1',s1',χ1';2',s2',χ2'|

(2π)-3exp{-i(1122)}

χ2'(s2')χ1'(s1') です。 

 

一方, 第2項(交換散乱グラフ)に寄与するのは,入射始状態は

前と同じですが,終状態(散乱状態)が,

1',s1',χ1';2',s2',χ2'

(2π)-3exp{-i(1'12'2)}

χ1'(s1')χ2'(s2')  に変わります。

 

そこで,(<f|V|i>の第1項)

{(χ1'τ1χ1)(χ2'τ2χ2)}{-g02/(4π)}(2M)-2(2π)-6

×u(s1')u(s2')∫d3132 exp{-i(1'12'2)}

[(σ1)(σ2)exp(-μ|12|)/|12|]

exp{i(1122)}(s1)u(s2) です。

 

ところが,∫d3132 exp{-i(1'12'2)}

[(σ1)(σ2)exp(-μ|12|)/|12|]

exp{i(1122)

=∫d32 exp{i(22')2}∫d31 exp{i(11')1}

σ1(σ2{exp(-μ|12|)/|12|}))

 

と書けます。

 

そして,一般にr→ ∞に対してV()→ 0 なら,

∫d3rf()∇V()

=∫d3[∇{()V()}-{∇()}V()]

=∫2{()V()}-∫d3()}V()]

=-∫d3()}V()] なので,

 

∫d31 exp{i(11')1}

σ1(σ2{exp(-μ|12|)/|12|}))

=-∫d311exp{i(11')1}σ

×σ[∇2{exp(-μ|12|)/|12|}

 

=-iσ(11')∫d31exp{i(11')1}

×σ[∇2{exp(-μ|12|)/|12|}

となり,

 

結局,∫d32 exp{i(22')2}∫d31 exp{i(11')1}

σ(∇1[σ[∇2{exp(-μ|12|)/|12|}]]

 

=-iσ(11')∫d31exp{i(11')1}

∫d3exp{i(22')2

σ[∇2{exp(-μ|12|)/|12|}]}

 

iσ(11')iσ(22')

×∫d3132exp{i(11')1+i(22')2}

{exp(-μ|12|)/|12|}となります。

 

 ここで,相対位置ベクトル:12,と重心ベクトル:

 ≡(12)/2を導入すると,1/2,2/2

 より,3132=d33であり,

 

 (11')1+(22')2

(11'+22')+(11'-22')/2

ですから,

 

∫d3132exp{i(11')1+i(22')2}

 exp(-μ|12|)/|12|}

=∫d33exp{i(11'+22') }

exp{i(11'-22')/2}|exp(-μr)/r}

 

(2π)3δ3(11'+22')

∫d3exp{i(11')}|exp(-μr)/r}

 

(2π)3δ3(11'+22')[4π/{(11')2+μ2}]

と書けます。 

 

それ故,∫d31 (exp{i(11')1}

σ1(σ[∇2{exp(-μ|12|)/|12|}])

 

(2π)3δ3(11'+22')

{iσ(11')}{iσ(22')}[4π/{(11')2+μ2}]

です。

 

したがって,(<f|V|i>の第1項)

(2π)3δ3(121'-2')(-g02)(2M)-2(2π)-6

{(χ1'τ1χ1)(χ2'τ2χ2)}u(s1')u(s2')

{iσ(11')}{iσ(22')}u(s1)u(s2)

[1/{(11')2+μ2}]

です。

 

故に,Sfi(1)=(-i)∫-∞exp{i(Ef-Ei)t}<f|V|i>dt

=-(2πi)δ(Ef-Ei) <f|V|i>

 

(2π)4δ4(p1+p2―p1'-p2')(-g02)(2M)-2(2π)-6

[{(χ1'τ1χ1)(χ2'τ2χ2)u(s1')u(s2')

{iσ(11')}{iσ(22')}u(s1)u(s2)

(-i)/{(11')2+μ2}-(Pex部分)]

を得ます。

 

これは,先に述べた,

1個のπ-meson交換の散乱振幅の非相対論近似:

fi(2)(-ig0)22(2π)-6(E121'E2')-1/2

(2π)4δ4(p1+p2-p1'-p2')

{(χ1’τ1χ1)(χ2’τ2χ2)}(2M)-2(s1')u(s2')

iσ1(11')iσ2(22')u(s1)u(s2)

(-i)/{(1'-1)2+μ2}(Pex部分)]

の右辺において,

 

最初の因子:(E121'E2')-1/2での非相対論的極限として,

さらに.1=E2=E1'=E2'=Mとしたものと一致しています。

 

結局,f2≡{g02/(4π)}{μ/(2M)}2とした湯川型ポテンシャル:

(1,2)

=-(f22)(1-Pex)(τ1τ2)(σ1)(σ2)

exp(-μ|12|)/|12|

によるポテンシャル散乱のg02の1次の近似の散乱振幅が,

 

1個のπを交換する0の2次の散乱行列要素:Sfi(21の非相対論的

近似に一致することがわかりました。

 

2つの核子は一般化された排他原理によって要求されるように,

核子の交換の下で反対称な状態になる必要があります。

 

仮に核子交換について対称な部分が存在したとしても,その寄与は

(1-Pex)によって破壊されます。

 

つまり,対称部分の寄与はゼロで反対称部分のみが生き残ります。

 

S状態(軌道各運動量:l=0)にある2つの核子については,角度

ついて平均化すればわかるように有限な距離;r=|12|>0

ではポテンシャルは引力的です。

 

つまり,V(1,2)=-(f22)(1-Pex)(τ1τ2)(σ1)(σ2)

×exp(-μ|12|)/|12| により,

 

(r)={1/(4π)}∫dΩ12V(1,2)

=-(f22)(1-Pex)(1/3)(τ1τ2)(σ1σ2)

2exp(-μr)/r-4πδ3()}

 

となります。 

 

このS状態では,l=0 から波動関数が空間座標の交換の下では

対称であることがわかるので,spinかIsospinのいずれか一方だけ

について反対称です。

 

それ故,S状態(l=0)では,spin:S=0,Isospin:T=1,

またはS=1,T=0 で,

 

(1/3)(τ1τ2)(σ1σ2)>

=<(1/12){(τ1τ2)2-6}{(σ1σ2)2-6}>

(4/3){T(T+1)-3/2}){S(S+1)-3/2}

=-1 となります。

 

全体の波動関数の反称性から,Pex=-1となるため,結局,

(r)=-2f2{exp(-μr)/r-(4π/μ23()}

を得ます。

 

(注9-1): V(r)={1/(4π)}∫dΩ12V(1,2)

=-{1/(4π)}(f22)(1-P ex)(τ1τ2)(σ1iσ2j)

0dφ∫0πdθsinθ

[∂1i2j{exp(-μ|12|)/|12|}

です。 

 

ところが,r=|12| に対して,

1i={(x1i-x2i)/r}(d/dr),

2j=-{(x1j-x2j)/r}(d/dr)

なので,

 

-∂1i2j{exp(-μr)/r}

=∂1i[{(x1j-x2j)/r}(d/dr){exp(-μr)/r}]

ij/r-(x1i-x2i)(x1j-x2j)/r3}(d/dr){exp(-μr)/r}

{(x1i-x2i)(x1j-x2j)/r2}(d2/dr2){exp(-μr)/r}

 

ij/r)(d/dr){exp(-μr)/r}

{(x1i-x2i)(x1j-x2j)/r2}

[(d2/dr2-(1/r)d/dr){exp(-μr)/r}]

となります。

それ故,{1/(4π)}∫dΩ12V(1,2)

(f22)(1-P ex)(τ1τ2)(σ1iσ2j){1/(4π)}

×[4π(δij/r)(d/dr){exp(-μr)/r}

+(d2/dr2-(1/r)d/dr){exp(-μr)/r}

0dφ∫0πdθsinθ{(x1i-x2i)(x1j-x2j)/ r2}]

を得ます。

 

11-x21=rsinθcosφ,x12-x22=rsinθsinφ,

13-x23=rcosθを代入すると,

 

φに関する三角関数の直交性により,i≠jなら

0dφ∫0πdθsinθ{(x1i-x2i)(x1j-x2j)/r2}

はゼロです。

 

一方,i=jなら,∫0dφ∫0πdθsinθ(sinθcosφ)2

=∫0dφ∫0πdθsinθ(sinθsinφ)2

=∫0dφ∫0πdθsinθ(cosθ)24π/3なので,

 

0dφ∫0πdθsinθ{(x1i-x2i)(x1j-x2j)/r2}=4π/3

です。

 

以上から,{1/(4π)}∫dΩ12V(1,2)

=(f22)(1-P ex)×(1/3)(τ1τ2)(σ1σ2)

(d2/dr2+(2/r)d/dr){exp(-μr)/r}

となります。 

 

 最後の因子は, 簡単な計算から,

 (d2/dr2+(2/r)d/dr){exp(-μr)/r}

 (1/r2)(d/dr)[r2 (d/dr){exp(-μr)/r}]

 =△{exp(-μr)/r}=μ2exp(-μr)/r-4πδ3()

 となることがわかります。

 

(注9-1終わり)※

 

S状態に対するポテンシャル:

(r)=-2f2{exp(-μr)/r-(4π/μ23()}

において,

 

δ関数による原点=0:1点のみの無限大斥力は,非静的な補正

なされるときには,原点から有限な短距離領域の核の中に広がり

平均化されて有限斥力となります。

 

この式は,これだけでは重陽子(deuteron)低エネルギーの散乱

パラメータを説明するには不十分です。

 

何故なら,こうした核子散乱に対して1つの中間子を交換するだけ

の近似が信頼できる根拠は,ほとんどないからです。

 

実際,結合定数がg02/(4π)~ 14と大きいので,より多くの中間子

を含む別のFeynman-diagramsからの高次の寄与が重要となります。

 

しかしながら,これらは主としてごく小さいrに対して寄与し,

μr>1の領域では,exp(-nμr)に比例して効果が落ちること

示されます。なお,nは交換する中間子の個数です。

 

したがって,中間子-核子散乱(π-N散乱)のP波の解析で観測される

値と同様,結合定数をg02/(4π)~ 14 (f2 ~ 0.08)としたとき,

 

核子-核子散乱(N-N散乱)の散乱振幅の高い(lの小さい)部分波解析

で観測される"位相のずれ(phase-shift)"が,これまでの議論で得た

散乱振幅の近似式から,ほぼ正確に再生されるという事実は,

 

ここまでの議論でのπ-中間子交換modelの妥当性にとって,非常に

勇気付けられることです。

 

今日はここで終わります。次回からは,まずπ-N散乱です。

 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGrawHill)

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2012年8月14日 (火)

強い相互作用(湯川相互作用)(8)(アイソスピン3)

強い相互作用(湯川相互作用)」シリーズの続きです。

 

余談ですが,今日は8/6(月)以来,そして7日(火)の夏祭りイベント

以来久しぶりの何もしなくていい休日です。

 

12日(日)夜に,また左目が眼底出血して見え辛くなってますが,右目

は見えるので大丈夫です。

 

11日(土)の21時半頃,全く金がないのに呼び出されて結局,次の朝

時半まで大塚(上池袋)で飲んで,歩いて帰り朝7時から3時間半

くらい寝て,日曜出勤したというのが悪かったのかも知れません。

 

しかし,どうも左目の網膜だけが破れやすくなっているようです。

 

もしも,外出中に左だけでなく右も見えなくなったら,もう救急車

呼ぶしかないと思いますが,見えないと携帯電話を使えないかも

知れないので,目が見えなくてまわりに頼れる誰かがいない状況

でも緊急番号には連絡できるようにしておこう。

 

さて,ロンドンオリンピックも終わり,今日は朝10時半から甲子園

で私の故郷の倉敷商の試合があるので,テレビで応援しようと思

います。

 

話は変わりますが,如何に貧乏であるとか金欠病であろうと,少な

とも,天災や急病,不慮の事故に遭わない限り,飢死にすること

凍死などすることもなく,ぬくぬくと安全な飽食の国:経済大国,

 

帝国主義本国内の都民,市民として保護され.惰眠をむさぼり,

自堕落に暮らしている我が身を棚に上げて批判めいたことを

述べるのも何ナノですが,

 

タマタマ,今とてもヒマなので,どこかの国の選手が「平和の祭典,

スポーツの祭典を政治的主張の場,宣伝道具にした。」とか批判

されているようなことについて異論を述べます。

 

(※政治宣伝の内容や内容の是非には興味ないです。)

 

そうした"平和の祭典"という美名の下に有閑階層がスポーツを楽

しむために,いかほどの無辜の民の命が犠牲にされてるか?を慮る

とき,"政治と無縁"などというイベントは有り得ないということを

実は当事者が最も熟知しているはずです。

 

既に全地球の平和が確立された後ならいざ知らず,ユートピアへの

過渡期?である現在では,ある種の階級を除外したお祭りでしかな

いのですから。。

 

(※↑ バカだね。理想郷は来ないから,ずーっと過渡期だよ。)

 

↑よく言うよね。さんざん,"純粋"にスポーツ観戦を楽しんで

いながらヒトゴトみたいに。。

 

まるきりの欺瞞,キレイゴト,免罪符ですね。。。

 

家族など自分が守るべき者は欲しいけど,望んでも得られるもの

ではないし,いつ死んでも喜ぶ人はいても,自分以外に困る人は

いないということで,

 

今更,将来に目標を置いて努力するよりも,残り僅かなトキを

太く短かく,刹那的で破滅型的な生活を実践できる限りしよう

と,むなしく楽しんでいます。

 

さて,科学記事の本題です。

 

§10.5 Approximated Calculations;Nucleon-Nucleon Scattering

(核子―核子散乱の近似計算)

 

Isotopicspin定式化の応用と,π-N相互作用の一般的物理的特徴

のいくつかを描写するために,簡単な2つの例を考えます。

 

すなわち,π-N相互作用における1つのπ-meson交換の寄与,および,

π-N散乱そのものです。

 

さて,これまで記述してきたN-N散乱のdiagrams:図10.1~図10.3の

振幅は,よりcompactな形に書き直せます。

 

運動量空間でのFeynmanルールを用いると,

 

fi(2)=<p1',s1';p2',s2'|S^(2)|p1,s1;p2,s2

{(-i)2/2}g02<p1',s1';p2',s2'|T(Ψ~(x)γ5τΨ(x)φ(x)

×Ψ~(y)γ5τΨ(y)φ(y))|p1,s1;p2,s2

 

(-ig0)22(2π)-6(E121'E2')-1/2

(2π)4δ4(p1+p2-p1'―p2')

×([χ1'u~(p1',s1')iγ5τu(p1,s1)]

[i/{(p1'-p1)2-μ2}2'u~(p2',s2')iγ5τu(p2,s2)]

 

2'u~(p2',s2')iγ5τu(p1,s1)][i/{(p2'-p1)2-μ2}

1'u~(p1',s1')iγ5τu(p2,s2)])

 

です。

 

※(注8-1):τiτj<0|T(φi^(x)φj^(y))0>

 =τiτjδijF(x-y)=(ττ)iΔF(x-y)です。

 

 何故なら,φi^(x)=∫d3(2π)-3/2(2ωk)-1/2

 [ai^()exp(-ikx)+ai^()+exp(ikx)]であり,

 [φi^(x),φj^(y)]=iδijΔ(x-y)より,

 

 i≠jなら,[φi^(x),φj^(y)]=0 であり,Fourier変換によって,

 i≠jなら,[ai^(),aj^(')]=0 です。

 

 故に,<0|φi^(x)φj^(y)|0>

 =∫d33'(2π)-3(4ωkωk')-1/2exp{-i(kx-k'y)}

 0|ai^()aj^(')|0>,

 

 <0|φj^(y)φi^(x)|0>

 =∫d33'(2π)-3(4ωkωk')-1/2 exp{-i(k'y-kx)}

 <0|aj^(')ai^()|0> です。

 よって,i≠jなら,<0|T(φi^(x)φj^(y))0>

 =θ(x0-y0)<0|φi^(x)φj^(y)|0>

 +θ(y0-x0)<0|φj^(y)φi^(x)|0>0 です。

 

(注8-1終わり)※

 

 散乱振幅の式で,V-2の代わりに(2π)-6を代入したのは,外線の規格化

 をδ-関数式規格化にしたからであり,因子:{M/(EV)}1/2を,

 (2π)-3/2(M/E)1/2と変えた結果です。

 

 -p散乱に対しては,Isotopic因子は,

τχ)(χτχ)=(χτ3χ)(χτ3χ)=1

です。

 

fi(2)=<p1',s1';p2',s2'|S^(2)|p1,s1;p2,s2

(-ig0)22(2π)-6(E121'E2')-1/2

(2π)4δ4(p1+p2-p1'―p2')

([χ1'u~(p1',s1')iγ5τu(p1,s11]

[i/{(p1'-p1)2-μ2}2'u~(p2',s2')iγ5τu(p2,s22]

 

2'u~(p2',s2')iγ5τu(p1,s11]

[i/{(p2'-p1)2-μ2}1'u~(p1',s1')iγ5τu(p2,s22])

 

の最後の()内の2つの項は,本ブログの2012年7/1にアップした

過去記事「強い相互作用(湯川相互作用(4)」での,

 

fi(-ig0)2∫d4yd4z{ψp1’~(y)iγ5ψp1(y)}

F(y-z)p2'~(z)γ5ψp2(z)}η0 ,および,

 

 Sfi(ex)=-(-ig0)2∫d4yd4z{ψp1'~(z)iγ5ψp1(z)}

 iΔF(z-y)ψp2'~(y)γ5ψp2(y)}η0  

 

 におけるように,2つの同等なFermi粒子の直接散乱と交換散乱

 に対応します。

 

 この状況は,n-n散乱についても同様です。

 

 しかし,p-n散乱では,Isotopic因子は,

 τχ)(χτχ)

 =(χτ1χ)(χτ1χ)+(χτ2χ)(χτ2χ)

1+1=2です。

 

そこで,この散乱振幅はp-p散乱やn-n散乱とは異なります。

 

しかし,散乱によって,I=1,I3=0 の対称Isotopic状態に移る

ことを要求すれば,散乱後の状態は,

|I,I3>=|1,0>=(1/√2){χ(1)χ(2)+χ(1)χ(2)}

です。

(※ Q=N/2+I3=1+I3なので,散乱後にp-nの電荷:Q=+1

 が保存されるためには,I3=0 なることは必要条件です。)

 

したがって,下に再掲する最低次(2次の)N-N散乱振幅:

fi(2)(-ig0)22(2π)-6(E121'E2')-1/2

(2π)4δ4(p1+p2-p1'―p2')

([χ1'u~(p1',s1')iγ5τu(p1,s11]

[i/{(p1'-p1)2-μ2}]2'u~(p2',s2')iγ5τu(p2,s22]

 

2'u~(p2',s2')iγ5τu(p1,s11]

[i/{(p2'-p1)2-μ2}]1'u~(p1',s1')iγ5τu(p2,s22])

 

において,最後の( )内の第1項についても,第2項についても,

 

アイソスピン関数による因子は,

(1/√2){(χτχ)(χτχ)+(χτχ)(χτχ)}

(1/√2)(-1+2)=1/√2 です。

 

※(注8-2):何故なら,上記のN-N散乱振幅において,

 p-n散乱の入射粒子については,一般性を失うことなく,

 χ1=χ, χ2=χを代入してよく,

 

一方,散乱された状態ではI=1,I3=0 の対称Isotopic状態:

χ1'=χ2'(1/√2){χ(1)χ(2)+χ(1)χ(2)}

を代入するからです。

 

そして,既に示したように,

τχ)(χτχ)=(χτ3χ)(χτ3χ)=-1

であり,

一方,(χτχ)(χτχ)

τ1χ)(χτ1χ)+(χτ2χ)(χτ2χ)

1+1=2 です。 (注8-2終わり)※

 

そこで,p-n散乱の散乱振幅はp-p散乱やn-n散乱の散乱振幅

の(1/√2)倍に等しく,空間変数の交換については反対称になって

います。

 

一方,反対称Isotopic状態にも散乱されると仮定すると,その状態は

|I,I3>=|0,0>=(1/√2){χ(1)χ(2)-χ(1)χ(2)}

です。

 

この散乱状態では,( )内の第1項については,アイソスピン関数

による因子は,(1/√2){(χτχ)(χτχ)

-(χτχ)(χτχ)}(1/√2)(-1-2)=-3/√2 

となります。

 

一方,散乱振幅の表現式における最後の( )内の第2項でのこの

部分は符号だけ異なるため,同じアイソスピン関数による因子は,

+3/√2です。

 

それ故,p-n散乱の反対称Isotopic状態では空間座標変数の交換

については対称であるべきです。

 

 こうした例から,N-N散乱乱に一般化した排他原理がどのように

 適用されるかがわかります。

 

 N-Nは,それらのアイソスピン,および空間変数の両方の交換の

 下で反対称な状態でのみ相互作用します。

 

相互作用が荷電独立であるという近似は,

 

p-p,n-n散乱振幅が,|I,I3>=|0,0>

=(1/√2){χ(1)χ(2)-χ(1)χ(2)}

ような対称Isotopic

状態:つまり,空間反対称な状態についてのp-n散乱振幅

に等しいと考えることです。

 

再掲する最低次(2次の)N-N散乱振幅:

fi(2)(-ig0)22(2π)-6(E121'E2')-1/2

(2π)4δ4(p1+p2-p1'-p2')

×([χ1'u~(p1',s1')iγ5τu(p1,s11]

[i/{(p1'-p1)2-μ2}]

2'u~(p2',s2')iγ5τu(p2,s22]

 

2'u~(p2',s2')iγ5τu(p1,s11]

[i/{(p2'-p1)2-μ2}]1'u~(p1',s1')iγ5τu(p2,s22])

 

および,(χτχ)(χτχ)=2 を考慮します。

 

-p,n-n散乱全断面積を,陽子],または中性子について2回重複

して数え上げないように,1/2の位相空間にわたって積分されること

を考えるとき,この粒子同等性が導かれます。

 

この1/2の空間因子が,

(1/√2){(χτχ)(χτχ)+(χτχ)(χτχ)}

(1/√2)(-1+2)=1/√2で導かれる断面積の因子:(1/√2)2を補償

します。

 

(注8-3):同等な2つの粒子が散乱されて観測される際,計算では,

 中心の相互作用領域から微小立体角要素:dΩ1に粒子1が,そして

 dΩ2に粒子2が放出される断面積と,dΩ1に粒子2が,そしてdΩ2

 に粒子1が放出される断面積とを数え上げます。

 

しかし,現実には,これらは区別できない同一の事象に過ぎないので,

こうした計算では二重に重複して数え上げていることになってしま

いますから,因子1/2が必要です。

(注8-3終わり)※

 

非相対論的極限では,2次のN-N散乱振幅:Sfi(2) のspinor行列要素

は簡単化できて,

u~(p1',s1')γ5u(p1,s1)

~ u(s1')σ(11')u(s1)/(2M)

と近似されます。

 

ただし,u(s1)は2成分のPauli-spinorです。

 

(注8-4): 非相対論的極限では,4成分の正エネルギーspinorの

 大成分は,spin:sにのみ依存し,小成分は運動量pにのみに依存

 する2成分spinorに分割近似できるため,

 

 (p,s) ~ [u(s),w(p)]と書けば,γ0γ5は,

 となるので,

 

~(p1',s1')γ5u(p1,s1)

~ [u(s1'),w(p1')]γ0γ5[u(s1),w(p1)]

=u(s1')w(p1)-w(p1')u(s1)

です。

 

ところが,(γμμ-M)u(p,s)=0 であって,

γμμ=γ0E-γpです。

 

そして,u(p,s) ~ [u(s),w(p)]であり,γpは,  

と表わされるため,上記の運動量表示の自由粒子Dirac方程式は,

 と書けます。

 

このDirac方程式から,(E-M)u(s)-σpw(p)=0,

および,σpu(s)-(E+M)w(p) を得ます。

 

さらに,非相対論的極限では,0,E ~ Mですから,

(p) ~σpu(s)/(2M)であり,

(p) ~u(s)σp/(2M) です。

 

 よって,u~(p1',s1')γ5u(p1,s1)

  ~ u(s1')w(p1)-w(p1')u(s1)

=u(s1')σp1u(s1)/(2M)

-u(s1')σp1'u(s1)/(2M) 

=u(s1')σ(11')u(s1)/(2M)

となります。

 

 (注8-4終わり)※

 

一方,非相対論的極限では,質量がμのπ中間子の伝播関数の

運動量表示は,Yukawa(湯川)ポテンシャル:

V()=g02exp(-μr)/r のFourier変換です。

 

ただし,r≡||です。

 

すなわち,Sfi(2)におけるπ中間子の伝播関数因子は,

1/{(p1'-p1)2-μ2} ~1/{(1'-1)2+μ2}

{-1/(4π)}∫d3exp{i(1'-1)}exp(-μr)/r

です。

 

(注8-5):既に,本ブログの以前の2012年6/17の過去記事

強い相互作用(湯川相互作用(1))」において,

 

 (2π)-3∫d3{2π202 exp(-μr)/r}exp(iqr)

 =02/(2+μ2)

 となることを示しています。 

 

 (注8-5終わり)※

 

そこで,この極限では,ポテンシャル:(1,2)

=-(f22)(1-Pex)(τ1τ2)(σ1)(σ2)

exp(-μ|12|)/|12| から得られるg02の1次の

オーダーまでの散乱振幅に一致すると見えます。

 

ここで,f2={g02/(4π)}{μ/(2M)}2であり,Pexは中性子波動関数と

陽子波動関数を入れ換えさせる演算子です。

 

つまり,Pexは,N-N散乱振幅の式の第1項の交換グラフに対応する

符号(-)を除く第2項を生み出すものです。

 

実際に,Sfi(2)がポテンシャル:(1,2)によるポテンシャル

散乱の1次の散乱振幅に一致することを確認します。

 

まず,非相対論的極限では,2次のN-N散乱振幅:Sfi(2)は次の

ようになります。

 

fi(2)(-ig0)22(2π)-6(E121'E2')-1/2

(2π)4δ4(p1+p2-p1'―p2')

([χ1'(s1'){iσ(11')/(2M)}τu(s11]

[(-i)/{(1'-1)2+μ2}]

2'(s2'){iσ(22')/(2M)}τu(s22]

 

([χ2'(s2'){iσ(12')/(2M)}τu(s11]

[(-i)/{(2'-1)2+μ2}]

1'(s1'){iσ(21')/(2M)}τu(s22])

 

(-ig0)22(2π)-6(E121'E2')-1/2

(2π)4δ4(p1+p2-p1'―p2')

{(χ1'τ1χ1)(χ2'τ2χ2)}(2M)-2(s1')u(s2')

iσ1(11')iσ2(22')u(s1)u(s2)

(-i)/{(1'-1)2+μ2}

 

{(χ2'τ1χ1)(χ1'τ2χ2)}(2M)-2(s2')u(s1')

iσ1(12')iσ2(21')u(s1)u(s2)

(-i)/{(2'-1)2+μ2}

 

です。 

 

ここで,τ1,τ2またはσ1,σ2に付けた下添字は入射粒子1,2

対応するものです。

 

そして,1,2が各々散乱されて1',2'に移行した終状態を

Isotopic-spinspinについて,その順に並べたものです。

 

そこで,交換第2項においても添字1は左から1番目同士,添字

左から2番目同士Isotopic-spinorやspinorに挟まれると

します。

 

またまた.長くなり過ぎたので,今日はここで終わります。

 

"実際に,Sfi(2)がポテンシャル:(1,2)によるポテンシャル

散乱の1次の散乱振幅に一致することを確認します。"

以下の文章が完結しない中途半端な形で終わってますから,次の記事は

この議論の続きから書く予定です。

 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGrawHill)

 

PS:テレビでまったり高校野球観戦を楽しみにしてたけれど,関西は大雨で甲子園の野球は中止順延でしょうね。

 

雨男である私にはよくあることですが。。

 

アりゃりゃ,これを書きながら,そして朝8時頃には朝飯食べながら,

この記事の編集作業に夢中になってるうち,今10時過ぎでドンブリ

によそってたご飯がまだ半分くらい残ってて冷たく固くなっている。

 

お湯をかけて,ほぐして湯漬けにします。

 

PS2;モットーもなく,如何なる宗教的ドグマにもモラルにも縛られ

ないと自負しているなら,私は何を行動原理にして,あるいは,何を

基準に批判的言辞などを述べているのでしょうか?

 

ただ,真面目に生きてる人たちをチャカしているのか?と思われる

かも知れませんが。。

 

普通のモラルとは関係なく,また自分の言辞を是とする根拠はない

ですが,ちゃんとした行動原理も思想もあります。

 

それは,誰かの味方をする(誰かの利益を擁護する,物事を常にその

優先順位(priority順)で考える)という簡単なもので,しかも,ブレ

ることなく昔から終始一貫しているつもりです。

 

どこかの馬の骨,有象無象である私のブログの駄文の幾漠かを読

む関心とヒマがあるお方なら,おわかりかと。。

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2012年8月10日 (金)

今月の癒し動画

 今月届いたYou-Tubeメールから,恒例の癒し動画のUpdateです。

 今年の8月6日,8月9日原爆祈念日。。アメリカによる1945年の広島,長崎の原爆投下から67年目。

(※原爆投下を命令した,当時のトルーマン大統領の孫が,勇気を持って来日してセレモニーに参加したらしい。)

 爆弾,武力で戦争,殺戮を抑止できるという思想などもってのほか。。

 ましてや,その大量虐殺のおかげで,これ以上の戦争が防げたなどと。。

 (↓※2007年11/29の記事「ソルジャー・ブルー再び(映画感想)か」ら)

  我.,国家の防衛。軍事武装には反対。されど我が愛する者を攻撃されしときには,及ばずながら,我が身,命をもって,我に抵抗し防御する用意あり。。

 北方領土に竹島,そして尖閣等々,たとえ資源のない無人島であろうとそこから200海里以内は自国の領海であるとか。。

 国家って一体何?。。国の領土って何?

 ジョン・レノンがイマジンで歌っていた。。

 「故郷はない。ただ地球があるだけ。。」,と。。

 セラムンの主題歌セーラー伝説にも,

 「同じ,くに(地球)に生まれたの。ミラクル・ロマンス」と。。

 地球は誰もものでもないし,誰がどこに行ってどこに住もうが自由だと思う。

 それは理想だ,ケツが青いと言われても,理想を主張して何が悪い?

 そういう自由を許せば,お金?利権?既得権?が失われてしまう?

 そんなもの捨ててしまえ。。財産を積めばやがて来る死を忘れられる,というのは幻想でしかない。いくら頑張っても高々100年程度の命。。

 平和利用という原発も含め,人類は火をコントロールできるようになったごとく,原子力もコントロールできると考えるのは思い上がりもはなはだしい。

 いくら役に立つ毒であっても,間違えて,それを食らえば死んでしまう。間違いをコントロールできないならそれを利用すべきではない。誰かの命を代償に,弾丸の当たる心配のない安全な場所でその利だけを貪るなどということが許されるはずもない。

 「チャイナシンドローム」,「トイレのなマンション」。。ゴミとして安全に捨てることも不可能な使用済み燃料など。。。

PS:もうすぐ13日最後男子マラソンでオリンピックも終わりです。

 サッカーは女子,男子とも優勝はできなかったけど,よく頑張りました。アメリカ女子は,ゴールポストも味方に付けた神懸り的守りてした。

 女子バレー,など団体球技は調子よかったですね。中国語では「頑張れ」は,「加油!!(チャーヨ)」でしたっけ。これ卓球会場の応援で聞こえました。

 オリンピックが終われば次は高校野球でも見ようかな?見るだけのスポーツはとても好きなので。。

 私の母校:金光学園は,昨年夏は決勝で延長の末関西に逆転負けしましたが,今年も予選で敗退して甲子園を逃しましたが,岡山県代表の倉敷商は1組み合わせによると,14日に三重県の松坂高校と2回戦から初戦の予定です。

 それもあって,14日に休みを取りましたが,それまでに雨が降ったりして試合の中止順延などがあると予定は狂ってしまいますね。

 日本を応援するからといってナショナリズムというわけではない。

 高校野球の岡山県を含め,私が愛着を感じるのは,国(国家)ではなく,,生まれ育ったくに(故郷)なのだから。。

 

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2012年8月 9日 (木)

夏祭り

 去る8月7日(火)は,お世話になっている日本橋馬喰町の職場?(施設?)で毎年恒例となった夏祭りイベントがありました。

 私は,前日6日の夜25時から7日3時まで,女子サッカー「なでしこジャパン」のロンドンオリンピック準決勝:対フランス戦を見て,

 そのついでに,もう1つの準決勝:「:アメリカ対カナダ戦」もつい朝6時まで見て,朝9時半頃に目覚めましたが,朝から夏祭りがあることをウッカリしていて,11時頃それに気付いて「今日は休もうか?」とも思ったのですが,結局遅れて丁度お昼の12時頃に着きました。

 実は,私は5日(日)6日(月)と8月最初の休日を取り,元々の予定では暑いし夏休みとしてゴロゴロ寝てヨウビにするツモリだったのですが,

 2日続けて仲間内のイベント続きであったこともあり,体も精神的にもチョット疲れて帰宅してオリンピックを見てリラックスしているうち,翌日夏祭りがあることを失念していたのでした。

 5日は7月14日から糖尿病のインスインの量の調節等で北区の病院に入院しているT.Iさんのお見舞いに誘われて行ってきました。

 そして,6日の昼から16時頃までは,8月イッパイで今の職場を辞めて,10月には東京からいなくなるというT.Eさんの送別会の1つで,会社近く馬喰町のホテルでのローストビーフ等食べ放題にお付き合いしたのでした。

 さて,夏祭りは,午前中は開会式の後,豊島区,世田谷区や馬喰町の隣の中央区浜町などのボランティアによって,パントマイムやマジックショーもあったらしいのですが,私が遅刻しての到着したお昼頃は日本舞踊や獅子舞,おカメ,ヒョットコの踊りをやってました。 

  

 

 その後,「炭坑節」や「東京音頭」での盆踊りでお開きになりましたが,私も見よう見真似で踊って少しは楽しみました。

 こうしたイベントがあるときには普段,別かれて仕事している仲間たちも一同に会する機会なので,例によって巣鴨駅前ののカラオケボックスで2時間ほど,"アフター祭り"もやりました。

 今回は祭りお開きの後,連絡が付かないかった人もあり男3人,女2人の小グループに参入しました。

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2012年8月 6日 (月)

強い相互作用(湯川相互作用)(7)(アイソスピン2)

強い相互作用(湯川相互作用)」シリーズの続きです。 

 

まず.前回の最後の部分の再掲からです。

 

※(再掲):こうした架空の内部空間での回転対称性は,確実に

陽子と中性子だけがある状態については常に成立するし,

 

仮に,超選択則を破って陽子と中性子が確率的に混じり合った

純粋重ね合わせ状態が存在するとしても成立する形式です。

 

一方,π中間子はIsotopic-spinの値として,I=1を運ぶ粒子です。

(再掲終了)※

 

今日はここから続きです。 

 

π中間子はIsotopic-spinの値としてI=1を運ぶ粒子なので,

2つのアイソチャンンネル(Isotopic Channels):I=3/2,I=1/2

でπ中間子-核子散乱(π-N散乱)を論じることができます。

 

今のmodelでの,荷電独立な相互作用(電荷に依らない相互作用):

(iγμμ-M)Ψ=g05(τφ)Ψ,

(□+μ2)φ=-g0Ψ~iγ5τΨ

 

ただし,Ψ=]T =ψ[1,0]T+ψ[0,1]T,

Ψ~=[ψ~,ψ~],φ=(φ123)

における,

  

Feynman-diagrams(グラフ)に対応するルールの要約表を

以下に箇条書きにします。

 

1.あらゆる連結グラフ(connected diagrams)を書く。

2.各グラフの各vertex(相互作用頂点)に因子:

 -ig05τα)∫d4xを対応させる。

 3.y→xの核子内線に伝播関数:iSF(x-y)

 (ただし,は2×2単位行列)の振幅を対応させる。

 

また,中間子(meson)内線には,伝播関数iΔF(x-y)δαβ

を対応させる。αβは3×3単位行列の成分で,添字α,βは

ταβに結び付く添字)

 

4.各外線に波動関数を対応させて導入する。

 

核子外線には,陽子にχ=[1,0],中性子に χ=[0,1]

を付与する。

 

特に,このそれぞれに射影演算子:(1+τ3)/2,および,(1-τ3)/2

を対応させるのが便利です。

 

例えば,入射中性子には,

(2π)-3/2(M/E)1/2exp(-ipx)u(p,s)χ

(2π)-3/2(M/E)1/2exp(-ipx)u(p,s){(1-τ3)/2}[0,1]

を割り当てます。

 

また,中間子(meson)外線には,Isotopic因子:φを有する波動関数

を結び付ける。

 

電荷+,-,0を持つπ-mesonの状態については,それぞれ,

φ=(1/√2)(1,i,0),φ(1/√2)(1,-i,0),φ0=(0,0,1)

なる成分表示を与える。

 

入射したπが吸収される,または,負エネルギーを持ったπ

過去に伝播して終状態にπが放出されるvrtexには,Isotopic因子:

τφ=(1/√2)(τ1+1τ2)=√2τを対応させる。

 

一方,終状態でのπの放出,または始状態でのπの吸収には,

Isotopic因子:τφ(1/√2)(τ1-1τ2)=√2τを対応させる。

 

5. §10.2での規約によって,2つの核子線を交代させただけ異なる

グラフには,相対的に(-)符号を付ける。

 

 また,核子内線のclosed loop(閉ループ)に(-)符号を付与する。

 

 さらに,初期状態での反粒子の数をn~とするとき,全体に因子:

 (-)n~を付ける。

 

 しかし,{g02/(4π)}~14と,結合定数が大きいので,一般に,この

 相互作用における計算に,摂動近似の方法は,あまり有用ではない

 と考えられます。

 

§10.4 Conserved Current(保存カレント)

 

アイソスピン定式化では,電磁current(電流)の保存の連続の方程式:

μμ=∂μ[jμ+jπ+μ]=0 は次のようになります。

(※∂μμ=0,は∂ρ/∂t+∇j=0 とも書けます。

ここでρ=j0です。)

 

すなわち,∂μ[Ψ~γμ{(1+τ3)/2}Ψ+(φ×∂μφ)3]=0です。

 

(注7-1):何故なら,陽子currentは,

μ=ψμψ

=[ψ~,ψ~]γμ{(1+τ3)/2}[ψ]

=Ψμ{(1+τ3)/2}Ψ です。

 

また=(1/√2)(φ1+iφ2),φ=(1/√2)(φ1-iφ2),

であり[φ12]=0 ですからcurrentは,

 

π+μ=i{φμφ-(∂μφ}

(i/2){(φ1+iφ2)(∂μφ1-i∂μφ2)

-(∂μφ1+i∂μφ2)(φ1-iφ2)}

=φ1(∂μφ2)-φ2(∂μφ1)=φ×(∂μφ)3

 

です。(注7-1終わり)※

 

そこで,保存される総電荷は,

Q=∫d3jρ(x)=∫d30(x)

=∫d3{(1+τ3)/2}Ψ+(φ×φ)3]

であり,

 

総電荷の保存則:dQ/dt=0 を得ます。

 

ただし,φ≡∂0φ=∂φ/∂t です。

 

また, (iγμμ-M)Ψ=g05(τφ)Ψから直接得られる

保存則としては,一見しただけで,μμ=∂μ(Ψ~γμΨ)

=∂μμψ+ψμψ)=0 が成立することがわかります。

 

そこで,保存量として,N≡∫d3Ψ)

=∫d3ψ+ψγμψ)を得ます。

 

保存則はdN/dt=0 です。

 

このNは,核子数 or バリオン数(重粒子数:Baryon-number)です。

 

2つの独立な保存量:Q=[Ψ{(1+τ3)/2}Ψ+(φ×φd)3],

および,N=∫d3Ψ)=∫d3ψ+ψγμψ)

から,

 

3≡∫d3τ3Ψ+(φ×φd)3]とおけば,

Q=N+I3/2であり,dQ/dt=0,dN/dt=0 なので,

3も保存量:dI3/dt=0 であることがわかります。

 

そして,運動方程式:(iγμμ-M)Ψ=g05(τφ)Ψ,

および,(□+μ2)φ=-g0Ψ~iγ5τΨ によれば,

 

上記のIsotopic-spinの第3成分:

3=∫d3[(1/2)Ψτ3Ψ+(φ×φd)3]

だけでなく,

 

全体のIsotopic-spinベクトル:

=∫d3[(1/2)ΨτΨ+(φ×φd)]

が保存することがわかります。 

 

この=∫d30によって保存量となる保存current:

μは,μ(1/2)Ψ~γμτΨ+φ×(∂μφ)で与えられます。

 

(注7-2):Jμ=(1/2)Ψ~γμτΨ+φ×(∂μφ)より,

 i∂μμ=(1/2){(i∂μΨ~)γμτΨ+Ψ~γμτi∂μΨ}

 +i∂μ{φ×(∂μφ)}] です。

 

ところが,

i∂μ{(1/2)Ψ~γμτΨ}i

(1/2){(i∂μΨ~)γμτΨ+Ψ~γμτi∂μΨ}i

(1/2)[-(Ψ~MτiΨ)-g0Ψ~iγ5(τφiΨ

(Ψ~MτiΨ)+g0Ψ~iγ5τi(τφ)Ψ]

(1/2)g0Ψ~iγ5i,τj]φjΨ

ですから,

 

i∂μ[(1/2)Ψ~γμτΨ]I=ig0Ψ~iγ5εijkτkφjΨ

を得ます。

 

一方,i∂μ{φ×(∂μφ)}i=iεijkμφjμφk+iεijkφjφk

=-2εijkφjφk-ig0Ψ~iγ5εijkφjτkΨ ですから,

 

結局,i∂μ{φ×(∂μφ)}i=-ig0Ψ~iγ5εijkτkφjΨ

を得ます。

 

したがって,i∂μμ

=i∂μ[(1/2)Ψ~γμτΨ+i∂μ{φ×(∂μφ)}=0 ですから,

μ=(1/2)Ψ~γμτΨ+φ×(∂μφ)は,確かに保存currentです。

 

それ故,≡∫d30=∫d3[(1/2)ΨτΨ+(φ×φd)]

とおけば,/dt=0 となるわけです。(注7-2終わり)※

 

さて,電荷Qと核子数Nは自然界において,常に厳密に保存する量

ですが,アイソスピン:の保存は電磁相互作用,弱い相互作用を

無視したとき,近似的に成立するのみです。

 

ただ,等式:Q=N+I3/2が正確に成立して,QとNは厳密に保存

するため,が保存しない場合でもの第3成分:I3は,厳密に保存

します。

 

今日はかなり短いですが,今回は前回長過ぎて中途で残していた

部分を追加して前記事を完結させる意図だけで書いたので,ここ

で終わります。

 

(参考文献):J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGrawHill)

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ハマコーも力尽きたか?あの世へと旅立つ

 ハマコーこと浜田幸一氏が,8月5日午前死去されたことがわかりました。

 急性心不全のため 88歳でした。 

 MSN産経ニュース →

  「国会の暴れん坊」「ハマコー」こと浜田幸一氏が死去

     :

 国会議員にしては,天真爛漫の愛すべきキャラクター。。

 小泉純一郎氏が初入閣して郵政大臣になった当時。

 丁度,ある芸者が自殺した事件に関連して。。

 「このゲイシャゴロシヤロー」と怒鳴ったのは有名

  ご冥福を祈ります。合掌!!

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2012年8月 4日 (土)

訃報!!津島恵子さん

 去る8月1日,女優の津島恵子さんが亡くなられました。

 86歳。胃がんのためだそうです。  

 朝日新聞デジタル →

 俳優の津島恵子さん 死去[七人の侍」,「お茶漬けの味

        写真

 確かに,昔,黒澤明監督の映画「七人の侍」に,まだうら若い乙女の役で出ていましたね。

 最近は,TV朝日系のドラマで,故 小林桂樹が演じる「牟田刑事官」の奥さん役くらいしか見たという記憶がないですが。。

 86歳なら大往生でしょう。。

   ご冥福を祈ります。合掌!!

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2012年8月 1日 (水)

強い相互作用(湯川相互作用)(6)(アイソスピン1)

 お久しぶりです。

 

 ブログ書きをサボっているううちに8月になっちゃいました。

 

 決してブログを忘れたわけじゃなくて,連日の猛暑にバテつつも,

 次の大会はもう見られないかも知れない,オリンピックのTV観戦

 に明け暮れたりしています。

 

 さて,「強い相互作用(湯川相互作用)」シリーズの続きです。

 前回最後に予告していたアイソスピン(Isotopic-spin:荷電spin)

 による定式化に入ります。

 

 §10.3 Isotopic Spin Formalism(アイソスピン定式化)

 

 π中間子の交換による核子間の相互作用modelについて,ここまでの

 議論での基本運動方程式系を全て要約して列挙すると,

 

(iγμμ-M=g05ψpφ0+g5ψφ,

(iγμμ-M=-g0ε05ψφ0+gε5ψφ,

  

および,

  

(□+μ020=-g0ψ~iγ5ψη0+g0ε0ψ~iγ5ψη0,

(□+μ2=-gηψ~iγ5ψ

(□+μ2=(□+μ2=-gηψ~iγ5ψ,

 

となります。

 

ただし,φ=φ です。

 

これらにおいて,決定されたパラメータε0=ε=+1,

η0=η=+1を代入し,=√2g0を用いてgを消去すれば,

次のやや簡明化された基本方程式系を得ます。

 

(iγμμ-M=g05φ0+√2ψφ),

(iγμμ-M=g05(-ψφ0+√2ψφ), および,

 

(□+μ020=-g0~iγ5ψ-ψ~iγ5ψ),

(□+μ2=-g0√2ψ~iγ5ψ

(□+μ2=(□+μ2=-g0√2ψ~iγ5ψ

   

です。

 

ここで,M≒Mなので,これらを核子質量として同じ記号Mで表

わし,1つの核子波動関数を,2次元列ベクトルによって,

Ψ≡[ψ]=ψ[1,0]+ψ[0,1]

と表わすことにより,これらの基本方程式系を行列形式で表現し直す

ことを考えます。

   

すると,まず,自由粒子のDirac方程式は,(iγμμ-M)Ψ=0

と書けます。ただし,0=[0,0]です。

 

また,先の方程式のうち,

(iγμμ-M=g05φ0+√2ψφ),

(iγμμ-M=g05(-ψφ0+√2ψφ) は,

 

(iγμμ-M)[ψ]

=g05([ψ,-ψ]φ0+√2[ψ,0]φ+√2[0,ψ]φ)

 となります。

 

ここで,2行2列のPauli行列:τ=(τ123)

を導入します。 

です。

 

すると,[ψn]=τ1Ψ, [-iψn,iψ]=τ2Ψ,

,-ψn]=τ3Ψ が成立します。

 

また,τ≡(τ1+iτ2)/2,τ≡(τ1-iτ2)/2 とおけば,

τΨ=n,0]T, τΨ=[0,ψp]となります。

 です。

 

τ[0,1]=[1,0], τ[1,0]=[0,1],

τ[1,0]=τ[0,1]0 ですから,

τは謂わゆる昇降演算子です。

 

すなわち,τは,raising operator(上げる(昇)演算子),

τは,lowering operator (下げる(降)演算子)です。

 

これにより,核子のDirac方程式は,

(iγμμ-M)Ψ =g053Ψφ0+√2τ+Ψφ

+√2τ-Ψφ) と書けます。

 

この形式で,さらにベクトル:φ≡(φ123)を導入します。

 

ただし,φ1≡φ+φ)/√2,φ2≡i(φ-φ)/√2,φ3=φ0: 

つまり,φ≡(φ1-iφ2)/√2,φ=φ=(φ1+iφ2)/√2,

φ0=φ3 です。

  

こうすれば,

(iγμμ-M)Ψ=g053Ψφ0+√2τΨφ+√2τΨφ)

は,(iγμμ-M)Ψ=g05(τφ)Ψ と簡単な表0現になります。

 

同様に±0の微小な質量差を無視してμ0≒μ~μとすれば,

(□+μ020=-g0~iγ5ψ-ψ~iγ5ψ),

(□+μ2=-g0√2ψ~iγ5ψ ,

(□+μ2=-g0√2ψ~iγ5ψ,

 

は,(□+μ2)(φ123)

=-g0~iγ5ψ+ψ~iγ5ψ,

~iγ5ψ-iψ~iγ5ψ,ψ~iγ5ψ-ψ~iγ5ψ)

と書けます。

 

ところが,ψ~iγ5ψ+ψ~iγ5ψ

=[ψ~,ψ~](iγ5)[ψ]T

=[ψ~,ψ~](iγ51]T ,

 

~iγ5ψ-iψ~iγ5ψ

=[ψ~,ψ~](iγ5)[-iψ,iψ]T

=[ψ~,ψ~](iγ52]T ,

 

ψ~iγ5ψ-ψ~iγ5ψ

=[ψ~,ψ~](iγ5)[ψ,-ψ]T 

=[ψ~](iγ53,-ψ]T

 

ですから,

 

結局,(□+μ2)φ=-g0Ψ~iγ5τΨ

が得られます。

 

ただし,Ψ~≡[ψ~,ψ~] です。

 

以上をまとめると,

(iγμμ-M)Ψ=g05(τφ)Ψ,

(□+μ2)φ=-g0Ψ~iγ5τΨ

 

ただし,Ψ=]=ψ[1,0]+ψ[0,1],

Ψ~≡[ψ~,ψ~],φ≡(φ123) です。 

 

ここで,架空の3次元アイソスピン空間(Isotopic space)を想定し,

Ψはこの空間での1つの2次元spinor,φは1つのvectorとして

変換すると仮定します。

 

つまり,系を3次元アイソスピン空間の1軸のまわりにθ1,

2軸のまわりにθ2,3軸のまわりにθ3だけ回転させるとき,

θ=(θ123)と書けば,

 

Ψ,および,φは,それぞれ,

Ψ → exp{-i(τθ)/2}Ψ,および,φ exp(-iLθ)φ

なる変換性を持つ,と仮定するわけです。

 

このとき,方程式系:(iγμμ-M)Ψ=g05(τφ)Ψ,および,

(□+μ2)φ=-g0Ψ~~iγ5τΨ ;は,この回転に対して明らかに

共変(covariant)です。

 

ただし,は3次の正方行列を成分とするベクトル:

=(L1,L2,L3)でi(i=1,2,3)の行列要素は,

(Li)jk≡-iεijk(ij,k=1,2,3)で与えられます。

 

(注6-1):古典力学で知られているように,ベクトルの原点を

 固定したときの回転によるベクトルの変化は×です。

 

したがって微小回転:=Δθを生成する回転の生成子:^

ベクトルに対する3×3表現行列=(L1,L2,L3)は,

 

ベクトル:φに対して,-i(Δθ)φ=Δθ×φ

となるように選択されます。

  

そこで,exp{-i(Δθ)}φ ~ [1-i(Δθ)]φ

φ+Δθ×φ です。

 

実際,(Li)jk≡-iεijkと選択すされていれば,

確かに,{-i(Δθ)φ}k=-εjklΔθjφl=εkjlΔθiφl

={Δθ×φ}k です。

 

例えば,3軸(z軸)の回りのxy平面の角度θの回転なら,

θ=(0,0,θ)なので,exp{-i(θ)}φ=exp{-i(L3θ)}φ

であり,これは座標平面の回転直交行列としてよく知られて

いるように,

と書けますが,

 

特に,θ=Δθ(無限小)なら,exp{-i(L3Δθ)} ~ 1-i(L3Δθ)

ですから,ベクトルの回転:exp{-i(θ)}φは,

 

となります。(注6-1終わり)※

 

τはベクトル表記ですが,一般にvector的に変換するわけではなく,

むしろΨのspinor変換によって,双一次形式(Ψ~τΨ)がvector変換

します。

 

太字のベクトル記号:τは単に表記法として用いただけで,

 SU(2)群のLie代数空間の基底ベクトルを意味しています。

 

こうした架空空間での変換性は,Lagrangian定式化において,

相互作用Lagrangian密度intの不変性:

あるいは,運動方程式の共変性を保証します。

 

実際に計算すると,

方程式:(iγμμ-M)Ψ=g05(τφの右辺は, 

 

05(τφ

→ g05{τ(φφ×Δθ)}(Ψ-iτΔθΨ/2)

=g05(τφ)Ψ-g05{τ(φ×Δθ)}Ψ

-g05(τφ)i(τΔθ)Ψ/2

と変換されます。

 

一方,左辺は,

(iγμμ-M)Ψ → (iγμμ-M)(Ψ-iτΔθΨ/2)

です。

  

これに方程式:(iγμμ-M)=g05(τφ)Ψ を用いると,

 

(iγμμ-M)(Ψ-iτΔθΨ/2)

=g05(τφ)Ψ-g05 (iτΔθ)(τφ)Ψ/2

です。

 

ところが,[τΔθ/2,τφ]=(1/2)Δθjφkjk]

 =ijkτiΔθjφk=iΔθ(τ×φ)=iτ(φ×Δθ)

 ですから,

 

 -g05 (iτΔθ)(τφ)Ψ/2

 =-g05(τφ)i(τΔθ)Ψ/2-g05i(φ×Δθ)

 です。

 

そこで,(iγμμ-M)(Ψ-iτΔθΨ/2)

=g05(τφ)Ψ-g05(τφ)i(τΔθ)Ψ/2

-g05i(φ×Δθ) と書けます。

 

したがって,アイソ空間におけるΔθの無限小回転:

Ψ → Ψ'=Ψ-iτΔθΨ/2,φ Φ'=φφ×Δθ

に対して,

 

元の式と同じ方程式:(iγμμ-M)Ψ'=g05(τφ')Ψ'

が成立するため,(μμ-M)Ψ=g05(τφ)Ψの形が,

アイソ空間の回転に対して不変です。

 

つまり,この方程式は共変(covariant)です。

  

次に,(□+μ2)φ=-g0Ψ~iγ5τΨ の両辺の変換性を調べます。 

 

まず,右辺のΨ~iγ5τΨの変換性を見るには,Ψ~τΨのの変換性

を調べれば十分です。

 

アイソ空間におけるΔθの無限小回転に対しては,

ττ'=τ,Ψ → Ψ’=Ψ-iτΔθΨ/2

なので,Ψ'~τ'Ψ'=(Ψ~+Ψ~iτΔθ/2)τ(Ψ-iτΔθΨ/2)

=Ψ~τΨ+iΨ~[τΔθ,τ]Ψ/2 です。

 

つまり,(Ψ'~τ'Ψ')l=(Ψ~τΨ)l-Ψ~εnmlΔθ nτmΨ

(Ψ~τΨ)l-(Ψ~τΨ×Δθ)l ですから,

 

Ψ~τΨ → Ψ'~τ'Ψ'=Ψ~τΨ-Ψ~τΨ×Δθ

が成立します。

 

一方,φ Φ'=φφ×Δθより,

(□+μ2)φ→(□+μ2)φ'=(□+μ2)φ-(□+μ2)φ×Δθ

=-g0Ψ~iγ5τΨ-g0Ψ~iγ5τΨ×Δθ です。

 

よって,方程式:(□+μ2)φ=-g0Ψ~iγ5τΨも共変です。

 

この共変性は,陽子と中性子,および,荷電π-mesonと中性π-meson

が,同じ相互作用を持つため,電磁その他の相互作用がないとき,

それぞれ,同等な粒子と見なせることに起因しています。

 

こうした,アイソスピン(Isotopic spin)定式化は,数学的には 

3次元の角運動量定式化と同等です。

 

(注6-2):(補足説明)波動関数:φ123に対応する

 状態基底|π1>,|π2>,|π3に対する実際のπ-meson状態

 |π>,|π>,|π0>の列ベクトル表示は,

 

 >=(1/√2)(1,i,0 )T,|π>=(1/√2)(1,-i,0 )T,

 |π0>=(0,0,1)T です。

 

この列ベクトル表示は,状態基底を横に並べた行ベクトル:

(|π1>,|π2>,|π3>)に関して,

 

>=(|π1>,|π2>,|π3>)(1/√2,i/√2,0)T

(1/√2)(|π1>+i|π2>),

>=(|π1>,|π2>,|π3>(1/√2,-i/√2,0)T

(1/√2)(|π1>-i|π2>),および,

0>=(|π1>,|π2>,|π3>(0,0,1)T=|π3

 

であることを意味する表記です。

 

ちなみに,やや先走って第二量子化された場の演算子を

φ1^,φ2^,φ3^とすると,対応して π0の場の演算子は,

φ^=(φ1^-iφ2^)/√2,φ^=(φ1^+iφ2^)/√2,φ0^=φ3^

ですが.

 

これらのFourier積分表示の係数で与えられる運動量表示の

消滅演算子:1^,a2^,a3^,および,生成演算子:

1^,a2^,a3^については,

 

^=(a1^-ia2^)/√2,a^=(a1^+ia2^)/√2,

0^=a3^,

 

および,

^=(a1^+ia2^)/√2,a^=(a1^-ia2^)/√2,

0^=a3^です。

 

π-mesonの自由粒子状態は,|0>を真空として

1>=a1^|0>,|π2>=a2^|0>,|π3>=a3^|0>,

かつ,>=a^|0>,|π>=a^|0>,

0>=a0^|0> なので,

 

>=(1/√2)(|π1>+i|π2>),

>=(1/√2)(|π1>-i|π2>),

0>=(1/√2)|π3

となるわけです。

 

一方,ある粒子(量子)の場の演算子がφ^であるとき,任意の状態

|Ψ>に対して,その場に対応する1粒子波動関数:φは,

φ(,t)=<0|φ^(,t)|Ψ>で与えられます。

 

そのため,波動関数については,場の演算子と同じく,

φ1-iφ2)/√2,φ=(φ1+iφ2)/√2,φ0=φ3

と書けます。

 

さて,|π>=(1/√2)(1,i,0 )T,|π>=(1/√2)(1,-i,0 )T,

0>=(0,0,1 )Tは,isotopic-spin:の固有値:I=1に属する

固有状態であり,同時に,それぞれ固有値:31,-1,0に属する

3の固有状態です。

 

ところが,先に与えた,行列要素が,(Li)jk≡-iεijk

(j,k=1,2,3)の行列i(i=1,2,3)を成分とする3次元回転

の生成子の行列表現:=(L1,L2,L3)に対して,

 

上記のπ-mesonの状態の列ベクトル:|π>=(1/√2)(1,i,0 )T,

>=(1/√2)(1,-i,0 )Tは,L3=1,-1,0に属する固有ベクトル

になっていて,

 

3>=|π>,L3>=-|π>,30>=0,

が満たされています。

 

つまり,行列=(L1,L2,L3);(Li)jk≡-iεijkは,

Isotopic-spin:(I1,I2,I3)の基底:|π1>,|π2>,|π3

に対する行列表現になっていることがわかります。

 

ここで,後の便宜のため,状態をIsotopic-spinの固有値を並べた

表現:|I,I3で表わせば,|π0>=|1,0>,および,

>=|1,1>,>=|1,-1> です。

 

ここで,L±≡L1±iL2(復号同順)とおくと,

 

2|π>=√2|1,1>=L|1,0>,

√2|π>=√2|1,-1>=L|1,0>

が成立します。

 

煩雑ですが,|I,I3>によるL±の全ての行列要素を列挙すると,

 

1,1|L|1,1>=0,<1,1|L|1,1>=0,<1,1|L3|1,1>=1

1,1|L|1,0>=√2,<1,1|L|1,0>=0,<1,1|L3|1,0>=0,

1,1|L|1,-1>=0,<1,1|L|1,-1>=0,

<1,1|L3|1,-1>=0,

 

1,0|L|1,1>=0,<1,0|L|1,1>=√2,<1,0|L3|1,1>=0,

1,0|L|1,0>=0,<1,0|L|1,0>=0,<1,0|L3|1,0>=0,

1,0|L|1,-1>=0,<1,0|L|1,-1>=0,

<1,0|L3|1,-1>=0,

 

1,-1|L|1,1>=0,<1,-1|L|1,1>=0,

<1,-1|L3|1,1>=0,

1,-1|L|1,0>=0,<1,-1|L|1,0>=√2,

<1,-1|L3|1,0>=0,

 

1,-1|L|1,-1>=0,<1,-1|L|1,-1>=0,

<1,-1|L3|1,-1>=-1

 

となります。 

 

そして,|π>=|1,1>,|π>=|1,-1>であり,

1=(L+L)/2,2(-i)(L-L)/2 ですから,

上記のテーブルから,基底を(|π>,|π0>,|π>)へ変更した

ときのL1,L2,および,L3全ての行列要素を得ることができます。

 

まず,L3について,ゼロでない行列要素は,

<π|L3>=1,<π|L3>=-1

のみです。

 

1については,<π|L10>=-1/√2,

<π0|L1>=-1/√2,

<π0|L1>=1/√2,<π|L10>=1/√2,

 

については,<π|L20>=i/√2,

<π0|L2>=-i/√2,

<π0|L2>=-i/√2,<π|L20>=i/√2

です。

 

そこで,|π>=(1,0,0),|π0>=(0,1,0),|π>=(0,0,1)

の表示では,

となります。

 

(注6-2終わり)※

 

こうした波動方程式のアイソ空間における回転共変性から,

アイソスピン(Isotopic-spin)という物理量の保存則が得ら

れます。

 

しかし,これは強い相互作用に限定された近似的に成り立つ

保存則に過ぎないことに留意しておく必要があります。

 

さて,この近似では中間子(mesons)や核子(nucleons)の状態は,

アイソスピンとその第3成分I3を同時対角化できます。

 

核子波動関数:Ψ≡[ψ]T がアイソ空間での2次元spinor

として変換されることから,核子のIsotopic-spinの値は1/2で

あることが示唆されます。

 

そして,同時に第3成分I3について,陽子pがI3=+1/2,

中性子nがI3=-1/2を持つことも示唆されます。

 

Ψ=ψ[1,0]T+ψ[0,1]Tとアイソスピン波動関数部分を分離

して書くこともできて,これはψがisospin-up:[1,0]T

状態とisospin-down:[0,1]Tの状態の重ね合わせの重み関数と

して存在すると解釈できます。 

 

これらは,Pauliのスピン定式化に酷似しています。

 

しかし,現実には"陽子と中性子の重ね合わせ"の1粒子純粋状態

は,今まで一切観測されたことがありません。

 

量子論においては,観測すると特定の粒子状態しか観測されない

いう,こうした現象は,超選択則:superselection-rule)と呼ば

れています。

 

にも関わらず,上記のような重ね合わせを意味する書き方は方程式

を表わす上で便利であり,しかもアイソスピン空間での回転不変性

を形の上で明示するものです。

 

こうした架空の内部空間での回転対称性は,確実に陽子と中性子

だけしか存在しない状態については常に成立するものであるし,

 

仮に超選択則を破って,陽子と中性子が確率的に混じり合った

純粋重ね合わせ状態が存在するとしても成立する形式です。

 

一方,π中間子はIsotopic-spinの値としてI=1を運ぶ粒子です。

・・・

途中ですが長くなり過ぎたので,一旦終わりにします。

 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGrawHill)

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