入院中のExcersize(頭の体操)

　今回の入院中も退屈であることが予想されたので,

　昔,ブックオフで買ったまま,まだ読んでいなかった東野圭吾の短編

　推理小説集「怪しい人々」とR.P.Feynmanの古い素粒子論のテキスト

　「Photon-HadronInterction 」,詰め将棋の本１冊の他に,

　以前,神保町の理系専門の古書店の明倫館書店で見て何気に買って

　いた19990年代の数学オリンピックの問題集を持参し,

　途中でイヤになって放り出さない程度の比較的容易な問題を選んで

　解くという作業をやって時間を潰しました。

　身体の方はベッドでゴロゴロ寝ていても,間寛平チャンの"止まるとシヌー"

　とかの状態には程遠く.,Excersizeといえば,普段でも,職場で始業時にやる

　ラジオ体操くらいですが。。。

　頭の方は,トキドキ"止まるとシヌー"という状態に近くなることもあります。

　シャバであれば,ネット将棋で勝ち負け関係なく暫く対局すれば,解消でき

　るようですが,入院中はそうもいかないので,excersize用意しました。

　まず,111/26(月)の帝京大学附属病院の眼科に入院当日,自分の部屋

　とベッドが７階東病棟の701号室の第４ベッド(入り口通路側)に決ま

　って自分の荷物をロッカーなどに整理し,昼食も取って落ち着いて後

　２問やってみました。

　まず,第６回日本数学オリンピック予選(1996)から,

３.正整数ｎに対して,ａ_n＝10²ⁿ－10ⁿ＋1とするとき,

　2√ａ_n の整数部分を求めよ。

※(私の解答):これはすぐに,わかりました。

　4ａ_n＝4・10²ⁿ－4・10ⁿ＋4＝(2・10ⁿ －1)²＋3 ですから,

　Ｍ＝2・10ⁿ －1とおくと, 4ａ_n＝Ｍ²＋3と書けます。

　そして,ｎ＝1でもＭ＝20－1＝19ですからＭ≧19です。

　よって,(Ｍ＋1)²＝Ｍ²＋2Ｍ＋1＞Ｍ²＋3＞Ｍ² です。

　故に,Ｍ＜ 2√ａ_n の＝√4ａ_n ＜Ｍ＋1　です。

　以上から,2√ａ_n の整数部分はＭ＝2・10ⁿ －1です。

　例えば,ｎ＝1では,ａ₁＝91なら,2√ａ₁＝2√91＝√364です。

　364は19²＝361と20²＝400の間ですから,

　整数部分は確かにＭ＝19です。

(終わり)※

　次は,同じく第６回予選から,

４.ａをｘ³－ｘ－-1＝0 の１つの解とするとき,

　ａ²を解とする3次方程式を１つ求めよ。

※(私の解答):ａ³＝ａ＋1なので,ａ⁶＝(ａ＋1)²

＝ａ²＋2ａ＝1です。

　そこでＡ＝ａ²とおけば,Ａ³＝Ａ＋2ａ＋1です。

　一方,ａ³＝ａ＋1の両辺にａを掛けると,ａ⁴＝ａ²＋ａ

　です。

　つまり,Ａ²＝Ａ＋ａですから,a＝Ａ²－Ａとなります。

　これをＡ³＝Ａ＋2ａ＋1に代入すれば,

　Ａ³＝Ａ＋2(Ａ²－Ａ)＋1＝2Ａ²－Ａ＋1　を得ます。

　よって,Ａ³－2Ａ²＋Ａ－1＝0 が満たされます。

　したがってＡ＝ａ²を解とする3次方程式の１つは,

　ｘ³－2ｘ²＋ｘ－1＝0　です。

(終わり)※

　次は,手術も終わって,推理小説にも飽きた,手術翌々日の

　11/29に解いた１問です。

　第２回日本数学オリンピック予選(1992)から,

４.Ａを次の条件1),2)を満たす正整数の集合とする。

1) 2,3,5,7,11,13以外の素因数を持たない。

2) 2²,3²,5²,7²,11²,13² のいずれでも割り切れない。

ただし,1∈Ａとする。

Ａの要素ｎの逆数1/ｎの総和:

1＋1/2＋1/3＋1/5＋..＋1/(2・3・5・7・11・13)

を求めよ。

※(私の解答):

このままでも,できますが,総和の式を通分すると,

求める総和式

＝(2・3・5・7・11・13＋3・5・7・11・13＋2・5・7・11・13

＋2・3・7・11・13＋..＋7＋5＋3＋2＋1)/(2・3・5・7・11・13)

となります。

分子は,分母＝2・3・5・7・11・13の自身と1を含む全ての約数の

総和ですね。

昔,自分自身の高校,一浪時代や,後の予備校等での講師としての講義

において,大学入試問題を解くテクニックの１つで,

ここで,素因数分解がｐ^αｑ^βｒ^γｓ^δ・・・であるような正整数

の約数の総和は,

(1＋ｐ＋..+ｐ^α)(1＋ｑ＋..+ｑ^β)(1＋ｒ＋..+ｒ^γ)

(1＋ｓ＋..+ｓ^γδ)・・・

で与えられるというのを,思い出しました。

今の場合は,分子＝(2・3・5・7・1・11・13の全ての約数の総和)

＝(1＋2)(1＋3)(1＋5)(1＋7)(1＋11)(1＋13)

＝3・4・6・8・12・14＝2⁹・3³・7　です。

故に,(分子)/(分母)＝2⁸・3²/(5・11・13)

＝256×9/(143×5)＝2304/715　です。

後で考えると,別に通分せずとも。。。

そのまま,(1＋1/2)(1＋1/3)(1＋1/5)(1＋1/7)(1＋1/11)(1＋1/13)

＝(3/2)・(4/3)・(6/5)・(8/7)・(12/11)・(14/13)

として求める方が,若干簡単でしたね。

(終わり)※

予想より早く退院できたので,今回はこれだけです。

ちょっと,やさし過ぎて歯ごたえないものばかりと見えます。

片目だと根気続かないので,長めの問題や図を考えるモノなどは,

問題を読んで理解するのも億劫で]敬遠しましたが。。。

この手の問題は,実は題意が理解できれば,半分解けたようなもん

ですね。

PS:実は早朝にアップして,編集作業中にフリーズして,

せっかくの数時間がパーになったので頭に来て放り出し,

また出勤前に編集し直したのでした。