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2012年10月 9日 (火)

相対論的場の量子論(正準定式化)(26)

 相対論的場の量子論の続きです。

 

 10月最初の科学記事です。

 折りしも,iPS細胞の山中先生のノーベル賞が決まったようです。

 

§3.4 運動量展開(Momentum Expantion)

  

 これから先の量子化の手続きは生成・消滅演算子を用いた運動量

 空間で実行します。

 

 Schroedinger場に対して前に展開した多体問題,個数表示と生成・

 消滅演算子に関する一般的論議は,今のDirac場のケースにも直接

 適用できます。

 

 何故なら,以前の記事「相対論的場の量子論(正準定式化)(23)」

 での,Fermi場:φ^(,t)=Σα=1α(,t)bα^,

 φ^(,t)=Σα=1α(,t)bα^におけるように,今の

 ケースでも排他原理に従って状態を,消滅:生成する演算子が要

 求されているからです。

 

 自由Dirac方程式:(iγμμ-m)ψ^(x)=0 の解の一般的波動

 展開は,既に相対論的量子力学におけるDirac方程式の一般解とし

 ての波動関数を展開したとき,と同じです。

 

すなわち,

ψ^(,t)=Σ±s∫d3(2π)-3/2(m/Ep)1/2

×[b^(p,s)u(p,s)exp(-ipx)

+d^(p,s)v(p,s)exp(ipx)],

 

ψ^(,t)=Σ±s∫d3(2π)-3/2(m/Ep)1/2

×[b^(p,s)u~(p,s)γ0exp(ipx)

+d^(p,s)v~(p,s)γ0exp(-ipx)]

です。

 

ただし,E≡(2+m2)1/2です。

 

4成分Spinor:u(p,s),v(p,s)に対しては,量子力学の項目

における考察で,以下のような有用な関係式が得られています。

 

ただし,ここではu(-p,s)≡u((2+m2)1/2,-,s)という

表記を用いています。

 

(a) Dirac方程式;

μμ-m)u(p,s)=0,u~(p,s)(γμμ-m)=0,

μμ+m)v(p,s)=0,v~(p,s)(γμμ+m)=0

が成立する。

 

(b)直交性(Orthogonality)

 u~(p,s)u(p,s')=δss'

  v~(p,s)v(p,s')=-δss'

(p,s)u(p,s')=(E/m)δss'

(p,s)v(p,s')=(E/m)δss' 

および,

 v~(p,s)u(p,s')=v(p,s)u(-p,s')=0

(c)完備性(Completeness)

Σ±s{uα(p,s)u~β(p,s)-vα(p,s)v~β(p,s)}=δαβ

 

Σ±sα(p,s)u~β(p,s)

=Σ±s{uα(p,s)u~γ(p,s)-vα(p,s)v~γ(,s)}

 ×{μμ+m)/(2m)}γβ

{(γμμ+m)/(2m)}αβ(p)}αβ

 

同様に,-Σ±sα(p,s)v~β(p,s)

{(m-γμμ)/(2m)}αβ(p)}αβです。

 

そして,u(p,u),v(p,u)の陽な形は次のようになります。

 

(p,u)={(E+m)/(2m)}1/2

[1.0,p3/(E+m),p/(E+m)]

(p,-u)={(E+m)/(2m)}1/2

[0,1,p/(E+m),-p3/(E+m)],および,

 

(p,-u)={(E+m)/(2m)}1/2

[p3/(E+m)],p/(E+m),1,0]

(p,u)={(E+m)/(2m)}1/2

[p/(E+m)].-p3/(E+m),0,1]

 

です。

 

ただし,p±≡p1±ip2 (複号同順)です。

また,uμ=(u0, )は,pμ=(p0,)=(m,0)

のとき,成分がμ(0,0z)=(0,0,0,1)となるような

4元-spinベクトルです。

 

ψ^(,t)=Σ±s∫d3(2π)-3/2(m/Ep)1/2

×[b^(p,s)u(p,s) exp(-ipx)

+d^(p,s)v(p,s) exp(ipx)],

 

ψ^(,t)=Σ±s∫d3(2π)-3/2(m/Ep)1/2

×[b^(p,s)u~(p,s)γ0 exp(ipx)

+d^(p,s)v~(p,s)γ0 exp(-ipx)]

 

のように,Dirac場を平面波:exp(ipx),exp(-ipx)と,

4-spinor:u(p,s),v(p,s) etc.で展開した展開係数:

b^(p,s),b^(p,s),d^(p,s),d^(p,s)は,

場の第2量子化を行うと,粒子を消滅したり生成したりする

演算子と解釈されるようになります。

 

そして.排他原理に導きたいので,これらの生成・消滅演算子は,

一般論で与えたような(正準)反交換関係を満たす演算子であると

します。

 

ただし,以前の議論では生成・消滅演算子がN個の状態に対応する

α^,bα^(α=1,2..,N)で与えられる離散表示であったのに

対して,今回のb^(p,s),^(p,s),d^(p,s),d^(p,s)

はpについては連続表示です。

連続表示では(正準)反交換関係は次のように読めます。

 

{b^(p,s),b^(p',s')}=δss'δ3('),

{d^(p,s),d^(p',s')}=δss'δ3('),

 

および,

 

{b^(p,s),b^(p',s')}=0,

{d^(p,s),d^(p',s')}=0,

{b^(p,s),b^(p',s')}=0,

{d^(p,s),d^(p',s')}=0,

 

{b^(p,s),d^(p',s')}=0,

{b^(p,s),d^(p',s')}=0,

{d^(p,s),b^(p',s')}=0,

{d^(p,s),b^(p',s')}=0

 

です。

 

これを用いると,

ψ^(,t)=Σ±s∫d3(2π)-3/2(m/Ep)1/2

×[b^(p,s)u(p,s)exp(-ipx)

+d^(p,s)v(p,s)exp(ipx)],

 

ψ^(,t)=Σ±s∫d3(2π)-3/2(m/Ep)1/2

×[b^(p,s)u~(p,s)γ0exp(ipx)

+d^(p,s)v~(p,s)γ0exp(-ipx)]

 

の反交換関係を計算することができます。

 

例えば,{ψα^(,t),ψβ^(,t)}=δαβδ3()

です。

 

※(注26-1):(証明)

β^(x),ψβ^(y)}

±s∫d3(2π)-3/2(m/E)1/2×[b^(p,s)uα(p,s)

exp(-ipx)+d^(p,s)vα(p,s)exp(ipx)],

Σ±s'∫d3'(2π)-3/2(m/E')1/2×[b^(p',s')uβ(p',s')

exp(ip'y)+d^(p',s')vβ(p',s')exp(-ip'y)]}

 

=Σ±s±s'∫∫d33'(2π)-3m(E')-1/2

[{b^(p,s),b^(p',s')}α(p,s)uβ(p',s')

exp{-ip(x-y)}+{d^(p,s),d^(p',s')}

α(p,s)vβ(p',s')exp{ip(x-y)}]

となります。

 

よって,同時刻:x0=y0=tでは,

α^(,t),ψβ^(,t)}

=Σ±s±s'∫∫d33'(2π)-3m(Epp')-1/2

δss'δ3(')[uα(p,s)uβ(p,s)exp{i()}

+vα(p,s)vβ(p,s)exp{-i()}]

 

=Σ±s∫d3(2π)-3(m/Ep)

×[uα(p,s)u~γ(p,s)γ0γβ exp{i()}

+vα(p,s)v~γ(p,s)γ0γβ exp{-i()}]

 

 =∫d3(2π)-3(2Ep)-1[{μμ+m)γ0}αβ exp{i()}

 {(m-γμμ)γ0}αβ exp{-i()}]

  

 =∫d3(2π)-3(2Ep)—1 exp{i()}

 ×[00γp+m)γ0(m-γ00γp)γ0]αβ

  exp{i()}

 =δαβ∫d3(2π)-3 exp{i()}

 =δαβδ3() を得ます。

 

最後の式変形では,(γ0)2=δαβδ,p0=Ep=(2+m2)1/2

を用いました。(証明終わり)

 

(注26-1終わり)※

 

同様に,α^(,t),ψβ^(,t)}=0,

α^(,t),ψβ^(,t)}=0 も得られます。

 

ψの共役運動量が,π^=(π1^,π2^,π3^,π4^)=iψ^

(iψ1^2^,ψ3^,ψ4^)であったので,

 

上記反交換関係は,

α^(,t),πβ^(,t)}=iδαβδ3(),および,

α^(,t),ψβ^(,t)}={πα^(,t),πβ^(,t)}

=0 を意味します。

  

Schroedinger理論と類比すると,

ψ^(,t)=Σ±s∫d3(2π)-3/2(m/Ep)1/2

 ×[b^(p,s)u~(p,s)γ0exp(ipx)

 +d^(p,s)v~(p,s)γ0exp(-ipx)]における

 係数:b^,d^を電子の生成演算子と解釈すべきでしょう。

 

しかし,Dirac理論では負エネルギー解をも合理的に処理する

必要があります。

 

そして,d^は負エネルギー状態を生成すると考えられます。

 

これを示すため,エネルギー・運動量演算子をb^,d^,b^,d^

で表現します。

 

^=∫{ψ^(-iα∇+βm)ψ^}3,ψ^,ψ^の展開表現

を代入すると.

 

^=Σ±s∫d3

×[b^(p,s)b^(p,s)-d^(p,s)d^(p,s)]

が得られます。

 

※(注26-2):(証明)

^=∫3[Σ±s±s'∫d33'(2π)-3 m(Epp')-1/2

p'{b^(p,s)u~(p,s)γ0 exp(ipx)

+d^(p,s)v~(p,s)γ0 exp(-ipx)}

×{b^ (p',s')u(p',s')exp(-ip'x)

-d^(p',s')v(p',s') exp(ip'x)}

 

=Σ±s±s'∫d33'm(Epp')-1/2

p'[b^(p,s)b^(p',s')u(p,s)u(p',s')

δ3(')exp{i(p0-p'0)t}

-b^(p,s)d^(p',s')u(p,s)v(p',s')

δ3(')exp{i(p0+p'0)t}

+d^(p,s)b^(p',s')v(p,s)u(p',s')

δ3(')exp{-i(p0+p'0)t}

-d^(p,s)d^(p',s')v(p,s)v(p',s')

δ3(')exp{-i(p0-p'0)t}]

 

=Σ±s±s'∫d3[b^(p,s)b^(p,s')(p,s)

u(p,s')-d^(p,s)d^(p,s')

(p,s)v(p,s')-b^(p,s)d^(p,s')u(p,s)

v(-p,s')exp(2ip0t)+d^(p,s)b^(p,s')v(p,s)

u(-p,s')exp(-2ip0t)]

 

です。

 

ところが,性質:(b)直交性から,v(p,s)u(-p,s')=0,

が成立します。

 

これの両辺のHrmite共役をとれば,

(-p,s')v(p,s)=0 ですが,

これは,u(p,s)v(-p,s')=0

を意味します。

 

また,同じく性質:(b)直交性から,

(p,s)u(p,s')=v(p,s)v(p,s')

=(E/m)δss’です。

 

したがって,^=Σ±s∫d3

×[b^(p,s)b^(p,s)-d^(p,s)d^(p,s)]

が得られます。(証明終わり) (注26-2終わり)※

 

同様に,^={ψ^(-i∇)ψ^}3,ψ^,ψ^の展開表現

を代入すると.

^=Σ±s∫d3

×[b^(p,s)b^(p,s)-d^(p,s)d^(p,s)]

が得られます。

 

これらをまとめると, 

μ^=Σ±s∫d3μ

×[b^(p,s)b^(p,s)-d^(p,s)d^(p,s)]

(p0=Ep=(2+m2)1/2) です。

 

こうしたPμ^=(H^,^)の展開表現から,

^(p,s)は正エネルギーのエネルギー・運動量:

μ=(E,)を持つ粒子を生成し,

 

d^(p,s)は負エネルギーのエネルギー・運動量:

μ=(-E,-)を持つ粒子を生成するという

描像に導かれます。

 

 他方,b^(p,s),d^(p,s)は,それぞれ同じ正・負エネル

 ギーを持つ粒子の消滅演算子と見ることができます。

 

しかし,H^=Σ±s∫d3

×[b^(p,s)b^(p,s)-d^(p,s)d^(p,s)]

 というエネルギー演算子は明らかに正定値ではありません。

 

 これは見掛けの上での1つの困難を与えます。

 

何故なら,任意に設定された基底状態(=最低エネルギー状態?)

に対して,多くの負エネルギー1粒子状態の中に粒子をいくらで

も追加することにより,常にそれよりもエネルギーの低い状態を

作ることができるという矛盾を引き起こすと見えるからです。

 

※(注26-3):もちろん,基底状態など存在しないと解釈すれば矛盾

 ではないですが,いくらでも下の状態があって落ちる危険性がある

 という不安定なことになります。(注26-3終わり)※

 

※(注26-4):便宜上,(p,s)をαで総称して,

 b^(p,s),b^(p,s),d^(p,s),d^(p,s)の

代わりに,生成・消滅演算子を離散表示:α^,bα^,

α^,dα^で記述します。

 

 このとき,反交換関係は,

{bα^,bβ^}=δαβ,{dα^,dβ^}=δαβ,および,

 

{bα^,bβ^}={dα^,dβ^}=0,

{bα^,bβ^}={dα^,dβ^}=0,

{bα^,dβ}={bα^,dβ^}=0,

{dα^,bβ^}={dα^,bβ^}=0

  

と書けます。 

 

今,状態:|nα->を,α^dα^|nα=nα-|nα-

を満たす運度量pとspin sを持つα=(p,s)の状態に

あるDirac粒子の数がnα-負エネルギーの状態であると

定義します。

   

離散表示では,

H^=Σα[Eα^^α^(bα^α^α^dα^)

なので,^|nα->=-nα-α|nα-

となりますから,この状態のエネルギーは,-α-αです。

  

さらに,α^を作用させて状態:dα^|αを作ると,

α^α^α^|α

α^{α^α^}|α>-α^α^dα^|α

=(1-α)dα^|α> ですが,

  

α^dα^=0 (排他原理)によって,

0=dα^α^α^|α>=αα^|nα->ですから,

一般に,nα-=0 のときに限って,α^|nα->≠0 です。

 

 故に,nα-=0 のときに限ってdα^|α>は有意な状態

となり,このとき,dα^α^α^|α

=(1-α)dα^|α=dα^|α>ですから,

 

α^|α=0 >は,{nα-=1>の定数倍の状態です。

 

そして,この状態におけるエネルギーは,-Eα=0 <0 です。

  

もちろん,nα-=0 でも,α^α^|nα->=0ですから,負エネル

ギー状態でもnα-=0 か nα-=1の状態しか有り得ないという

「排他原理」の要求は満足されます。

 

そして,dα^|nα-=1>=0 です。

 

そこで,真空(基底状態)を全てのαについてα-=0 の

状態定義しても,そうしたαは無数にあって,真空に対して,

それぞれの状態に1個ずつ粒子を追加することで,エネルギー

に下限のない底無し沼のような状態が可能となります。

 

しかし,α^|nα-=1>=0 なので,もしも真空:|0>を全ての

αについて,α-=1 の状態であるもと定義すれば,

α^|0 >=0 となって都合がいいのですが。。。

 

(注:26-4終わり)※

 

※(注の注:Remark):

ところどころ,連続表示と離散表示を使いけている理由は,

  

例えば,連続表示の1粒子状態空間の基底であるべき

b^(p,s)|0 >でも,実際には,ノルムが無限大:

< 0|b^(p,s)b^(p,s)|0 >=δ3(0)であり,状態を

構成するHilbelt空間に属する元でさえない,

という事情からです。

 

(空間の元でさえないので,ちろん基底では有り得ませんが

Diracのδ関数のような超関数的定式化でノルムが無限大でも

特別に基底と解釈する,という見方もあるようですが。。)

   

Heisenbergの不確定性原理:[Δp,Δx]≧1/2によって,pが確定し

た平面波(Δp=0)では,位置は全く不確定:Δx=+∞です。

 

つまり,完全にエネルギー・運動量が一定の自由粒子であれば,

それは全宇宙のあらゆるところに同時に同じ確率で存在し得る

という,一般常識では考えられない状況になり,

  

量子論を合理的に捉えるには,

僅かでもゆらぎのある(Δp>0の)謂わゆる有限規格化された

波束:+Δf(p,s)b^(p,s)|0 >d3を想定し,

 

これをα^|0 >のような1粒子状態の離散表示と解釈する

でしか理論の合理的説明ができない,というのは,

量子論の宿命ですね。

   

(注の注終わり)※

 

結局は,相対論的量子力学の項目で論じたDiracの空孔理論

(Hole-Theory)がこうした困難を除去してくれます。

 

Diracの空孔理論によれば,真空状態(=基底状態groundstate)は,

全ての負エネルギーの状態が既に占有されており,他方全ての正

エネルギー状態が空の状態であると定義されます。

 

原則として,この方法で真空状態が定義できるためには排他原理

の成立が要求されますから,結局,Dirac場の第2量子化の理論の

定式化の際には,場が反交換関係に従うべきことが要求されます。

 

もしも交換関係を用いた正準量子化を試みていたなら,根本的で

解決不可能な困難に囚われていたかも知れません。

  

今日も長くなり過ぎたので,ここで終わります。

 

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill)

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114 . 場理論・QED」カテゴリの記事

コメント

 どうも失礼しました。

 13日の夜には,並行して23日ビッグサイトで行われる予定の就職面接会用の経歴書をワードで作成していて,ココログの編集画面の反応が遅いときはワードに切り替えたりしていたので,

 タイミングで誤って経歴書からコピーしたものがブログ記事にペーストされたようです。
 hirotaさん。ご指摘ありがとうございました。

              TOSHI

投稿: TOSHI | 2012年10月16日 (火) 18時27分

b^(p,s),b(昭和49年)年国(p,s) → b^(p,s),b^+(p,s)
なんてのが残ってた

投稿: hirota | 2012年10月16日 (火) 00時12分

文字の巨大化は「強調」と思ってました!

投稿: hirota | 2012年10月11日 (木) 10時53分

 hirotaさん,いつもありがとうございます。TOSHIです。

>「ここで終わります。」の後に消し忘れ?

 これ消し忘れでなくずっと上に修正挿入したものがなぜか反映すると一番後に飛ぶという困った現象です。

 これはテキスト画面でなくHTML画面で修正しないと直\らない頑固なものです。

 ココログ画面コンパイラ?も文字化け文字の巨大化など困ったもんです。

            ToSHI

投稿: TOSHI | 2012年10月10日 (水) 17時33分

t[1.0,p3/(Ep+m),p+/(Ep+m)] → t[1,0,p3/(Ep+m),p+/(Ep+m)]

「ここで終わります。」の後に消し忘れ?

投稿: hirota | 2012年10月10日 (水) 11時28分

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