相対論的場の量子論(正準量子化)(36)

相対論的場の量子論シリーズ,電磁場の量子化の続きです。

今日は,電磁場を量子化した際に付随する場の量子である光子

の性質に言及する節に入ります。

§4.5 光子のspin(Spin of the Photon)  

 光子(Photons)は,幾つかの意味でKlein-Gordon量子とは異なって

　います。

まず,光子に同定される電磁場の量子は,Einsteinの条件:

ｋ²＝ｋ^μｋ_μ＝0 を満足するため,静止質量がゼロです。

さらに,電磁場のベクトルポテンシャルＡ(ｘ)は実なので,

それが量子化された場Ａ^(ｘ)はHermite演算子です。

そして,"この量子＝光子"は,charge(電荷)を伴なわないので,

実Klein-Gordon理論を量子化する際に出現する中性中間子に

類似しています。

しかし,実 Klein-Gordon場に比較して自由電磁場が持つ新しい

１つの特徴は,偏極(polarization)ベクトル:ε(ｋ,λ)の存在

です。

これは,各光子を分類するもので,spin角運動量に関わる量です。

そして,特に,場Ａ^(ｘ)がベクトルであることから,spinが１の

光子という描像が導かれます。 

ただし,横波(transverse wave)という制限があることから空間

ベクトルの３つの自由度から１つが除かれます。

つまり,光子はspin角運動量が１であり,しかもそれの波の伝播

方向に沿った射影は決してゼロになることができず,±１のみを

取るという特徴を有するわけです。

このことを具体的に示すため,前に与えた角運動量演算子の表現:

Ｍ^ij＝∫ｄ³ｘ：Ａ^{r d}^(ｘⁱ∂^j－ｘ^j∂ⁱ)Ａ^r^

－(Ａ^{i d}^Ａ^j^－Ａ^{j d}^Ａ^j^):

を用いて,１光子状態の角運動量の第３成分 Ｍ¹²^

の値を調べます。

すなわち,状態:Φ_1.k,λ＝ａ^^＋(ｋ,λ)Φ₀＝ａ^^＋(ｋ,λ) |0 ＞

について,Ｍ¹²^Φ_1.k,λ＝[Ｍ¹²^,ａ^^＋(ｋ,λ)]|0 ＞を計算します。

ここで,計算の便宜上,この状態:Φ_1.k,λ＝ａ^^＋(ｋ,λ)|0 ＞の

波動ベクトルｋは第３軸に沿っているとします。

つまり,ｋとしてｋ₀≡(0,0,ω_k0)を採用して１光子状態:

Φ_1.k,λが,そのｋ^μがｋ₀^μ≡(ω_k0,ｋ₀)＝(ω_k0,0,0,ω_k0)に

等しい状態;Φ_1,k0,λ0＝ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)|0 ＞であるケース

を考えます。

このとき,iｋ₀ｘ＝iω_k0(ｔ－ｘ³)　です。

空間は等方的なので,その座標軸の向きをどのように選択しよう

と自由ですから,この仮定で一般性を失なうことはありません。

そして,

全角運動量:Ｊ^＝(Ｊ¹^,Ｊ²^,Ｊ³^)＝(Ｍ²³^,Ｍ³¹^,Ｍ¹²^)

の第３成分:Ｍ¹²^＝∫ｄ³ｘ：Ａ^{r d}^(ｘ¹∂²－ｘ²∂¹)Ａ^r^

－(Ａ^{1 d}^Ａ²^－Ａ^{2 d}^Ａ¹^):を,軌道角運動量の第３成分

Ｌ³^とspin角運動量の第３成分Ｓ³^の和に分解し,

Ｍ¹²^＝Ｌ³^＋Ｓ³^;Ｌ³^≡∫ｄ³ｘ：Ａ^{r d}^(ｘ¹∂²－ｘ²∂¹)Ａ^r^：

Ｓ³^≡－∫ｄ³ｘ：(Ａ^{1 d}^Ａ²^－Ａ^{2 d}^Ａ¹^):

と書いてみます。

まず,軌道角運動量部分:Ｌ³^のみの寄与を評価します。 

Ｌ³^≡∫ｄ³ｘ：Ａ^{r d}^(ｘ¹∂²－ｘ²∂¹)Ａ^r^：

の右辺の表現に,Ａ^(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2Σ_λ=1²

ε(ｋ,λ){ａ^(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ,λ)exp(iｋｘ)}

なる運動量展開を代入して計算すると,

結局,Ｌ³^|0 ＞＝0,かつ,Ｌ³^ａ^^＋(ｋ₀,λ_{)|0 ＞＝0 なること}

が示され,真空,および,自由１光子状態への軌道角運動量の寄与

は無いことがわかります。

※(注36-1):何故なら,

まず上記のＡ^(ｘ)の運動量展開式から,

Ａ^d^(ｘ)＝∂Ａ^(ｘ)/∂ｔ

＝i∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2Σ_λ=1²ε(ｋ,λ)

{ａ^(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)－ａ^^＋(ｋ,λ)exp(iｋｘ)}

を得ます。

そこで,Ｌ³^＝∫ｄ³ｘ：Ａ^{r d}^(ｘ¹∂²－ｘ²∂¹)Ａ^r^：

＝－(1/2)∫ｄ³ｘ∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(2π)^-3(ω_k/ω_k')^1/2

(ｘ¹ｋ'²－ｘ²ｋ'¹)Σ_λ,λ'=1²

×[ε^r^(ｋ,λ)ε^r^(ｋ',λ')ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')]

と書けます。

ただし,ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')は変数:ｋ,λ,ｋ',λ'のみに

依存し,ｘには依存しない因子の部分です。

これはさらに,

Ｇ¹^≡－(1/2)∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(2π)^-3(ω_k/ω_k')^1/2ｋ'¹ 

×Σ_λ,λ'=1²[ε^r^(ｋ,λ)ε^r^(ｋ',λ')ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')],

および,

Ｇ²^≡－(1/2)∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(2π)^-3(ω_k/ω_k')^1/2ｋ'²

×Σ_λ,λ'=1²[ε^r^(ｋ,λ)ε^r^(ｋ',λ')ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')]

とおけば,

Ｌ³^＝∫ｄ³ｘ(ｘ¹Ｇ²^－ｘ²Ｇ¹^)なる形になることがわかります。

そこで,Ｌ³^を任意の状態^|Ψ＞に作用させると,

Ｌ³^|Ψ＞＝∫ｄ³ｘ(ｘ¹Ｇ²^－ｘ²Ｇ¹^)|Ψ＞ですが,

Ｇ¹^|Ψ＞,Ｇ²^|Ψ＞が,何らかの演算結果で軌道パラメータ

座標ｘと関連性を持たぬ限り被積分関数 (ｘ¹Ｇ²^－ｘ²Ｇ¹^)|Ψ＞

はｘの奇関数となるので,

Ｌ³^|Ψ＞＝∫ｄ³ｘ(ｘ¹Ｇ²^－ｘ²Ｇ¹^)|Ψ＞＝0 と

結論されます。

したがって,Ｌ³^|0 ＞＝0,かつ,Ｌ³^ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)|0 ＞＝0

を得ました。(注36-1終わり)※

一方,spin角運動量部分:

Ｓ³^≡－∫ｄ³ｘ：(Ａ^{1 d}^Ａ²^－Ａ^{2 d}^Ａ¹^):の寄与を評価すると,

まず,[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝－∫ｄ³ｘ：Ａ^{1 d}^(ｘ)[Ａ²^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＋[Ａ^{1 d}^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]Ａ²^(ｘ)

－Ａ^{2 d}^(ｘ)[Ａ¹^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

－[Ａ^{2 d}^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]Ａ²^(ｘ)：

です。 

ところが,Ａ^(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^--3/2(2ω_k)^-1/2Σ_λ=1²

ε(ｋ,λ){ａ^(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ,λ)exp(iｋｘ)}

ですから,

[Ａⁱ^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2exp(－iｋｘ)Σ_λ=1²εⁱ(ｋ,λ)

[ａ^(ｋ,λ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝(2π)^-3/2(2ω_k0)^-1/2εⁱ(ｋ₀,λ₀) exp(－iｋ₀ｘ)　です。

また,[Ａ^{i d}^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝(∂/∂ｔ)[Ａⁱ^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝－i (2π)^-3/2(ω_k0/2)^1/2εⁱ(ｋ₀,λ₀) exp(－iｋ₀ｘ)

です。

したがって,[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝－∫ｄ³ｘ(2π)^-3/2(2ω_k0)^-1exp(－iｋ₀ｘ)

[ε²(ｋ₀,λ₀)Ａ^{1 d}^(ｘ)－iω_k0ε¹(ｋ₀,λ₀)Ａ²^(ｘ)

－ε¹(ｋ₀,λ₀)Ａ^{2 d}^(ｘ)＋iω_k0ε²(ｋ₀,λ₀)Ａ¹^(ｘ)]

＝∫ｄ³ｘ(2π)^-3/2(2ω_k0)^-1[ε¹(ｋ₀,λ₀)exp(－iｋ₀ｘ)∂^⇔₀Ａ²^(ｘ)

－ε²(ｋ₀,λ₀)exp(－iｋ₀ｘ)∂^⇔₀Ａ¹^(ｘ)]

を得ます。

ところが,

iａ^^＋(ｋ₀,λ₀)＝∫ｄ³ｘ(2π)^-3/2(2ω_k0)^-1/2

ε(ｋ₀,λ₀)exp(－iｋ₀ｘ)∂^⇔₀Ａ^(ｘ) であり,

今のｋ₀の向きを第３軸の向きとする右手系の空間座標軸選択

では,Ａ¹^(ｘ)＝ε(ｋ₀,1)Ａ^(ｘ),かつ,

Ａ²^(ｘ)＝ε(ｋ₀,2)Ａ^(ｘ) ですから,

結局,[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝iε¹(ｋ₀,λ₀)ａ^^＋(ｋ₀,2)－iε²(ｋ₀,λ₀)ａ^^＋(ｋ₀,1)

が得られます。

ここで,,右回り(right-handed),および,左回り(left-handed)

の円偏光(circularly polarization of light)の,波数ベクト

ルがｋの波を生成する演算子を,それぞれ,ａ_R^^＋(ｋ),および,

ａ_L^^＋(ｋ)として,

それらを,線偏光の波を生成する演算子ａ^^＋(ｋ,1),ａ^^＋(ｋ,2)

の重ね合わせ(１次結合)として,次のように定義します。

すなわち,

ａ_R^^＋(ｋ)≡(1/√2){ａ^^＋(ｋ,1)＋iａ^^＋(ｋ,2)},

ａ_L^^＋(ｋ)≡(1/√2){ａ^^＋(ｋ,1)－iａ^^＋(ｋ,2)}

と定義します。

すると,[Ｍ¹²^,ａ_R^^＋(ｋ₀)]＝[Ｓ³^,ａ_R^^＋(ｋ₀)]＝ａ_R^^＋(ｋ₀),

[Ｍ¹²^,ａ_L^^＋(ｋ₀)]＝[Ｓ³^,ａ_L^^＋(ｋ₀)]＝－ａ_L^^＋(ｋ₀)

が得られます。

したがって,一般のｋについて,

Ｍ¹²^ａ_R^^＋(ｋ)|0 ＞＝ａ_R^^＋(ｋ)|0 ＞,

Ｍ¹²^ａ_L^^＋(ｋ)|0 ＞＝－ａ_L^^＋(ｋ)|0 ＞

が成立します。

これらは,右回りの波は波が伝播するｋ方向に＋1,左回りの波

は同じｋ方向に正反対の－1のspinを伴なうことを示している,

と考えられます。

※(注36-2):[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝iε¹(ｋ₀,λ₀)ａ^^＋(ｋ₀,2)－iε²(ｋ₀,λ₀)ａ^^＋(ｋ₀,1)

ですから,

[Ｓ³^,ａ_R^^＋(ｋ₀)]

＝(1/√2)[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,1)]＋i(1/√2)[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,2)]

＝(1/√2)[iε¹(ｋ₀,1)ａ^^＋(ｋ₀,2)－iε²(ｋ₀,1)ａ^^＋(ｋ₀,1)

－ε¹(ｋ₀,2)ａ^^＋(ｋ₀,2)＋ε²(ｋ₀,2)ａ^^＋(ｋ₀,1)

です。

ところが,ε¹(ｋ₀,1)＝ε²(ｋ₀,2)＝1,ε¹(ｋ₀,2)＝ε²(ｋ₀,1)＝0

なので,[Ｓ³^,ａ_R^^＋(ｋ₀)]＝(1/√2){iａ^^＋(ｋ₀,2)＋ａ^^＋(ｋ₀,1)}

＝ａ_R^^＋(ｋ₀)です。

同様にして, [Ｓ³^,ａ_L^^＋(ｋ₀)]＝－ａ_L^^＋(ｋ₀)

を得ます。

(注36-2終わり)※

少し短かいですが.今日はここで終わります。

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill) 

PS： 11/11の記事:「相対論的場の量子論(正準定式化)(32)」では,

現在,実行している定式化段階での共変性を犠牲にした輻射ゲージ

での量子化手法を,「Gupta-Bleulerの方法」に基づいているという誤解

した前置きを書いてしまいました。

昔のノートですから予め内容を全て把握してなくても大体の記憶に頼

って,大前提,,前置きくらいは現在のブログ向きに修正したり,それらしく

体裁を整えたつもりだったのですが。。

ここに至って,自身の原稿ノートのこの先を見ると,

後はこの定式化での光子のFeynman伝播関数を与えて,最後

にS行列を与える振幅のdiagramsの計算ルールを与えればこ

の自由電磁場の項目は終わることになってました。

謂わゆる不定計量の空間を設定し,その中から∂_μＡ^μ^の期待値

がゼロとなるという,期待値の意味で共変性を維持する

補助条件(Subsidary-condition)を課す,という

有名な「Gupta-Bleulerの方法」に関する論議が文章だけと

しても,私の過去ノートには全く出てきてないことに

気付きました。

＜Phys|∂_μＡ^μ^|Phys＞＝0,あるいは同義ですが,

∂_μＡ^μ^の正振動数部分:∂_μＡ^μ(＋)^に対して,

∂_μＡ^μ(＋)^|Phys＞＝0 を満足するベクトル|Phys＞のみ

が物理的に許される状態であるとするのが, 

私の記憶している「Gupta-Bleulerの方法」のミソです。

今,記述しているB-Dテキストの輻射ゲージ方法は,理論の

整合性に拘泥するより,現実の観測事実を正確に予測できる

公式さえ得られればいい,とする有効理論(対症療法)に近い

手法でした。

(※ QEDのくりこみ理論も,未だ,有効理論ですね。)

なお,シリーズ記事(32)での誤解を生む記述は既に

削除しました。

時間があれば別記事で「Gupta-Bleulerの方法」

も書こうと思います。