過去の眼科入院中のExcersize

　ちょっと手抜きで,前に眼科入院時(右眼,左眼手術時)にやった

　算数・数学のExcersizeを振り返って内容を再掲載してみます。

　ただし,これだけでは記事が寂しいので今回２度目の左眼手術

　の当日の朝,よく晴れて帝京大学病院の７階談話室の窓から,

　遠くに富士山が見えたのを撮影しようとした２枚の写真を冒頭

　に載せておきます。

　朝日の中の逆光でしたし,望遠でもないので,後で見ると,富士山

　の姿は不明でしたが,これだけで電池が切れで専用の充電 BOX

　を忘れてきたため,入院中に撮った写真はこれだけです。

　　　　　

　　　　

　さて,本題ですが,まずは昨年2011年５/30入院,５/31右眼手術,

　６/11退院の最初の眼科入院のときの2011年６/13の記事

　「算数の問題」からです。

※以下,再掲内容です。

　退院時,入院記念に看護師さんに置きみやげ？として,

　「お世話になりました。ありがとう,さようなら」という

　短い手紙に加えて「算数の問題」を出題,手渡してきました。

　夜勤などの眠気覚まし,ひまつぶしのツモリですが,そんな暇はなく

　迷惑でしょうから,シカトされ即ゴミ箱行きかも知れませんが。。

　これは,実は2006年３月に,ブログ開始してまもなく書いた記事です。

　(◎ 2006年３/30の記事「算数の問題」参照)

　その後,2006年12月にはヒントも出しました。

　ところが,その後出題した私自身がどのようにして解いたかを失念

　してしまいました。

　かつて,解けたはずなのに,改めて考えても算数の解き方にこだわる

　限り,どうしてもできなかったので,解答はいずrということにして

　取り合えずは,そのままにしていました。

　ところが,その間にも「解答を示してくれ」との要望が幾つかあり,

　再度トライしてみましたが,面目ないことにどうしても解けなくて,

　大きなことを言った手前,謝まってPendingにしていました。

　(◎↑ これはここの@niftyのココログだけでなく,Yahooのミラー

　ブログ「TOSHIの宇宙４」での話も含まれています。)

　しかし,今回,病院生活が余りに暇なので,６/５(日)には朝食後

　から,BSで延長戦になって５時間以上も続いたメジャーリーグの

　アスレチックス対ヤンキースのゲームを見るとはなしに見ながら

　何の邪魔も入らず,ゆっくりじっくり考えていると,昼食後の14時

　頃にあっさりと解けました。

　取り合えず,問題とヒントまでを,再掲します。

　解答部分は,今日夕方,職場から帰宅して後に書きます。

◎(問題): でたらめな形の四角形が１つあるとします。

　その４つの各辺を,それぞれ３等分してその向かい合う点同士を

　直線で結ぶと,やはりでたらめな形の９個の小さい四角形に分割

　されます。

　このとき,真ん中にできた小四角形の面積は元の四角形の面積

　のちょうど,1/９ になることを証明しなさい。

　という問題です。

　そして,2006年12/20には問題再掲してヒントを与えました。。

　（「算数の問題(再掲)　↓)

　◎これに対して,今回はヒントとして対辺の分点同士を結んでできる３つ

　の四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/３になることを示すことがで

　きるという指摘を追加しておきます。

(追伸)：今2007年1月９日～10日の深夜ですが,,kaさんから補助線を明示した

　図を見たいとの希望がありました。

　そこで□ＡＢＣＤと,そのＡＤの３等分点Ｍ,Ｎ,および,ＢＣの３等分点Ｐ,Ｑを

　書いた図を示してみました

要するに,⊿ＭＰＱ＝(1/2)⊿ＭＢＱ,⊿ＭＱＮ＝(1/2)⊿ＭＱＤなので,

□ＭＰＱＮ＝(1/2)□ＭＢＱＤとなります。

別の補助線を引いて,⊿ＭＢＤ＝(2/3)⊿ＡＢＤ,⊿ＤＢＱ＝(2/3)⊿ＤＢＣ

なので□ＭＢＱＤ＝(2/3)□ＡＢＣＤが成立しますから,

□ＭＰＱＮ＝(1/3)□ＡＢＣＤになります。

もちろん,□ＡＢＣＤが台形でないなら,面積が1/３になるのは真ん中の

四角形だけで,両側の四角形は1/３にはなりません。

これがヒントです。◎

さて職場から,帰宅したので,約束通り,解答を示します。

まず,９個の小四角形に下図のようにａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅ,ｆ,ｇ,ｈ,iとラベルを付けます。

同時にこれらは各四角形の面積をも表わす記号とします。

　ここで□ＡＢＣＤの面積をＳとすると,証明すべき結論は,ｅ＝Ｓ/9です。

まず,明らかにａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ です。

そして,ヒントから, ,ｂ＋ｅ＋ｈ＝Ｓ/3,かつｄ＋ｅ＋ｆ＝Ｓ/3 です。

このことから,ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ/3＋ｅと書けることもわかります。

これ以上,これらの式をいくら変形しても何も新しいことは出てきません。

そこで,新しい補助線を引いて考察します。

まず,⊿EＡM＝(1/2)⊿ＥＭＤ,かつ⊿EＡK＝(1/2)⊿EＫBです。

故に,ａ＝⊿ＥAM＋⊿ＥAK＝(1/2)(⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB)です。

いいかえると⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB＝2ａです。

そこで,□ＥＢＣＤ＝Ｓ－3ａです

他方,⊿EDR＝(1/3)⊿DEC,かつ⊿EBP＝(1/3)⊿EBＣ ですから,

⊿ＥＤＲ＋⊿EBＰ＝(1/3)(⊿DEC＋⊿EBＣ)＝(1/3)□ＥＢＣＤ です。

以上から,(ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ)－2ａ＝(1/3)(Ｓ－3ａ) ですから,

ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ＝ａ＋Ｓ/3 が成立します。

対称性から,同様に,

ｆ＋ｉ＋ｂ＋ａ＝ｃ＋Ｓ/3,  ｈ＋ｇ＋ｆ＋ｃ＝ｉ＋Ｓ/3,  ｄ＋ａ＋ｈ＋ｉ＝ｇ＋Ｓ/3

も成り立つはずです。

これら４つの等式の両辺を,全て,それぞれ加えると,

2(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ)＝(ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ)＋4Ｓ/3

となります。

したがって, 2(Ｓ－ｅ)＝(Ｓ/3＋ｅ)＋4Ｓ/3 より,

3ｅ＝Ｓ/3 ですから, ｅ＝Ｓ/9です。

解答は以上で終わりです。 お疲れさま。。

ここまで全部が,2011年記事の再掲内容です。※

次は,今年2012年春の４/23入院,４/24左眼手術,４/28退院の入院時

の４/30の記事「数学(算数？)の問題(入院中にトライ)」の再掲載です。

実は,７階の眼科(701号室)で手術する前に,４/16に,インスリン投与開始

のため,15階の内科(1503号室)に入院し,その後４/23に病棟を転科して

きたのでした。

※さて,以下は再掲内容です。

これまでの経験から,入院生活は退屈極まりないことがわかっていたので

数冊の専門書や小説だけでは,スグに時間が枯渇し,また飽きてしまうと

思い,ルービックキューブや詰め将棋本も持ち込みました。

　さらに,この他に入院直前に急遽Amazonで「数学オリンピック

　完全攻略」という古書を注文購入して病院に持参しました。

　入院初日の4/17の午後に,最初に考えて解き,なぜか退院までに

　最も印象に残った問題は次の問題でした。

　数学オリンピックの問題（1979年）

　ｐ,ｑを,ｐ/ｑ＝1－1/2＋1/3－1/4＋...－1/1318＋1/1319

　を満たす正の整数とするとき,

　ｐは1979で割り切れることを示せ。

(◎)以下は,これのヒントから,というより,即解答を書きます。

　ｐ/ｑ＝1－1/2＋1/3－1/4＋...－1/1318＋1/1319

　＝1＋(1/2－1)＋1/3＋(1/4－1/2)＋...＋(1/1318－1/659)＋1/1319

　＝1＋1/2＋1/3＋1/4＋...＋1/1318＋1/1319－(1+1/2＋..＋1/659)

　＝1/660＋1/661＋..＋1/1318＋1/1319

　＝1979/(660・1319)＋1979/(661・1318)＋..＋1979/(989・990)

　＝1979×(1//(660・1319)＋1/(661・1318)＋..＋1/989・990)

　より,

　1/(660・1319)＋1/(661・1318)＋..＋1/989・990)を通分した

　既約分数をｍ/ｎとおけば,ｐ/ｑ＝1979(ｍ/ｎ)　です。

　故に,ｐ＝1979ｍｑ/ｎと書けます。

ところで,1979はちょっと確かめればわかるように,素数です

から,1と1979 以外には,分母のｎと共通因数を持つ可能性は

全くありません。

しかも,ｎは660・661・・・1319の約数ですから,これは明らかに

1979では割り切れません。

そこで,ｐが整数であるという仮定から,ｍｑの方がｎで割り切れる

と結論されます。

したがって,ｐ＝1979ｍｑ/ｎで,かつ,ｍｑ/ｎが整数ですから,

ｐは1979で割り切れることになります。(終わり)◎

こうして入院初日は暮れてゆき,11泊12日が続いたのでした。

(↑ この問題を退院時,看護師さんに宿題として置きみやげに,

渡してきました。昨年の前回入院でも帰りに宿題出しましたが,

忘れてるでしょうね。← イヤ,毎度,迷惑な話です。)

(以上,2012年記事の再掲です。※)