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2012年12月 6日 (木)

過去の眼科入院中のExcersize

 ちょっと手抜きで,前に眼科入院時(右眼,左眼手術時)にやった

 算数・数学のExcersizeを振り返って内容を再掲載してみます。

  

 ただし,これだけでは記事が寂しいので今回2度目の左眼手術

 の当日の朝,よく晴れて帝京大学病院の7階談話室の窓から,

 遠くに富士山が見えたのを撮影しようとした2枚の写真を冒頭

 に載せておきます。

  

 朝日の中の逆光でしたし,望遠でもないので,後で見ると,富士山

 の姿は不明でしたが,これだけで電池が切れで専用の充電 BOX

 を忘れてきたため,入院中に撮った写真はこれだけです。

 

     

    

 

 さて,本題ですが,まずは昨年2011年5/30入院,5/31右眼手術,

 6/11退院の最初眼科入院のときの2011年6/13の記事

 「算数の問題」からです。

 

※以下,再掲内容です。

  

 退院時,入院記念に看護師さんに置きみやげ?として,

 「お世話になりました。ありがとう,さようなら」という

 短い手紙に加えて「算数の問題」を出題,手渡してきました。

 

 夜勤などの眠気覚まし,ひまつぶしのツモリですが,そんな暇なく

 迷惑でしょうから,シカトされ即ゴミ箱行きかも知れませんが。。

 

 これは,実は2006年3月に,ブログ開始してまもなく書いた記事です。

 (◎ 2006年3/30の記事「算数の問題」参照)

 

 その後,2006年12月にはヒントも出しました。

 

 ところが,その後出題した私自身がどのようにして解いたかを失念

 してしまいました。

 

 かつて,解けたはずなのに,改めて考えても算数の解き方にこだわる

 限り,どうしてもできなかったので,解答はいずrということにして

 取り合えずは,そのままにしていました。

 

 ところが,その間にも「解答を示してくれ」との要望が幾つかあり,

 再度トライしてみましたが,面目ないことにどうしても解けなくて,

 大きなことを言った手前,謝まってPendingにしていました。

 

 (◎↑ これはここの@niftyのココログだけでなく,Yahooのミラー

 ブログ「TOSHIの宇宙4」での話も含まれています。)

 

 しかし,今回,病院生活が余りに暇なので,6/5(日)には朝食後

 から,BSで延長戦になって5時間以上も続いたメジャーリーグの

 アスレチックス対ヤンキースのゲームを見るとはなしに見ながら

 

 何の邪魔も入らず,ゆっくりじっくり考えていると,昼食後の14時

 頃にあっさりと解けました。

 取り合えず,問題とヒントまでを,再掲します。

 

 解答部分は,今日夕方,職場から帰宅して後に書きます。

 

◎(問題): でたらめな形の四角形が1つあるとします。

 

 その4つの各辺を,それぞれ3等分してその向かい合う点同士を

 直線で結ぶと,やはりでたらめな形の9個の小さい四角形に分割

 されます。

 このとき,真ん中にできた小四角形の面積は元の四角形の面積

 のちょうど,1/9 になることを証明しなさい。

 

 という問題です。

 

 そして,2006年12/20には問題再掲してヒントを与えました。。

 (「算数の問題(再掲) ↓)

 

 ◎これに対して,今回はヒントとして対辺の分点同士を結んでできる3つ

 の四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/3になることを示すことがで

 きるという指摘を追加しておきます。

 

(追伸):今2007年1月9日~10日の深夜ですが,,kaさんから補助線を明示した

 図を見たいとの希望がありました。

 

 そこで□ABCDと,そのADの3等分点M,N,および,BCの3等分点P,Qを

 書いた図を示してみました

要するに,⊿MPQ=(1/2)⊿MBQ,⊿MQN=(1/2)⊿MQDなので,

□MPQN=(1/2)□MBQDとなります。

 

別の補助線を引いて,⊿MBD=(2/3)⊿ABD,⊿DBQ=(2/3)⊿DBC

なので□MBQD=(2/3)□ABCDが成立しますから,

□MPQN=(1/3)□ABCDになります。

 

もちろん,□ABCDが台形でないなら,面積が1/3になるのは真ん中の

四角形だけで,両側の四角形は1/3にはなりません。

 

これがヒントです。◎

 

さて職場から,帰宅したので,約束通り,解答を示します。

  

まず,9個の小四角形に下図のようにa,b,c,d,e,f,g,h,iとラベルを付けます。

  

同時にこれらは各四角形の面積をも表わす記号とします。

 ここで□ABCDの面積をSとすると,証明すべき結論は,e=S/9です。

 

まず,明らかにa+b+c+d+e+f+g+i=S です。

 

そして,ヒントから, ,b+e+h=S/3,かつd+e+f=S/3 です。

このことから,a+c+g+i=S/3+eと書けることもわかります。

 

これ以上,これらの式をいくら変形しても何も新しいことは出てきません。

 

そこで,新しい補助線を引いて考察します。

まず,⊿EAM=(1/2)⊿EMD,かつ⊿EAK=(1/2)⊿EKBです。

 

故に,a=⊿EAM+⊿EAK=(1/2)(⊿EMD+⊿EKB)です。

 

いいかえると⊿EMD+⊿EKB=2aです。

そこで,□EBCD=S-3aです

 

他方,⊿EDR=(1/3)⊿DEC,かつ⊿EBP=(1/3)⊿EBC ですから,

⊿EDR+⊿EBP=(1/3)(⊿DEC+⊿EBC)=(1/3)□EBCD です。

 

以上から,(b+c+d+g)-2a=(1/3)(S-3a) ですから,

b+c+d+g=a+S/3 が成立します。

   

対称性から,同様に,

f+i+b+a=c+S/3,  h+g+f+c=i+S/3,  d+a+h+i=g+S/3

も成り立つはずです。

  

これら4つの等式の両辺を,全て,それぞれ加えると,

2(a+b+c+d+f+g+h+i)=(a+c+g+i)+4S/3

となります。

 

したがって, 2(S-e)=(S/3+e)+4S/3 より,

3e=S/3 ですから, e=S/9です。

 

解答は以上で終わりです。 お疲れさま。。

 

ここまで全部が,2011年記事の再掲内容です。※

次は,今年2012年春の4/23入院,4/24左眼手術,4/28退院の入院時

4/30の記事「数学(算数?)の問題(入院中にトライ)」の再掲載です。

 

実は,7階の眼科(701号室)で手術する前に,4/16に,インスリン投与開始

のため,15階の内科(1503号室)に入院し,その後4/23に病棟を転科して

きたのでした。

 

※さて,以下は再掲内容です。

  

これまでの経験から,入院生活は退屈極まりないことがわかっていたので

数冊の専門書や小説だけでは,スグに時間が枯渇し,また飽きてしまうと

思い,ルービックキューブや詰め将棋本も持ち込みました。

 さらに,この他に入院直前に急遽Amazonで「数学オリンピック

 完全攻略」という古書を注文購入して病院に持参しました。

 

 入院初日の4/17の午後に,最初に考えて解き,なぜか退院までに

 最も印象に残った問題は次の問題でした。

 

 数学オリンピックの問題(1979年)

 

 p,qを,p/q=1-1/2+1/3-1/4+...-1/1318+1/1319

 を満たす正の整数とするとき,

 

 pは1979で割り切れることを示せ。

 

(◎)以下は,これのヒントから,というより,即解答を書きます。

  

 p/q=1-1/2+1/3-1/4+...-1/1318+1/1319

 =1+(1/2-1)+1/3+(1/4-1/2)+...+(1/1318-1/659)+1/1319

 =1+1/2+1/3+1/4+...+1/1318+1/1319-(1+1/2+..+1/659)

 

 =1/660+1/661+..+1/1318+1/1319

 1979/(660・1319)+1979/(661・1318)+..+1979/(989・990)

 1979×(1//(660・1319)+1/(661・1318)+..+1/989・990)

  

 より,

 

 1/(660・1319)+1/(661・1318)+..+1/989・990)を通分した

 既約分数をm/nとおけば,p/q=1979(m/n) です。

 

 故に,p=1979mq/nと書けます。

 

ところで,1979はちょっと確かめればわかるように,素数です

から,1と1979 以外には,分母のnと共通因数を持つ可能性は

全くありません。

 

しかも,nは660・661・・・1319の約数ですから,これは明らかに

1979では割り切れません。

  

そこで,pが整数であるという仮定から,mqの方がnで割り切れる

と結論されます。

 

したがって,p=1979mq/nで,かつ,mq/nが整数ですから,

pは1979で割り切れることになります。(終わり)◎

  

こうして入院初日は暮れてゆき,11泊12日が続いたのでした。

 

(↑ この問題を退院時,看護師さんに宿題として置きみやげに,

渡してきました。昨年の前回入院でも帰りに宿題出しましたが,

忘れてるでしょうね。← イヤ,毎度,迷惑な話です。)

(以上,2012年記事の再掲です。※)

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