強い相互作用(湯川相互作用)(15)

「強い相互作用(湯川相互作用)」のπ-Ｎ散乱の続きです。

前記事では本文は少しで,その説明のための(注)が大部分でした。

実は今回もそうなのですが。。

まずは,改めて(注)以外の本文を再掲載するところから始めます。

(※再掲開始)

この低エネルギー領域では,散乱は主としてＩ＝Ｊ＝3/2チャネル

を通るというこれらの示唆で,

[ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ] _C.M.～ {4ｆ²/(3ωμ²)}²ｑ⁴(1＋3cos²θ)

なる表現式の妥当性を,２つの一般的な観測の助けを借りて

拡張することを試みます。

ただし,ω＝ｑ²/(2μ)です。

まず,[ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ] _C.M.～ {4ｆ²/(3ωμ²)}²ｑ⁴(1＋3cos²θ)

のエネルギー依存性は,ω→ ∞(ｑ→ ∞)に対し,σ→ ∞を予測

するため,低エネルギー閾値の近傍を除いては,非現実的である

ということに着目します。

実際の全断面積σの大きさには,ユニタリ[性(確率の保存)の結果

として,無限大ではなく上限が存在するはずです。

純粋に伝播関数の理論の枠内でＳ行列のユニタリ性を論じるのは,

かなり,むずかしいので,ここでは,単に非相対論的散乱理論の一般

結果のいくつかを用いることにします。

1. 与えられたチャネルに対して,散乱振幅ｔは次の形を取る。

ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)}

　ただし,ｑは慣性中心系(重心系)での各粒子の運動量であり,

　δはチャネルの位相のずれ(phase-shift)です。

　もしも同じ量子数について匹敵する非弾性チャネルがないなら

　δは実数です。

 2.軌道角運動量が～ｌで,全角運動量Ｊ＝ｌ＋1/2のチャネルの

　全断面積への寄与は,σ_tot^J,l≦{4π(2Ｊ＋1)/2}/ｑ² のように限定

　される。

　(再掲終了※)

　さて,ここからが今回の記事です。

　3.有効距離展開 ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋..

　が低エネルギーで良い近似を与える。

※(注15-1):中心対称ポテンシャル:Ｖ＝Ｖ(ｒ);ｒ≡|ｘ|

　の中にある質量がμの１粒子に対する定常Schoroedinger方程式

　は,粒子の波動関数をΨ(ｘ)として単位を陽に書くと,

 {－ｈ_c²∇²/(2μ)＋Ｖ(ｒ)}Ψ(ｘ)＝ＥΨ(ｘ)

　です。

　ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)；ｈはPlanck定数です。

 これの一般解は,極座標を(ｒ,θ,φ)として,

 Ψ(ｘ)＝Ψ(ｒ,θ,φ)＝Σ_lmａ_lmΨ_lm(ｒ,θ,φ)

 ＝Σ_lmａ_lmＲ_l(ｒ)Ｙ_l^m(θ,φ)と,

　球面調和関数:Ｙ_l^m(θ,φ)の線型結合に

 展開されます。

 特に,Ｅ＝ｈ_cω_k＝ｈ_c²ｋ²/(2μ)に対する解を,

 Ψ_ｋ,lm(ｘ)＝ｕ_l(ｋｒ)Ｙ_l^m(θ,φ)　

　と書くことにします。

 ここで,式中のPlank定数ｈ_cの存在は煩わしいので,

 Ｕ(ｒ)≡2μＶ(ｒ)/ｈ_c² でＵ(ｒ)を定義した後に,

　ｈ_cを１とする自然単位に単位を変えて,運動量ｑ＝ｈ_cｋ

 を波数ｋと同一視し,以下ではｋでなく,もっぱらｑと

　いう表記を用いることにします。

 改めて,Ｅ＝ω_ｑ＝ｑ²/(2μ)に対する解を,

 Ψ_ｑ,lm(ｘ)＝ｕ_l(ｑｒ)Ｙ_l^m(θ,φ)とすると,

　定常Schoroedinger方程式は少し簡単になって,

　Helmholtz型の方程式:

 {－∇²＋Ｕ(ｒ)}Ψ_ｑ,lm(ｘ)Ψ(ｘ)＝2μω_ｑΨ(ｘ)

 となります。

　そこで,動径関数:ｕ_l＝ｕ_l(ｑｒ)は,方程式:

 {－ｄ²/ｄｒ²＋Ｕ(ｒ)＋ｌ(ｌ＋1)/ｒ² }(ｒｕ_l)＝ｑ²ｒｕ_l

 を満たすことがわかります。

　特にＵ＝0 のとき,運動量がｑでｚ軸の正の向きに進んでいた

　１自由粒子平面波:Ｃexp(iｑｚ)が,中心対称ポテンシャル:

　Ｕ(ｒ)≡2μＶ(ｒ)の存在によって散乱され,Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)に

　変わったという描像を想定します。(※Ｃは規格化定数です。)

散乱波は,ｒ≡|ｘ|→ ∞ で外向き球面波の境界条件:

Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)_ｒ→∞→ Ｃ[exp(iｑｚ)＋ｆ(θ,φ)exp(iｑｒ)/ｒ]

を満たします。

　他方,原点付近:ｒ＝|ｘ|→ 0 で満たすべき境界条件は,

 Ｒ→ 0 において,∫₀^R|ｕ_l(ｑｒ)|²ｒ²ｄｒ＝Ｏ(Ｒ³)

　となること:

　つまり,波動関数が原点において微小体積に比例する確率を与える

 という有限確率密度の条件を課すと,

 ｒ＝|ｘ| → 0 で|ｕ_l(0)|＜∞であり,{ｒｕ_l(ｑｒ)} → 0 です。

　ポテンシャル散乱における通常のポテンシャルＵは,

　ｒ→ 0 で,|ｒ²Ｕ(ｒ)| → 0 を満たすため,

　(※Coulombポテンシャルは例外),

　軌道角運動量ｌがゼロでないときは,これを遠心力ｌ(ｌ＋1)/ｒ²

 と比較して無視し,また,右辺のｑ²ｒｕ_lもｌ(ｌ＋1)/ｒ²)(ｒｕ_l)

　と比較して無視します。

　すると,ｒ→ 0 では,波動方程式:

 {－ｄ²/ｄｒ²＋Ｕ(ｒ)＋ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}(ｒｕ_l)＝ｑ²ｒｕ_l

　は,[－ｄ²/ｄｒ²＋ｌ(ｌ＋1)/ｒ²](ｒｕ_l)＝0

　と近似されます。

　これの解で,ｒ→ 0 でｒｕ_l → 0 となる条件を見たすものを採用

　すると,Ａを積分定数としてｒｕ_l＝Ａｒ^l＋1です。

　そこで,ｒ＝0 の近傍では,動径関数は,

　ｕ_l(ｑｒ) ∝ (ｑｒ)^l なる性質を有すると考えられます。

　さらに, ｒ→ ∞ での外向き波境界条件では,

　中心対称ポテンシャル散乱の場合,

 ｆ(θ,φ)はφに依存しないので,これをｆ(θ)と書けば,

　外向き散乱波の境界条件は,

　Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)_ｒ→∞→ Ｃ[exp(iｑｚ)＋ｆ(θ)exp(iｑｒ)/ｒ]

 となります。

　そして,平面波exp(iｑｚ)は,Ｙ_l^m(θ,φ)の,φに依存しない

　場合の球面調和関数であるLegendre多項式:Ｐ_l(cosθ)に

　よって部分波展開されて,

　exp(iｑｚ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lｊ_l(ｑｒ)Ｐ_l(cosθ)

　となります。

 ただし, ｊ_l(ｘ)は２種類の球面Besssel関数:

 ｊ_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)^-1/2Ｊ_l+1/2(ｘ),

　ｎ_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)^-1/2Ｎ_l+1/2(ｘ)

 のｘ＝0 で有限な方です。

　Ｊ_l+1/2(ｘ),Ｎ_l+1/2(ｘ)は,Besselの微分方程式の,

　パラメータνがν＝ｌ＋1/2の場合の２つの独立な解の組

　の１つで,Ｊ_l+1/2(ｘ)はBessel関数.Ｎ_l+1/2(ｘ)はNeumann関数

　と呼ばれる関数です。

 このＰ_l(cosθ)による展開での動径関数の係数である

　球面Bessel関数ｊ_l(ｑｒ)は,

　ｒ→∞で,{1/(ｑｒ)}sin(ｑｒ－ｌπ/2)＝{1/(2iｑｒ)}

　×[exp{i(ｑｒ－ｌπ/2)}－exp{－i(ｑｒ－ｌπ/2)}]

　なる漸近形を有します。 

 したがって,自由平面波はｒ→ ∞ では, 

 exp(iｑｚ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lｊ_l(ｑｒ)Ｐ_l(cosθ)

 → {1/(ｑｒ)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lsin(ｑｒ－ｌπ/2)Ｐ_l(cosθ)

　＝{1/(2iｑｒ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lＰ_l(cosθ)

 ×[exp{i(ｑｒ－ｌπ/2)}－exp{－i(ｑｒ－ｌπ/2)}]

　となります。

 他方,散乱波の部分波展開は,

 Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)＝Ｃ[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lＣ_lｕ_l(ｑｒ)Ｐ_l(cosθ)]

 と表現できます。 

 これは,ｒ→∞では,自由平面波:

 Ｃexp(iｑｚ) → {Ｃ/(2iｑｒ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lＰ_l(cosθ)

 ×[exp{i(ｑｒ－ｌπ/2)}－exp{－i(ｑｒ－ｌπ/2)}]

　が外向き波の部分のみ変形を受けると想定して,

 ｒ→∞で,

 Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)→{Ｃ/(2iｑｒ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lＰ_l(cosθ)

 ×[Ｓ_l(ｑ)exp{i(ｑｒ－ｌπ/2)}－exp{－i(ｑｒ－ｌπ/2)}]

 に変わるとして,部分波のＳ行列因子:Ｓ_l(ｑ)を定義します。

　さらに特に,位相のずれ:δ_lを,Ｓ_l(ｑ)≡exp(2iδ_l)

　で導入します。

　(※今のところ,必ずしもδ_lを実数であるとは仮定してないので,

 Ｓ_l(ｑ)≡exp(2iδ_l)と書くことができる複素数δ_lが常に存在する

　はずです。)

 すると,ｒ→∞で,

　Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)→{Ｃ/(2iｑｒ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lＰ_l(cosθ)

 ＝{Ｃ/(2iｑｒ)}Σ_l=0^∞[(2ｌ＋1)ｉ^lＰ_l(cosθ)exp(iδ_l)

　×[exp{i(ｑｒ－ｌπ/2＋δ_l)}－exp{－i(ｑｒ－ｌπ/2＋δ_l)}

　＝{Ｃ/(ｑｒ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)sin(ｑｒ－ｌπ/2＋δ_l)

　Ｐ_l(cosθ) となります。

 Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)＝Ｃ[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lＣ_lｕ_l(ｑｒ)Ｐ_l(cosθ)]

 でしたから,

　このことは,Ｃ_lｕ_l(ｑｒ)が,ｒ→∞で,

 Ｃ_lｕ_l(ｑｒ)→{1/(ｑｒ)} exp(iδ_l)sin(ｑｒ－ｌπ/2＋δ_l)

 なる漸近形を持つことを意味します。

　個別因子的には,Ｃ_l＝exp(iδ_l),かつ,

 ｕ_l(ｑｒ)→{1/(ｑｒ)}sin(ｑｒ－ｌπ/2＋δ_l)

 と解釈されます。 

 そして,Ｓ_l(ｑ)＝1＋2iＴ_l(ｑ)＝exp(2iδ_l)から,

　Ｔ行列因子は,Ｔ_l(ｑ)＝{Ｓ_l(ｑ)－1}/(2i)

　＝{exp(2iδ_l)－1}/(2i)＝exp(iδ_l)sinδ_l

 となります。

　以上から,Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)→_ｒ→∞Ｃ[exp(iｑｚ)＋ｆ(θ)exp(iｑｒ)/ｒ]

 ＝{Ｃ/(2iｑｒ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lＰ_l(cosθ)

 ×[Ｓ_l(ｑ)exp{i(ｑｒ－ｌπ/2)}－exp{－i(ｑｒ－ｌπ/2)}]

　＝Ｃ[exp(iｑｚ)

　＋{1/(2iｑｒ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1){Ｓ_l(ｑ)-1}exp(iｑｒ)Ｐ_l(cosθ)

　＝Ｃ[exp(iｑｚ)

　＋{1/(ｑｒ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Ｔ_l(ｑ)exp(iｑｒ)Ｐ_l(cosθ)

　と書けますから,

　ｆ(θ)の展開は,

　ｆ(θ)＝(1/ｑ)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Ｔ_l(ｑ)exp(iｑｒ)Ｐ_l(cosθ)

　＝(1/ｑ)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1) exp(iδ_l)sinδ_lexp(iｑｒ)Ｐ_l(cosθ)

 となります。

　ところで,既に2007年８/21の過去記事:

　「Ｓ行列とレッジェ理論(1)」でも示したように,

 摂動近似でのBorn級数展開によって得られる同じ散乱振幅

　ｆ(θ)の表現は,

　ｆ(θ)＝ｆ(ｑ,ｑ')＝{－1/(4π)}Ｃ^-1

 ∫exp(－iｑ'ｘ)Ｕ(ｘ)Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)ｄ³ｘ]_ｑ'=ｑ です。

　ただし,Ｕ(ｘ)＝2μＶ(ｘ)　です。

　公式:exp(iｑｚ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)ｉ^lｊ_l(ｑｒ)Ｐ_l(cosθ)

　より,散乱粒子の運動量ｑ'がｘとなす角をβとすると,

　|ｑ'|＝ｑなので,exp(－iｑ'ｘ)

　＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)(－ｉ)^lｊ_l(ｑｒ)Ｐ_l(cosβ)

　なる展開式を得ます。

　他方,入射粒子の運動量ｑがｘとなす角をαとすると,

　Ｃ_l＝exp(iδ_l)より,Ｃ^-1Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)

　＝Σ_l'=0^∞(2ｌ'＋1)ｉ^l'exp(iδ_l’)ｕ_l'(ｑｒ)Ｐ_l'(cosα)

 です。 

　これらの展開式を,ｆ(θ)＝ｆ(ｑ,ｑ')＝{－1/(4π)}Ｃ^-1

 ×∫exp(－iｑ'ｘ)Ｕ(ｘ)Ψ_ｑ^(＋)(ｘ)ｄ³ｘ]_ｑ'=ｑ

　の右辺に代入して積分を実行します。 

　ｑ'がｑとなす極角をθ,偏角をφとすると,

 Ｐ_l(cosβ)＝Ｐ_l(cosα)Ｐ_l(cosθ)

 ＋2Σ_m=1^l{(ｌ－ｍ)!/(ｌ＋ｍ)!}Ｐ_l^m(cosα)Ｐ_l^m(cosθ)cos(ｍφ)

　ですが,

 ｄ³ｘ＝ｒ²ｄｒｄΩのうち,ｄΩ＝ｄ(cosα)ｄφの立体角部分の

　積分を実行すると,ｄφ積分の実行により,上のＰ_l(cosβ)の表現

　の右辺におけるcos(ｍφ)の項は消えて,実質的には,

　Ｐ_l(cosβ)＝Ｐ_l(cosα)Ｐ_l(cosθ)です。

　そこで,Ｐ_l(cosβ)Ｐ_l’(sosα)＝Ｐ_l(cosα)Ｐ_l(cosθ)Ｐ_l’(cosα)

　ですが,Legendre多項式には,

　∫Ｐ_l(cosα)Ｐ_l’(cosα)ｄ(sosα)＝{2/(2ｌ＋1)}δ_ll'

 なる直交性があるため,結局,

　ｆ(θ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)exp(iδ_l)Ｐ_l(cosθ)

 ×[∫₀^∞Ｕ(ｒ)ｊ_l(ｑｒ)ｕ_l(ｑｒ)ｒ²ｄｒ]

　なる表式が得られます。

 これを,前に得た表式:

　ｆ(θ)＝(1/ｑ)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)exp(iδ_l)sinδ_l

 exp(iｑｒ)Ｐ_l(cosθ)に等置することによって,

　sinδ_l＝ｑ∫₀^∞Ｕ(ｒ)ｊ_l(ｑｒ)ｕ_l(ｑｒ)ｒ²ｄｒ

　となることがわかりります。

　既に,ｒ→ 0 のときｒ²Ｕ(ｒ)→0を満たす普通のポテンシャル

　なら,ｒ→   0 でｕ_l(ｑｒ) ∝(ｑｒ)^l,ｊ_l(ｑｒ) ∝ (ｑｒ)^l

 となることがわかっているので,

　sinδ_l＝ｑ∫₀^∞Ｕ(ｒ)ｊ_l(ｑｒ)ｕ_l(ｑｒ)ｒ²ｄｒから,

　低エネルギー極限のｑ→ 0 に対して,sinδ_l ∝ｑ^2l+1

　を得ます。

　そして,第１Born近似ではｕ_l(ｑｒ)～ｊ_l(ｑｒ)ですから,

sinδ_l ～ ｑ∫₀^∞Ｕ(ｒ){ｊ_l(ｑｒ)}²ｒ²ｄｒです。

ここで,ｊ_l(ｑｒ)の満たす方程式と,そのGreen関数:

Ｇ_l(ｒ,ｒ';ｑ)の満たす方程式を並べて陽に書くと,

　(1/ｒ)ｄ²(ｒｊ_l)/ｄｒ²＋{ｑ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}ｊ_l＝0,および,

　(1/ｒ)ｄ²(ｒＧ_l)/ｄｒ²＋{ｑ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｇ_l⁽

 ＝(1/ｒ)δ(ｒ－ｒ')　です。

そこで,ｕ_l(ｑｒ)≡cosδ_lｊ_l(ｑｒ)

＋∫₀^∞Ｇ_l(ｒ,ｒ';ｑ)Ｕ(ｒ')ｕ_l(ｑｒ')ｒ'²ｄｒ'

とおけば,

ｕ_l(ｑｒ)は,

(1/ｒ)ｄ²(ｒｕ_l)/ｄｒ²＋{ｑ²-ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}ｕ_l＝Ｕ(ｒ)ｕ_l:

つまり,

{－ｄ²/ｄｒ²＋Ｕ(ｒ)＋ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}(ｒｕ_l)＝ｑ²ｒｕ_l

を満たす１つの解をなすことがわかります。

さらに,このｕ_l(ｑｒ)が,散乱波の境界条件:

　ｕ_l(ｑｒ)→{1/(ｑｒ)}sin(ｑｒ－ｌπ/2＋δ_l)

　を満たすためには.Green関数が,

　Ｇ_l(ｒ,ｒ';ｑ)＝－ｑｊ_l(ｑｒ)ｎ_l(ｑｒ') (ｒ＜ｒ')

　Ｇ_l(ｒ,ｒ';ｑ)＝－ｑｎ_l(ｑｒ)ｊ_l(ｑｒ') (ｒ＞ｒ')

　で与えられることが必要です。

　こうすれば,ｒ→∞では,

ｎ_l(ｑｒ)→{1/(ｑｒ)}cos(ｑｒ－ｌπ/2)なので,

ｕ_l(ｑｒ)＝cosδ_lｊ_l(ｑｒ)

＋∫₀^∞Ｇ_l(ｒ,ｒ';ｑ)Ｕ(ｒ')ｕ_l(ｑｒ')ｒ'²ｄｒ'

→ {1/(ｑｒ)}[cosδ_lsin(ｑｒ－ｌπ/2)

－cos(ｑｒ－ｌπ/2)

×[ｑ∫₀^∞Ｕ(ｒ')ｊ_l(ｑｒ')ｕ_l(ｑｒ')ｒ'²ｄｒ’]

となります。

ここで,先に得た,

sinδ_l＝－ｑ∫₀^∞Ｕ(ｒ)ｊ_l(ｑｒ)ｕ_l(ｑｒ)ｒ²ｄｒなる表式

により,結局,

ｕ_l(ｑｒ) → {1/(ｑｒ)}[cosδ_lsin(ｑｒ－ｌπ/2)

＋cos(ｑｒ－ｌπ/2)sinδ_l] 

＝{1/(ｑｒ)}sin(ｑｒ－ｌπ/2＋δ_l)

という望ましい結果に導かれます。

そして,ｕ_l(ｑｒ)＝cosδ_lｊ_l(ｑｒ)

＋∫₀^∞Ｇ_l(ｒ,ｒ';ｑ)Ｕ(ｒ')ｕ_l(ｑｒ')ｒ'²ｄｒ'

の両辺をcosδ_lで割り,ｕ_l~(ｑｒ)≡ｕ_l(ｑｒ)/cosδ_l

とおくと,

ｕ_l~(ｑｒ)＝ｊ_l(ｑｒ)＋

∫₀^∞Ｇ_l(ｒ,ｒ';ｑ)Ｕ(ｒ')ｕ_l~(ｑｒ')ｒ'²ｄｒ' です。

ｒ→ ∞では,

ｕ_l~(ｑｒ) → {1/(ｑｒcosδ_l)}sin(ｑｒ－ｌπ/2＋δ_l)

＝{1/(ｑｒ)}[sin(ｑｒ－ｌπ/2)＋tanδ_lcos(ｑｒ－ｌπ/2)]

となりますから,

tanδ_l＝－ｑ∫₀^∞Ｕ(ｒ)ｊ_l(ｑｒ)ｕ_l~(ｑｒ)ｒ²ｄｒ

なる表式を得ます。

散乱のポテンシャル:Ｖ(ｒ),またはＵ(ｒ)にある有効レンジａ

が存在して,ｒ＞ａでは, Ｕ(ｒ) ～ 0 と見なせるとき,

ｒ＞ａでは,ｕ_l(ｑｒ)は,Ｕ(ｒ)＝0 の場合の方程式の解:

ｊ_l(ｑｒ),ｎ_l(ｑｒ)の線型結合で与えられるはずですが,

ｒ→ ∞ で,ｊ_l(ｑｒ) → {1/(ｑｒ)}sin(ｑｒ－ｌπ/2),

ｎ_l(ｑｒ) → {1/(ｑｒ)}sin(ｑｒ－ｌπ/2)なので,

ｕ_l(ｑｒ)＝cosδ_lｊ_l(ｑｒ)－sinδ_lｎ_l(ｑｒ)　です。

そして,ｒ＝ａでの接続条件:

[(ｄｕ_l/ｄｒ)/ｕ_l]_r=a+0＝[(ｄｕ_l/ｄｒ)/ｕ_l]_r=a-0

を満たす,ｒ≦ａでのｕ_l(ｑｒ)も得られたと仮定し,

ε_l≡[(ｄｕ_l/ｄｒ)/ｕ_l]_{r=a-0 と}おきます。

ｊ_l'(ｘ)＝ｄｊ_l/ｄｘ,ｎ_l'(ｘ)＝ｄｎ_l/ｄｘとすれば,

ｒ＝ａでの接続条件から,

ε_l＝[(ｄｕ_l/ｄｒ)/ｕ_l]_r=a+0

＝ｑ{cosδ_lｊ_l'(ｑａ)－sinδ_lｎ_l'(ｑａ)}

/{cosδ_lｊ_l(ｑａ)－sinδ_lｎ_l(ｑａ)}

＝{ｑｊ_l'(ｑａ)－ｑtanδ_lｎ_l'(ｑａ)}

/{ｊ_l(ｑａ)－tanδ_lｎ_l(ｑａ)}　です。

これを,tanδについて解いて,tanδ_l

＝{ｑｊ_l‘(ｑａ)－ε_lｊ_l(ｑａ)}/{ｑｎ_l‘(ｑａ)－ε_lｎ_l(ｑａ)}

です。 

半径ａの剛体球による散乱というモデルを考えると,

波動関数はｒ＜ａではゼロで,ｒ＝ａ＋0でゼロから出発

します。

そこで,ｒ＝ａにおいてｒ＞ａとの連続性から,

ｕ_l(ｑａ)＝cosδ_lｊ_l(ｑａ)－sinδ_lｎ_l(ｑａ)＝0 なので,

tanδ_l＝ｊ_l (ｑａ)/ｎ_l (ｑａ)　を得ます。

ｑａ＜＜1:ａ＜＜λのような剛体粒子による散乱では,

ｊ_l(ｑａ)～ 2^lｌ!(ｑａ)^l/(2ｌ＋1)!

ｎ_l(ｑａ)～－(2ｌ)!/{2^lｌ!(ｑａ)^l+1}なので,

tanδ_l ～ －(ｑａ)^2l+1×2^2l(ｌ!)2/{(2ｌ)!(2ｌ＋1)!}

です。 

それ故,剛体模型が妥当なら,

ｑ^2l+1cotδ_l ～ ｑ^2l+1/δ_l ∝ －ａ^-(2l+1) です。

例えばｌ＝1のＰ波では,ｑ³cotδ_l ∝ －1/ａ³です。

ｑ^2l+1cotδ_lは低エネルギー極限では,有効距離ａのみに依存し,

ｑには依存しません。 

これは,より大きいｑについてはｑ² or ωで展開されて良い

近似を与え,この展開は有効距離展開と呼ばれます。

余談的話ですが,ｌ＝1のＰ波では,

tanδ_l ～ sinδ_l ～ δ_l∝ ｑ³ａ³です。

そして,散乱される波(粒子)の波長λに対して,

運動量ｑはｑ＝1/λで与えられます。 

ちなみに,散乱の全断面積の位相のずれ:δ_lによる表現は.

σ^tot＝(4π/ｑ²)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)sin²δ_l ですから,

Ｐ波が主体の波なら,σ^tot ∝ｑ⁴ａ⁶∝ａ⁶/λ⁴です。

太陽光などの光の散乱は,光子はベクトル粒子なので,

これは正に角運動量が１のＰ波に相当します。

ｑａ＜＜1,ａ＜＜λの空気分子のような微細粒子による

光の散乱の大きさは,光の波長λの4乗に反比例していて,

可視光なら紫や青い光が赤い光よりも,はるかに大きい散乱

を受けるという,よく知られたRayleigh散乱の性質をも表現

しています。

これらについては,光(電磁波)の古典散乱につい書いた

2009年10/20の記事:「光(電磁波)の散乱(2)」

を参照してください。

(注15-1終わり)※

今回も,非相対論的な散乱理論の話ばかりです。

昔のことで,ノートに参考文献も書いていませんでしたし

記憶もハッキリとはしませんが,種本は恐らく当時多用して

ボロボロになり現在はどこかに紛失している,砂川重信著の

岩波全書「散乱の量子論」だと思います。

今日はこれで終わります。

１つの記事としては長くなり過ぎました。

(参考文献):J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGrawHill)