強い相互作用(湯川相互作用)(12)

「強い相互作用(湯川相互作用)」のπ-Ｎ散乱の続きです。

ブログを書くどころじゃなく身辺がバタバタしていることもあり

ますが,ブログ書きは余生のライフワークのうちの主要な１つです

から,毎日少しでも細々と原稿を書いています。

読書するのもそうですが,眼が悪くなって老眼鏡をかけても

判別できない文字があったりすると,水をさされたように,

興味もモチベーションも低下してしまいます。,

自分のノートといっても,それの思考体験はウン十年前ですから,

初めて読むのと大して変わらず,意味が不明だとブログ用に砕い

て表現することもできませんから,

解読しているうち,あまり長い式だと途中で休憩しよう。。　

となってしまうので,最近は記事アップの間隔が長いのです。

本当に長くは根気が続きません。

やはり,２月１日で63歳ともなると,頭も老化して認知症も近いの

でしょうか。。

それは,イヤなので拒否したいけれど,そうなってしまえば,

そうした希望もわからない状態になるのでしょうから,アル

意味で,シアワセになってしまうのかも。。

信長の「人間。。五十年」ではなく既に六十年を越しています。

さて本題に入ります。新しい節です。

§10.7 アイソスピンと角運動量に対する射影演算子

(Projection Operators for Isotopic Spin and Angulr Momentum)

通常の量子力学での角運動量ベクトルの合成からのアナロジーで,

Ｉ＝|Ｉ|＝1/2の１つの核子Ｎと,I＝|Ｉ|＝1の１つのπ中間子の

系では,総アイソスピン(Isotopic-spin)が,I＝3/2,またはＩ＝1/2

の状態にあることがわかります。 

こうした２つの状態の射影演算子(Projection Operator)

を,Ｐ_3/2^,Ｐ_1/2^とすると,これらはπ中間子のIsotopic空間

では３×３行列,核子ＮのIsotopic空間では２×２行列と

して作用します。

また,射影演算子の性質の１つとして,Ｐ_1/2^＋Ｐ_3/2^＝1^です。

ただし,1^はπとＮの２×３の６次元直積空間の単位行列です。

※(注12-1):何故なら,固有状態のDirac括弧(bracket)で射影演算子

　を表現すると,

　Ｐ_1/2^＝|Ｉ＝1/2＞＜Ｉ＝1/2|,

　Ｐ_3/2^＝|Ｉ＝3/2＞＜Ｉ＝3/2|,ですが,

　このDirac括弧における状態が正規直交規格化されていれば,

　Ｐ_1/2^＋Ｐ_3/2^＝|Ｉ＝1/2＞＜Ｉ＝1/2|＋|Ｉ＝3/2＞＜Ｉ＝3/2|

＝Σ_I'|Ｉ'＞＜Ｉ'|＝1　

となるからです。

演算子Ａ^が,Ａ^|α＞＝α|α＞を満たす固有値αと固有状態:

|α＞を持ち,それらの固有値は全て離散的で,

さらに,Ａ^|α＞＝α|α＞,Ａ^|β＞＝β|β＞を満たす固有状態

について,＜α|β＞＝δ_αβと正規直交規格化されていて,かつ,

状態空間は可分(separable)であると仮定すれば,

任意の状態 |Ψ＞は,|Ψ＞＝Σ_γｃ(γ)|γ＞のように,

固有状態の１次結合(重ね合わせ)として展開可能です。 

そして.この固有状態が正規直交規格化されている場合は,

係数はｃ(γ)＝＜γ|Ψ＞となり,結局,|Ψ＞＝Σ_γ|γ＞＜γ|Ψ＞

と表現できます。

これは,|Ψ＞が任意であることから,|γ＞＜γ|をケット状態

に働く一種の線型演算子と見るとき:Σ_γ|γ＞＜γ|＝1と同定

されるからです。

これらについては,2007年８/８の２つの記事:

「量子力学の基礎(表示の話)(1)」,

「量子力学の基礎(表示の話)(2)」,および,

　2007年９/９の記事:「無限次元ヒルベルト空間」

　etc.を参照。

(注12-1終わり)※

また,別の射影演算子の性質の１つから,

Ｐ_1/2^²＝Ｐ_1/2^,Ｐ_3/2^²＝Ｐ_3/2^です。

これらを満たす演算子を探すには,非交叉グラフ10.8(ａ)が

中間状態に純粋なＩ＝1/2の単一の核子線のみを有すること

に着目すれば,グラフの各頂点におけるＩの保存から,容易

にその形式が得られるであろうと予想されます。

　

そこで,この非交叉グラフのアイソスピン因子の部分の行列は

Ｐ_1/2^の行列要素に比例すると見ることができます。

すなわち,α(τφ₂^＊)(τφ₁)＝＜φ₂ |Ｐ_1/2^|φ₁ ＞ です。

比例係数αは,この式を２乗して,Ｐ_1/2^²＝Ｐ_1/2^を用いること

により,1/3に等しいことがわかります。

つまり,α＝1/3であって,

＜φ₂ |Ｐ_1/2^|φ₁ ＞＝(1/3)(τφ₂^＊)(τφ₁)

です。

※(注12-2):何故なら,

まず,＜φ₂ |Ｐ_1/2^|φ₁ ＞＝＜φ₂ |Ｐ_1/2^²|φ₁ ＞

＝Σ_I=1³＜φ₂ |Ｐ_1/2^²|φ^(I)＞＜φ^(I)|Ｐ_1/2^²|φ₂＞

＝α²Σ_I=1³(τφ₂^＊)(τφ^(I))(τφ^(I)＊)(τφ₁)

と書けます。

ただし,φ^(I)＝^ｔ(1,0,0),φ⁽²⁾＝^ｔ(0,1,0),φ⁽³⁾＝^ｔ(0,0,1)

であり,それ故,φ^(j)＊＝φ^(j) (ｊ＝1,2,3)です。

前に述べたように,(τａ)(τφ)＝ａｂ＋ iτ(ａ×ｂ)なる

公式が成立するため,

(τφ^(I))(τφ^(I)＊)＝φ^(I)φ^(I)＋iτ(φ^(I)×φ^(I))＝φ^(I)φ^(I)＝1

ですから,

α²Σ_I=1³(τφ₂^＊)(τφ^(I))(τφ^(I)＊)(τφ₁)

＝3α²(τφ₂^＊)(τφ₁)＝3α＜φ₂ |Ｐ_1/2^|φ₁ ＞

です。

したがって,＜φ₂ |Ｐ_1/2^|φ₁ ＞＝3α＜φ₂ |Ｐ_1/2^|φ₁ ＞

が得られました。 

そこで,一般に,＜φ₂ |Ｐ_1/2^|φ₁ ＞≠0 ですから,1＝3αより,

α＝1/3を得ます。(注12-2終わり)※

さらに,Ｐ_3/2^の表現を求めるために,Ｐ_1/2^＋Ｐ_3/2^＝1^を用いると,

＜φ₂ |Ｐ_3/2^|φ₁ ＞＝＜φ₂ |φ₁ ＞－＜φ₂ |Ｐ_1/2^|φ₁ ＞

と書けます。

よって,＜φ₂ |Ｐ_3/2^|φ₁ ＞＝φ₂^＊φ₁ －(1/3)(τφ₂^＊)(τφ₁)

なる表現も得られます。 

　さて,幸いなことに,今の場合は角運動量の構成が,たった今述べた

　アイソスピンの構成と全く同じです。

すなわち,核子Ｎがspin角運動量:Ｓ＝1/2を持ち,spinがゼロの

π中間子が軌道角運動量:Ｌ＝1のＰ波の場合,

π中間子の軌道波動関数は,Isotopic-spinでの状態の波動関数

がベクトルφ₂^＊とφ₁ で与えられることからの類推で,それらに

ベクトルｑ₂とｑ₁が対応するもので与えられると考えられます。

そこで,totalの角運動量:Ｊ＝Ｓ＋Ｌに対して,Ｊ＝1/2,および,

Ｊ＝3/2の状態の角運動量射影演算子をそれぞれ,Ｑ_1/2^,および,

Ｑ_3/2^と書けば,

＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^|ｑ₁ ＞＝{(1/3)(σｑ₂)(σｑ₁)}{3/(4πｑ²)}

＜ｑ₂ |Ｑ_3/2^|ｑ₁ ＞＝{ｑ₂ｑ₁ －(1/3)(σｑ₂)(σｑ₁)}{3/(4πｑ²)

となります。 

ただし,今の最低次のBorn近似に寄与するのは,エネルギーが保存

される弾性散乱のみなので,ｑ≡|ｑ₁|＝|ｑ₂|です。

これらは,次のように規格化されています。

すなわち,

∫ｄΩ＜ｑ₂ |Ｑ_i^|ｑ＞＜ｑ |Ｑ_j^|ｑ₁ ＞＝δ_ij＜ｑ₂ |Ｑ_i^|ｑ₁＞

(ｉ,ｊ＝1/2,3/2)です。

これはつまり,射影演算子の基本的性質:Ｑ_i^Ｑ_j^＝Ｑ_j^δ_ij

が運動量固有状態の完全系を挟んで,

∫ｄΩ Ｑ_i^|ｑ＞＜ｑ |Ｑ_j^＝Ｑ_j^δ_ij と表現されるような

規格化です。 

左辺は,アイソスピンの射影演算子に対する式:

＜φ₂ |Ｐ_1/2^²|φ₁ ＞

＝Σ_I=1³＜φ₂ |Ｐ_1/2^²|φ^(I)＞＜φ^(I)|Ｐ_1/2^²|φ₂＞ において,

アイソスピン空間での３つの直交方向:φ^(I)(ｉ＝1,2,3)にわたる

和:Σ_I=1³をｑ-空間における変数ｑの立体角積分:∫ｄΩに置き換え

た式です。

ただし,中間状態の完全系:|ｑ＞におけるベクトルｑはｑ₁,ｑ₂と

同じく,大きさがｑのベクトル: |ｑ|＝ｑ＝|ｑ₁|＝|ｑ₂|であると

しています。(弾性散乱のみを仮定)

※(注12-3):射影演算子の定義から,Ｑ_i^²＝Ｑ_j^,Ｑ_i^Ｑ_j^＝0

　(ｉ≠ｊ)であり,また,完全系は∫ｄΩ|ｑ＞＜ｑ |＝4πｑ²

で表現されます。

そこで,＜ｑ₂  |Ｑ_1/2^|ｑ₁＞＝α(σｑ₂)(σｑ₁)とおけば,

まず,Ｑ_1/2^²＝Ｑ_1/2^より,＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^²|ｑ₁＞＝＜ｑ₂  |Ｑ_1/2^|ｑ₁＞

です。

そこで,

＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^²|ｑ₁＞＝∫ｄΩ＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^|ｑ＞＜ｑ |Ｑ_1/2^|ｑ₁ ＞

＝α²∫ｄΩ(σｑ₂)(σｑ)(σｑ)(σｑ₁)

＝4πｑ²α²＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^|ｑ₁＞より,

＜ｑ₂  |Ｑ_1/2^|ｑ₁＞＝α(σｑ₂)(σｑ₁)＝ 4πｑ²α²＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^|ｑ₁＞

ですから, α＝4πｑ²α²より, α＝1/(4πｑ²) です。

結局,＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^|ｑ₁＞＝{1/(4πｑ²)}(σｑ₂)(σｑ₁)

を得ました。

他方,Ｑ_1/2^＋Ｑ_3/2^＝1^より,

＜ｑ₂ |Ｑ_3/2^|ｑ₁ ＞＝＜ｑ₂ |ｑ₁ ＞－＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^|ｑ₁ ＞

＝＜ｑ₂ |ｑ₁ ＞－{1/(4πｑ²)}(σｑ₂)(σｑ₁)

と書けます。

右辺第１項の＜ｑ₂ |ｑ₁ ＞は,＜φ₂ |φ₁ ＞＝φ₂^＊φ₁ と同じく,

スカラー積:ｑ₂ ｑ₁＝ｑ²cosθ₁₂ に比例するはずですから,

＜ｑ₂ |ｑ₁ ＞≡βｑ₂ ｑ₁＝βｑ²cosθ₁₂ とおきます。

そして,＜ｑ₂ |ｑ₁ ＞＝∫ｄΩ＜ｑ₂|ｑ ＞＜ｑ|ｑ₁ ＞

＝β²∫ｄΩ(ｑ₂ｑ )(ｑｑ₁ )において,

ｑ₁ ＝^ｔ(ｑsinθ₁cosφ₁,ｑsinθ₁sinφ₁,ｑcosθ₁).

ｑ₂＝^ｔ(ｑsinθ₂cosφ₂,ｑsinθ₂sinφ₂,ｑcosθ₂).

ｑ＝^ｔ(ｑsinθcosφ,ｑsinθsinφ,ｑcosθ)

と成分を陽に書けば,

ｑ₂ｑ＝ｑ²(sinθ₂cosφ₂sinθcosφ＋sinθ₂sinφ₂sinθ₂sinφ

＋cosθ₂cosθ)

＝ｑ²{sinθ₂sinθsin(φ₂－φ)＋cosθ₂cosθ}

です。

同様に,ｑｑ₁ ＝ｑ²{sinθsinθ₁sin(φ－φ₁)＋cosθcosθ₁}

ですから,

＜ｑ₂ |ｑ₁ ＞＝β²∫ｄΩ(ｑ₂ｑ )(ｑｑ₁ )

＝β²∫₀^2πｄφ∫_-1¹ｄ(cosθ)(ｑ₂ｑ )(ｑｑ₁ )ですが,

この被積分関数で,sinθ,cosθの１次因子や,sinφ,cosφの

１次因子を持つ項の積分結果はゼロですから,

＜ｑ₂ |ｑ₁ ＞＝β²∫₀^2πｄφ∫_-1¹ｄ(cosθ)(ｑ₂ｑ )(ｑｑ₁ )

＝β²ｑ⁴∫₀^2πｄφ∫_-1¹ｄ(cosθ)

{sin²θsinθ₂sinθ₁sin(φ₂－φ)sin(φ－φ₁)＋cos²θcosθ₂cosθ₁}

です。

そして,∫_-1¹ｄ(cosθ)cos²θ＝2/3,∫_-1¹ｄ(cosθ)sin²θ＝4/3,

∫₀^2πｄφsin²φ＝∫₀^2πｄφ(1－cos2φ)/2＝π,

∫₀^2πｄφcos²φ＝∫₀^2πｄφ(1＋cos2φ)/2＝πなので

＜ｑ₂ |ｑ₁ ＞＝(4πβ²ｑ⁴)/3){sinθ₂sinθ₁sin(φ₂－φ₁)

＋cosθ₂cosθ₁}＝(4πβ²ｑ²)/3)ｑ₂ ｑ₁

が得られます。

よって,βｑ₂ ｑ₁＝(4πβ²ｑ²)/3)ｑ₂ ｑ₁ですから,

β＝3/(4πｑ²)です。

結局,＜ｑ₂ |Ｑ_3/2^|ｑ₁＞

＝{3/(4πｑ²)}{ｑ₂ ｑ₁－(1/3)(σｑ₂)(σｑ₁)}

を得ました。

念のため,Ｑ_1/2^Ｑ_3/2^＝0 を証明しておきます。

＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^Ｑ_3/2^|ｑ₁＞

＝∫ｄΩ＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^|ｑ＞＜ｑ |Ｑ_3/2^|ｑ₁ ＞

＝{1/(4πｑ²)²}∫ｄΩ(σｑ₂)(σｑ){3ｑｑ₁－(σｑ)(σｑ₁)}

＝{1/(4πｑ²)²}∫ｄΩ[3(ｑ₂ｑ)(ｑｑ₁)＋3iσ(ｑ₂×ｑ)(ｑ ｑ₁)

－ｑ²(σｑ₂)(σｑ₁)]

です。

ここで,∫ｄΩ[3(ｑ₂ｑ)(ｑ ｑ₁)＝4πｑ²ｑ₂ｑ₁であることは既に

示しました。

一方,再び,

ｑ₁ ＝^ｔ(ｑsinθ₁cosφ₁,ｑsinθ₁sinφ₁,ｑcosθ₁).

ｑ₂＝^ｔ(ｑsinθ₂cosφ₂,ｑsinθ₂sinφ₂,ｑcosθ₂).

ｑ＝^ｔ(ｑsinθcosφ,ｑsinθsinφ,ｑcosθ)　より,

ｑ₂×ｑ＝ｑ^{2 ｔ}(sinθ₂sinφ₂cosθ－cosθ₂sinθsinφ.

cosθ₂sinθcosφ－cosθsinθ₂cosφ₂,

sinθ₂sinθcosφ₂sinφ－sinθsinθ₂cosφsinφ₂),

および,　

ｑｑ₁＝ｑ²{sinθsinθ₁sin(φ－φ₁)＋cosθcosθ₁}

です。

それ故,∫ｄΩ(ｑ₂×ｑ)(ｑ ｑ₁)

＝(4πｑ⁴/3)^ｔ(sinθ₂sinφ₂cosθ₁－cosθ₂sinθ₁sinφ₁,

cosθ₂sinθ₁cosφ₁－sinθ₂cosθ₁cosφ₂,

sinθ₂sinθ₁cosφ₂sinφ₁－sinθ₂sinθ₁sinφ₂cosφ₁)

＝(4πｑ²/3)(ｑ₂×ｑ₁) が得られます。

したがって,

∫ｄΩ[3(ｑ₂ｑ)(ｑｑ₁)＋3iσ(ｑ₂×ｑ)(ｑ ｑ₁)

＝(4πｑ²){ｑ₂ｑ₁＋iσ(ｑ₂×ｑ₁)}

＝ｑ²∫ｄΩ(σｑ₂)(σｑ₁) です。

以上から,確かに,

＜ｑ₂ |Ｑ_1/2Ｑ_3/2^|ｑ₁＞

＝{1/(4πｑ²)²}∫ｄΩ[3(ｑ₂ｑ)(ｑｑ₁)＋3iσ(ｑ₂×ｑ)(ｑ ｑ₁)

－ｑ²(σｑ₂)(σｑ₁)]＝0

となることが示されました。(注12-3終わり)※

こうしたＰ_i^とＱ_j^の間に見られる差は,観測されるπ中間子

が常に電荷が±1 か 0 に対応するアイソ空間での３つの軸方向

の１つに沿った向きを持つのに対して,

運動量ベクトルは異なる散乱角に対応する連続的方向に沿って

存在するという事実に動機 付けられた,それらの間の規格化の

規約による非本質的な差異のみです。

アイソスピンと角運動量の同時固有状態に対応する結合射影演算子

は,単にそれらの積(直積)で与えられます。 

すなわち,Ｐ₁₁^≡Ｐ_i/2^Ｑ_1/2^,Ｐ₁₃^≡Ｐ_i/2^Ｑ_3/2^,

Ｐ₃₁^≡Ｐ_3/2^Ｑ_1/2^,Ｐ₃₃^≡Ｐ_3/2^Ｑ_3/2^

の４つです。

確認のため,既に得られた射影演算子の寄与を要約すると,

＜φ₂ |Ｐ_1/2^|φ₁ ＞＝(1/3)(τφ₂^＊)(τφ₁)

＜φ₂ |Ｐ_3/2^|φ₁ ＞＝φ₂^＊φ₁ －(1/3)(τφ₂^＊)(τφ₁),

＜ｑ₂ |Ｑ_1/2^|ｑ₁ ＞＝(σｑ₂)(σｑ₁){1/(4πｑ²),

＜ｑ₂ |Ｑ_3/2^|ｑ₁ ＞＝{ｑ₂ｑ₁ －(1/3)(σｑ₂)(σｑ₁)}{3/(4πｑ²)}

です。

そして,結合射影演算子:Ｐ_α^(α＝11,13,31,33)は,

Σ_αＰ_α^＝１^,Ｐ_α^Ｐ_β^＝δ_αβＰ_α^なる性質,

および,規格化条件:

Σ_m=1³∫ｄΩＰ_α^|φ_m,ｑ＞＜φ_m,ｑ|Ｐ_β^＝δ_αβＰ_α^

を満たすことで,特徴付けられることになります。

これらによって,非相対論的近似の不変散乱振幅:

Ｍ  ～ (－iｇ₀²/Ｍ)[ｕ^＋(ｓ₂)ｕ(ｓ₁)(χ₂^＋χ₁)(φ₂^＊φ₁)]

－{iｇ₀²/(4Ｍ²ω)}ｕ^＋(ｓ₂)χ₂^＋ｕ^＋(ｓ₂)

×[(τφ₂^＊)(τφ₁)(σｑ₂)(σｑ₁)

－(τφ₁)(τφ₂^＊)(σｑ₁)(σｑ₂)]ｕ(ｓ₁)χ₁

は,次のように表現されます。

すなわち,

Ｍ ～ (－iｇ₀²/Ｍ)[ｕ^＋(ｓ₂)χ₂^＋]＜φ₂|(Ｐ_i/2^＋Ｐ_3/2^)|φ₁＞]

ｕ(ｓ₁)χ₁－{iｇ₀²/(4Ｍ²)}(4πｑ²/3)ｕ^＋(ｓ₂)χ₂^＋＜φ₂,ｑ₂|

[9Ｐ₁₁^/ω－{4Ｐ₃₃^－2Ｐ₁₃^－2Ｐ₃₁^＋Ｐ₁₁^}/ω]|φ₁,ｑ₁＞

ｕ(ｓ₁)χ₁です。　

(※↑これの証明は割愛します。要するに,ｑ₂ｑ₁に比例する項

を消去しただけです。)

第２項は,結局,－{iｇ₀²/(4Ｍ²ω)}(4πｑ²/3)ｕ^＋(ｓ₂)χ₂^＋

＜φ₂,ｑ₂|(8Ｐ₁₁^＋2Ｐ₁₃^＋2Ｐ₃₁^－4Ｐ₃₃^)|φ₁,ｑ₁＞

となります。

なお,第１項は軌道角運動量ＬがゼロのＳ波であり,

Ｑ_1/2^,Ｑ_3/2^はＬ＝1のＰ波のみの射影演算子なので,

第１項ではこれらとの積の射影演算子は無意味です。

この最終結果によれば,I＝J＝3/2のＰ₃₃^≡Ｐ_3/2^Ｑ_3/2^に対し,

π-Ｎ散乱の相互作用項が,引力ポテンシャルとして寄与する

のに対応して,この謂わゆる(3,3)チャネルのみで散乱振幅が

負の符号の寄与となっています。

　したがって,

　このチャネルで,共鳴(Δ粒子:別名(3,3)共鳴)が,実験で観測

　されていて,一方,他の３つのＰ波状態では,こうした低エネル

　ギーでは,ごく小さい位相のずれだけしか観測されていないと

　いう実験事実の存在が,

　上記の不変振幅:Ｍを与えるポテンシャルから予想されること

　と定性的に一致していることがわかります。 

　今日は,ここまでにします。

(参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics” (McGrawHill)