量子電磁力学:続編(準備中)の序文

相対論的場の量子論シリーズの第Ⅱ部に入る前に,

ここまでの記事の補足として,電磁場を(正準)量子化する際に

生じる問題点や,Gupta-leuilerの方法の詳細についての記事

を現在準備中です。

そのため,今回は参考ノートなどはないので取り合えず,原稿

を古典電磁場の定式化の確認から始めている状態ですが,

2008年５/19の記事「電磁気学と相対論(4)(真空中の電磁気学３)」

の内容が,つなぎの序文としてピッタリのようなので,手抜きです

が,ほぼそのまま再掲載しておきます。

※以下,再掲記事です。

電磁場の基本方程式であるMaxwellの方程式が,

∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 の４個

と,∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)の４個の計８個のテンソル

方程式に帰着することを見ました。

しかし,元々真空中の電場,磁場はＥ,Ｄ,Ｂ,Ｈによって表わさ

れますが,実質的にはＥとＢだけが決まれば残りも決まるので,

独立な未知関数の成分は６個だけですから,方程式が８個もある

のは過剰ではないかという気がします。

実際,divＢ＝0 が成立することから,Ｂ＝∇×Ａ＝rotＡと表現

できるベクトルポテンシャルＡの存在がわかります。

これをrotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 に代入して,

rot(Ｅ＋∂Ａ/∂ｔ)＝∇×(Ｅ＋∂Ａ/∂ｔ)＝0 から

Ｅ＋∂Ａ/∂ｔ＝－∇Φ＝－gradΦと表現できるスカラー

ポテンシャルΦの存在することがいえます。

それ故,Ｂ＝∇×Ａ＝rotＡ,Ｅ＝－∇Φ－∂Ａ/∂ｔ

＝－gradΦ－∂Ａ/∂ｔと表現することで,

電場Ｅ,磁場Ｂの６成分を決めることを,スカラーポテンシャル

Φ,および,ベクトルポテンシャルＡの４成分だけを決めること

に帰着せしめるのが,近代電磁気学の通常の理論で行なわれてい

ることです。

そしてＥ,Ｂをこのように表わしたときには,divＢ＝0,および,

rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 は自動的に満足されます。

このΦ,Ａを総称して,特に電磁ポテンシャルと呼ぶこともあり

ます。

そこで,ポテンシャルの４元ベクトル表現:

Ａ^μ＝(Ａ⁰,Ａ¹,Ａ²,Ａ³)≡(Φ/ｃ,Ａ)から,その成分が

Ｆ^μν≡∂^μＡ^ν－∂^νＡ^μ＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ^ν

の２階反対称テンソル(Ｆ^μν)を作ります。

そして,電場Ｅ,磁場ＢをＥ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)≡－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³)

Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)≡－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)と定義すれば,

これらが自動的にdivＢ＝0 ,かつrotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 を満たす

ことは明白です。

つまり∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 は,

Ａ^μを決める方程式ではなく,Ａ^μをどう取っても常に成立する

恒等式であることは,確かめるまでもなく明らかです。

一方,∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)の方は,

(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)－(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)

＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀),

または,符号を変えると,　

(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)－(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)

＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀),(μ＝0,1,2,3)となり,これがｘ^μの未知関数

Ａ^μを求める４個の微分方程式,という形になります。

Ａ^μ＝(Ａ⁰,Ａ¹,Ａ²,Ａ³)≡(Φ/ｃ,Ａ)の成分の数は,もちろん

４個であり,方程式の数も４個ですから,

この形に書けば,先に基本方程式であるMaxwell方程式において,

未知関数の数と比べて方程式の数が過剰ではないか？と見えた

のは見掛けの上のことであったとわかります。

一方,実際の観測などによって電場Ｅと磁場Ｂがわかっている

場合:つまり,テンソル(Ｆ^μν)が確定している場合を想定して,

∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_ν＝Ｆ^μνなるＦ^μνの定義式を,右辺の

Ｆ^μνに既知の値,または関数を与えたとき,未知関数Ａ^μを定める

微分方程式であるという見方をしてみます。

これの左辺は,"ベクトルＡ^μの４次元的な回転＝rot(Ａ^μ)"に相当

するので,この方程式は形式的にrot(Ａ^μ)＝Ｆ^μνと書けます。

そこで３次元ベクトルの渦無し場,または保存力場のアナロジー

で,この方程式:rot(Ａ^μ)＝(Ｆ^μν)の１つの解をＡ^μとすると,

これに,rot(Ｂ^μ)＝0 を満たす任意の渦無しベクトルＢ^μを加え

ても,rot(Ａ^μ＋Ｂ^μ)＝Ｆ^μνが満たされるため,(Ａ^μ＋Ｂ^μ)も

解になることがわかります。

ところが,rot(Ｂ^μ)＝0 ならＢ^μに対しあるｘ^μのスカラー関数:

Λ＝Λ(ｘ)が存在して,Ｂ^μ＝－∂^μΛ＝－∂Λ/∂ｘ_μ＝－gradΛ

と表わせます。

しかも,Ｂ^μはrot(Ｂ^μ)＝0 を満たす任意の４元ベクトルです

から,それを表現するΛ＝Λ(ｘ)も任意関数に取っていいです。

したがって,Ａ^μが∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ^ν＝Ｆ^μνの解で

あれば,Λを任意関数として,Ａ^μ－∂^μΛもこれの解であると

いう性質があることがわかりました。

そして,∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ^ν＝Ｆ^μνは,

Ｂ＝∇×Ａ＝rotＡ,Ｅ＝－∇Φ－∂Ａ/∂ｔ

＝－gradΦ－∂Ａ/∂ｔ なることを意味し,

Ａ^μ→ Ａ^μ－∂^μΛなる変換は,Φ→ Φ－∂Λ/∂ｔ,

Ａ→ Ａ＋∇Λ＝Ａ＋gradΛなることを意味します。

すなわち,電磁ポテンシャルＡ^μをＡ^μ－∂^μΛと変えることは,

実際に観測される場である電場Ｅと磁場Ｂ,あるいは,

Ｆ^μν＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_νには何の影響も与えない

ことがわかります。

このＡ^μ→ Ａ^μ－∂^μΛ,あるいは,Φ→ Φ－∂Λ/∂ｔ,

Ａ→ Ａ＋∇Λ＝Ａ＋gradΛなる変換をゲージ変換

(gauge transformation)と呼び,この変換に対し理論が

何の影響も受けないことを,理論はゲージ不変である,

といいます。

そして,このスカラー関数Λ,あるいはその微分をゲージ(gauge)

と呼びます。

しかし,この変換でＡ^μに対する基本方程式:

(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)－(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

の方は,その形に変更を受ける可能性があります。

すなわち,方程式

(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)－(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

において,Ａ^μの代わりにＡ'^μを代入すると,

(∂²Ａ'^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)－(∂²Ａ'^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

となりますが,Ａ'^μがゲージ変換:Ａ^μ→Ａ'^μ≡Ａ^μ－∂^μΛ

＝Ａ^μ－∂Λ/∂ｘ_μ の結果として得られるものであれば,

左辺の第２項の(∂²Ａ'^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)は,

(∂²Ａ'^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)＝(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)

－{∂²(∂Λ/∂ｘ_ν)/∂ｘ_μ∂ｘ^ν}と書けます。

そこで,例えば,

(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)－{∂²(∂Λ/∂ｘ_ν)/∂ｘ_μ∂ｘ^ν}＝0

が満たされるようにゲージ Λを取ることができれば,

そのときには,基本方程式は,

(∂²Ａ'^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

と簡単な形になります。

そこで,こういうゲージΛを取ることができたと仮定して,

(∂²Ａ^ν/∂ｘ_μ∂ｘ^ν)－{∂²(∂Λ/∂ｘ_ν)/∂ｘ_μ∂ｘ^ν}＝0

の両辺をｘ_μで積分すると,これは,　

∂Ａ^ν/∂ｘ^ν－{∂(∂Λ/∂ｘ_ν)/∂ｘ^ν}＝定数

となります。

したがって,この最後の条件となる等式の右辺の定数をゼロ

とおいた ∂_μＡ^μ＝∂_μ∂^μΛ,または,∂Ａ^μ/∂ｘ^μ

＝{∂(∂Λ/∂ｘ_μ)/∂ｘ^μ}が成立するようなΛが存在する

とき,言い換えると,変換後のＡ'^μが∂Ａ'^μ/∂ｘ^μ＝0 を満足

するようにできれば,

そのときは,電磁場の基本方程式は,

(∂²Ａ'^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)

と書けます。

(※ただし,右辺の定数はゼロでなくてもいいので,これは１つの

十分条件であり必要条件ではないです。)

一方,任意に与えられたＡ^μに対し,Λを未知関数とする

微分方程式:∂_μ∂^μΛ＝∂_μＡ^μ, or □Λ＝∂_μＡ^μを

考えると,

これは解Λに右辺がゼロの斉次方程式:□χ＝0 の一般解χだけ

の任意性があることを利用することで,任意の境界条件を満たす

一意解を持つことがわかります。

ここで,記号□は,□≡∂_μ∂^μ＝∂²/∂ｘ_μ∂ｘ^μで定義される

D'Alembertianと呼ばれる微分演算子を示しています。

以上から,電磁場のベクトルポテンシャルとして,元々,

∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 なる条件を満たすようなゲージを取った

Ａ^μを採用しておけば,電磁場の基本方程式は,最初から,

(∂²Ａ^μ/∂ｘ_ν∂ｘ^ν)＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀),あるいは,

□Ａ^μ＝ｓ^μ/(ｃ²ε₀)　と書けることになります。

このゲージを採用すれば,テンソル方程式としても対称な美しい

形であると感じます。

上記の∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 ,あるいは∇Ａ＋(1/ｃ²)(∂φ/∂ｔ)＝0

なるゲージ条件はLorenz条件といわれ,この条件を満たすゲージ

はLorenzゲージ(ローレンスゲージ or ローレンツゲージ)と呼ば

れています。

Lorenz条件自体は,相対性理論の座標変換に対し不変のまま保存

される(共変な:covariant)ことが自明な形をしていますが,

Ａ^μ → Ａ'^μ≡Ａ^μ－∂^μΛ＝Ａ^μ－∂Λ/∂ｘ_μ なる一般の

ゲージ変換は相対性理論の座標変換で不変に保たれる操作と

は限りません。

そこで,相対論的に共変でないゲージ,例えば良く使用される

もので,Φ/ｃ＝Ａ⁰には関わりなくＡのみが∇Ａ＝divＡ＝0

を満たすべきである,というCoulombゲージなどは特定の座標系

に固定されたゲージですから,

Ｓ系 → Ｓ'系というように準拠系を乗り移ると,ゲージ条件が

破れてＳ'系では違う条件に従うゲージになってしまう,という

ことがあります。

まあ,それでもすぐ上に書いたように,

"実際に観測される場である電場Ｅと磁場Ｂ:

Ｆ^μν＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_νには何の影響も与えない"

のですが,見た目には美しくありません。

そこで古典電磁気学では相対論的に共変なLorenzゲージを採用

することが多いようです。

しかし,量子論ではゲージ条件が正準交換関係と矛盾するとか,

不定計量になるとかで確率解釈において困るなどの問題から,

素朴なLorenzゲージのみを用いて共変的量子化をすることは

不可能で,初期にはむしろCoulombゲージが使用されていたこと

が多いようです。

荷電粒子と光子の場の量子論であるQED(量子電磁力学)でも形

の上では共変でLorenzゲージと一致するものも取ることができ

ますが,それがLorenzゲージとは呼ばれず,Landauゲージと呼ば

れるのは上記のような問題があるからです。

系統的な共変的量子化の手続きでは,Ａ^μの他にＢという補助場

を導入して,ダミーのスカラー場Ｃ≡∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＋αＢを作り　

α^-1Ｃ²という項を含む場のLagrangian密度から,変分原理によっ

て得られる場の方程式＝運動方程式のうちの１つであるＣ＝0,

つまり,∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＋αＢ＝0 なる方程式を考慮することで

ゲージを一意に固定してゲージ変換の任意性を取除きます。

つまり,∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＋αＢ＝0 が場を支配する運動方程式の

１つとなり,この方程式において特にα＝0 のLandauゲージを

取った場合がLorenz条件:∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 と一致するという

わけです。

しかし,補助場Ｂがある場合,

もう1つの方程式のｓ^μ＝0 のときの自由場の運動方程式の形

が,□Ａ^μ＝0 ではなく,□Ａ^μ－(1－α)Ｂ＝0 で与えられる

という事情があるため,

α＝0 の場合には,方程式の１つが∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 と一致し

ても,Lorenzゲージと呼ばれないのですね。

ただ,∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＋αＢ＝0 は相対論的に共変な等式なので,

この意味で共変ゲージはαの数だけ無数にありますが,

場の方程式:□Ａ^μ－(1－α)Ｂ＝0 が古典論の共変な方程式:

□Ａ^μ＝0 に一致する場合に相当する,α＝1 の特別な場合は

Feynmanゲージと呼ばれています。

電磁場は,そのLagrangianが特異であり,それ故,ゲージの自由度

を持つわけですが,その特異性のため,

古典論でも単純なPoisson括弧による正準理論として扱うことは

できなくてPoisson括弧を修正したDirac括弧を用いることが必要

になります。

そうしたわけで,電磁場ではゲージを固定せずには,普通の正準

量子化によって共変的量子化を行なうことは不可能です。

従来から場を表現する空間であるHilbert空間の方に,"その個々

のベクトルが物理的に許される状態であるために必要な条件＝

付帯条件(subsidary condition)"を課すことで量子化された場

そのものに生じる困難に対処してきました。

(→ ※ 例えばGupta-Bleulerの方法など※)

上に挙げた例では,α＝0 のLandauゲージの場合には,

∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 かつ,□Ａ^μ－Ｂ＝0 が成立しますが,

補助場Ｂの正エネルギー部分＝正振動数部分

(positive frequency part)をＢ^(＋)として,

Ｂ^(＋)|ψ＞＝0 を満足する|ψ＞のみが物理的に許される

状態であるという付帯条件を与えます。

こう規定すれば,実質上このゲージでも□Ａ^(＋)μ＝0 が成立する

と見なせます。

また,α＝1 のFeynmanゲージでは∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＋Ｂ＝0,

かつ □Ａ^μ＝0 ですが,これは実質上∂Ａ^(＋)μ/∂ｘ^μ＝0 ,

かつ□Ａ^μ＝0 なることを示しています。

結局,どのαでも共変ゲージとしては同等である,

と考えられます 。

このように,一連の量子化の手続きを補助場Ｂの導入によって

体系化し,電磁場Ａ^μの４元運動量がゼロ質量の光子に対応する

Minkowski空間のヌルベクトル(null-vector)であることから,

不定計量の状態空間を扱うことを余儀なくされるため生じる

dipoleゴーストなどの非物理的存在を観測可能量から排除し

電磁場の共変的量子化を完成させた理論は,中西-Lautrap理論

として知られています。

既に脱線していますが,さらに量子論の話に脱線します。

電磁場のようにゲージ不変な場のことをゲージ場と呼ぶのです

が,ゲージ場に対応する粒子は電磁場の場合の光子のように質量

がゼロのベクトル粒子であり,それ故Bose粒子(Boson)です。

質量がゼロでなければゲージ不変性が満たされないという事実

があるにも関わらず,素粒子場の電磁相互作用とは別の相互作用

において,その力を媒介するゲージボゾンの中に有限な質量のあ

る粒子が存在する場合があります。

これはゲージ不変性を保証していた対称性が自発的に破れた際に

ヒッグス機構(Higgs mechanism)などによって,元々ゼロ質量だっ

た粒子が有限質量を獲得する場合があるためです。

さて,次に物質粒子を示す場の理論において存在する対称性と

ゲージ変換,あるいはゲージ場の関連性について述べてみます。

まず,電磁場(光子)と共に荷電粒子を含む系を対象とする量子

電磁力学において,電子などの物質粒子の波動関数,あるいは,

それが第二量子化された粒子場は,粒子がFermi粒子(Fermion)

である場合なら一般にスピノル(spinor)で与えられます。

そこで光と電磁相互作用する物質場の粒子がFermi粒子である

として,この粒子の場を表現するスピノルをψ(ｘ)とします。

そして,これに対する１パラメータの位相変換:

ψ(ｘ)→ exp(iθ)ψ(ｘ)を考えます。

特に,パラメータθが無限小の場合,θの代わりにεと書けば

exp(iε)～ 1＋iεによって,

同じ位相変換は,ψ(ｘ) → (1＋iε)ψ(ｘ) と書けます。

この位相変換に対して,自由粒子のLagrangian密度:

Ｌ＝ψ⁺γ⁰(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψは明らかに不変です。

しかし,もしも位相変換が全ての時空点ｘ^μに対して共通な

大域的変換ではない場合,すなわち,パラメータのθまたはε

が定数でなく時空座標ｘ^μの関数で与えられ,

θ＝θ(ｘ),またはε＝ε(ｘ)であるような局所的変換の場合,

Lagrangian密度は,Ｌ＝ψ⁺γ⁰(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψ

→ Ｌ'＝ψ⁺γ⁰(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψ－γ⁰γ^μ∂_μθと変換され,

不変ではなく,余分な項がでてきます。

ところが,Lagrangian密度が,自由粒子のそれ:

Ｌ＝ψ⁺γ⁰(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψではなく,電荷ｅを持った粒子

が電磁場Ａ^μと相互作用している場合のそれ,であるとすれば,

この相互作用の効果は,いわゆる極小相互作用変換

(minimal interaction):ｐ_μ＝i∂_μ→ ｐ_μ－ｅＡ_μ

＝i∂_μ－ｅＡ_μで表現されますから,

自由粒子のLagrangian密度に対し,この極小相互作用変換を

実際に行なえば,新しく得られるLagrangian密度の形は

Ｌ＝ψ⁺γ⁰[γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)－ｍ]ψ(ｘ)となるため,

ψ(ｘ)→ exp[iθ(ｘ)]ψ(ｘ)なる位相変換と同時に,

ｅＡ_μ→ｅＡ_μ－∂_μθなるゲージ変換がなされるなら,

局所変換に対しても,こうしたFerm粒子のLagrangian密度

は不変になります。

さらに,"自由な電磁場＝光子"自身のLagrangian密度をＬ_phと

すると,Ｌ_ph＝(1/2)(ε₀Ｅ²－μ₀^-1Ｂ²)＝－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μν

ですから,

これは,ｅＡ_μ→ ｅＡ_μ－∂_μθなるゲージ変換に対して不変な

量のみから構成されています。

したがって,電荷ｅを持つ自由な荷電粒子があるだけでは,

局所的位相変換に対して不変でなかった理論に"電磁場＝光子"

というゲージ場を加えることで理論が不変になった,

という見方ができます。

この考えを発展させて,スピノルψ(ｘ)が,唯１種類の粒子だけで

なく独立な属性(例えばcolor)を持つ複数種類の粒子;ψ_i(ｘ)

(i＝1,2,3,.)の集まりである場合を想定して,

これに対する位相変換のパラメータはQEDの場合のようにθ,

またはεの唯１つでなく,複数の値θ_k またはε_k(ｋ＝1,2,3,.)

で与えられるとします。

通常の座標軸のまわりの回転が角運動量ＬやＪの軸成分を持つ

ベクトルで表わされるのと同様,

抽象空間におけるｋ軸のまわりのθ_kの回転が,ｋ軸方向

の角運動量演算子に相当する生成子:Ｌ_kにより,θ_kＬ_k

で与えられるとすることができます。

そして,各々の生成子:Ｌ_kは,一般にはψ_i(ｘ)を成分とする

縦ベクトルに作用する行列作用素で表現され,対応する粒子

場の位相変換は,ψ(ｘ) → exp(iΣ_kθ_kＬ_k)ψ(ｘ)で与えら

れます。

しかし,これらパラメータが複数の局所位相変換に対して,

自由粒子場のLagrangian密度を不変にするために必要な複数

のゲージ場は,Ｌ_kが行列であることからも想像されるように,

"電磁場＝光子場"のような可換なゲージ場ではなく,一般に

非可換な場であり,ゲージ変換も,電磁場のそれである:

ｅＡ_μ→ ｅＡ_μ－∂_μθのような単純な変換でなく,いくらか

複雑になり非線形な項も出現します。

こうした原理＝ゲージ原理を初めて導入したのは,ヤン(C.N.Yang)

とミルズ(R.L.Mills)です。

それ故,ゲージ場はYang-Mills場,上に考察したゲージ理論は

Yang-Mills理論と呼ばれることがあります。

いずれにしても,

上では引数ｘ^μを省略してθ_k(ｘ)を単にθ_kと書きました

が,理論が局所的変換θ_k＝θ_k(ｘ)に対して不変であるなら,

これは,あらゆる時空点:ｘ＝ｘ^μに対しθ_k(ｘ)が同一である;

つまり,θ_k(ｘ)＝θ_k(定数)の場合も特別な場合として含んで

いますから,大域的変換に対しても,もちろん理論は不変です。

しかしながら,逆に理論に"大域的対称性＝大域的不変性"が

あっても,"局所的対称性＝局所的不変性"があるとは限りません。

内山先生が,生前,Yang and Millsとは独立に発見したと述べられ

ていて,もうちょっと早く発表していれば,Yang-Mills場ではなく,

ウチヤマ場になっていたのではないか？と悔やんでいたらしく,

実際には,自身の発見よりかなり後,自分の論文のReferenceに,

Yang and Millsの論文をも添えている1956年の論文を,私的には

Yang and Millsの有名な論文と並べて,共にゲージ理論の代表的

参考文献として挙げておきます。

余談はさておき,最後に上述の位相変換を連続群の一種である線形

Lie群に属する変換群の表現であると見て,位相変換に対する理論

の不変性は"対応する変換群に対して理論が不変である"という対

称性を持つと見なし,

粒子場やゲージ場は群のユニタリな既約表現や随伴表現で分類

されるとする系統的な見方をしてみます。

こう見たときには,電磁気力を媒介するゲージ粒子として

"光子＝電磁場"を必要とする,可換な１パラメーターの位相変換

は１パラメータの線形Lie群の１つである１パラメータユニタリ

群であるＵ(1)に対応していて,

上で行なった位相変換不変性は量子電磁力学の理論がＵ(1)不変

であるという対称性を持つことを意味しています。

一方,例えばquark(クォーク)を結合させる強い相互作用を媒介

する非可換なゲージ場に対応するgauge Boson(ゲージボソン)は,

color gluon(カラーグルオン)と呼ばれており,

これを必要とする対称性変換である複数パラメーターを持った

ユニタリ変換群は,カラーＳＵ(3)群と呼ばれています。

こうした,Ｕ(ｎ)やＳＵ(ｎ)のような変換群に属する位相変換の

局所変換対称性に伴なう非可換ゲージ場の共変的量子化は,電磁

場の場合よりもかなり複雑ですが,

基本的には補助場Ｂを導入して行なわれる電磁場の量子化の

"中西・Lautrap理論"の直線的な応用で与えられます。

これは,Faddev-popovゴースト(ＦＰ-ghost)のようなゴースト

場を用いてゲージを固定する定式化を行なうことなどによって,

中西氏の教え子?であろう九後・小嶋(オジマ)氏により,スマート

な付帯条件が与えられて完成されました。

なお,理論の大域的対称性と密接に関係して現われる保存量に

ついてのNoetherの定理と関連した過去の記事をいくつか,列挙

しておきます。よろしければ参照してください。

まず,2006年９/６の「不確定性,相補性とネーターの定理」,

９/８の「ポアンカレ群と粒子のスピン」,10/８の

「ＷＫＢ近似,ハミルトン・ヤコービ方程式,経路積分」,

さらに,2007年５/７の

「量子化された場と調和振動子（パラ統計）」,

８/７の「場の演算子とリー群(Lie群)の生成子」,

11/２の「解析力学の初歩」,

そして,2008年２/29の「ネーターの定理と場理論」

などがあります。

また,記事の順番は違うし,ちょっとマニアックな話題ですが

2008年２/21,２/25の「非ネーター保存量」,および,

「非ネーター保存量(続き) 」 もあります。

参考文献：

1.メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

2.中西 襄(のぼる) 著「場の量子論」(培風館)

3.九後汰一郎「ゲージ場の量子論Ⅰ,Ⅱ」(培風館)

4.C.N.Yang and .L.Mills,Phys.Review.Vol.96,p191-(1954)　　

5.Ryoyu.Utiyma(内山龍雄)

“Invariant Theoretical Interpretation of Interaction”

(Institute for Advanced Study.Princeton New Jersey,

Received July 1955),Physical Revie,Vol.101,pp1597-1607(1956)