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2012年9月 7日 (金)

相対論的場の量子論(正準定式化)(22)

相対論的場の量子論の続きです。

 

前回の予告通り,Fermionの個数表示(Number Representation)から

入ります。

 

§3.2 Fermi粒子の個数表示

(The Number-Representation for Fermions)

 

-体波動関数:Ψ(1,2,..,n;t)

=(n!)-1/2Σα1,..αn=1C(α12,..,αn)

×uα1(1,t)uα2(2,t)..uαn(n,t),

 

 または,Ψ(1,2,..,n;t)

 =(n!)-1/2Σα1,..αn=1C~(α12,..,αn)

×ΣpδPα1(p1,t)..uαn(pn,t)

 

から得られる情報は,どの粒子がどの量子数を持っているか?という

ことではなく,n個の区別できない粒子の何個がどの量子レベルにあ

るか?ということです。

 

このことにおいて,Klein-Gordon場の量子論的記述との類似が見ら

ます。

 

(注22-1):すなわち,n個のうちのi番目の粒子がどの量子レベル

 α波動関数:uα(i,t)に対応するか?ということではなく,各

 量子レベルαに何個の粒子があるか?ということです。

 

いい換えると,位置座標1,2,..,nの粒子が,それぞれ,

α12,..,αnにあるということは,ある順列(置換):

P=(p1,p2,,..,pn)について,p1,p2,..,pnが,

 

δP倍の重みで,それぞれ,α12,..,αnにあることに相当し,

正確な波動関数は,各々のPに対する項には関係なく,それらの

総和であるSlater行列式であるということです。

 

行列式の各項を与える各々の順列Pに対応するn体系の状態は,

全く区別不可能なので,それ自身としては意味を持たないといえ

ます。(注22-1終わり)※ 

 

Klein-Gordon場の理論においてn粒子系の状態は,各々の単一粒子

状態にある粒子(量子)の個数によって記述されることを見ました。

 

(注22-2):2012年5/3の相対論的場の量子論(正準定式化)(13)

 および,5/8の記事「相対論的場の量子論(正準定式化)(14)

 においては,

 

 実スカラー場:φでのエネルギーH^と運動量^の共通の固有状態:

 Φが,離散表示で,エネルギー・運動量がkμ=(k0,)=(ωk,);

 ωk=(2+m2)1/2の単一の調和振動子の準位,

 

 またはkμを持つ粒子の個数:k (nk=0,1,2..,)に対応する単一

 粒子の波動関数:Φk(nk)≡|nk >=(nk!)-1/2(ak^)nk|0>の

 直積として,個数表示:Φ(nk1,nk2,..,nkr,1,,)≡ΠkrΦkr(nkr)

 

 で与えられる,と記述しました。(注22-2終わり)※

 

ここでの粒子場の,Klein-Gordon場との違いは,粒子の交換について

反対称であるために,各量子状態を占める粒子数が,0 か1 のいずれ

かに限られることです。

 

(注22-3):何故なら,

 Ψ(1,2,..,n;t)=(n!)-1/2Σα1,..αn=1C(α12,..,αn)

×uα1(1,t)uα2(2,t)..un(n,t)では,

  

 係数の反対称性から,

 1,..,αj..,αi,..,αn)=-C(α1,..,αi,..,αj,..,αn)

 より,i≠jに対してαi=αjなら,C(α1,..,αn)=0 となる

 からです。

 

 あるいは,Ψ(1,2,..,n;t)

 =(n!)-1/2Σα1,..αn=1C~(α12,..,αn)

 ×ΣPδPα1(p1,t)..uαn(pn,t)

 において,

 

i≠jに対してijなら,Slater行列式がゼロとなり,同じ

状態に2つ以上粒子が存在する確率はゼロとなって禁止される

からです。(注22-3終わり)※

 

このKlein-Gordon場との類似性の方を認識して,n個のFermi粒子系

の動力学:i(∂Ψ/∂t)=H^Ψを場の量子論の言葉で表現すること

を試みます。

 

初めに,Ψ(1,2,..,n;t)の右辺におけるΣが1,..,αn

各粒子準位:αjについて1からNまで総和を取るという記法,

個々の準位:αの占有数nαによる総和を取るという記法に書き

直します。

 

ただし,今の場合は粒子がFermi粒子なので,占有数nαの値は準位α

が占有されている場合のnα=1か,準位αが空席の場合のnα=0 か

のいずれかに限られます。

 

ここで,n個の粒子の各々が準位αiにあるという単一粒子

波動関数:αiから作られるSlater行列式に対して,

Ψ(1,..,n;1,..,N;t)というnotationを導入します。

 

行列式のn個の列は,αiが上昇する列,つまりα1<α2<,..<αn

従ってuαiが並ぶように並べ替えられ,α(α=12,..,N)は,

 

位置座標が1,2,..,nをとることでラベル付けされたn個の

うち,少なくとも1つのiについてα=αiならα1で,さもな

ければα0 で与えられるとします。

 

 例えば3個の粒子があって,それらが7個の準位のうちの2,4,5

 を占めているなら,α12,α2=4.α3=5であり,

  Ψ(1,2,3;0,1,0,1,1,0,0;t)

 

 です。

 

そうすれば,Ψ(1,2,..,n;t)

=(n!)-1/2Σn1,.,nN=01C'(n1,n2,..,nN)

×Ψ(1,..,n;1,..,N;t)

と簡単になります。

 

ここで,C'(n1,n2,..,nN)=C~(α12,..,αn)です。

 

すぐ前のn=3,N=7の例では,

C'(0,1,0,1,1,0,0)=C~(2,4,5)です。

 

このとき,規格化条件は,

Σn1,.nN=01{C'(n1,n2,..,nN)|2=1

と読めます。

 

(注22-4):何故なら, 

 <Ψ(1,2,..,n;t)|Ψ(1,2,..,n;t)>

 =(n!)-1Σm1,.,mN=01Σn1,.,nN=01C'(m1,..,mN)C'(n1,..,nN)

 <Ψ(1,..,n;1,..,mN;t)|Ψ(1,..,n;1,..,N;t)>

ですが,

 

 Ψ(1,..,n;1,..,N;t)が行列式となる行列を,

 Φ(1,..,n;1,..,N;t)で定義して,

 Ψ(1,..,n;1,..,N;t)=det{Φ(1,..,n;1,..,N;t}}

 と書けば,

   

 Ψ(1,..,n;m1,..,mN;t)|Ψ(1,..,n;1,..,N;t)>

 =∫d1n..dn

 (1,..,n;1,..,N;t)Ψ(1,..,n;1,..,N;t}

 =∫d1n..dn

 det{Φ(1,..,n;1,..,N;t)Φ(1,..,n;1,..,N;t)}

  

 =∫d1n..dn

 det[{Σk=1nαi(k,t)αk(j,t)}i,j=1,..n]

 =(中略)・・・

 =(n!)δm1n1..δmN,nN なので,

  

 <Ψ(1,2,..,n;t)|Ψ(1,2,..,n;t)>

 =Σn1,.,nN=01|C'(n1,..,nN)|2

  

 が得られるからです。(注22-4終わり)※

  

 こうしたn-Fermi粒子系の量子場の理論への翻訳を続けるために,

 真空状態からn粒子波動関数を作り上げる便利な方法を求めます。

 

 粒子の生成と消滅が動力学において中心的役割を果たすことは,

 Diracの空孔理論の伝播関数(Propagators)によるアプローチに

 おいて既に明らかです。

 

 i(∂Ψ/∂t)=H^Ψにおいて,今の議論でのH^が同種の単一(Fermi)

 粒子の総和の形で与えられる相互作用無しの自由粒子系ではなく,

 粒子を交換する相互作用をも含めて,異なる量子数を持つ状態間の

 遷移へと導かれて,1つの状態αで1粒子が消滅されて他の状態βで

 1つが生成される振幅にこれからの関心が持たれます。

 

 この目的のため,すぐ前に論じたKlein-Gordon理論での手本に従って,

 そうした状態を組み立てて結び付けるよう目論まれた生成,および

 消滅演算子を導入します。

 

 まず,真空状態(Vacuum-state):Φ0を定義します。

 

 真空は粒子を全く含まず,それ故,エネルギー・運動量も無く,

 

 しかも,i(∂Ψ/∂t)=H^Ψの解:Ψの1つ,

 

 または,H^=Σj=1nS^(j,j)と和に分解して.

 HS^uα(,t)=i{∂uα(,t)/∂t},

 Ψ(1,2,..,n;t)=Πi=1nαi(i,t)の解:

 Ψの1つに対応 しています。

 

 Φ0に生成演算子を作用させると,ある量子数αを持った1粒子状態

 Φαを生じるよう生成演算子aα^を定義します。

 

 すなわち,状態を全ての量子数((の固有値)でラベル付けされた

 Diracのket-vectorで表現すると,

 

 Φ0|0,0,..,0>に対し,aα^Φ0|0,0,..,1,0,.,0>です。

 

 さて,こうした状態と演算子を波動関数Ψに関連付ける前に,まず,

 簡単で便利な表示を導入します。

 

 排他原理のため,状態は空か?満たされているか?のいずれか

 ですから,これら2つの可能性を,それぞれ,列ベクトル:

 [0,1]αと,[1,0]αで表示するわけです

  

(※上添字tは,"transport(転置):行と列の入れ換え"を意味する

 添字です。行ベクトルの転置はもちろん列ベクトルです。

 

 ただし,本ブログ別記事では,これを便宜上,[0,1]ではなく

 [0,1]と記述ている場合もあります。※)

 

 さて,こうすれば,真空状態のこのFermi粒子対応部分は

 状態が空(empty)であるような列ベクトルの直積で

表現されます。

 

すなわち,Φ0=Πα=1[0,1]α です。

 

そこで,生成演算子:aα^は,α番目の状態の空間において,

[0,1]αから[1,0]αを作る2行2列の行列で表現できます。

 

α^+t[0,1]α[1,0]αなる1つの条件だけなら,

α^の2×2行列表現には,まだ任意性があって,

一意には決まりません。

 

そこで,排他原理によってαに粒子が1個あって満杯状態の

[1,0]αに,さらに生成演算子aα^を作用させると状態が破壊

されて,ゼロ(null-vector)になること:

α^+t[1,0]α[0,0]α を要請します。

 

すると,aα^の行列表現は完全に決まって,

  

となることがわかります。

 

同様に,aα^[1,0]αt[0,1]α,α^ [0,1]α[0,0]α

から,消滅演算子aα^の2×2行列表現も得られます。    

これらの行列表現では,aα^,aα^は行列としても,

確かに,互いにHermite共役になっています。

 

こうした行列表現で反交換関係の式:{A^,B^}≡A^B^+B^A^

が具体的に計算されて,{aα^,aα^}=0,{aα^,aα^}=0,

{aα^,aα^}=1を得ます。

 

以前の議論で,Bose粒子に対する正準量子化手続きで与えられた

換関係:[a^(),a^(')]=[a^(),a^('),]=0,

[a^(),a^(')]=δ3(')(ただし,連続表示)

の代わりに,

 

今は,排他原理のために類似した生成演算子,消滅演算子の間について

上記の反交換関係が得られました。

 

この{aα^,aα^}=0,{aα^,aα^}=0 は,同じ状態から2つ

のFermi粒子を除いたり,2つのFermi粒子を同一状態に導入したり

することが不可能なことを示しています。

 

演算子の積aα^α^の行列の固有値は,占有状態:[1,0]αに対し

は1で,空の状態:[0,1]αに対してはゼロです。

 

 このことは,Nα^≡aα^α^が,個数演算子と解釈されることを

 意味します。

 

 この個数演算子は固有値として,0 と1 しか取り得ないことが,

 以前のBose粒子の個数演算子と異なっています。

 

 簡単な方法で,演算子表現を1粒子波動関数uα(x)に結合させる

 ことができます。

 

 これを実行するために次のような定義で,場の演算子χ^を導入

 します。

 

 すなわち,χ^(,t)≡Σαα(,t)aα^,

 χ^(,t)≡Σαα(,t)aα^です。

 

 こうすれば,1粒子波動関数:uα(,t)は,丁度,場の演算子:

 χ^(,t)の真空:Φ0と1粒子状態:Φαの間の行列要素です。

 

 つまり,α(,t)=<Φ0|χ^(,t)|Φα, or

α(,t)=<0|χ^(,t)|Φα>です。

  

 この精神を続けていけば,場の演算子からn粒子波動関数:

 Ψ(1,..,n;1,..,N;t)を作ることができます。

 

 また,同じ場の演算子からi(∂Ψ/∂t)=H^ΨにおけるH^と同じ

 固有値スペクトルを持つHermite演算子をも作ることができます。

 

 そのためには,いくつかの粒子を含む状態を考える必要があります。

 

 演算子 aαi^,aαj^はj≠iに対するaαi^,aαj^と交換します。

 

 何故なら,それらは異なる状態部分空間の状態に作用するからです。

 

例えばi≠jに対して,αi^αj^Φ0=Φαi,αj

[1,0]αi[1,0]αj×{Πα≠αi,αj[0,1]α}=Φαi,αj

です。

 

もしも直接aαj^を作用させていくと,状態αのある特別な順序を

連結された表示を得るでしょう。

 

ところが,上記のΦαi,αjがi≠jの交換に対して対称であるのに

対し,波動関数:Ψ(1,..,n;1,..,N;t)は,i≠jの交換に

対して反対称です。

 

そこで,数学的な観点から,演算子aα^,aα^を,

 

同一のαに対する反交換関係:

{aα^,aα^}=0,{aα^,aα^}=0,{aα^,aα^}=1

におけるものと同様,

 

異なる状態:α≠α'に対して,

{aα^,aα'^}=0,{aα^,aα'^}=0,{aα^,aα'^}=0

と,反交換関係を満足するように修正することを試みます。

 

 このことは,特に異なる状態:α≠α'に対して,

 修正された生成演算子:α^,bα'^が,

 α^α'^|0>=-bα'^α^|0>

 を満足すべきことを意味します。

 

 これは,i≠jのaαi^αj^|0>=aαj^αi^|0>に

 相対するものです。

 

 ただし,ここでは真空状態を,Φ0の代わりに|0>と表現しました。

 

 こうした望ましい符号の変化を得るためと,bα^の生成演算子と

 しての解釈を維持するために,ある演算子ηα^によって,

 bα^=aα^ηα^ と書くことにします。

 

ただしα^は個数表示において対角的な演算子です。

 

(注22-5):つまり,ηα^の2次元のα空間での行列表現は,

 ηα^[1,0]α=λ1[1,0]αα^[0,1]α'=λ2[0,1]αとなる

 ような対角要素がλ12の2×2対角行列です。(下図)

   

 一方,α^ [1,0]α[0,0]α,α^ [0,1]α[1,0]α

 なので,α^+t[1,0]α=aα^ηα^[1,0]α=λ1[0,0]α,

α^+t[0,1]α=aα^ηα^[0,1]α=λ2[1,0]α です。

 

ηα^は対角行列ですから,これは同じ状態αの2次元空間では如何

なる行列とも交換します。

 

特に,bα^=aα^ηα^=ηα^aα^です。

 

(注22-5終わり)※

  

α^=aα^ηα^を,bα^α'^=-bα'^α^の両辺

代入してみると,この反交換関係式は,次の条件が満足されるなら,

矛盾なく成立することがわかります。

 

すなわちi<αjならaαi^ηαj^=-ηαj^aαi^,

かつaαj^ηαi^=ηαj^aαj^ が成立するという条件です。

 

(注22-6):何故なら, 

 bα^=aα^ηα^なので,α^α'^=-bα'^α^

 は,α^ηα^aα'^ηα'^=-aα’^ηα'^aα^ηα^

 を意味します。

 

 上の条件:αi<αjのとき,aαi^ηαj^=-ηαj^aαi^,

 かつ,aαj^ηαi^=ηαi^aαj^が満たされると仮定します。

 

 するとi<αjのときには,

 まず,aαi^ηαi^aαj^ηαj^=aαi^αj^ηαiαj^

 です。

 

ここで,[aαi^,aαj^]=0 ですが,ηα^についても異なる状態

αについては交換する:[ηαi^,ηαj^]=0 と仮定すれば,

 

右辺=aαj^αi^ηαjαi^=-aαj^ηαj^aαi^ηαi^

ですから,

 

結局,aαi^ηαi^aαj^ηαj^=-aαj^ηαj^aαi^ηαi^

です。

 

よって,bαi^αj^=-bαj^αi^を得ます。

 

他方i>αjのときも,

αi^ηαi^aαj^ηαj^=-aαi^αj^ηαiαj^

=-aαj^αi^ηαjαi^=-aαj^ηαj^aαi^ηαi^

ですから,

 

やはり,bαi^αj^=-bαj^αi^を得ます。

 

(注22-6終わり)※

 

ところで演算子:(1-2Nα^)=(1-aα^α^)は,

(1-2Nα^)[1,0]α=-[1,0]α,(1-2Nα^)[0,1]α=[0,1]α

を満たす対角的な演算子であり,

です。

  

しかも,これはaα^と反交換します。

 

(注22-7):何故なら,{aα^,1}=2aα^,かつ,

 

 {aα^,Nα^}={aα^,aα^α^}

 =aα^α^α^+aα^α^aα^=aα^{aα^,aα^}

 =aα^ですから,

 

 {aα^,1-2Nα^}=2aα^-2aα^=0 です。

 または,実際に,先に与えた下の行列表示のaα^

   

 上記の行列表示:(1-2Nα^)との行列としての積を計算して,

 aα^(1-2Nα^)=aα^=-(1-2Nα^)aα^となること

 が確かめられます。(注22-7終わり)※

 

そこでαiをηαi^≡Πα=1αi-1(1-2Nα^)と定義すればいいことが

わかります。

 

(注22-8):何故なら,この定義でηαi^が与えられたと仮定すると,

 

 αi<αjなら,aαj^ηαi^=aαj^Πα=1αi-1(1-2Nα^)

 =Πα=1αi-1(1-2Nα^)aαj^=ηαi^aαj^,および,

  

 aαi^ηαj^=aαi^Πα=1αj-1(1-2Nα^)

 =Πα=1αi-1(1-2Nα^)aαi^Πα=αiαj-1(1-2Nα^)

 =-Πα=1αj-1(1-2Nα^)aαi^=-ηαj^aαi^

 が得られます。

 

 さらに,ηαi^≡Πα=1αi-1(1-2Nα^)から,

 αi=αjなら,aαi^ηαi^=ηαi^aαi^と書けます。

 

 そこで,αi^αj^=aαi^ηαi^aαi^ηαi^

 =aαi^αi^ηαiαi^=0 です。

 

 それ故,{bαi^αi^}=0 を得ます。

 

 なお,αi>αjの場合は,αi<αjの場合でiとjを入れ換える

 だけ添字の付け方の問題に過ぎないので,考察の必要のない

 のはもちろんです。

  

(注22-8終わり)※

  

 長くなり過ぎたので,ここで一旦終わります。

 

(参考文献):J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields"   (McGrawHill)

 

PS:また,食べ物を買うために自分の身体の一部を売った,。

 (↑イヤ,譬え話でんがな。。) 無意味だなあ。。。

 底の抜けたバケツで水を汲んでもねえ。。

  

 何かをしようとしても自分の体が自分の行動の邪魔をする。。

 こんな不自由な体なんか要らないよ。。

   

 たけしの番組で,日本の殺虫剤入りの蚊帳がアフリカの子供たちを

 マラリヤから救うのに役立っているというニュースをやっていた。

   

 温故知新,儲かる話じゃないし心温まる話だなあ。。

  

 でもヒネクレているから,マラリアを仲介する蚊を撲滅したら

 生態系がくずれて云々と想像したりもした。

 

 それから飛躍して人間にとっての害虫を撲滅し,何らかのウィルスを

 退治撲滅しても生態系は歪むか破壊されるだろうなあ,とか,

 

 医療(文明,科学)の進歩は人間の寿命を延ばし人口が増えて挙句に

 食糧危機などを招いて自分の首を絞める云々,余計なことを考える。 

  

 一応,仏教的,東洋的思想で自分も人間の一人であることを差し措い

 て,人間が最大のガイチュウであり戦争は必要悪とまで言うつもりは

 ないが,

  

 西欧宗教的に羊を犠牲にしても人間の幸福を求めるような人間中心の

 思想に全面的に同調できない頭デッカチで薄情な思いが湧いてくるの

 は守るべきモノを持たず天涯孤独なためか。。

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114 . 場理論・QED」カテゴリの記事

コメント

のうずれかに限られます → のいずれかに限られます
aα^^,aα^+は → aα^,aα^+は
をとなること → となること
ηαi^ηαi^-=0 → ηαi^ηαi^=0

投稿: hirota | 2013年2月 5日 (火) 22時24分

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