大晦日です。

　２年越しで飲みに行こうと思っていたけど飲み代払うと正月から飢え死にしそうなので家でマッタリテレビを見てます　

　今はひかりTVのファミリー劇場の特命係長を見ながら遅い夕食を取ったところです。ヤッパ。。エビちゃんはいいなあ。。

　いつもと変わらず,,梅干,海苔,味噌汁の食事ですが幸せです。寒い暮れでも屋根があって暖房ぬくぬく,何とシアワセ者だろう私は。。。

　時代劇チャンネルは忠臣蔵ばかりでストーリー違っても同じですから。。

　そういえば去年の大晦日は豊島ケーブルテレビでアルプスの少女ハイジを見てましたね。

　地上波は特別な番組ばかりで久しぶりの吉本の漫才はよかったけど飽きてきました。

　昨日は昼間に第９を聞いた後,大山に飲みに行ってお金も払わず,車もタダで送ってもらって24時頃には帰宅しました。

　今日も昼頃目覚めて近くのコンビニでみかんや間食類を買ってきて,コピーしておいたダイハード４を見た後夜まで居眠り。。(古いけどカウチポテト？)。

　カウントダウンでドームにいる,とかの電話もありましたが今の正月は昔と違って大抵のお店も開いてるから買い置きの必要もないし普通の日常とほぼ変わりないですから,正月だ新年だとかいっても明日とか来週という感じで,ただ何の用もなく寝ているだけの連休はありがたいだけです。

　めったに逢わない人との付き合いはほとんどないので年賀状も来ないしメールなら少しはあるけど。。。

　ただし,１９日にヤフオクで落札し21日に届いたガスファンヒーター,それから3ｍのガスホースをアマゾンで買い,昨日飲みに行く前ヤマダ電気で400円でガス栓プラグを買ったのに,プラグとホースのソケットが合わず,10日経っても接続できないので,東京ガスに聞きましたが,営業は５日からというので早くガス屋の営業が始まって欲しいですね。

　来てもらうと出張料et.cで本体の落札価格(5250円)程度に高く付く可能性があるので,電気代節約したいところですが,何とか自分でバンバンします。

　頭が悪いので,担当の人に電話で説明されてもよくわかりません。。

　ガスファンヒーターを使うとガス代も増えるんだらら東京ガスで買ったモノじゃなくても,無料でガス栓の見積もりや説明くらい来てくれよな。

　年末だって暖房シーズンだし素人の火遊びはアブナイんだから。。。

　次はテレ朝チャンネルで相棒。。ってテレ朝ばかりですね。。。

　(※うん？？特命係長と特命係。。？？)

　早く明日になって正月騒ぎも終わればいい。。なんて,ビンボーでかつ寂しいジジイのヒガミかもね。。

　冥途の旅の一里塚メデたくもありメデたくもなし。。

　よいお年を。。

PS:30年くらい前,当時の神楽坂のスナックでの飲み友達だった歯科大講師で364日年上のチハル先生に私の誕生日に頂いた,歩きながらでも飲める革のカバー付き小さいウイスキーボトルが唯一部屋の中にあるアルコールです。

　家で飲む習慣ないけど,少し口に含んでみます。

(↑彼女はクモ膜で倒れてから逢ってません。会っても思い出さないかも。)

　昨日店で隣席の人にもらったLARKもあるし医者にはやめたことになってる久しぶりのタバコで寿命を縮めてみようかな。。

.ゴジラ 松井秀喜引退。。うーん残念

　今,朝７時過ぎですが,テレビを付けたら入ってきたニューヨ－ク市内のホテルでの松井秀喜選手の引退会見の生中継を見ています。

　プロ野球読売k巨人から大リーグのニューヨーク・ヤンキースに移ったゴジラこと,松井選手がっ現役引退するそうです。

　プロ入団から20年,メジャー入団から10年の38歳です。

　　

　2009年にニューヨーク・ヤンキースでワールドシリーズＭＶＰを取ったにも関わらず,翌年からはカリフォルニア・エンジェルスに移籍し,それから,オークランド・アスレチックス,,テキサス・,レンジャーズ,タンパ・レイズと渡り,２年連続で戦力外通告を受けたりで,今年は球団オファーも無かったようです。

　左ヒザのケガから手術を受け回復後も恐らく体力的に以前のようなパフォーマンスができないことが,全力プレイでチ－ムに貢献するという美学に反するという,彼の男らしく潔い決断が引退理由であろうと推察されます。

　確か,私の世代では代表的プロ野球選手の長島の現役引退が22歳から17年間現役の39歳でしたし,プロ野球一軍選手,一流選手の平均から見て引退するのが若過ぎるということはないと思いますが,

　昨今は日本でも工藤選手のように40歳半ばまで現役を続けた選手もいますし,イチローも今39歳で来年もヤンキーズとメジャー契約しました。

　日本に帰るという道もあります。惜しい,残念という気はします。

　まあ,ボロボロになるまで現役を続けるというのも１つの価値観ですが,スポーツというのは肉体勝負ですから選手としてピーク状態で活動するには,遅かれ早かれ必ず年齢的限界がきます。

　松井秀喜選手は,オリンピックで金メダルを取って世界一になった方たちなどと同じか,それ以上のことを実力で達成し,まだ,人生の半分くらいで１つの頂点を極めた羨ましい存在です。

　これから残りの第２の人生を,指導者として過ごすのか？別の道に進むのかはわかりませんが,少しゆっくり休んでから,また自分の道頑張ってください。

　ＮＨＫニュー　ス　大リーグ松井秀喜選手が現役引退へ

　プロ野球選手の引退残念記事は阪神の赤星以来かな？

　(※2009年12/21の記事　「赤星選手引退他」参照)

PS:私のブログ科学記事は電磁気学の記事に図を入れるための元本の高橋秀俊著「電磁気学」(裳華房)が部屋の中で行方不明で,ずっと探していますが見つからないので,困っています。

　あまり外観がキレイじゃないし,必要な本ですからまだ古書店に売ってはいないはずです。

　こんなのは,神保町の本屋でチョッと立ち読みするくらいでスグわかるのですが.,ケチが付いたので本年中はもう科学記事書かないかも知れません。

　気紛れですから,別ネタ書くかも知れませんが恐らく少しお休みです。

　ところで,昨日27日は今年最後の眼科外来検診のため休みました。

　年内は後,28日,29日と出勤して1月４日まで自宅で寝正月の予定です。

　92歳の岡山の老母に逢うための帰省資金も足りなくて,寒いと体力的にも一人で旅するのは危ないし,別に世間の人が大移動する正月じゃなくても,ある意味イツでも移動可能な身の上なので,もっと暖かくなってから時期を見て西行しようかな？とも思っています。　

　今まではお酒を外で一人で飲む習慣になってから,,東京にいるときは大体大晦日から２年越しで飲んだ後は,正月に入ると禁酒という習慣でした。

　それは,私は自宅とか友人の家で飲むという習慣は無く,行きつけのスナックや居酒屋が正月は休みだからです。

　でも不景気のせいか,正月早々営業してる店もチラホラで,今年はその気になって資金があれば飲むかも知れません。

　昔から.こうした大型連休のときこそ家族も彼女もなくてどこに旅行に行くということもない「ヒモノ男」の私は,ゆっくりとお店で飲みたいのに(※あくまで社交のためで酒は嫌いじゃないけど好きでもないので)。。

　GWとか正月とかはウサ晴らしのサラリーマとか世間のフツーの人々は飲み屋には行かないようですから,大体こうしたお店は休みみたいですね。

私の近況(とてもサブーい)

　ここのところ科学記事を書かないのでどこか悪いのかと心配されてる方がおられるかも知れません。

　(※↑ あんたの体もブログのことも心配してる人など誰もいないから,心配の催促するなよな。＞TOSHI  　)

　イヤ,実は体の具合が悪いんですよ。

　ウソウソ。。久しぶりに僅かですが２ヶ月分の年金も入り例によって一週間くらいは夜遊びしてました。

　そして,ここのところ,気温の上下動激しく次第に異常に寒くなって気温変化に体が対応できず,糖尿病の疲れやすさもあって,外から帰宅するとスグ部屋と体が暖まるまで毛布にくるまって仮眠し,夜中近くに眼覚めてイザ原稿書きをやっても長続きせず,という状態です。

　科学記事は,長いシリーズ記事一段落して,その続きも含め３つくらい同時に記事原稿を用意しようと画策していましたが,そのうち１つは過去ノートの写しではなく新たに書いています。

　しかし,別の項目だとスグには中身に入れず,必要な知識を忘れているところもあって過去ブログなども読んで復習するのですが,つい以前の記事では私自身のスキル不足のため,文章ばかりで理解に必要な図が少ないのが気になって,改めｔて図を描いて過去記事に挿入したりしています。

　いずれにしろ,暖房しても部屋全体が暖まるわけではなく,寒くて身体も気持ちも固まったりしながら過ごしていて,モチベーションも落ち勝ちで今一つです。

　私の場合,風邪は９月頃に引いたせいか,今は引いていませんが,どうも人間様が患って流行るような病気は,私にはめったにうつらない？ようです。

　確か,昔のサラリーマンの時代にも,先輩がよく言ってました。

　「ＴＯＳＨＩクン。ジステンバーは治ったか？」って,犬じゃネエよ。。。

PS:一昨日の24日午前中は職場で恒例のクリスマス・パーティでした。

　昨年は私も沖縄のカンカラ三線(サンシン)演奏に合わせて手話付きで沖縄の歌など唄いましたが今年は大人しく参加しました。

(※↑去年の出し物は今年４月には,ワザワザ会津若松まで行って押し売りボランティアをやったのと同じモノです。

　2012年４/７の記事「会津若松の仮設住宅集会所で唄ってきました。」

　↑ また,自己アピールのブログ宣伝かよ。。 ったくぅ。

　あんたのボランティアってのは,純粋じゃぁなくスタンドプレイがたくさん入っていて他人のためじゃなく自分のエゴのためだろう？

(※↓偽善という名の善だよ。

　「犬(異邦人)もまたテーブルから落ちたパンくずを食べるではないか？」　異邦人を犬とはヒドイ言い草だけど,当時のユダヤ選民の意識ではそう述べるのがわかりやすいのでしょうね。

　北朝鮮への制裁の兵糧攻めもいいかも知れない。でも支援物資のほとんどが将軍様周辺に独占されても,こぼれ落ちたモノがあって悲惨な人民に届くかもしれない。あくまで個人的感想ですが。。。)

　まあ,昔学生時代の終わり頃に,かなりひどイジメのムラハチにあったせいで,,そのトラウマからずいぶん後になって暑い季節でもないのに朝起きたら寝汗ビッショリということもよくあったりして,人間様がコワくて,(特に友達(だった人)が一番コワくて今も心開くのは大変)

　普通の十倍くらい他人には親切に接しないと,またイジメに会ううのでは？という無意識の自己防衛,あるいは十くらい親切にして,やっと一くらいは自分に帰ってくるのでは？という甘えの思い込みからやっていると,ウツ病から解放され冷静になったときに分析していました。

(◎多感な思春期過ぎ？にかかったウツ病が老化して鈍感になったから治ったなんて本当はイヤです。今なら苦しくても若い感性を取り戻したいです。

　私よりも若くよく似た病気の人がいると,エラソーにアドバイスしたくなるけど私のは時間が解決しただけです,年齢や環境も違い感性が異なる他人に自己の体験がそのまま当てはまるハズはないので,少しは参考にはなるかも知れないけど控えています。)

　これもまた自己アピールですが,そもそもブログとは公開日記ですから,露悪趣味の自分にとっても自己アピールの場ですからね。。

　行動や出来事についてウソは無くても,心の中は自分にもわからないし,神サマじゃないから,当たり前に裏表もエゴもあり表の顔の他に裏の顔もあるのでブログに書いてる感想などの思いが,100％真実ウソ無しとはいかないでしょう。

　全く汚い醜いところを隠すことなく晒すことができるようになるのは,一つの目標ですが,言い訳ですが神サマじゃないからね。。。(鳥居みゆきはエラい)

　イヤ,そもそも神サマには汚い醜いところも苦しみも喜びも痛みも気持ちよさもそうした人間的なモノなど全く無いはずですから,一度人間サマを体験してみないとわからないんじゃないか？って,

　何だかクリスマスネタらしくなってきました。

　そういえば今年はまだ,メサイアもレクイエムもくるみ割り人形も聞いてないので後でゆっくり聞きますか。。

　小学生中学生の頃からトキドキ地元故郷の倉敷の大原美術館で見て感動ししていたエル・グレコの「受胎告知」も久しぶりに現物を見たい。マリアのスカートの赤は素晴らしかったなあ。

  受胎告知で検索してみたらありました。↓

　幸か不幸か？今はネットがあって便利ですね。。　     　

            

　副作用のない理想薬は無し,諸刃の剣？

　キレイなバラにはトゲがある。虎穴に入らずんば虎子を得ず。イヤ,とても便利なものには大きなリスクが伴なう。

　人類生まれて100万年？火は時たま火傷をしても何とか制御できるようになったけど,神の火(原子力)は,あと100万年経っても人間が制御するのは無理で大火傷して死に至るかも。。。

　(※↑相変わらず能書きばかり。早く死ねば？。。。)　　

PS2:会津若松の仮設住宅集会所で会った大熊町のみなさん,また仮設には厳しい冬が来ましたが,お元気でしょうか？

　その節はズケズケと勝手に入っていってお騒がせしました。

　できれば,よいお年をお迎えください。

　(※東京から来た「三線沖縄」の片割れです。)

PS３:ついでに何でも書いとくか。。

　アナキストに近い私には政権交代などどうでもいいですが,トロツキーの永久革命か,あるいは哲人は一代限りで世襲できないけどプラトンの絶対専制哲人政治とか。。

　多数決が決定原理の民主主義が本筋というなら,原理的には現状では中国かインドが人口多数ですから比例代表ならそこの地域利害が優先ですね。

　まあ,大選挙区(全国区)の完全比例代表のみなら死に票はゼロに近く憲法違反も有り得ないですが,昔のドイツのように？小党乱立で法案がなかなか決まらず大変ということもあるらしいので,やはり中選挙区くらいでしょうか？

　ちなみに私は傍観者で競馬予想的に選挙を見てるだけで,国政選挙投票に行ったことは20歳から今まで一度もありません。

　地方選挙は42年間で２回投票しています。

　学生でッヘルメットなどかぶっていた頃,,自宅から投票所まで車で送り迎えもしてくれたので,私が比較的シンパだった共産主義労働者党の市議会議員候補に１回投票したのと,東京に来て杉並区に住んでいた頃,大家さんが民社党から区議会議員に立候補して当選したときの２回だけです。

　いずれも義理と人情だけで買収などはされていません。

　日本でもどこでも庶民が選挙権を得るまで涙ぐましい努力の歴史があることは知っていますが,そもそも権利であって義務じゃないです。

　どこかの国であったように投票しないからといって逮捕されたり罰金を取られる法律違反の犯罪行為ではないし,日本では,どこかのリベラルな国でもあるようなペナルティを課されるわけでもありません。,

　生まれた時には既にイヤもオウもなく現行の代議員制度が存在して色々な法律等も決まっていて,それらに積極的に賛成でも反対でもないなら,その法律etc.に巻き込まれる必要はないという程度です。

　もしかして,知らずに法律違反していたり,知っていても賛成じゃないなら従わないし,それでパージされても殺されない程度なら仕方ないですね。

　さらに,金融緩和？

　かなり前から述べてるように日本の債務はほとんどが国内の債務でしょうから,今が100年に１度の危機であれば,政府の自由にはできない日本銀行券じゃなく日本政府券を１千兆円以上も発行して,

　取り合えず国債でマネーゲームに興じる方々の損にならない程度に一時的に債務をチャラにし,かつ復興予算に充当すれば,一気に国際信用を失なって円安,かつインフレになり,それらが一時的でなく長引くリスクありますが,100年に一度的カンフル剤になるのでは？と素人的無責任な意見述べておきます。,

(※昔のようにどこかで戦争があって(戦争を起こして),それで赤字が消えるとかよりはマシだと私は思います。

　インフレ,デフレが拡大スパイラルに入るかどうかは,代数方程式の解をニュートン法で求める際,初期値の選択次第で解に収束するか発散するかという具合に例えばブラック；ショールズ方程式のような非線形？発展方程式のカオスの安定性の判定条件次第のようなモノでしょうから。。。※)

　さらに言うと,哲学のテーマや宗教の目的は「人間が如何にして幸福になるか？」が主たる課題でしょうが,手塚治虫の漫画「ブッダ」の冒頭では飢えた虎の子供たちを助けるために自分を食べさせるという話から入るところからも見えるように,人間中心でない輪廻思想の東洋の宗教では,

　人間にとって害虫である存在にとっては,逆に人間の存在が害悪ですから殺人が善行になるという形です。

　人間の幸福を求めて医学の発展,戦争も無くなりつうあり,科学文明も発展する,でもそのせいで資源の乱獲から自然を破壊し人口は増えるけどそのため絶滅種も増えて,生態系を破壊するため,食物連鎖の頂点にいるため,困った人間がさらに自然破壊を行なうという破滅のスパイラルを断ち切るには,

　最大の害虫である人間がいないほうがイイという謂わゆる自己敗北主義のような如何なる価値観も可能という立場に立つこともできますが,

　こういうのはディベートで用いるソフィスティックなマヌーバのようなモノで,確かに如何なる価値観も相対的で普遍的価値,倫理も存在しないというのは真でしょうが,こういうのも知ってるよ。という自己顕示のためだけに,実は自己の支持していない,感性に反する思想,イデオロギーをも記述してしまうというのもナンダカなあ。。という気がします。

　さて,最近,やっとDVDを借りて,,前から見たかった芦田愛菜ちゃんと松山ケンイチくんの「うさぎドロップ」の映画版を見ました。よかったぁ。。

　ついでに名作でずっと昔にテレビで見た「汚れなき悪戯」と,「ダイ・ハード４」も借りてきてハードディスクにデジタルコピーしておいたので正月休みに見る予定です。

訃報！中沢啓治さん(はだしのゲン)

　漫画家というより素人に近いですが自らのヒロシマでの被爆体験を克明に描写した代表作「はだしのゲン」で世界的にも有名な中沢啓治さんが,12月19日に死去されていたことがわかりました。73歳でした。

　毎日ｊｐニュース　

　中沢啓治さん死去　平和と怒りゲンに託す　原爆に鋭い批判

　　　　　　　

　実際に爆心地で被爆された方としては,かなり長生きかもしれません。

　下はコミック版「はだしのげン」の全10巻です。

　　　　　　

　　　「はだしのゲン」の他にも戦争漫画を描いておられたようです。

　私的には,戦争,漫画といえば,「がきでか」という一見下品なギャグ漫画の方がはるかに有名な山上たつひこ氏の「光る風」を思い出します。

　(※　下の写真はAmazonから。。。)

　　　　

　こちらは,若い頃連載を結構読んでて,衝撃を受けていました。

　「はだしのゲン」も全部ではないですがところどころは読みました。

　ブックオクにもあったので,この際今までに刊行されてるものは読んでみようかと思います。

　　中沢さんお疲れ様でした。

　　ご冥福えお祈り増す。合掌！！

訃報 追加 デイブ・ブルーベック(12/６)

　今朝,今年１月から今まで亡くなった有名人の特集を見ていたら,海外ですが,ジャズの定番の「テイク・ファイブ(TAKE5)」奏者のピアニストのデイブ・ブルーベック(Dave Bluebeck)さんが12月に亡くなったということでした。91歳でした。

　イヤ,元々私のなかでは既に伝説の人で,まだご存命であったことさえ知りませんでしたし,91歳ということですから特別の感慨はありませんが。。

　一応,追加の訃報です。

　J-castニュース　→　ジャズピアニストのデイブ。ブルーベックさん死去91歳

    

　　　　　　ご冥福を祈ります。　合掌！！

PS:私はマヤ歴より,旧約聖書でバビロン補囚の時代に,ネブカドネザル王の男妾？であったらしいユダヤの美少年ダニエルが王に語ったという王の夢の内容方が気になりますね。

　ある解釈ではユダヤ建国(イスラエル建国？)から何十年か後には終末が来るとか？

　ノストラダムスもそうでしたが,こういう予言は解釈次第で当たりハズレが判断され,年号もかなり曖昧なようです。

訃報！米長邦雄 永世棋聖

　何と,昨日12月18日(火)の朝,将棋プロ棋士で現在日本将棋連盟会長の米長邦雄氏が前立腺ガンのため,亡くなられました。69歳でした。

　将棋に関しては天才の域の方だったとはいえ,まだ惜しい年齢です。

　→　ｍｓｎ産経ニュース　

　米長邦雄永世棋聖死去69歳　７度目の挑戦で最年長49歳名人

　　　　　　　　

　一昨年(2010年)の10月でしたか？　東大工学部で行なわれた清水市代女流とコンピュータ将棋の「あから」との対局終了直後の18時過ぎ,私も午後１時過ぎから入場料千円也を払って見ていた大盤解説会場での講評・挨拶で,直接元気なお姿を拝見したばかりでしたが。。

　(※「:田丸昇八段のブログ記事」　参照)

　その後,ご本人もコンピュータソフトに敗れたと聞きましたが,将棋界の中心で未だ,やや封建的な伝統ある世界の中にドップリ漬かっておられても,新しい潮流を拒否せず堂々と向かっていくポリシーは立派だと思っていました。

　将棋は男女の区別のない実力の世界で,歴史的に女性が入りにくい世界であったからか？私は底辺のアマチュアの普及人口が圧倒的に男性が多いためと思っていますが,実際,現時点のトップクラスでは男性棋士の実力がはるかに上回っているのが事実です。

　「文句があったら男に勝ってから言え」というお考えからでしょうか？一時女流棋会とのゴタゴタもありましたし,例の林葉直子さんの師匠でもありました。。

　私は,現行のプロの将棋棋士が得る収入はゴルフや野球,サッカーなどのスポーツや芸能界と同じく,ギャラリー,観客,サポーターの投じるエンターティナー収入であると思っているので,

　確かに実力がなければダメな世界ですが,女流棋士は華であり,実力とは別に,その存在自体がファン,サポーターの増加,普及に大いに貢献していると感じています。

　米長さんには遠い演台上での挨拶を聞く以外には,直接お会いしたことはありませんが,私もアマチュアですが20代から本格的に将棋を勉強していましたから,同時代の升田,大山,花村,加藤(一二三),中原,内藤,二上さんなどと同じく,新聞や書物などの棋譜の上では大いにお世話になりました。

　　　ご冥福を祈ります。合掌！！

量子電磁力学:続編(準備中)の序文

相対論的場の量子論シリーズの第Ⅱ部に入る前に,

ここまでの記事の補足として,電磁場を(正準)量子化する際に

生じる問題点や,Gupta-leuilerの方法の詳細についての記事

を現在準備中です。

そのため,今回は参考ノートなどはないので取り合えず,原稿

を古典電磁場の定式化の確認から始めている状態ですが,

2008年５/19の記事「電磁気学と相対論(4)(真空中の電磁気学３)」

の内容が,つなぎの序文としてピッタリのようなので,手抜きです

が,ほぼそのまま再掲載しておきます。

※以下,再掲記事です。

電磁場の基本方程式であるMaxwellの方程式が,

∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 の４個

と,∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)の４個の計８個のテンソル

方程式に帰着することを見ました。

しかし,元々真空中の電場,磁場はＥ,Ｄ,Ｂ,Ｈによって表わさ

れますが,実質的にはＥとＢだけが決まれば残りも決まるので,

独立な未知関数の成分は６個だけですから,方程式が８個もある

のは過剰ではないかという気がします。

実際,divＢ＝0 が成立することから,Ｂ＝∇×Ａ＝rotＡと表現

できるベクトルポテンシャルＡの存在がわかります。

これをrotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 に代入して,

rot(Ｅ＋∂Ａ/∂ｔ)＝∇×(Ｅ＋∂Ａ/∂ｔ)＝0 から

Ｅ＋∂Ａ/∂ｔ＝－∇Φ＝－gradΦと表現できるスカラー

ポテンシャルΦの存在することがいえます。

それ故,Ｂ＝∇×Ａ＝rotＡ,Ｅ＝－∇Φ－∂Ａ/∂ｔ

＝－gradΦ－∂Ａ/∂ｔと表現することで,

電場Ｅ,磁場Ｂの６成分を決めることを,スカラーポテンシャル

Φ,および,ベクトルポテンシャルＡの４成分だけを決めること

に帰着せしめるのが,近代電磁気学の通常の理論で行なわれてい

ることです。

そしてＥ,Ｂをこのように表わしたときには,divＢ＝0,および,

rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 は自動的に満足されます。

このΦ,Ａを総称して,特に電磁ポテンシャルと呼ぶこともあり

ます。

そこで,ポテンシャルの４元ベクトル表現:

Ａ^μ＝(Ａ⁰,Ａ¹,Ａ²,Ａ³)≡(Φ/ｃ,Ａ)から,その成分が

Ｆ^μν≡∂^μＡ^ν－∂^νＡ^μ＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ^ν

の２階反対称テンソル(Ｆ^μν)を作ります。

そして,電場Ｅ,磁場ＢをＥ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)≡－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³)

Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)≡－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)と定義すれば,

これらが自動的にdivＢ＝0 ,かつrotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 を満たす

ことは明白です。

つまり∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 は,

Ａ^μを決める方程式ではなく,Ａ^μをどう取っても常に成立する

恒等式であることは,確かめるまでもなく明らかです。

一方,∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)の方は,

(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)－(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)

＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀),

または,符号を変えると,　

(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)－(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)

＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀),(μ＝0,1,2,3)となり,これがｘ^μの未知関数

Ａ^μを求める４個の微分方程式,という形になります。

Ａ^μ＝(Ａ⁰,Ａ¹,Ａ²,Ａ³)≡(Φ/ｃ,Ａ)の成分の数は,もちろん

４個であり,方程式の数も４個ですから,

この形に書けば,先に基本方程式であるMaxwell方程式において,

未知関数の数と比べて方程式の数が過剰ではないか？と見えた

のは見掛けの上のことであったとわかります。

一方,実際の観測などによって電場Ｅと磁場Ｂがわかっている

場合:つまり,テンソル(Ｆ^μν)が確定している場合を想定して,

∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_ν＝Ｆ^μνなるＦ^μνの定義式を,右辺の

Ｆ^μνに既知の値,または関数を与えたとき,未知関数Ａ^μを定める

微分方程式であるという見方をしてみます。

これの左辺は,"ベクトルＡ^μの４次元的な回転＝rot(Ａ^μ)"に相当

するので,この方程式は形式的にrot(Ａ^μ)＝Ｆ^μνと書けます。

そこで３次元ベクトルの渦無し場,または保存力場のアナロジー

で,この方程式:rot(Ａ^μ)＝(Ｆ^μν)の１つの解をＡ^μとすると,

これに,rot(Ｂ^μ)＝0 を満たす任意の渦無しベクトルＢ^μを加え

ても,rot(Ａ^μ＋Ｂ^μ)＝Ｆ^μνが満たされるため,(Ａ^μ＋Ｂ^μ)も

解になることがわかります。

ところが,rot(Ｂ^μ)＝0 ならＢ^μに対しあるｘ^μのスカラー関数:

Λ＝Λ(ｘ)が存在して,Ｂ^μ＝－∂^μΛ＝－∂Λ/∂ｘ_μ＝－gradΛ

と表わせます。

しかも,Ｂ^μはrot(Ｂ^μ)＝0 を満たす任意の４元ベクトルです

から,それを表現するΛ＝Λ(ｘ)も任意関数に取っていいです。

したがって,Ａ^μが∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ^ν＝Ｆ^μνの解で

あれば,Λを任意関数として,Ａ^μ－∂^μΛもこれの解であると

いう性質があることがわかりました。

そして,∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ^ν＝Ｆ^μνは,

Ｂ＝∇×Ａ＝rotＡ,Ｅ＝－∇Φ－∂Ａ/∂ｔ

＝－gradΦ－∂Ａ/∂ｔ なることを意味し,

Ａ^μ→ Ａ^μ－∂^μΛなる変換は,Φ→ Φ－∂Λ/∂ｔ,

Ａ→ Ａ＋∇Λ＝Ａ＋gradΛなることを意味します。

すなわち,電磁ポテンシャルＡ^μをＡ^μ－∂^μΛと変えることは,

実際に観測される場である電場Ｅと磁場Ｂ,あるいは,

Ｆ^μν＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_νには何の影響も与えない

ことがわかります。

このＡ^μ→ Ａ^μ－∂^μΛ,あるいは,Φ→ Φ－∂Λ/∂ｔ,

Ａ→ Ａ＋∇Λ＝Ａ＋gradΛなる変換をゲージ変換

(gauge transformation)と呼び,この変換に対し理論が

何の影響も受けないことを,理論はゲージ不変である,

といいます。

そして,このスカラー関数Λ,あるいはその微分をゲージ(gauge)

と呼びます。

しかし,この変換でＡ^μに対する基本方程式:

(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)－(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

の方は,その形に変更を受ける可能性があります。

すなわち,方程式

(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)－(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

において,Ａ^μの代わりにＡ'^μを代入すると,

(∂²Ａ'^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)－(∂²Ａ'^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

となりますが,Ａ'^μがゲージ変換:Ａ^μ→Ａ'^μ≡Ａ^μ－∂^μΛ

＝Ａ^μ－∂Λ/∂ｘ_μ の結果として得られるものであれば,

左辺の第２項の(∂²Ａ'^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)は,

(∂²Ａ'^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)＝(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)

－{∂²(∂Λ/∂ｘ_ν)/∂ｘ_μ∂ｘ^ν}と書けます。

そこで,例えば,

(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)－{∂²(∂Λ/∂ｘ_ν)/∂ｘ_μ∂ｘ^ν}＝0

が満たされるようにゲージ Λを取ることができれば,

そのときには,基本方程式は,

(∂²Ａ'^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

と簡単な形になります。

そこで,こういうゲージΛを取ることができたと仮定して,

(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)－{∂²(∂Λ/∂ｘ_ν)/∂ｘ_μ∂ｘ^ν}＝0

の両辺をｘ_μで積分すると,これは,　

∂Ａ^ν/∂ｘ^ν－{∂(∂Λ/∂ｘ_ν)/∂ｘ^ν}＝定数

となります。

したがって,この最後の条件となる等式の右辺の定数をゼロ

とおいた ∂_μＡ^μ＝∂_μ∂^μΛ,または,∂Ａ^μ/∂ｘ^μ

＝{∂(∂Λ/∂ｘ_μ)/∂ｘ^μ}が成立するようなΛが存在する

とき,言い換えると,変換後のＡ'^μが∂Ａ'^μ/∂ｘ^μ＝0 を満足

するようにできれば,

そのときは,電磁場の基本方程式は,

(∂²Ａ'^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

と書けます。

(※ただし,右辺の定数はゼロでなくてもいいので,これは１つの

十分条件であり必要条件ではないです。)

一方,任意に与えられたＡ^μに対し,Λを未知関数とする

微分方程式:∂_μ∂^μΛ＝∂_μＡ^μ, or □Λ＝∂_μＡ^μを

考えると,

これは解Λに右辺がゼロの斉次方程式:□χ＝0 の一般解χだけ

の任意性があることを利用することで,任意の境界条件を満たす

一意解を持つことがわかります。

ここで,記号□は,□≡∂_μ∂^μ＝∂²/∂ｘ_μ∂ｘ^μで定義される

D'Alembertianと呼ばれる微分演算子を示しています。

以上から,電磁場のベクトルポテンシャルとして,元々,

∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 なる条件を満たすようなゲージを取った

Ａ^μを採用しておけば,電磁場の基本方程式は,最初から,

(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀),あるいは,

□Ａ^μ＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)　と書けることになります。

このゲージを採用すれば,テンソル方程式としても対称な美しい

形であると感じます。

上記の∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 ,あるいは∇Ａ＋(1/ｃ²)(∂φ/∂ｔ)＝0

なるゲージ条件はLorenz条件といわれ,この条件を満たすゲージ

はLorenzゲージ(ローレンスゲージ or ローレンツゲージ)と呼ば

れています。

Lorenz条件自体は,相対性理論の座標変換に対し不変のまま保存

される(共変な:covariant)ことが自明な形をしていますが,

Ａ^μ → Ａ'^μ≡Ａ^μ－∂^μΛ＝Ａ^μ－∂Λ/∂ｘ_μ なる一般の

ゲージ変換は相対性理論の座標変換で不変に保たれる操作と

は限りません。

そこで,相対論的に共変でないゲージ,例えば良く使用される

もので,Φ/ｃ＝Ａ⁰には関わりなくＡのみが∇Ａ＝divＡ＝0

を満たすべきである,というCoulombゲージなどは特定の座標系

に固定されたゲージですから,

Ｓ系 → Ｓ'系というように準拠系を乗り移ると,ゲージ条件が

破れてＳ'系では違う条件に従うゲージになってしまう,という

ことがあります。

まあ,それでもすぐ上に書いたように,

"実際に観測される場である電場Ｅと磁場Ｂ:

Ｆ^μν＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_νには何の影響も与えない"

のですが,見た目には美しくありません。

そこで古典電磁気学では相対論的に共変なLorenzゲージを採用

することが多いようです。

しかし,量子論ではゲージ条件が正準交換関係と矛盾するとか,

不定計量になるとかで確率解釈において困るなどの問題から,

素朴なLorenzゲージのみを用いて共変的量子化をすることは

不可能で,初期にはむしろCoulombゲージが使用されていたこと

が多いようです。

荷電粒子と光子の場の量子論であるQED(量子電磁力学)でも形

の上では共変でLorenzゲージと一致するものも取ることができ

ますが,それがLorenzゲージとは呼ばれず,Landauゲージと呼ば

れるのは上記のような問題があるからです。

系統的な共変的量子化の手続きでは,Ａ^μの他にＢという補助場

を導入して,ダミーのスカラー場Ｃ≡∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＋αＢを作り　

α^-1Ｃ²という項を含む場のLagrangian密度から,変分原理によっ

て得られる場の方程式＝運動方程式のうちの１つであるＣ＝0,

つまり,∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＋αＢ＝0 なる方程式を考慮することで

ゲージを一意に固定してゲージ変換の任意性を取除きます。

つまり,∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＋αＢ＝0 が場を支配する運動方程式の

１つとなり,この方程式において特にα＝0 のLandauゲージを

取った場合がLorenz条件:∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 と一致するという

わけです。

しかし,補助場Ｂがある場合,

もう1つの方程式のｓ^μ＝0 のときの自由場の運動方程式の形

が,□Ａ^μ＝0 ではなく,□Ａ^μ－(1－α)Ｂ＝0 で与えられる

という事情があるため,

α＝0 の場合には,方程式の１つが∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 と一致し

ても,Lorenzゲージと呼ばれないのですね。

ただ,∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＋αＢ＝0 は相対論的に共変な等式なので,

この意味で共変ゲージはαの数だけ無数にありますが,

場の方程式:□Ａ^μ－(1－α)Ｂ＝0 が古典論の共変な方程式:

□Ａ^μ＝0 に一致する場合に相当する,α＝1 の特別な場合は

Feynmanゲージと呼ばれています。

電磁場は,そのLagrangianが特異であり,それ故,ゲージの自由度

を持つわけですが,その特異性のため,

古典論でも単純なPoisson括弧による正準理論として扱うことは

できなくてPoisson括弧を修正したDirac括弧を用いることが必要

になります。

そうしたわけで,電磁場ではゲージを固定せずには,普通の正準

量子化によって共変的量子化を行なうことは不可能です。

従来から場を表現する空間であるHilbert空間の方に,"その個々

のベクトルが物理的に許される状態であるために必要な条件＝

付帯条件(subsidary condition)"を課すことで量子化された場

そのものに生じる困難に対処してきました。

(→ ※ 例えばGupta-Bleulerの方法など※)

上に挙げた例では,α＝0 のLandauゲージの場合には,

∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 かつ,□Ａ^μ－Ｂ＝0 が成立しますが,

補助場Ｂの正エネルギー部分＝正振動数部分

(positive frequency part)をＢ^(＋)として,

Ｂ^(＋)|ψ＞＝0 を満足する|ψ＞のみが物理的に許される

状態であるという付帯条件を与えます。

こう規定すれば,実質上このゲージでも□Ａ^(＋)μ＝0 が成立する

と見なせます。

また,α＝1 のFeynmanゲージでは∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＋Ｂ＝0,

かつ □Ａ^μ＝0 ですが,これは実質上∂Ａ^(＋)μ/∂ｘ^μ＝0 ,

かつ□Ａ^μ＝0 なることを示しています。

結局,どのαでも共変ゲージとしては同等である,

と考えられます 。

このように,一連の量子化の手続きを補助場Ｂの導入によって

体系化し,電磁場Ａ^μの４元運動量がゼロ質量の光子に対応する

Minkowski空間のヌルベクトル(null-vector)であることから,

不定計量の状態空間を扱うことを余儀なくされるため生じる

dipoleゴーストなどの非物理的存在を観測可能量から排除し

電磁場の共変的量子化を完成させた理論は,中西-Lautrap理論

として知られています。

既に脱線していますが,さらに量子論の話に脱線します。

電磁場のようにゲージ不変な場のことをゲージ場と呼ぶのです

が,ゲージ場に対応する粒子は電磁場の場合の光子のように質量

がゼロのベクトル粒子であり,それ故Bose粒子(Boson)です。

質量がゼロでなければゲージ不変性が満たされないという事実

があるにも関わらず,素粒子場の電磁相互作用とは別の相互作用

において,その力を媒介するゲージボゾンの中に有限な質量のあ

る粒子が存在する場合があります。

これはゲージ不変性を保証していた対称性が自発的に破れた際に

ヒッグス機構(Higgs mechanism)などによって,元々ゼロ質量だっ

た粒子が有限質量を獲得する場合があるためです。

さて,次に物質粒子を示す場の理論において存在する対称性と

ゲージ変換,あるいはゲージ場の関連性について述べてみます。

まず,電磁場(光子)と共に荷電粒子を含む系を対象とする量子

電磁力学において,電子などの物質粒子の波動関数,あるいは,

それが第二量子化された粒子場は,粒子がFermi粒子(Fermion)

である場合なら一般にスピノル(spinor)で与えられます。

そこで光と電磁相互作用する物質場の粒子がFermi粒子である

として,この粒子の場を表現するスピノルをψ(ｘ)とします。

そして,これに対する１パラメータの位相変換:

ψ(ｘ)→ exp(iθ)ψ(ｘ)を考えます。

特に,パラメータθが無限小の場合,θの代わりにεと書けば

exp(iε)～ 1＋iεによって,

同じ位相変換は,ψ(ｘ) → (1＋iε)ψ(ｘ) と書けます。

この位相変換に対して,自由粒子のLagrangian密度:

Ｌ＝ψ⁺γ⁰(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψは明らかに不変です。

しかし,もしも位相変換が全ての時空点ｘ^μに対して共通な

大域的変換ではない場合,すなわち,パラメータのθまたはε

が定数でなく時空座標ｘ^μの関数で与えられ,

θ＝θ(ｘ),またはε＝ε(ｘ)であるような局所的変換の場合,

Lagrangian密度は,Ｌ＝ψ⁺γ⁰(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψ

→ Ｌ'＝ψ⁺γ⁰(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψ－γ⁰γ^μ∂_μθと変換され,

不変ではなく,余分な項がでてきます。

ところが,Lagrangian密度が,自由粒子のそれ:

Ｌ＝ψ⁺γ⁰(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψではなく,電荷ｅを持った粒子

が電磁場Ａ^μと相互作用している場合のそれ,であるとすれば,

この相互作用の効果は,いわゆる極小相互作用変換

(minimal interaction):ｐ_μ＝i∂_μ→ ｐ_μ－ｅＡ_μ

＝i∂_μ－ｅＡ_μで表現されますから,

自由粒子のLagrangian密度に対し,この極小相互作用変換を

実際に行なえば,新しく得られるLagrangian密度の形は

Ｌ＝ψ⁺γ⁰[γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)－ｍ]ψ(ｘ)となるため,

ψ(ｘ)→ exp[iθ(ｘ)]ψ(ｘ)なる位相変換と同時に,

ｅＡ_μ→ｅＡ_μ－∂_μθなるゲージ変換がなされるなら,

局所変換に対しても,こうしたFerm粒子のLagrangian密度

は不変になります。

さらに,"自由な電磁場＝光子"自身のLagrangian密度をＬ_phと

すると,Ｌ_ph＝(1/2)(ε₀Ｅ²－μ₀^-1Ｂ²)＝－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μν

ですから,

これは,ｅＡ_μ→ ｅＡ_μ－∂_μθなるゲージ変換に対して不変な

量のみから構成されています。

したがって,電荷ｅを持つ自由な荷電粒子があるだけでは,

局所的位相変換に対して不変でなかった理論に"電磁場＝光子"

というゲージ場を加えることで理論が不変になった,

という見方ができます。

この考えを発展させて,スピノルψ(ｘ)が,唯１種類の粒子だけで

なく独立な属性(例えばcolor)を持つ複数種類の粒子;ψ_i(ｘ)

(i＝1,2,3,.)の集まりである場合を想定して,

これに対する位相変換のパラメータはQEDの場合のようにθ,

またはεの唯１つでなく,複数の値θ_k またはε_k(ｋ＝1,2,3,.)

で与えられるとします。

通常の座標軸のまわりの回転が角運動量ＬやＪの軸成分を持つ

ベクトルで表わされるのと同様,

抽象空間におけるｋ軸のまわりのθ_kの回転が,ｋ軸方向

の角運動量演算子に相当する生成子:Ｌ_kにより,θ_kＬ_k

で与えられるとすることができます。

そして,各々の生成子:Ｌ_kは,一般にはψ_i(ｘ)を成分とする

縦ベクトルに作用する行列作用素で表現され,対応する粒子

場の位相変換は,ψ(ｘ) → exp(iΣ_kθ_kＬ_k)ψ(ｘ)で与えら

れます。

しかし,これらパラメータが複数の局所位相変換に対して,

自由粒子場のLagrangian密度を不変にするために必要な複数

のゲージ場は,Ｌ_kが行列であることからも想像されるように,

"電磁場＝光子場"のような可換なゲージ場ではなく,一般に

非可換な場であり,ゲージ変換も,電磁場のそれである:

ｅＡ_μ→ ｅＡ_μ－∂_μθのような単純な変換でなく,いくらか

複雑になり非線形な項も出現します。

こうした原理＝ゲージ原理を初めて導入したのは,ヤン(C.N.Yang)

とミルズ(R.L.Mills)です。

それ故,ゲージ場はYang-Mills場,上に考察したゲージ理論は

Yang-Mills理論と呼ばれることがあります。

いずれにしても,

上では引数ｘ^μを省略してθ_k(ｘ)を単にθ_kと書きました

が,理論が局所的変換θ_k＝θ_k(ｘ)に対して不変であるなら,

これは,あらゆる時空点:ｘ＝ｘ^μに対しθ_k(ｘ)が同一である;

つまり,θ_k(ｘ)＝θ_k(定数)の場合も特別な場合として含んで

いますから,大域的変換に対しても,もちろん理論は不変です。

しかしながら,逆に理論に"大域的対称性＝大域的不変性"が

あっても,"局所的対称性＝局所的不変性"があるとは限りません。

内山先生が,生前,Yang and Millsとは独立に発見したと述べられ

ていて,もうちょっと早く発表していれば,Yang-Mills場ではなく,

ウチヤマ場になっていたのではないか？と悔やんでいたらしく,

実際には,自身の発見よりかなり後,自分の論文のReferenceに,

Yang and Millsの論文をも添えている1956年の論文を,私的には

Yang and Millsの有名な論文と並べて,共にゲージ理論の代表的

参考文献として挙げておきます。

余談はさておき,最後に上述の位相変換を連続群の一種である線形

Lie群に属する変換群の表現であると見て,位相変換に対する理論

の不変性は"対応する変換群に対して理論が不変である"という対

称性を持つと見なし,

粒子場やゲージ場は群のユニタリな既約表現や随伴表現で分類

されるとする系統的な見方をしてみます。

こう見たときには,電磁気力を媒介するゲージ粒子として

"光子＝電磁場"を必要とする,可換な１パラメーターの位相変換

は１パラメータの線形Lie群の１つである１パラメータユニタリ

群であるＵ(1)に対応していて,

上で行なった位相変換不変性は量子電磁力学の理論がＵ(1)不変

であるという対称性を持つことを意味しています。

一方,例えばquark(クォーク)を結合させる強い相互作用を媒介

する非可換なゲージ場に対応するgauge Boson(ゲージボソン)は,

color gluon(カラーグルオン)と呼ばれており,

これを必要とする対称性変換である複数パラメーターを持った

ユニタリ変換群は,カラーＳＵ(3)群と呼ばれています。

こうした,Ｕ(ｎ)やＳＵ(ｎ)のような変換群に属する位相変換の

局所変換対称性に伴なう非可換ゲージ場の共変的量子化は,電磁

場の場合よりもかなり複雑ですが,

基本的には補助場Ｂを導入して行なわれる電磁場の量子化の

"中西・Lautrap理論"の直線的な応用で与えられます。

これは,Faddev-popovゴースト(ＦＰ-ghost)のようなゴースト

場を用いてゲージを固定する定式化を行なうことなどによって,

中西氏の教え子?であろう九後・小嶋(オジマ)氏により,スマート

な付帯条件が与えられて完成されました。

なお,理論の大域的対称性と密接に関係して現われる保存量に

ついてのNoetherの定理と関連した過去の記事をいくつか,列挙

しておきます。よろしければ参照してください。

まず,2006年９/６の「不確定性,相補性とネーターの定理」,

９/８の「ポアンカレ群と粒子のスピン」,10/８の

「ＷＫＢ近似,ハミルトン・ヤコービ方程式,経路積分」,

さらに,2007年５/７の

「量子化された場と調和振動子（パラ統計）」,

８/７の「場の演算子とリー群(Lie群)の生成子」,

11/２の「解析力学の初歩」,

そして,2008年２/29の「ネーターの定理と場理論」

などがあります。

また,記事の順番は違うし,ちょっとマニアックな話題ですが

2008年２/21,２/25の「非ネーター保存量」,および,

「非ネーター保存量(続き) 」 もあります。

参考文献：

1.メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

2.中西 襄(のぼる) 著「場の量子論」(培風館)

3.九後汰一郎「ゲージ場の量子論Ⅰ,Ⅱ」(培風館)

4.C.N.Yang and .L.Mills,Phys.Review.Vol.96,p191-(1954)　　

5.Ryoyu.Utiyma(内山龍雄)

“Invariant Theoretical Interpretation of Interaction”

(Institute for Advanced Study.Princeton New Jersey,

Received July 1955),Physical Revie,Vol.101,pp1597-1607(1956)

相対論的場の量子論(正準量子化)(37)(第Ⅰ部終わり)

　相対論的場の量子論シリーズ,電磁場の量子化の続きです。

　以下の節で自由電磁場の量子化の項目は終わりとなります。

§4.6 横波光子のFeynman伝播関数

(The Feynman Propagator for Transverse Photons)

横波偏光した１光子状態の時空進展を調べるため,Klein-Gordon

量子に対する理論のアナロジーを考えます。

まず,横波光子が時空点ｘにおいて偏極νの射影成分を持って生成

され,ｘ'まで時間の正の向き(ｔ'＞ｔ)に伝播して,偏極μの射影

成分を持って消滅する振幅を作ります。

以前の理論のアナロジーから,この振幅は,

＜ 0|Ａ^μ^(ｘ')Ａ^ν^(ｘ)|0 ＞θ(ｔ'－ｔ)で与えられる

と考えられます。

一方,ｔ＞ｔ'に対しては,射影成分μを持ってｘ'で生成され,

射影成分νを持ってｘで消滅する振幅:

＜ 0|Ａ^ν^(ｘ)Ａ^μ^(ｘ')|0 ＞θ(ｔ－ｔ') を作ります。

前のspinゼロのBose粒子と同様,この２つの振幅の和が光子

のFeynman伝播関数(propagator)を与えるとします。

すなわち,自由光子のFeynman伝播関数をＤ_F^μν(ｘ'－ｘ)

とすると,

iＤ_F^μν(ｘ'－ｘ)

≡＜ 0|Ａ^μ^(ｘ')Ａ^ν^(ｘ)|0 ＞θ(ｔ'－ｔ)

＋＜ 0|Ａ^ν^(ｘ)Ａ^μ^(ｘ')|0 ＞θ(ｔ－ｔ')

＝＜ 0|Ｔ[Ａ^μ^(ｘ')Ａ^ν^(ｘ)]|0 ＞ です。 

ただし,既に前に導入されていますが最後のＴ記号は,

Ｔ積(Ｔ-product),または時間順序積(経時積)と呼ばれるもの

を表わす記号です。

これは,今のspinが整数で交換するBose場の演算子:ａ^,ｂ^に

ついては,

Ｔ[ａ^(ｔ')ｂ^(ｔ)]

≡ａ^(ｔ')ｂ^(ｔ)θ(ｔ'－ｔ)＋ｂ^(ｔ)ａ^(ｔ')θ(ｔ－ｔ')

と定義されます。

そして,上記のFeynman伝播関数の表現式:

Ｄ_F^μν(ｘ'－ｘ)

＝－i＜ 0|Ａ^μ^(ｘ')Ａ^ν^(ｘ)|0 ＞θ(ｔ'－ｔ)

－i＜ 0|Ａ^μ^(ｘ)Ａ^ν^(ｘ')|0 ＞θ(ｔ－ｔ')に,

電磁場の一般的な４元表示の運動量展開:

Ａ^μ^(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2Σ_λ=1² ε^μ(ｋ,λ)

{ａ^(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ,λ)exp(iｋｘ)}

を代入します。 

すると,ａ^^＋(ｋ,λ)|0 ＞＝＜ 0|ａ^^＋(ｋ,λ)＝0 により,

Ｄ_F^μν(ｘ'－ｘ)＝－i∫ｄ³ｋ'ｄ³ｋ(2π)^-3(4ω_k'ω_k)^-1/2

Σ_λ',λ=1² ε^μ(ｋ',λ')ε^ν(ｋ,λ)exp{－i(ｋ'ｘ'－ｋｘ)}

＜ 0|ａ^(ｋ',λ')ａ^^＋(ｋ,λ)|0 ＞θ(ｔ'－ｔ)

－i∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(2π)^-3(4ω_kω_k')^-1/2

Σ_{λ λ'=1}² ε^ν(ｋ,λ)ε^μ(ｋ',λ')exp{－i(ｋｘ－ｋ'ｘ')}

＜ 0|ａ^(ｋ,λ)ａ^^＋(ｋ',λ')|0 ＞θ(ｔ－ｔ')

となります。

そして,真空期待値は,

＜ 0|ａ^(ｋ',λ')ａ^^＋(ｋ,λ)|0 ＞

＝＜ 0|ａ^(ｋ,λ)ａ^^＋(ｋ',λ')|0 ＞

＝＜ 0|[ａ^(ｋ,λ)ａ^^＋(ｋ',λ')]|0 ＞

＝δ³(ｋ－ｋ')δ_λλ' ですから,整理すると

Ｄ_F^μν(ｘ'－ｘ)

＝－i∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1Σ_λ=1²ε^μ(ｋ,λ)ε^ν(ｋ,λ)

[θ(ｔ'－ｔ)exp{－iｋ(ｘ'－ｘ)}＋θ(ｔ－ｔ')exp{iｋ(ｘ'－ｘ)}]

ですが,

これは,係数Σ_λ=1²ε^μ(ｋ,λ)ε^ν(ｋ,λ)を除けば,

Klein-Gordon量子の伝播関数と同じですから,４元表示の

伝播関数として,

Ｄ_F^μν(ｘ'－ｘ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ'－ｘ)}/(ｋ²＋iε)

[Σ_λ=1² ε^μ(ｋ,λ)ε^ν(ｋ,λ)] を得ます。

しかし,輻射ゲージではε^μ(ｋ,λ)は時間軸成分を持たず,

ε^μ(ｋ,λ)＝(0,ε(ｋ,λ))であり,横波条件∇Ａ＝0 は,

４元波動ベクトル:ｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ)の空間ベクトル部分ｋに

のみ依存してε(ｋ,λ)ｋ＝0 で与えられます。

この輻射ゲージでのFeynman伝播関数を特にＤ^tr _F^μν(ｘ'－ｘ)

と表現すると,

Ｄ^tr _F^{0 k}(ｘ'－ｘ)＝Ｄ^tr _F^{k 0}(ｘ'－ｘ)≡0 であり,

Ｄ^tr _F^ij(ｘ'－ｘ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ'－ｘ)}/(ｋ²＋iε)

[Σ_λ=1² εⁱ(ｋ,λ)ε^j(ｋ,λ)] となります。

これは,明らかにLorentz共変ではなく,輻射ゲージを満たすよう

量子化を実行した準拠系の座標に依存する形をしています。

この見かけ上の陽な座標系依存の形を除去するため,量子化を実行

した系において,ベクトル:η^μ≡(1,0,0,0)を導入します。

η²＝η^μη_μ＝1＞0 であり,これは１つの時間的な(tiome-like)

単位ベクトルです。

そして,与えられた４元ベクトルｋ^μに対して,

ｋ~^μ≡{ｋ^μ－(ｋη)η^μ}/{(ｋη)²－ｋ²}^1/2を導入し,

これをε^μ(ｋ,1),ε^μ(ｋ,2),η^μに付け加えることにより

４次元Minkowski空間の独立な直交する４つの単位ベクトル

が完成されます。

これらを用いると,Σ_λ=1²ε^μ(ｋ,λ)ε^ν(ｋ,λ)

＝－ｇ^μν＋η^μη^ν－ｋ~^μｋ~^ν

＝－ｇ^μν

－{ｋ^μｋ^ν－(ｋη)(ｋ^μη^ν＋ｋ^νη^μ)＋ｋ²η^μη^ν}/{(ｋη)²－ｋ²}

と書くことができます。 

※(注37-1):ｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ)と書くと,η^μ＝(1,0,0,0)より

　ｋ⁰＝(ｋη)η⁰,かつ,ｋ^j＝ｋ^j－(ｋη)η^jですから,

　ｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ)から0-軸成分ｋ⁰を除去した波数４元ベクトル

　をｋ^μ－(ｋη)η^μと表現できます。

すなわち,ｋ^μ－(ｋη)η^μ＝(0,ｋ) です。　

そして,－ｋ²＝{ｋ^μ－(ｋη)η^μ}{ｋ_μ－(ｋη)η_μ}

＝ｋ²－(ｋη)² なので,|ｋ|＝{(ｋη)²－ｋ²}^1/2です。

したがって,ｋ方向単位ベクトルの４元表示をｋ~^μ

とすると,

ｋ~^μ≡(0,ｋ/|ｋ|)＝{ｋ^μ－(ｋη)η^μ}/{(ｋη)²－ｋ²}^1/2

と書けます。

(※伝播関数における積分変数のｋ^μは,質量殻の上にはない仮想光子

の４元運動量を意味し,一般に質量がゼロ:ｋ²＝0, or ｋ^μ＝(ω_k,ｋ)

を満たすべき,という制限はありません。)

そして,ｋ方向を3軸に取りη^μ＝(1,0,0,0)に対して

ｋ~^μ＝(0,0,0,1)となるようにすると,

ε^μ(ｋ,1),ε^μ(ｋ,2),ｋ~^μ,η^μは,それぞれ,1軸,2軸,3軸,0軸

に平行な単位ベクトルとなり,

ε^μ(ｋ,1)＝ｇ₁^μ,ε^μ(ｋ,2)＝ｇ₂^μ,ｋ~^μ＝ｇ₃^μ,η^μ＝ｇ₀^μです。

このとき,

η^μη^ν－Σ_λ=1²ε^μ(ｋ,λ)ε^ν(ｋ,λ)－ｋ~^μｋ~^ν

＝ｇ₀^μｇ₀^ν－ｇ₁^μｇ₁^ν－ｇ₂^μｇ₂^ν－ｇ₃^μｇ₃^ν

＝ｇ₀^μｇ^0ν＋ｇ₁^μｇ^1ν＋ｇ₂^μｇ^2ν＋ｇ₃^μｇ^3ν

＝ｇ_λ^μｇ^λν＝δ_λ^μｇ^λν＝ｇ^μν

です。 

それ故,Σ_λ=1²ε^μ(ｋ,λ)ε^ν(ｋ,λ)

＝－ｇ^μν＋η^μη^ν－ｋ~^μｋ~^νが得られます。

このη^μη^ν－Σ_λ=1²ε^μ(ｋ,λ)ε^ν(ｋ,λ)－ｋ~^μｋ~^ν＝ｇ^μν

なる関係式が,任意のLorentz回転に対して不変な等式であり,

ｋ方向を3軸に取るというような特殊な座標軸の採用に依存し

ないことは,その形から明らかです。

(注37-1終わり)※

得られた関係式:Σ_λ=1²ε^μ(ｋ,λ)ε^ν(ｋ,λ)

＝－ｇ^μν＋η^μη^ν－ｋ~^μｋ~^ν

＝－ｇ^μν

－{ｋ^μｋ^ν－(ｋη)(ｋ^μη^ν＋ｋ^νη^μ)＋ｋ²η^μη^ν}/{(ｋη)²－ｋ²}

を,煩雑さを避けるため,変数:(ｘ'－ｘ)を(ｖ－ｙ)に変更した

Ｄ_F^μν(ｘ－ｙ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²＋iε)

Σ_λ=1² ε^μ(ｋ,λ)ε^ν(ｋ,λ)の最後の因子に代入すると,

Ｄ_F^μν(ｘ－ｙ)＝ｇ^μνＤ_F(ｘ－ｙ)

－∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²＋iε)

[{ｋ^μｋ^ν－(ｋη)(ｋ^μη^ν＋ｋ^νη^μ)＋ｋ²η^μη^ν}/{(ｋη)²－ｋ²}]

を得ます。

ただし,Ｄ_F(ｘ－ｙ)

＝－∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²＋iε)

であり,ｇ^μνＤ_F(ｘ－ｙ)＝－ｇ^μνlim_ｍ→0Δ_F(ｘ－ｙ;ｍ²)で,

Δ_F(ｘ－ｙ;ｍ²)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²―ｍ²＋iε)

はspinがゼロの Klein-Gorson量子のFeynman伝播関数です。

このＤ_F^μν(ｘ－ｙ)の表現式は,ｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ),ε^μ(ｋ,λ)

＝(0,ε(ｋ,λ))でε_μｋ^μ＝－ε(ｋ,λ)ｋ)＝0 の輻射ゲージの

場合にも,もちろん成立します。

そこで,Ｄ^tr _F^μν(ｘ－ｙ)＝ｇ^μνＤ_F(ｘ－ｙ)

－∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²＋iε)

[{ｋ^μｋ^ν－(ｋη)(ｋ^μη^ν＋ｋ^νη^μ)＋ｋ²η^μη^ν}/{(ｋη)²－ｋ²}]

ただし,ε^μ(ｋ,λ)＝(0,ε(ｋ,λ)),ｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ),

ε_μｋ^μ＝－ε(ｋ,λ)ｋ)＝0 です。

このＤ^tr _F^μν(ｘ－ｙ)の表式の右辺のうち,積分の中のｋ^μやｋ^ν

に比例する項の寄与は,current保存(＝ゲージ不変性)の結果,

Feynmanグラフによる散乱振幅(Ｓ行列)の計算では消えます。

そして,Ｄ^tr _F^μν(ｘ－ｙ)右辺の第１項のｇ^μνＤ_F(ｘ－ｙ)以外

の,残るηに依存する項は,η^μ＝(1,0,0,0)という特殊な座標系

では,

－∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}η^μη^ν/{(ｋη)²－ｋ²}]

＝－ｇ^μ0ｇ^ν0δ(ｘ⁰－ｙ⁰)/(4π|ｘ－ｙ|)

です。

※(注37-2):何故なら,η^μ＝(1,0,0,0)＝ｇ^μ0であり,

∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/{(ｋη)²－ｋ²}]

＝∫ｄｋ⁰(2π)^-1exp{－iｋ⁰(ｘ－ｙ)}

{∫ｄ³ｋ(2π)^-3exp{iｋ(ｘ－ｙ)}/ｋ²}

＝δ(ｘ⁰－ｙ⁰)/(4π|ｘ－ｙ|)　

となるからです。(注37-2終わり)※

この項:ｇ^μ0ｇ^ν0δ(ｘ⁰－ｙ⁰)/(4π|ｘ－ｙ|)は,よく知られた

２つの電荷の間の静電Coulomb相互作用の形をしています。

しかし,ｔ＝ｘ⁰＝ｙ⁰の時空点(ｘ,t)と(ｙ,t)における２つの

電荷のトータルの相互作用を計算する際には,Coulomb相互作用

によって相殺されて消えます。

このCoulomb相互作用は,純粋な輻射ゲージによってもたらされる

相互作用に加えて電荷がある場合に存在するものです。 

結局,散乱振幅の計算で有効なFeynman伝播関数は,Lorentz不変な

第１項の,

ｇ^μνＤ_F(ｘ－ｙ)

＝－ｇ^μν∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²＋iε)

だけであるということになります。

そこで,一般の相互作用を含むＳ行列要素(散乱行列要素)の摂動

計算で出現するFeynmanグラフのｘとｙを結ぶ光子内線には自由

光子伝播関数として,ｇ^μνＤ_F(ｘ－ｙ)を対応させるという規則を

与えればよいことになります。

こうして,Lorentz不変性とゲージ不変性が復活する結果が得られる

ことがわかりました。

追加のゲージ依存項:

－∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²＋iε)

[{ｋ^μｋ^ν－(ｋη)(ｋ^μη^ν＋ｋ^νη^μ)＋ｋ²η^μη^ν}/{(ｋη)²－ｋ²}]

は,ずっと後に記述する予定のゲージ不変でない"くりこみ定数:

Ｚ₁,Ｚ₃"のような観測にかからない量に寄与します。

Ｄ^tr _F^μν(ｘ－ｙ)におけるこうした項の出現は,Maxwellの電磁場を

正準な枠組みの中で量子化するために支払うことを要求される代償

です。

しかし,こうした美しくない項は現実の実験観測と比較するために

遷移率や断面積を計算するときには全て消えます。

これで,自由場の正準量子化の項目は全て終了なので,この記事

シリーズは一旦終わり,ということにします。

しかし,それは主として同じ題名のシリーズが長くなり過ぎたと

感じることが理由です。

これ以後の相互作用をする場の章からの記述も,題名変更するか

第Ⅱ部として継続していく予定です。

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill)

相対論的場の量子論(正準量子化)(36)

相対論的場の量子論シリーズ,電磁場の量子化の続きです。

今日は,電磁場を量子化した際に付随する場の量子である光子

の性質に言及する節に入ります。

§4.5 光子のspin(Spin of the Photon)  

 光子(Photons)は,幾つかの意味でKlein-Gordon量子とは異なって

　います。

まず,光子に同定される電磁場の量子は,Einsteinの条件:

ｋ²＝ｋ^μｋ_μ＝0 を満足するため,静止質量がゼロです。

さらに,電磁場のベクトルポテンシャルＡ(ｘ)は実なので,

それが量子化された場Ａ^(ｘ)はHermite演算子です。

そして,"この量子＝光子"は,charge(電荷)を伴なわないので,

実Klein-Gordon理論を量子化する際に出現する中性中間子に

類似しています。

しかし,実 Klein-Gordon場に比較して自由電磁場が持つ新しい

１つの特徴は,偏極(polarization)ベクトル:ε(ｋ,λ)の存在

です。

これは,各光子を分類するもので,spin角運動量に関わる量です。

そして,特に,場Ａ^(ｘ)がベクトルであることから,spinが１の

光子という描像が導かれます。 

ただし,横波(transverse wave)という制限があることから空間

ベクトルの３つの自由度から１つが除かれます。

つまり,光子はspin角運動量が１であり,しかもそれの波の伝播

方向に沿った射影は決してゼロになることができず,±１のみを

取るという特徴を有するわけです。

このことを具体的に示すため,前に与えた角運動量演算子の表現:

Ｍ^ij＝∫ｄ³ｘ：Ａ^{r d}^(ｘⁱ∂^j－ｘ^j∂ⁱ)Ａ^r^

－(Ａ^{i d}^Ａ^j^－Ａ^{j d}^Ａ^j^):

を用いて,１光子状態の角運動量の第３成分 Ｍ¹²^

の値を調べます。

すなわち,状態:Φ_1.k,λ＝ａ^^＋(ｋ,λ)Φ₀＝ａ^^＋(ｋ,λ) |0 ＞

について,Ｍ¹²^Φ_1.k,λ＝[Ｍ¹²^,ａ^^＋(ｋ,λ)]|0 ＞を計算します。

ここで,計算の便宜上,この状態:Φ_1.k,λ＝ａ^^＋(ｋ,λ)|0 ＞の

波動ベクトルｋは第３軸に沿っているとします。

つまり,ｋとしてｋ₀≡(0,0,ω_k0)を採用して１光子状態:

Φ_1.k,λが,そのｋ^μがｋ₀^μ≡(ω_k0,ｋ₀)＝(ω_k0,0,0,ω_k0)に

等しい状態;Φ_1,k0,λ0＝ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)|0 ＞であるケース

を考えます。

このとき,iｋ₀ｘ＝iω_k0(ｔ－ｘ³)　です。

空間は等方的なので,その座標軸の向きをどのように選択しよう

と自由ですから,この仮定で一般性を失なうことはありません。

そして,

全角運動量:Ｊ^＝(Ｊ¹^,Ｊ²^,Ｊ³^)＝(Ｍ²³^,Ｍ³¹^,Ｍ¹²^)

の第３成分:Ｍ¹²^＝∫ｄ³ｘ：Ａ^{r d}^(ｘ¹∂²－ｘ²∂¹)Ａ^r^

－(Ａ^{1 d}^Ａ²^－Ａ^{2 d}^Ａ¹^):を,軌道角運動量の第３成分

Ｌ³^とspin角運動量の第３成分Ｓ³^の和に分解し,

Ｍ¹²^＝Ｌ³^＋Ｓ³^;Ｌ³^≡∫ｄ³ｘ：Ａ^{r d}^(ｘ¹∂²－ｘ²∂¹)Ａ^r^：

Ｓ³^≡－∫ｄ³ｘ：(Ａ^{1 d}^Ａ²^－Ａ^{2 d}^Ａ¹^):

と書いてみます。

まず,軌道角運動量部分:Ｌ³^のみの寄与を評価します。 

Ｌ³^≡∫ｄ³ｘ：Ａ^{r d}^(ｘ¹∂²－ｘ²∂¹)Ａ^r^：

の右辺の表現に,Ａ^(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2Σ_λ=1²

ε(ｋ,λ){ａ^(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ,λ)exp(iｋｘ)}

なる運動量展開を代入して計算すると,

結局,Ｌ³^|0 ＞＝0,かつ,Ｌ³^ａ^^＋(ｋ₀,λ_{)|0 ＞＝0 なること}

が示され,真空,および,自由１光子状態への軌道角運動量の寄与

は無いことがわかります。

※(注36-1):何故なら,

まず上記のＡ^(ｘ)の運動量展開式から,

Ａ^d^(ｘ)＝∂Ａ^(ｘ)/∂ｔ

＝i∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2Σ_λ=1²ε(ｋ,λ)

{ａ^(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)－ａ^^＋(ｋ,λ)exp(iｋｘ)}

を得ます。

そこで,Ｌ³^＝∫ｄ³ｘ：Ａ^{r d}^(ｘ¹∂²－ｘ²∂¹)Ａ^r^：

＝－(1/2)∫ｄ³ｘ∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(2π)^-3(ω_k/ω_k')^1/2

(ｘ¹ｋ'²－ｘ²ｋ'¹)Σ_λ,λ'=1²

×[ε^r^(ｋ,λ)ε^r^(ｋ',λ')ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')]

と書けます。

ただし,ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')は変数:ｋ,λ,ｋ',λ'のみに

依存し,ｘには依存しない因子の部分です。

これはさらに,

Ｇ¹^≡－(1/2)∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(2π)^-3(ω_k/ω_k')^1/2ｋ'¹ 

×Σ_λ,λ'=1²[ε^r^(ｋ,λ)ε^r^(ｋ',λ')ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')],

および,

Ｇ²^≡－(1/2)∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(2π)^-3(ω_k/ω_k')^1/2ｋ'²

×Σ_λ,λ'=1²[ε^r^(ｋ,λ)ε^r^(ｋ',λ')ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')]

とおけば,

Ｌ³^＝∫ｄ³ｘ(ｘ¹Ｇ²^－ｘ²Ｇ¹^)なる形になることがわかります。

そこで,Ｌ³^を任意の状態^|Ψ＞に作用させると,

Ｌ³^|Ψ＞＝∫ｄ³ｘ(ｘ¹Ｇ²^－ｘ²Ｇ¹^)|Ψ＞ですが,

Ｇ¹^|Ψ＞,Ｇ²^|Ψ＞が,何らかの演算結果で軌道パラメータ

座標ｘと関連性を持たぬ限り被積分関数 (ｘ¹Ｇ²^－ｘ²Ｇ¹^)|Ψ＞

はｘの奇関数となるので,

Ｌ³^|Ψ＞＝∫ｄ³ｘ(ｘ¹Ｇ²^－ｘ²Ｇ¹^)|Ψ＞＝0 と

結論されます。

したがって,Ｌ³^|0 ＞＝0,かつ,Ｌ³^ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)|0 ＞＝0

を得ました。(注36-1終わり)※

一方,spin角運動量部分:

Ｓ³^≡－∫ｄ³ｘ：(Ａ^{1 d}^Ａ²^－Ａ^{2 d}^Ａ¹^):の寄与を評価すると,

まず,[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝－∫ｄ³ｘ：Ａ^{1 d}^(ｘ)[Ａ²^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＋[Ａ^{1 d}^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]Ａ²^(ｘ)

－Ａ^{2 d}^(ｘ)[Ａ¹^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

－[Ａ^{2 d}^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]Ａ²^(ｘ)：

です。 

ところが,Ａ^(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^--3/2(2ω_k)^-1/2Σ_λ=1²

ε(ｋ,λ){ａ^(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ,λ)exp(iｋｘ)}

ですから,

[Ａⁱ^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2exp(－iｋｘ)Σ_λ=1²εⁱ(ｋ,λ)

[ａ^(ｋ,λ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝(2π)^-3/2(2ω_k0)^-1/2εⁱ(ｋ₀,λ₀) exp(－iｋ₀ｘ)　です。

また,[Ａ^{i d}^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝(∂/∂ｔ)[Ａⁱ^(ｘ),ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝－i (2π)^-3/2(ω_k0/2)^1/2εⁱ(ｋ₀,λ₀) exp(－iｋ₀ｘ)

です。

したがって,[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝－∫ｄ³ｘ(2π)^-3/2(2ω_k0)^-1exp(－iｋ₀ｘ)

[ε²(ｋ₀,λ₀)Ａ^{1 d}^(ｘ)－iω_k0ε¹(ｋ₀,λ₀)Ａ²^(ｘ)

－ε¹(ｋ₀,λ₀)Ａ^{2 d}^(ｘ)＋iω_k0ε²(ｋ₀,λ₀)Ａ¹^(ｘ)]

＝∫ｄ³ｘ(2π)^-3/2(2ω_k0)^-1[ε¹(ｋ₀,λ₀)exp(－iｋ₀ｘ)∂^⇔₀Ａ²^(ｘ)

－ε²(ｋ₀,λ₀)exp(－iｋ₀ｘ)∂^⇔₀Ａ¹^(ｘ)]

を得ます。

ところが,

iａ^^＋(ｋ₀,λ₀)＝∫ｄ³ｘ(2π)^-3/2(2ω_k0)^-1/2

ε(ｋ₀,λ₀)exp(－iｋ₀ｘ)∂^⇔₀Ａ^(ｘ) であり,

今のｋ₀の向きを第３軸の向きとする右手系の空間座標軸選択

では,Ａ¹^(ｘ)＝ε(ｋ₀,1)Ａ^(ｘ),かつ,

Ａ²^(ｘ)＝ε(ｋ₀,2)Ａ^(ｘ) ですから,

結局,[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝iε¹(ｋ₀,λ₀)ａ^^＋(ｋ₀,2)－iε²(ｋ₀,λ₀)ａ^^＋(ｋ₀,1)

が得られます。

ここで,,右回り(right-handed),および,左回り(left-handed)

の円偏光(circularly polarization of light)の,波数ベクト

ルがｋの波を生成する演算子を,それぞれ,ａ_R^^＋(ｋ),および,

ａ_L^^＋(ｋ)として,

それらを,線偏光の波を生成する演算子ａ^^＋(ｋ,1),ａ^^＋(ｋ,2)

の重ね合わせ(１次結合)として,次のように定義します。

すなわち,

ａ_R^^＋(ｋ)≡(1/√2){ａ^^＋(ｋ,1)＋iａ^^＋(ｋ,2)},

ａ_L^^＋(ｋ)≡(1/√2){ａ^^＋(ｋ,1)－iａ^^＋(ｋ,2)}

と定義します。

すると,[Ｍ¹²^,ａ_R^^＋(ｋ₀)]＝[Ｓ³^,ａ_R^^＋(ｋ₀)]＝ａ_R^^＋(ｋ₀),

[Ｍ¹²^,ａ_L^^＋(ｋ₀)]＝[Ｓ³^,ａ_L^^＋(ｋ₀)]＝－ａ_L^^＋(ｋ₀)

が得られます。

したがって,一般のｋについて,

Ｍ¹²^ａ_R^^＋(ｋ)|0 ＞＝ａ_R^^＋(ｋ)|0 ＞,

Ｍ¹²^ａ_L^^＋(ｋ)|0 ＞＝－ａ_L^^＋(ｋ)|0 ＞

が成立します。

これらは,右回りの波は波が伝播するｋ方向に＋1,左回りの波

は同じｋ方向に正反対の－1のspinを伴なうことを示している,

と考えられます。

※(注36-2):[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,λ₀)]

＝iε¹(ｋ₀,λ₀)ａ^^＋(ｋ₀,2)－iε²(ｋ₀,λ₀)ａ^^＋(ｋ₀,1)

ですから,

[Ｓ³^,ａ_R^^＋(ｋ₀)]

＝(1/√2)[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,1)]＋i(1/√2)[Ｓ³^,ａ^^＋(ｋ₀,2)]

＝(1/√2)[iε¹(ｋ₀,1)ａ^^＋(ｋ₀,2)－iε²(ｋ₀,1)ａ^^＋(ｋ₀,1)

－ε¹(ｋ₀,2)ａ^^＋(ｋ₀,2)＋ε²(ｋ₀,2)ａ^^＋(ｋ₀,1)

です。

ところが,ε¹(ｋ₀,1)＝ε²(ｋ₀,2)＝1,ε¹(ｋ₀,2)＝ε²(ｋ₀,1)＝0

なので,[Ｓ³^,ａ_R^^＋(ｋ₀)]＝(1/√2){iａ^^＋(ｋ₀,2)＋ａ^^＋(ｋ₀,1)}

＝ａ_R^^＋(ｋ₀)です。

同様にして, [Ｓ³^,ａ_L^^＋(ｋ₀)]＝－ａ_L^^＋(ｋ₀)

を得ます。

(注36-2終わり)※

少し短かいですが.今日はここで終わります。

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill) 

PS： 11/11の記事:「相対論的場の量子論(正準定式化)(32)」では,

現在,実行している定式化段階での共変性を犠牲にした輻射ゲージ

での量子化手法を,「Gupta-Bleulerの方法」に基づいているという誤解

した前置きを書いてしまいました。

昔のノートですから予め内容を全て把握してなくても大体の記憶に頼

って,大前提,,前置きくらいは現在のブログ向きに修正したり,それらしく

体裁を整えたつもりだったのですが。。

ここに至って,自身の原稿ノートのこの先を見ると,

後はこの定式化での光子のFeynman伝播関数を与えて,最後

にS行列を与える振幅のdiagramsの計算ルールを与えればこ

の自由電磁場の項目は終わることになってました。

謂わゆる不定計量の空間を設定し,その中から∂_μＡ^μ^の期待値

がゼロとなるという,期待値の意味で共変性を維持する

補助条件(Subsidary-condition)を課す,という

有名な「Gupta-Bleulerの方法」に関する論議が文章だけと

しても,私の過去ノートには全く出てきてないことに

気付きました。

＜Phys|∂_μＡ^μ^|Phys＞＝0,あるいは同義ですが,

∂_μＡ^μ^の正振動数部分:∂_μＡ^μ(＋)^に対して,

∂_μＡ^μ(＋)^|Phys＞＝0 を満足するベクトル|Phys＞のみ

が物理的に許される状態であるとするのが, 

私の記憶している「Gupta-Bleulerの方法」のミソです。

今,記述しているB-Dテキストの輻射ゲージ方法は,理論の

整合性に拘泥するより,現実の観測事実を正確に予測できる

公式さえ得られればいい,とする有効理論(対症療法)に近い

手法でした。

(※ QEDのくりこみ理論も,未だ,有効理論ですね。)

なお,シリーズ記事(32)での誤解を生む記述は既に

削除しました。

時間があれば別記事で「Gupta-Bleulerの方法」

も書こうと思います。

ユニセフからのメール(今年最後の偽善活動？)

　支援者の一人として,自分自身が貧乏なため,ユニセフから送られてきたメールの一部を原文のまま転載します。　

　(↓下のロゴはユニセフ本部のそれですが,クリックすると日本ユニセフ協会(ユニセフ日本委員会)にとびます、)

　　　

(※)　ユニセフご支援者の皆さまへ

　年の瀬が近づいてまいりました。今年も、ユニセフの活動にあたたかいお力添えをいただき、ありがとうございます。

　先日、ユニセフの予防接種の取り組みについて特集サイトを開設いたしましたが、もうご覧いただけましたか？

　肺炎、下痢性疾患、はしか、破傷風など、先進国なら簡単に予防や治療ができる病気で、命を奪われてしまう開発途上国の子どもたち。

　今も、年間約150万人の乳幼児が、予防接種によって防げるはずの病気で命を落としています。

　ユニセフはこれまで世界各地で50年以上にわたって予防接種を実施し、多くの命を守ってきました。今後はこの予防接種活動をさらに遠隔地へと広げ、診療所の開設や保健員の育成にも力を注いでいきます。

　すべての子どもにワクチンを届けるため、ユニセフの取り組みにあたたかなご支援をお寄せください。

　　　　　

訃報！小沢昭一さん。。

　個性的な俳優,その他,多士済々の小沢昭一さんが前立腺ガンのため,12月９日から10日の真夜中に自宅で亡くなられました。享年83歳でした。

　NHKニュース　→　:俳優の小沢昭一さんが死去

　　　　　

　私が見聞き知っているのは,近年の「徹子の部屋」での奇抜な格好での出演と,ラジオの「小沢昭一の小沢昭一的こころ」くらいですか,後者は何度となく聞くとは無しに聞いていて,いつか引き込まれていました。

　内容は？と聞かれるとよく覚えていませんが,恐らくは頭の中に染み付いて身に成ってるのでしょうね。

　　　　　ご冥福を祈ります。　　合掌！！

相対論的場の量子論(正準量子化)(35)

相対論的場の量子論シリーズ,電磁場の量子化の続きです。

また,余談ですが,昨日土曜日はさすがに昼頃までは寝て,それから

ヨタ話の日記ブログを書いた後,幸い宵越しの金が残っていたので

近くで食料を買い出した後,夜はモニターを２つを並べて,テレビの

女子フィギュアスケートと,無修正ＡＶ動画を共に音声入りで同時

に見て,どちらに目と耳が集中するか？などと馬鹿な実験？の後,

22時頃,このブログをアップする用意をしていたところ,

最近,知り合った,前からの飲み友達のガールフレンドて自宅から

歩いて４,５分の銭湯のそばのマンションに,もうすぐ結婚すると

う娘と２人暮ししてるらしい,まだ40代半ばの後家さん(女性差別

語？or 死語？)から,電話がありました。

「今から飲みに行かない？」というお誘いが有ったので,彼女の

自宅前に22時半頃待ち合わせて,５分くらい歩いて巣鴨一番街の

「若大将」に飲みに行きました。

これが,間違いの元ですね。

私が最近入院していた話をすると,彼女はもっとうわてで,

何と肝硬変で通院していて,

「医者に飲酒を止められていたけど２週間我慢してたらγ-GTP

が４桁から３桁に下がったようだから,自宅で飲んでいたけど,

ツマラないから外に飲みに行く。」と言います。

「オイオイ,私の父は46歳で酒もタバコもやらなかったけど肝硬変

で死んだんだよ。」とか言っても,「危ない病気なのは,わかってる

知っているけど,お酒好きなんだから仕方ない。。」と言います。

他人のことを,とやかく言える立場じゃないけど,私よりもまだ,

かなり若いので自暴自棄的なのが心配ですね。

というわけで,最後は夜中の２時頃に帰り道が同じなので,送る

からということで夜道を一緒に歩きましたが,家同士が近いので,

私がどんな部屋に住んでるのか？を見に来たい。というのを拒否

して逃げるように帰宅しました。

類が友を呼ぶのか,私がスケベで相手を選ばないせいなのか？

私の飲み友達の女性には酒乱とか,変なのが多くて困ります。

それから,また,スグに寝て,翌今日の日曜日は出勤なのに,珍しく

熟睡したらしく目が覚めたら,既に12時10分過ぎで,あわてて家を

出ると,都営線乗り継いで,12時59分ギリギリにやっと職場に着き

ました。

しかし,朝飯も食べてないし,飯を食べないと低血糖もあるという

ことで,30分間食堂で昼飯を食べてから仕事ということになりま

した。

ということで,この記事も１日遅れです。

さて,余談は終わりで以下,本題です。

§4.4運動量展開 (Momentum Expansion)

電磁ポテンシャルを平面波に展開し,修正された正準交換関係:

[Ａⁱ^(ｘ,ｔ),Ａ^j^(ｙ,ｔ)]＝0,[πⁱ^(ｘ,ｔ),π^j^(ｙ,ｔ)]＝0,

および,[πⁱ^(ｘ,ｔ),Ａ^j^(ｙ,ｔ)]＝iδ_tr^ij(ｘ－ｙ)

を課すと,

以前のKlein-Gordon理論におけるように,展開係数の生成・

消滅演算子(creation-annihilation operator)としての解釈

が得られます。

電磁場の謂わゆるMaxwell理論で現われる新しい特徴は,以前

のKlein-Gordon場の表現する量子がspinのないスカラー粒子

であるのに対し,電磁場の表現する量子は１単位のspinを伴な

うベクトル粒子であることです。

そして,輻射ゲージ(Radiation-gauge)では,場の演算子は横波

(transverse wave)の３次元ベクトル:Ａ^(ｘ,t)であり,平面波

展開は,次のようになります。

Ａ^(ｘ,t)＝∫ｄ³ｋΣ_λ=1² ε(ｋ,λ)Ａ^(ｋ,λ,t)exp(iｋｘ)

です。

ここで,各ｋとλ＝1,2 について,ε(ｋ,λ)はε(ｋ,λ)ｋ＝0

を満たすｋに垂直な,独立な２つの単位べクトルです。

つまり,展開表現:∇Ａ^(ｘ,t)

＝i∫ｄ³ｋΣ_λ=1²{ε(ｋ,λ)ｋ}Ａ^(ｋ,λ,t)exp(iｋｘ)

により,輻射ゲージの横波条件∇Ａ^＝0 が満足されるよう,

ε(ｋ,λ)はε(ｋ,λ)ｋ＝0 を満たすように選択された,

波の偏極(polarization:偏光)を示す方向単位ベクトルを

意味します。

特に,独立な２つのε(ｋ,1),ε(ｋ,2)も互いに垂直

で,ε(ｋ,λ)ε(ｋ,λ')＝δ_λλ'となるように選択し

ておきます。

また,ε(ｋ,1),ε(ｋ,2),ｋ~≡ｋ/|ｋ|が右手系の正規直交基底

をなすとしておきます。

つまり,ε(ｋ,1),ε(ｋ,2),ｋ~のそれぞれが,

３次元デカルト座標のｘ,ｙ,ｚ軸の方向単位ベクトル

に対応するような系を作るような形に選択しておきます。

こう定義すれば,ｋ~＝ε(ｋ,1)×ε(ｋ,2)であり,Cyclic

(巡回置換的)に,ε(ｋ,1)＝ε(ｋ,2)×ｋ~,

ε(ｋ,2)＝ｋ~×ε(ｋ,1) です。

さらに,ε(ｋ,1)が,ｋについて極性:ε(－ｋ,1)＝－ε(ｋ,1)

であると規約します。

すると,ε(－ｋ,2)＝(－ｋ~)×ε(－ｋ,1)＝ｋ~×ε(ｋ,1):

つまり,ε(－ｋ,2)＝ε(ｋ,2)となります。

これは,ε(ｋ,λ)ε(－ｋ,λ')＝(－1)^λδ_λλ'と表現できます。

そして,Maxwell方程式によれば,輻射ゲージでは,場Ａ^(ｘ,ｔ)は

波動方程式(D'Alembert方程式):□Ａ^＝0 を満たします。

それ故,展開:

Ａ^(ｘ,t)＝∫ｄ³ｋΣ_λ=1²ε(ｋ,λ)Ａ^(ｋ,λ,t)exp(iｋｘ)

は,さらに,

Ａ^(ｘ,t)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2Σ_λ=1²ε(ｋ,λ)

{ａ^(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ,λ)exp(iｋｘ)}

と書けることがわかります。

ただし,ｋ⁰＝ω_k≡|ｋ|であり,ｋ²＝ｋ_μｋ^μ＝(ｋ⁰)²－ｋ²＝0

(質量がゼロの条件)が満たされています。

そこで,この表記では,exp(－iｋｘ)＝exp{i(ｋｘ－ω_kｔ)},

exp(iｋｘ)＝exp{－i(ｋｘ－ω_kｔ)} です。

※(注35-1):くどいようですが,念のため,

　電磁ポテンシャルを用いた,Ｅ^＝－∇Φ^－∂Ａ^/∂ｔ,

　Ｂ^＝∇×Ａ^なる表現では,

　真空中におけるMaxwell方程式のうち,

　∇Ｂ^＝0,および,∇×Ｅ^＝－∂Ｂ^/∂ｔ＝Ｅ^d^は,

　自動的に満たされます。

　そして,真空中のMaxwell方程式の残りは,∇Ｅ^＝0,および,

　∇×Ｂ^＝∂Ｅ^/∂ｔ＝Ｅ^d^ です。

　輻射ゲージでは,Φ^＝0 であり,Ｅ^＝－∂Ａ^/∂ｔ＝－Ａ^d^

　ですから,∇Ｅ^＝－∇Ａ^d^＝－∂(∇Ａ^)/∂ｔにより,

　∇Ｅ^＝0 は,∂(∇Ａ^)/∂ｔ＝0 を意味します。

　そこで,これは横波ゲージ条件:∇Ａ^＝0 の保存を意味します。

　また,∇Ａ^＝0 では∇×Ｂ^＝∇×(∇×Ａ^)＝－∇²Ａ,

　∂Ｅ^/∂ｔ＝－∂(Ａ^d^)/∂ｔ＝－∂²Ａ^/∂ｔ²なので,

　∇×Ｂ^＝∂Ｅ^/∂ｔは,∇²Ａ^＝∂²Ａ^/∂ｔ²:　

　つまり,□Ａ^＝(∂²/∂ｔ²－∇²)Ａ＝0 を意味します。

　ちなみに,□Ａ^＝0 は,Klein-Gordon方程式:(□＋ｍ²)Ａ^＝0

　の質量ｍがゼロのケースに相当しています。

(注35-1終わり)※

さて,Ａ^(ｘ,t)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2Σ_λ=1² ε(ｋ,λ)

{ａ^(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ,λ)exp(iｋｘ)}

から,Klein-Gordon理論で行なったのと同じ方法で,

逆 Fourier変換により,ａ^(ｋ,λ)を求めます。

まず,ω_k∫ｄ³ｘexp(iｋｘ)ε(ｋ,λ)Ａ^(ｘ)

＝∫ｄ³ｋ'(2π)^-3/2(2ω_k')^-1/2ω_kΣ_λ'=1²ε(ｋ,λ)ε(ｋ',λ')

×[ａ^(ｋ',λ')exp{－i(ω_k－ω_k')ｔ}∫ｄ³ｘexp{i(ｋ－ｋ')ｘ}

＋ａ^^＋(ｋ',λ')exp{i(ω_k＋ω_k')ｔ}∫ｄ³ｘexp{i(ｋ＋ｋ')ｘ}]

＝∫ｄ³ｋ'(2π)^3/2(2ω_k')^-1/2ω_kΣ_λ'=1²ε(ｋ,λ)ε(ｋ',λ')

×[ａ^(ｋ',λ')exp{－i(ω_k－ω_k')ｔ}δ³(ｋ－ｋ')

＋ａ^^＋(ｋ',λ')exp{i(ω_k＋ω_k')ｔ}δ³(ｋ＋ｋ')]

＝{(2π)³ω_k/2}^1/2Σ_λ'=1²[ε(ｋ,λ)ε(ｋ,λ')ａ^(ｋ,λ')

＋ε(ｋ,λ)ε(ｋ,λ')ａ^^＋(－ｋ,λ')exp(2iω_kｔ)]

＝{(2π)³ω_k/2}^1/2

×[ａ^(ｋ,λ)＋(－1) ^λａ^^＋(－ｋ,λ)exp(2iω_kｔ)]

です。

同様にして,(∂/∂ｔ)exp(－iｋｘ)＝－iω_k exp(－iｋｘ),

(∂/∂ｔ)exp(iｋｘ)＝iω_k exp(iｋｘ)を利用すれば,

i∫ｄ³ｘexp(iｋｘ)ε(ｋ,λ)Ａ^d^(ｘ)

＝{(2π)³ω_k/2}^1/2

×[ａ^(ｋ,λ)－(－1) ^λａ^^＋(－ｋ,λ)exp(2iω_kｔ)]

が得られます。

したがって,

ａ^(ｋ,λ)＝∫ｄ³ｘ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2 exp(iｋｘ)ε(ｋ,λ)

{ω_kＡ^(ｘ)＋iＡ^d^(ｘ)}

　＝i∫ｄ³ｘ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2ε(ｋ,λ)exp(iｋｘ)∂^⇔₀Ａ^(ｘ)

　を得ます。

一方,ａ^^＋(ｋ,λ)も同じような計算で得ることができますが,

これは,単純に,その記号表記の通り,ａ^^＋(ｋ,λ)はａ^(ｋ,λ)

のHermite共役となっていますから,両辺のHermite共役から,

ａ^^＋(ｋ,λ)＝∫ｄ³ｘ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2 exp(－iｋｘ)ε(ｋ,λ)

{ω_kＡ^(ｘ)－iＡ^d^(ｘ)}

＝－i∫ｄ³ｘ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2ε(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)∂^⇔₀Ａ^(ｘ)

です。

ただし,記号:∂^⇔₀は,2012年４/10 の過去記事:

「相対論的場の量子論(正準定式化)(11)」で与えたように,

ａ(ｔ)∂^⇔₀ｂ(ｔ)

≡ａ(ｔ){∂ｂ(ｔ)/∂ｔ}－{∂ａ(ｔ)/∂ｔ}ｂ(ｔ)

と定義しています。

このａ^(ｋ,λ),および,ａ^^＋(ｋ,λ)の表現式から,

これらの交換関係を計算できます。

[ａ^(ｋ,λ),ａ^^＋(ｋ',λ')]

＝∫ｄ³ｘｄ³ｘ'(2π)^-3(4ω_kω_k')^-1/2

exp{i(ｋｘ－ｋ'ｘ')}εⁱ^(ｋ,λ)ε^j^(ｋ',λ')

[ω_kＡⁱ^(ｘ)－iＡ^{i d}^(ｘ),ω_k'Ａ^j^(ｘ')－iＡ^{j d}^(ｘ')]

と書けます。

ところが,同時刻ｔ＝ｘ⁰＝ｘ'⁰では,

[Ａⁱ^(ｘ),Ａ^j^(ｘ')]＝0,[Ａ^{i d}^(ｘ),Ａ^{j d}^(ｘ')]＝0 ,

[Ａⁱ ^(ｘ),Ａ^{j d}^(ｘ')]＝iδ_tr^ij(ｘ－ｘ'),

[Ａ^{i d} ^(ｘ),Ａ^j^(ｘ')]＝－iδ_tr^ij(ｘ－ｘ')

ですから,

[ω_kＡⁱ^(ｘ)＋iＡ^{i d}^(ｘ),ω_k'Ａ^j^(ｘ')－iＡ^{j d}^(ｘ')]

＝(ω_k＋ω_k')δ_tr^ij(ｘ－ｘ')

＝(ω_k＋ω_k')δ^ijδ³(ｘ－ｘ')

－(ω_k＋ω_k')∫ｄ³ｑ(2π)^-3(ｑⁱｑ^j/ｑ²)exp{iｑ(ｘ－ｘ')}

です。

それ故,[ａ^(ｋ,λ),ａ^^＋(ｋ',λ')]

＝∫ｄ³ｘ(2π)^-3(4ω_kω_k')^-1/2(ω_k＋ω_k')exp{－i(ω_k－ω_k')ｔ}

exp{i(ｋ－ｋ')ｘ}ε^(ｋ,λ)ε^(ｋ',λ')

－∫ｄ³ｑ(2π)^-3∫ｄ³ｘｄ³ｘ'(2π)^-3(4ω_kω_k')^-1/2(ω_k＋ω_k')

exp{－i(ω_k－ω_k')ｔ}exp{i(ｋ＋ｑ)ｘ－i(ｋ'＋ｑ)ｘ'}

×[{ε^(ｋ,λ)ｑ}{ε^(ｋ',λ')ｑ}/ｑ²]　です。

(※) そして,右辺第２項＝－∫ｄ³ｑ(4ω_kω_k')^-1/2(ω_k＋ω_k')

δ³(ｋ＋ｑ)δ³(ｋ'＋ｑ)

×{{ε^(ｋ,λ)ｑ}{ε^(ｋ',λ')ｑ}/ｑ²]

＝－{ε^(ｋ,λ)ｋ}{ε^(ｋ,λ')ｋ/ｋ²} ＝0

です。

したがって,[ａ^(ｋ,λ),ａ^^＋(ｋ',λ')]

＝∫ｄ³ｘ(2π)^-3(4ω_kω_k')^-1/2(ω_k＋ω_k')exp{－i(ω_k－ω_k')ｔ}

exp{i(ｋ－ｋ')ｘ}ε^(ｋ,λ)ε^(ｋ',λ')

＝δ³(ｋ－ｋ')ε^(ｋ,λ)ε^(ｋ,λ')

＝δ³(ｋ－ｋ')δ_λλ'を得ます。

すなわち,[ａ^(ｋ,λ),ａ^^＋(ｋ',λ')]＝δ³(ｋ－ｋ')δ_λλ'

です。

同様に,[ａ^^＋(ｋ,λ),ａ^^＋(ｋ',λ')]

＝∫ｄ³ｘｄ³ｘ'(2π)^-3(4ω_kω_k')^-1/2(ω_k－ω_k')

exp{i(ｋｘ－ｋ'ｘ')}εⁱ^(ｋ,λ)ε^j^(ｋ',λ')δ_tr^ij(ｘ－ｘ')

＝0 ,および,

[ａ^(ｋ,λ),ａ^ (ｋ',λ')]

＝∫ｄ³ｘｄ³ｘ'(2π)^-3(4ω_kω_k')^-1/2(ω_k'－ω_k)

exp{i(ｋｘ－ｋ'ｘ')}εⁱ^(ｋ,λ)ε^j^(ｋ',λ')δ_tr^ij(ｘ－ｘ')

＝0　が得られます。

こうして,２つの横波で独立なベクトルポテンシャル成分に

対する展開係数が,運動量空間ではKlein-Gordon理論におけ

るのと同じ交換関係で量子化されていることを示しています。

場のHamiltonian Ｈ^＝(1/2)∫ｄ³ｘ：Ｅ^²＋Ｂ^²：

＝(1/2)∫ｄ³ｘ：Ａ^d^²＋(∇×Ａ^)²：および,

運動量:Ｐ^＝∫ｄ³ｘ：Ｅ^×Ｂ^：

＝－∫ｄ³ｘ：Ａ^d×(∇×Ａ^)：が,

この運動量展開:

Ａ^(ｘ,t)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3/2(2ω_k)^-1/2Σ_λ=1² ε(ｋ,λ)

{ａ^(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ,λ)exp(iｋｘ)}

によって,

Ｈ^＝∫ｄ³ｋω_k{Σ_λ=1²ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ)},および,

Ｐ^＝∫ｄ³ｋ ｋ{Σ_λ=1²ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ)}

のように書けることを見ることから,

ａ^^＋(ｋ,λ),および,ａ^(ｋ,λ)を,エネルギーω_k,運動量ｋ

を持つ量子の,それぞれ,生成演算子,および,消滅演算子と

解釈することができます。

※(注35-2): Ｈ^＝(1/2)∫ｄ³ｘ：Ｅ^²＋Ｂ^²：

＝(1/2)∫ｄ³ｘ：Ａ^d^²＋(∇×Ａ^)²：

＝(1/2)∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(4ω_kω_k')^-1/2Σ_λ,λ'=1²

[－(ω_kω_k')ε^(ｋ,λ)ε^(ｋ',λ')

－{ｋ×ε^(ｋ,λ)}{ｋ'×ε^(ｋ',λ')}

Ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')と書けます。

ただし,Ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')≡∫ｄ³ｘ(2π)^-3

ａ^(ｋ,λ)ａ^(ｋ',λ')exp{－i(ｋ＋ｋ')ｘ}

－ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ',λ')exp{i(ｋ－ｋ')ｘ}

－ａ^^＋(ｋ',λ')ａ^(ｋ,λ)exp{－i(ｋ－ｋ')ｘ}

＋ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^^＋(ｋ',λ')exp{i(ｋ＋ｋ')ｘ}

です。

ところが,

∫ｄ³ｘ(2π)^-3exp{±i(ｋ＋ｋ')ｘ}＝δ³(ｋ＋ｋ')exp(±2iω_kｔ)

∫ｄ³ｘ(2π)^-3exp{±i(ｋ－ｋ')ｘ}＝δ³(ｋ－ｋ')

です。

故に,

Ｈ^＝－(1/2)∫ｄ³ｋ (2ω_k)^-1Σ_λ,λ'=1²ω_k²

[ε^(ｋ,λ)ε^(－ｋ,λ')exp(－2iω_kｔ)

ａ^(ｋ,λ)ａ^(－ｋ,λ')

－ε^(ｋ,λ)ε^(ｋ,λ')ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ')

＋ε^(ｋ,λ)ε^(－ｋ,λ')exp(2iω_kｔ)

ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^^＋(－ｋ,λ')

＋{ｋ×ε^(ｋ,λ)}{－ｋ×ε^(－ｋ,λ')}

exp(－2iω_kｔ)ａ^(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ')

－{ｋ×ε^(ｋ,λ)}{ｋ×ε^(ｋ,λ')}

ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ')

＋{ｋ×ε^(ｋ,λ)}{－ｋ×ε^(－ｋ,λ')}

exp(2iω_kｔ)ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^^＋(－ｋ,λ')}

と書けます。

ε^(ｋ,λ)ε^(ｋ,λ')＝δ_λλ',

ε^(ｋ,λ)ε^(－ｋ,λ’)＝(－1)^λδ_λλ’,

そして,{ｋ×ε^(ｋ,λ)}{ｋ×ε^(ｋ,λ')}

＝[ε^(ｋ,λ)×{ｋ×ε^(ｋ,λ')}ｋ

＝[ｋ{ε^(ｋ,λ)ε^(ｋ,λ')}－ε^(ｋ,λ'){ｋε^(ｋ,λ)}]ｋ

＝ｋ²δ_λλ'＝ω_k²δ_λλ',

{ｋ×ε^(ｋ,λ)}{－ｋ×ε^(－ｋ,λ')

＝－[ｋ{ε^(ｋ,λ)ε^(－ｋ,λ')}

－ε^(－ｋ,λ'){ｋε^(ｋ,λ)}]ｋ

＝－ω_k²(－1)^λδ_λλ'ですから,

Ｈ^＝－∫ｄ³ｋ(ω_k/4)Σ_λ=1²

[(－1)^λａ^(ｋ,λ)ａ^(－ｋ,λ)exp(－2iω_kｔ)

－2ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ)

＋(－1)^λａ^^＋(ｋ,λ)ａ^^＋(－ｋ,λ) exp(2iω_kｔ)]

－(－1)^λａ^(ｋ,λ)ａ^(－ｋ,λ)exp(－2iω_kｔ)

－2ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ)

－(－1)^λａ^^＋(ｋ,λ)ａ^^＋(－ｋ,λ) exp(2iω_kｔ)]

結局,Ｈ^＝∫ｄ³ｋω_kΣ_λ=1²ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ)　

を得ます。

同様に,Ｐ^＝∫ｄ³ｘ：Ｅ^×Ｂ^：

＝－∫ｄ³ｘ：Ａ^d×(∇×Ａ^)：

＝－∫ｄ³ｋｄ³ｋ'(4ω_kω_k')^-1/2ω_kΣ_λ,λ'=1²

[ε^(ｋ,λ)×{ｋ'×ε^(ｋ',λ')}]Ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ'),

ただし,Ｆ^(ｋ,λ,ｋ',λ')＝∫ｄ³ｘ(2π)^-3

ａ^(ｋ,λ)ａ^(ｋ',λ')exp{－i(ｋ＋ｋ')ｘ}

－ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ',λ')exp{i(ｋ－ｋ')ｘ}

－ａ^^＋(ｋ',λ')ａ^(ｋ,λ)exp{－i(ｋ－ｋ')ｘ}　

＋ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^^＋(ｋ',λ')exp{i(ｋ＋ｋ')ｘ}

＝－δ³(ｋ－ｋ')ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ',λ')

－δ³(ｋ－ｋ')ａ^^＋(ｋ',λ')ａ^(ｋ,λ)

＋δ³(ｋ＋ｋ')exp(－2iω_kｔ)ａ^(ｋ,λ)ａ^(ｋ',λ')

＋δ³(ｋ＋ｋ')exp(2iω_kｔ)ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^^＋(ｋ',λ')

です。

ε^(ｋ,λ)×{ｋ×ε^(ｋ,λ')}

＝{ε^(ｋ,λ)ε^(ｋ,λ')}ｋ＝δ_λλ'ｋ,

ε^(ｋ,λ)×{－ｋ×ε^(－ｋ,λ')}

＝－{ε^(ｋ,λ)ε^(－ｋ,λ')}ｋ

＝－(－1)^λδ_λλ'ｋ　より,

Ｐ^＝－(1/2)∫ｄ³ｋΣ_λ=1²[－2ｋａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ)

－(－1)^λexp(－2iω_kｔ)ｋａ^(ｋ,λ)ａ^(－ｋ,λ)

－(－1)^λexp(2iω_kｔ)ｋａ^^＋(ｋ,λ)ａ^^＋(－ｋ,λ)]

＝∫ｄ³ｋ ｋΣ_λ=1² ａ^^＋(ｋ,λ)ａ^(ｋ,λ)

も得られます。

何故なら,∫ｄ³ｋ [ｋａ^(ｋ,λ)ａ^(－ｋ,λ)exp(－2iω_kｔ)

＋ｋａ^^＋(ｋ,λ)ａ^^＋(－ｋ,λ) exp(2iω_kｔ)] なる積分は,

ｋ → －ｋなる積分変数の置換を行なっても不変ですが.

他方,被積分関数は,これによって符号を変えるｋの奇関数

なので,この積分結果がゼロとなるからです。

(注35-2終わり)※

ここで,自由電磁場に対する真空状態:Φ₀＝|0 ＞,つまり最低

エネルギーの基底状態を,Ｈ^,Ｐ^の固有値がゼロの固有状態

として定めることができます。

これは,かつて最も簡単な実スカラーのKlein-Gordon場において

Ｈ^＝(1/2)∫ｄ³ｋ ω_k{ａ^^＋(ｋ)ａ^(ｋ)＋ａ^(ｋ)ａ^^＋(ｋ)},

Ｐ^＝(1/2)∫ｄ³ｋ ｋ{ａ^^＋(ｋ)ａ^(ｋ)＋ａ^(ｋ)ａ^^＋(ｋ)}

に対して,

離散表示で,Ｈ^＝Σ_kＨ^_k ;Ｈ^_k≡(1/2)(ａ_k^^＋ａ_k^＋ａ_k^ａ_k^^＋)

とし,Ｈ^_kΦ_k(ｎ_k)＝ω_k(ｎ_k＋1/2)Φ_k(ｎ_k),

Φ_k(ｎ_k)＝(ｎ_k!)^-1/2(ａ_k^^＋)^ｎk Φ_k(0),ａ_k^Φ_k(0)＝0

とした基底状態:Φ_k(0)と全く同じく,

全てのｋ,λについてａ^(ｋ,λ)Φ₀＝0 を満足するとします。

こうして,ａ^^＋(ｋ,λ)をｋ²＝ｋ^μｋ_μ＝0 (質量ゼロ)

を満たす４元運動量:ｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ)＝(ω_k,ｋ)を持つ,

１つの光子(Photon) or 光量子(ight-quantum)の生成

演算子と解釈できることがわかります。

これは,Φ_1.k,λ≡ａ^^＋(ｋ,λ)Φ₀＝ａ^^＋(ｋ,λ) |0 ＞

が,Ｐ^μ^＝(Ｐ⁰^,Ｐ^)＝(Ｈ^,Ｐ^)の固有値:ｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ)

＝(ω_k,ｋ)に属する固有状態であることを見ることにより

明らかです。

切りはいいけれど長くなりました。

今日はこで終わります。

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill)

旧FSHOGI（将棋フォーラム）忘年会

　昨夜,12/７は,久しぶりに,新宿歌舞伎町のモツ焼き屋での,旧FSHOGI（将棋フォーラム）の忘年会に行ってきました。

　３年前(2009年)の暮れに,ふとしたことから,mixiで,私とこの忘年会主催者と連絡がついて,新宿で会おうということで始まった忘年会。。

　昨年は彼が趣味の自転車で交通事故に遭って,この忘年会は無かったので,会うのは２年ぶりでした。

　先日の11月末の私の入院前に,12/7(金)の午後６時からいつものモツ焼き屋で忘年会をやるという連絡が来て,出席すると返答いておいたのですが,それから左眼手術が決まって入院したので,ひょっとすると,まだ入院中で行けないかも知れないと案じていました。

　しかし,幸い12/１には退院したので,12/７,８と連休を取って備えていました。

　ところが相次ぐ退院見舞いなどで金を使い果たし,会費5000円程度が全く無い状態になったので取り合えず,休みは取ったけどギリギリまで金策をしてダメならドタキャンするつもりでした。

　しかし,前日12/６の夜に,12/１の退院当日退院見舞いと称して実は私が少し金を使わされた形になった当事者のMちゃんから電話があって,当座の5000円こらいなら貸してもらえることになり,７日に口座に振り込まれて,何とか出席することができたのでした。

　７日の夕方５時を過ぎて,そろそろ出かけないとと支度を始めたとたん,テレビで地震がくるとの予報が出たので,

　イツモの小さいヤツかな？とタカをくくっていたら,何と２分くらいにも感じた結構大きな縦揺れ横揺れが続いたので,ついパソコﾝ机の下にもぐって一瞬ですが,「とうとう('東海地震でも)来たかな？」と思いましたが,やがて,それほどでもなく揺れが止んだので,ヤレヤレという感じで出かけました。

　新宿に着いたのは,もう６時ちょうどくらいでしたが,待ち合わせ場所が現地で遅れても,少なくとも９時くらいまでは宴会が続いてるはずと思ってアセらず,向かいました。

　２年ぶりでしたが,確か旧コマ劇場のそばくらいと思っていて,歌舞伎町でモツ焼きやホルモンなどの店がある一角は限られていたので,探しましたが,どうも通りを間違えたみたいで,30分以上もウロウロしました。

　途中で,メンバーに携帯電話しましたが,地震のせいで全く繋がりません。

　そういえば以前もウロウロしていて携帯で迎えに来てもらったのでした。

　でも,歌舞伎町のイカガワしい店がいっぱいあるところで,呼び込みのニイちゃんが大勢立っていたので何人にも聞いて近くまではたどり着いて,結局,お店の普通の電話にかけてみると,ちゃんと繋がって筋を１つ間違えてるということで,やっと７時前には目的地に到達しました。

　普通電話なら繋がるのなら,もっと前に電話すればよかったですね。

　とにかく,現地に着くと,まあハンドルですから伏せ字の必要ないだろうということで,メンバーを書くと,主催のEcQ(和尚)さんと文陽寛さん,それに,このブログにコメントで忘年会を知らせてくれた関さん,の３人しかまだ来ておらず。。。

　聞くと,いつものナンボクさんが行方不明で,文さんと犬猿の仲？のりょうまさん,そして,Unknownさん(ウンコウンじゃないよ)は,まだ。。とのことでした。

　パソコン通信のフォーラムがなくなった前後に,このメンバーとは袂を分かって「将棋チェスネット」という会を作り,メール将棋などを継続させ,

　毎年夏には湯河原などで,男子プロや女流の棋士を呼んで,合宿と称してお泊まりオフをしたり,竹橋での社団戦に出たりの真面目？な活動をしているメンバーなら,ここ20年来,ほぼ毎年１回以上は会っているのですが,

　こちらのもっと古くて懐かしいメンツとは.mixiで発見するまでは,10年以上も会っていなかったメンバーです。

　今も両方に,顔を出してるのは,節操のない？私と関さん。それと,今回は来れないという連絡があったらしい柿木さんくらいですね。

　「たまには,一緒に湯河原にでも行きたいね。」というEcQ(さんからの社交辞令も出ました。

　「お金なかったので,ドタキャンして欠席も考えていた。」と正直に言うと,　「TOSHIさんは,こうして来てくれて逢えただけでもウレシイので,年に１回しか会えないことだし,そういうときは連絡してくれれば,飲み代くらい全部,貸すのじゃなくてオゴルよ。退院祝いもあるし。。」

　という涙が出るような,お言葉。。

　結局,育ちが上品な？せいか,モツ焼きや,ホルモンなどは全く苦手でレバーの焼き鳥１本以外は野菜焼きや漬ケ物ばかり食べて,カラオケが世に出る以前には,よくやっていた,お話だけの飲み会,

　それに普段は焼酎やウィスキーをチビチビやってるばかりの恐らく彼らとは飲み屋の趣味が違うであろう私は,好きだけれど余り飲み慣れていないビールとかサワーなどを飲む方に集中しました。

　夜９時過ぎにはショバを変えて,これもお決まりの近くの牛タンという貼り紙のあるテーブルと椅子のお店に移り,調子に乗って,11時頃まで一銭も払わないまま,近くに住んでいる関さんに山手線で巣鴨まで送ってもらいました。

　彼は駒込迄行って,そこから歩いて帰れるということでしtた。

　途中,池袋では座れましたが電車の中で２回もゲロを吐いて,スペースを探して上手に吐いたツモリですが,終電近くの電車内の方々どうも汚くてすみませんでした。

　でも,巣鴨に降りると,また,元気を取り戻して,財布にお金は残ってるし。。

　ということで,懲りずにまた２件ハシゴして帰宅は２時半頃でした。

　２件目のコリン星は,看板は消えていたけど自転車があったので,戸を開けてみたら,案の定,まだ見覚えのある若い客２人がいて歌ったりしていたので,私もカラオケを歌ったりで,巣鴨一番街では一番好きだけど,ヨソからのお誘いも多くて,めったに会えない優子ママに久しぶりに逢えてウレしかったです。

　まあ,店も看板消して終わりに近かったし入院していた話もしたせいか？ここも退院祝いということでお金を払わず仕舞い。。

　こんなことばかりで甘えてばかりもいられない。。という思いもあるので,余り親切にされると,かえって入り辛くなるという気にもなります。

　イツカ埋め合わせをするゾー。。ということで,飲み屋にしか「家族」のいない私はゴキゲンで帰途につき,今まで爆睡していたのでした。

　今日も寝てようビだし。。

　何の役にも立たない"極楽トノボ"は,飯を食ったら,また寝ようかな。。

PS:私信です。上杉謙信へ,４月から放たらかしでゴメン。。

　EcQさんたちも心配してるから,もし見てたらここへのコメントでも,私へのメールでもいいので連絡してください。

　私のPCのメアドは,昔から一切変わっていません。

　昔,メアドが消えるなどと書いたのは,このブログのコメントで書いたメアドの入ったメッセージを消すという意味です。

過去の眼科入院中のExcersize

　ちょっと手抜きで,前に眼科入院時(右眼,左眼手術時)にやった

　算数・数学のExcersizeを振り返って内容を再掲載してみます。

　ただし,これだけでは記事が寂しいので今回２度目の左眼手術

　の当日の朝,よく晴れて帝京大学病院の７階談話室の窓から,

　遠くに富士山が見えたのを撮影しようとした２枚の写真を冒頭

　に載せておきます。

　朝日の中の逆光でしたし,望遠でもないので,後で見ると,富士山

　の姿は不明でしたが,これだけで電池が切れで専用の充電 BOX

　を忘れてきたため,入院中に撮った写真はこれだけです。

　　　　　

　　　　

　さて,本題ですが,まずは昨年2011年５/30入院,５/31右眼手術,

　６/11退院の最初の眼科入院のときの2011年６/13の記事

　「算数の問題」からです。

※以下,再掲内容です。

　退院時,入院記念に看護師さんに置きみやげ？として,

　「お世話になりました。ありがとう,さようなら」という

　短い手紙に加えて「算数の問題」を出題,手渡してきました。

　夜勤などの眠気覚まし,ひまつぶしのツモリですが,そんな暇はなく

　迷惑でしょうから,シカトされ即ゴミ箱行きかも知れませんが。。

　これは,実は2006年３月に,ブログ開始してまもなく書いた記事です。

　(◎ 2006年３/30の記事「算数の問題」参照)

　その後,2006年12月にはヒントも出しました。

　ところが,その後出題した私自身がどのようにして解いたかを失念

　してしまいました。

　かつて,解けたはずなのに,改めて考えても算数の解き方にこだわる

　限り,どうしてもできなかったので,解答はいずrということにして

　取り合えずは,そのままにしていました。

　ところが,その間にも「解答を示してくれ」との要望が幾つかあり,

　再度トライしてみましたが,面目ないことにどうしても解けなくて,

　大きなことを言った手前,謝まってPendingにしていました。

　(◎↑ これはここの@niftyのココログだけでなく,Yahooのミラー

　ブログ「TOSHIの宇宙４」での話も含まれています。)

　しかし,今回,病院生活が余りに暇なので,６/５(日)には朝食後

　から,BSで延長戦になって５時間以上も続いたメジャーリーグの

　アスレチックス対ヤンキースのゲームを見るとはなしに見ながら

　何の邪魔も入らず,ゆっくりじっくり考えていると,昼食後の14時

　頃にあっさりと解けました。

　取り合えず,問題とヒントまでを,再掲します。

　解答部分は,今日夕方,職場から帰宅して後に書きます。

◎(問題): でたらめな形の四角形が１つあるとします。

　その４つの各辺を,それぞれ３等分してその向かい合う点同士を

　直線で結ぶと,やはりでたらめな形の９個の小さい四角形に分割

　されます。

　このとき,真ん中にできた小四角形の面積は元の四角形の面積

　のちょうど,1/９ になることを証明しなさい。

　という問題です。

　そして,2006年12/20には問題再掲してヒントを与えました。。

　（「算数の問題(再掲)　↓)

　◎これに対して,今回はヒントとして対辺の分点同士を結んでできる３つ

　の四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/３になることを示すことがで

　きるという指摘を追加しておきます。

(追伸)：今2007年1月９日～10日の深夜ですが,,kaさんから補助線を明示した

　図を見たいとの希望がありました。

　そこで□ＡＢＣＤと,そのＡＤの３等分点Ｍ,Ｎ,および,ＢＣの３等分点Ｐ,Ｑを

　書いた図を示してみました

要するに,⊿ＭＰＱ＝(1/2)⊿ＭＢＱ,⊿ＭＱＮ＝(1/2)⊿ＭＱＤなので,

□ＭＰＱＮ＝(1/2)□ＭＢＱＤとなります。

別の補助線を引いて,⊿ＭＢＤ＝(2/3)⊿ＡＢＤ,⊿ＤＢＱ＝(2/3)⊿ＤＢＣ

なので□ＭＢＱＤ＝(2/3)□ＡＢＣＤが成立しますから,

□ＭＰＱＮ＝(1/3)□ＡＢＣＤになります。

もちろん,□ＡＢＣＤが台形でないなら,面積が1/３になるのは真ん中の

四角形だけで,両側の四角形は1/３にはなりません。

これがヒントです。◎

さて職場から,帰宅したので,約束通り,解答を示します。

まず,９個の小四角形に下図のようにａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅ,ｆ,ｇ,ｈ,iとラベルを付けます。

同時にこれらは各四角形の面積をも表わす記号とします。

　ここで□ＡＢＣＤの面積をＳとすると,証明すべき結論は,ｅ＝Ｓ/9です。

まず,明らかにａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ です。

そして,ヒントから, ,ｂ＋ｅ＋ｈ＝Ｓ/3,かつｄ＋ｅ＋ｆ＝Ｓ/3 です。

このことから,ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ/3＋ｅと書けることもわかります。

これ以上,これらの式をいくら変形しても何も新しいことは出てきません。

そこで,新しい補助線を引いて考察します。

まず,⊿EＡM＝(1/2)⊿ＥＭＤ,かつ⊿EＡK＝(1/2)⊿EＫBです。

故に,ａ＝⊿ＥAM＋⊿ＥAK＝(1/2)(⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB)です。

いいかえると⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB＝2ａです。

そこで,□ＥＢＣＤ＝Ｓ－3ａです

他方,⊿EDR＝(1/3)⊿DEC,かつ⊿EBP＝(1/3)⊿EBＣ ですから,

⊿ＥＤＲ＋⊿EBＰ＝(1/3)(⊿DEC＋⊿EBＣ)＝(1/3)□ＥＢＣＤ です。

以上から,(ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ)－2ａ＝(1/3)(Ｓ－3ａ) ですから,

ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ＝ａ＋Ｓ/3 が成立します。

対称性から,同様に,

ｆ＋ｉ＋ｂ＋ａ＝ｃ＋Ｓ/3,  ｈ＋ｇ＋ｆ＋ｃ＝ｉ＋Ｓ/3,  ｄ＋ａ＋ｈ＋ｉ＝ｇ＋Ｓ/3

も成り立つはずです。

これら４つの等式の両辺を,全て,それぞれ加えると,

2(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ)＝(ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ)＋4Ｓ/3

となります。

したがって, 2(Ｓ－ｅ)＝(Ｓ/3＋ｅ)＋4Ｓ/3 より,

3ｅ＝Ｓ/3 ですから, ｅ＝Ｓ/9です。

解答は以上で終わりです。 お疲れさま。。

ここまで全部が,2011年記事の再掲内容です。※

次は,今年2012年春の４/23入院,４/24左眼手術,４/28退院の入院時

の４/30の記事「数学(算数？)の問題(入院中にトライ)」の再掲載です。

実は,７階の眼科(701号室)で手術する前に,４/16に,インスリン投与開始

のため,15階の内科(1503号室)に入院し,その後４/23に病棟を転科して

きたのでした。

※さて,以下は再掲内容です。

これまでの経験から,入院生活は退屈極まりないことがわかっていたので

数冊の専門書や小説だけでは,スグに時間が枯渇し,また飽きてしまうと

思い,ルービックキューブや詰め将棋本も持ち込みました。

　さらに,この他に入院直前に急遽Amazonで「数学オリンピック

　完全攻略」という古書を注文購入して病院に持参しました。

　入院初日の4/17の午後に,最初に考えて解き,なぜか退院までに

　最も印象に残った問題は次の問題でした。

　数学オリンピックの問題（1979年）

　ｐ,ｑを,ｐ/ｑ＝1－1/2＋1/3－1/4＋...－1/1318＋1/1319

　を満たす正の整数とするとき,

　ｐは1979で割り切れることを示せ。

(◎)以下は,これのヒントから,というより,即解答を書きます。

　ｐ/ｑ＝1－1/2＋1/3－1/4＋...－1/1318＋1/1319

　＝1＋(1/2－1)＋1/3＋(1/4－1/2)＋...＋(1/1318－1/659)＋1/1319

　＝1＋1/2＋1/3＋1/4＋...＋1/1318＋1/1319－(1+1/2＋..＋1/659)

　＝1/660＋1/661＋..＋1/1318＋1/1319

　＝1979/(660・1319)＋1979/(661・1318)＋..＋1979/(989・990)

　＝1979×(1//(660・1319)＋1/(661・1318)＋..＋1/989・990)

　より,

　1/(660・1319)＋1/(661・1318)＋..＋1/989・990)を通分した

　既約分数をｍ/ｎとおけば,ｐ/ｑ＝1979(ｍ/ｎ)　です。

　故に,ｐ＝1979ｍｑ/ｎと書けます。

ところで,1979はちょっと確かめればわかるように,素数です

から,1と1979 以外には,分母のｎと共通因数を持つ可能性は

全くありません。

しかも,ｎは660・661・・・1319の約数ですから,これは明らかに

1979では割り切れません。

そこで,ｐが整数であるという仮定から,ｍｑの方がｎで割り切れる

と結論されます。

したがって,ｐ＝1979ｍｑ/ｎで,かつ,ｍｑ/ｎが整数ですから,

ｐは1979で割り切れることになります。(終わり)◎

こうして入院初日は暮れてゆき,11泊12日が続いたのでした。

(↑ この問題を退院時,看護師さんに宿題として置きみやげに,

渡してきました。昨年の前回入院でも帰りに宿題出しましたが,

忘れてるでしょうね。← イヤ,毎度,迷惑な話です。)

(以上,2012年記事の再掲です。※)

相対論的場の量子論(正準量子化)(34-2)(34の補遺)

前回,入院前最後の相対論的場の量子論(正準量子化)の記事は,

最後の結論的説明を書かないまま,中途半端に終わったので続き

を補遺として追加します。

まず,前記事の最後の部分は,

以上から,

Λ^(ｘ,ε)≡∫ｄ³ｙ{∇_y²Ａ^{k d}^(ｙ,ｔ)}/(4π|ｙ－ｘ|)}

とおけば,

Ｕ^(ε)Ａ^λ^(ｘ)Ｕ^^-1(ε)

＝Ａ^λ^(ｘ)－(i/2)ε_μν[Ｍ^μν^,Ａ^λ^(ｘ,ｔ)]

＝Ａ^λ^(ｘ~)－ε^λ_σＡ^σ^(ｘ)－ε^λ_σ∂^σΛ^(ｘ,ε)

が得られます。

ただし,ε^λ_σが空間回転:εⁱ_jのみの場合はΛ(ｘ,ε)はゼロ,

または定数です。

したがって,このΛ^(ｘ,ε)が,この変換に伴うゲージ変換の

ゲージ関数を与えることがわかります。

と書きました。今日はここからの続きです。

まず,このゲージ項が必要なことは明らかです。

何故なら,Φ^(ｘ)＝Ａ⁰^(ｘ)≡0 のとき,任意のユニタリ変換:

Ｕ^に対し,Ｕ^Φ^(ｘ)Ｕ^^-1＝Ｕ^Ａ⁰^(ｘ)Ｕ^^-1＝0 が成立する

ので

変換前の旧Loretz系における状態:|α＞が,新Loretz系

(ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν)においては,あるユニタリ変換:

Ｕ^(ε)により,Ｕ^(ε)|α＞に変換されるとすれば,

Ｕ^(ε)Ａ^μ^(ｘ)Ｕ^^-1(ε)

＝Ａ^μ^(ｘ~)－ε^μ_νＡ^ν^(ｘ)－ε^μ_ν∂^νΛ^(ｘ~,ε)

において,

μ＝0 に対応するものは,左辺＝Ｕ^Ａ⁰^(ｘ)Ｕ^^-1＝0 であり.

右辺＝－ε⁰_kＡ^k^(ｘ)－ε⁰_k∂^kΛ^(ｘ,ε) です。

したがって,左辺＝右辺が成立するためには,ゲージ項が存在

しなければならないことがわかります。

このとき,電磁場Ａ^μ^(ｘ)の行列要素については,

＜β|Ｕ^^＋(ε)Ａ^μ^(ｘ~)Ｕ^(ε)|α＞

＋∂^μ＜β|Ｕ^^＋(ε)Λ^(ｘ~,ε)Ｕ^(ε)|α＞

＝Ｓ^μ_ν(ε)＜β|Ｕ^^＋(ε)Ａ^ν^(ｘ)Ｕ^(ε)|α＞

が成立します。

つまり,Ｕ^(ε)Ａ^μ^(ｘ)Ｕ^^-1(ε)

＝Ａ^μ^(ｘ~)－ε^μ_νＡ^ν^(ｘ)－ε^μ_ν∂^νΛ^(ｘ~,ε)

なる構造から,

新Loretz系での場の演算子:Ａ^μ^(ｘ~)はMaxwell方程式を満足し,

それ故,この量子論定式化においてもMaxwell方程式は共変である

ことがわかります。

場の従うべき基本方程式が不変という意味では,理論は共変である

といえます。

※(注1):物理的観測量としての場は,その行列要素:

＜β|Ａ^μ^(ｘ)|α＞で与えられ,これが古典的場の電磁ポテンシャル

Ａ^μ(ｘ)に対応していて,Maxwell方程式を満足します。

そして,新Loretz系での同じ行列要素は,

＜β|Ｕ^^＋(ε)Ａ^μ^(ｘ~)Ｕ^(ε)|α＞

＝Ｓ^μ_ν(ε)＜β|Ｕ^^＋(ε)Ａ^ν^(ｘ)Ｕ^(ε)|α＞

で与えられます。

これが古典的電磁場のポテンシャル:

Ａ~^μ(ｘ~)＝Ｓ^μ_ν(ε)Ａ^μ(ｘ)に対応しているため,

古典電磁気学において,Maxwell方程式は共変である,という

対応原理が成立しています。

(注1終わり)※

そして,さらなる要請は,新Loretz系での場をＡ~(ｘ~)と書くと,

横波(Coulombゲージ)の条件:∇~Ａ~(ｘ~)＝0 が保持されること,

および,新Loretz系においても,旧Lorentz系と同じ,修正された

正準交換関係が保持されることです。

これらのことは,具体的計算から容易に証明できます。

※(注2):上記の言明は,場:Ａ^(ｘ)を,その行列要素:

＜β|Ａ^(ｘ)|α＞と同一視したときの表記をＡ^(ｘ)とし,

ｘ~における行列要素:＜β|Ｕ^^＋(ε)Ａ^(ｘ~)Ｕ^(ε)|α＞を,

Ａ~(ｘ~)と見たときの関係です。

Ａ(ｘ~)＝＜β|Ｕ^^＋(ε)Ａ^(ｘ~)Ｕ^(ε)|α＞であるという

見地からは,

∇~Ａ~(ｘ~)＝0 は,∇~Ａ~(ｘ~)

＝＜β|Ｕ^^＋(ε)∇~Ａ^(ｘ~)Ｕ^(ε)|α＞

により,∇~Ａ^(ｘ~)＝0 を意味します。

そして,∇~Ａ(ｘ~)＝∂~_kＡ^k^(ｘ~)

＝(∂_k＋ε_kν∂^ν)Ａ^k^(ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν)

＝∂_k{Ａ^k^(ｘ)＋ε^μ_νｘ^ν∂_μＡ^k^(ｘ)}＋ε_kν∂^νＡ^k^(ｘ)

＝∂_kＡ^k^(ｘ)＋(ε_μk＋ε_kμ)∂^μＡ^k^(ｘ)

＋ε^μ_νｘ^ν∂_μ∂_kＡ^k^(ｘ)

＝∇Ａ(ｘ)＋ε^μ_νｘ^ν∂_μ{∇Ａ(ｘ)}＝0

です。

すなわち,確かに∇~Ａ^(ｘ~)＝0 を得ます。

しかし,当時のノートにある通りに書きましたが,

さすがにこれは重箱の隅の蛇足で,ヤリ過ぎです。

つまり,関数Ａ^(ｘ)が∇Ａ^(ｘ)＝0 を満たすなら,

この等式はｘ＝ｘ^μについての恒等式です。

∇Ａ^(ｘ)＝0 は任意のｘについて成立する等式なので,

ｘをｘ~に変えただけの∇~Ａ^(ｘ~)＝0 が成立するのは　

確かめるまでもないことでした。

ｘ → ｘ~ がLorentz変換でなくても成立することです。

　また,場Ａ(ｘ~)は,ｘ~^μをｃ-数のパラメータとする演算子です。

　そこで,lorentz変換に対して単にユニタリ変換を受けるだけ,

　つまり,Ａ~(ｘ~)＝＜β|Ｕ^^＋(ε)Ａ^(ｘ~)Ｕ^(ε)|α＞

　＝Ｓ(ε)＜β|Ａ^(ｘ)|α＞より,

　Ａ^(ｘ~)＝Ｕ^(ε)Ａ^(ｘ)Ｕ^^＋(ε)となるだけですから

　任意の準拠Lorentz系で同時刻交換関係を取れば,

　元の準拠Lorentz系での交換関係:[ , ]はｃ-数なので,

　Ｕ^(ε)[ , ]Ｕ^^＋(ε)＝[ , ]となるため,

　それらが,元の準拠Lorentz系での交換関係と一致するのは

　明らかです。

　(注2終わり)※

　こうして,各準拠Lorentz系で,∇Ａ^＝0,かつ,Ａ⁰^＝0 の

　輻射ゲージを取って,量子電磁力学

　(ＱＥＤ:Quantum ElectroDynamics)を定式化すると,

　相対的に運動している観測者ＯとＯ~のそれぞれが認識する状態

　を関連付ける１つのユニタリ変換を確実で合理的なモノとする

ことができるわけです。

今日は,ここで終わります。

(参考文献):J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Fields" (McGrawHill)

PS:勘三郎さんの急死に驚いて前記事の訃報を書かなければ,今朝予定

していた本記事のアップはもっと朝早くできていたはずでした。

おかげでアップは出勤前となり,まず文字を拡大したあと,一所懸命に

２時間ほど,出かける時刻をイツモより30分遅らせて添削し編集して後

少しというトコロで,フリーズして

謂わゆるMicrosoftに「送信する？」,「送信しない/?]のエラーメッセージ

が出て.アチャーとなって徒労が決まり,,心残りしながらも夕方帰宅する

までそのままでした。

こういうのも心臓に悪いですね。

訃報！ 中村勘三郎も逝く。。

　食道ガンで入院していた歌舞伎俳優 中村勘三郎さんが,ガンの手術後.療養中に肺炎を発症され,そのための呼吸困難:急性呼吸窮迫症のため,本日12月５日午前２時半頃死去されました。　

　まだ,57歳でした。

　日刊スポーツ芸能ニュース→　歌舞伎俳優の中村勘三郎さん　死去57歳

        　

　舞台に歌舞伎を見にいったことがないので,歌舞伎俳優として観たことはないですが,彼は私には約６歳年下で50年くらい前,中村勘九郎として初舞台のニュース以来,カワいい子供時代から,よく知っており見守っていた存在で,長い間,勘三郎ではなく勘九郎として親しみを持っていました。

　非常に残念です。今朝はＴＶの速報でビックリしました。

　早期発見した食道ガンということでしたし,最近ではガンは必ずしも不治の病ではなく食道ガンなら,俳優の命である声帯付近でないなら手術すれば元通りに回復すると思っていました。

　イヤ,57歳はまだそれほど高齢ではないけれど年配で持病のある方の肺炎は恐ろしいですね。

　先日11月に92歳の誕生日を迎えた私の母親が,大腿骨折で入院中の今年６月の退院直前に肺炎にかかって危篤になり,何とか持ち直したとも聞いていたので,なおさらです。

　私自身も,来年２月で63歳ですが,

　メインの虚血性心不全の他にも,両足の脛から下の動脈硬化,長い糖尿病生活の関連で糖尿性神経麻痺(手足のしびれ),足首は壊死までいかないもののやや紫色に変色して感覚が無く,軽い腎不全による貧血,両目の眼底出血,その上,左頚椎炎症,etc.と病気の総合デパート状態です。

　私の場合,肺炎,インフルエンザ,肺血栓(エコノミークラス症候群:)だと,発症した時点で99％命取り,単なる風邪であっても,とにかく呼吸器関連の病気に患ると,健康人より,はるかに死亡率が高いと,かつて医者から警告されました。

　実際,,2007年４月に順天堂で心臓バイパス手術をして退院後は,極力,風邪などを引かないように気を張ってはいますが,風邪は偶にかかると最低３週間は治らないようです。

　また,肺血栓は長時間,窮屈な状態で飛行機に乗らなくても,例えばパソコンの前に座りっぱなしで長時間動かない状態を続けても発症するらしいですね。　

　ちょっと,長い余談,失礼しました。

　中村勘三郎さんのご冥福を祈ります。

　合掌！！

入院中のExcersize(頭の体操)

　今回の入院中も退屈であることが予想されたので,

　昔,ブックオフで買ったまま,まだ読んでいなかった東野圭吾の短編

　推理小説集「怪しい人々」とR.P.Feynmanの古い素粒子論のテキスト

　「Photon-HadronInterction 」,詰め将棋の本１冊の他に,

　以前,神保町の理系専門の古書店の明倫館書店で見て何気に買って

　いた19990年代の数学オリンピックの問題集を持参し,

　途中でイヤになって放り出さない程度の比較的容易な問題を選んで

　解くという作業をやって時間を潰しました。

　身体の方はベッドでゴロゴロ寝ていても,間寛平チャンの"止まるとシヌー"

　とかの状態には程遠く.,Excersizeといえば,普段でも,職場で始業時にやる

　ラジオ体操くらいですが。。。

　頭の方は,トキドキ"止まるとシヌー"という状態に近くなることもあります。

　シャバであれば,ネット将棋で勝ち負け関係なく暫く対局すれば,解消でき

　るようですが,入院中はそうもいかないので,excersize用意しました。

　まず,111/26(月)の帝京大学附属病院の眼科に入院当日,自分の部屋

　とベッドが７階東病棟の701号室の第４ベッド(入り口通路側)に決ま

　って自分の荷物をロッカーなどに整理し,昼食も取って落ち着いて後

　２問やってみました。

　まず,第６回日本数学オリンピック予選(1996)から,

３.正整数ｎに対して,ａ_n＝10²ⁿ－10ⁿ＋1とするとき,

　2√ａ_n の整数部分を求めよ。

※(私の解答):これはすぐに,わかりました。

　4ａ_n＝4・10²ⁿ－4・10ⁿ＋4＝(2・10ⁿ －1)²＋3 ですから,

　Ｍ＝2・10ⁿ －1とおくと, 4ａ_n＝Ｍ²＋3と書けます。

　そして,ｎ＝1でもＭ＝20－1＝19ですからＭ≧19です。

　よって,(Ｍ＋1)²＝Ｍ²＋2Ｍ＋1＞Ｍ²＋3＞Ｍ² です。

　故に,Ｍ＜ 2√ａ_n の＝√4ａ_n ＜Ｍ＋1　です。

　以上から,2√ａ_n の整数部分はＭ＝2・10ⁿ －1です。

　例えば,ｎ＝1では,ａ₁＝91なら,2√ａ₁＝2√91＝√364です。

　364は19²＝361と20²＝400の間ですから,

　整数部分は確かにＭ＝19です。

(終わり)※

　次は,同じく第６回予選から,

４.ａをｘ³－ｘ－-1＝0 の１つの解とするとき,

　ａ²を解とする3次方程式を１つ求めよ。

※(私の解答):ａ³＝ａ＋1なので,ａ⁶＝(ａ＋1)²

＝ａ²＋2ａ＝1です。

　そこでＡ＝ａ²とおけば,Ａ³＝Ａ＋2ａ＋1です。

　一方,ａ³＝ａ＋1の両辺にａを掛けると,ａ⁴＝ａ²＋ａ

　です。

　つまり,Ａ²＝Ａ＋ａですから,a＝Ａ²－Ａとなります。

　これをＡ³＝Ａ＋2ａ＋1に代入すれば,

　Ａ³＝Ａ＋2(Ａ²－Ａ)＋1＝2Ａ²－Ａ＋1　を得ます。

　よって,Ａ³－2Ａ²＋Ａ－1＝0 が満たされます。

　したがってＡ＝ａ²を解とする3次方程式の１つは,

　ｘ³－2ｘ²＋ｘ－1＝0　です。

(終わり)※

　次は,手術も終わって,推理小説にも飽きた,手術翌々日の

　11/29に解いた１問です。

　第２回日本数学オリンピック予選(1992)から,

４.Ａを次の条件1),2)を満たす正整数の集合とする。

1) 2,3,5,7,11,13以外の素因数を持たない。

2) 2²,3²,5²,7²,11²,13² のいずれでも割り切れない。

ただし,1∈Ａとする。

Ａの要素ｎの逆数1/ｎの総和:

1＋1/2＋1/3＋1/5＋..＋1/(2・3・5・7・11・13)

を求めよ。

※(私の解答):

このままでも,できますが,総和の式を通分すると,

求める総和式

＝(2・3・5・7・11・13＋3・5・7・11・13＋2・5・7・11・13

＋2・3・7・11・13＋..＋7＋5＋3＋2＋1)/(2・3・5・7・11・13)

となります。

分子は,分母＝2・3・5・7・11・13の自身と1を含む全ての約数の

総和ですね。

昔,自分自身の高校,一浪時代や,後の予備校等での講師としての講義

において,大学入試問題を解くテクニックの１つで,

ここで,素因数分解がｐ^αｑ^βｒ^γｓ^δ・・・であるような正整数

の約数の総和は,

(1＋ｐ＋..+ｐ^α)(1＋ｑ＋..+ｑ^β)(1＋ｒ＋..+ｒ^γ)

(1＋ｓ＋..+ｓ^γδ)・・・

で与えられるというのを,思い出しました。

今の場合は,分子＝(2・3・5・7・1・11・13の全ての約数の総和)

＝(1＋2)(1＋3)(1＋5)(1＋7)(1＋11)(1＋13)

＝3・4・6・8・12・14＝2⁹・3³・7　です。

故に,(分子)/(分母)＝2⁸・3²/(5・11・13)

＝256×9/(143×5)＝2304/715　です。

後で考えると,別に通分せずとも。。。

そのまま,(1＋1/2)(1＋1/3)(1＋1/5)(1＋1/7)(1＋1/11)(1＋1/13)

＝(3/2)・(4/3)・(6/5)・(8/7)・(12/11)・(14/13)

として求める方が,若干簡単でしたね。

(終わり)※

予想より早く退院できたので,今回はこれだけです。

ちょっと,やさし過ぎて歯ごたえないものばかりと見えます。

片目だと根気続かないので,長めの問題や図を考えるモノなどは,

問題を読んで理解するのも億劫で]敬遠しましたが。。。

この手の問題は,実は題意が理解できれば,半分解けたようなもん

ですね。

PS:実は早朝にアップして,編集作業中にフリーズして,

せっかくの数時間がパーになったので頭に来て放り出し,

また出勤前に編集し直したのでした。

今日の癒し(Ｙｏｕ－ｔｕｂｅからクリスマス)

　今日の癒しです。。。

退院しました。

　本日,朝10時過ぎに無事,退院し,12時前には帰宅しました。

　11月27日(火)２時から１時間半くらいの左眼硝子体除去手術から今日で5日目,昨日朝の教授回診後の主治医の診察で週末退院が決まり,今日退院帰宅です。

　現在のところは,まだ完全には視力回復していませんが,混濁した硝子体は,80%くらいまで透明を回復しているみたいで,後は時間の問題です。

　取り合えず,報告まで。。。

　ちょっと,帰宅直後にストーカー的な方に押し売りのお見舞いを受けて,マシン立ち上げたところで再び寒い中を外出し,やっと16時半頃に解放され,また帰宅して,これを書いています。

　病院は肉体的には,休息になりましたが,やはり自宅がイチバンです。

　今日は久しぶりに自分の枕でゆっくりします。

PS::女難か?退院を知らせた相手が悪かったのか？日曜日夜中零時半にまたも電話があって起こされ,押し売り退院祝いで最後駒込から電車に乗り,身体も懐も寒くなって帰宅したのが朝８時５分前,３時間寝て今から出勤です。

　こんなことなら,退院を１日延ばせばよかった。

日曜日なら,さすがに巣鴨界隈の飲み屋は休みが多いのでお誘いもなかったでしょうに。。。

　ツケは完済できたけど。。