量子力学における摂動論Ⅱ

さて,前回の記事「量子力学における摂動論Ⅰ」ではPending

のまま,少し過去の大学講義ノートを参照して書き直すと

書いて中途半端に終わりました。

そこでここに続きの記事を書きますが記号の定義はこの前の

記事と同じで前記事を準備として本題の詳細を記述したいと

思います。

繰り返しになりますが,定常状態の波動関数Φ＝Φ(ｘ)に

対する基本のSchroedinger方程式は系のHamiltonianをＨ

として,ＥをＨの固有値とするＨΦ＝ＥΦなる固有値問題

に帰着します。

今,Ｈ＝Ｈ₀のケースには方程式が正確に解けて座標空間全体

の総確率が１となるように規格化された解が,離散的な固有値

:Ｅ＝Ｅ₁,Ｅ₂,Ｅ₃,..に属する固有関数の完全セット：

Φ＝ｕ₁(ｘ),ｕ₂(ｘ),ｕ₃(ｘ),,.._.で得られているとします。

つまり,Ｈ₀ｕ_ｎ＝Ｅ_ｎｕ_ｎ(ｎ＝1,2,3,..)であるとします。 

ところが,オーダー的にＨ₀とわずかに異なるHamiltonian:

Ｈ＝Ｈ₀＋ＶについてはＨΦ＝ＥΦを正しく解く方法が見

つからないとき,近似解法が要求されます。

Ｅ＝Ｅ_ｎ＋ΔＥ_ｎの場合のＨΦ＝ＥΦの解をΦ＝ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎ

とすれば,方程式：ＨΦ＝ＥΦは,

(Ｈ₀＋Ｖ)(ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎ)＝(Ｅ_ｎ＋ΔＥ_ｎ)(ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎ)

となります。

これから,Ｈ₀ｕ_ｎ＝Ｅ_nｕ_ｎを除去すると, 

Ｈ₀ΔΦ_ｎ＋Ｖ(ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎ)

＝Ｅ_ｎΔΦ_ｎ＋ΔＥ_ｎ(ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎ),

あるいは,

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)ΔΦ_ｎ

＝Ｖ(ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎ)－ΔＥ_ｎ(ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎ)

となります。

これを次のように書き下します。

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)(Δ^(１)Φ_ｎ＋Δ^(２)Φ_ｎ＋Δ^(３)Φ_ｎ＋..)

＝Ｖ(ｕ_ｎ＋Δ^(１)Φ_ｎ＋Δ^(２)Φ_ｎ＋Δ^(３)Φ_ｎ＋..)

－(Δ^(１)Ｅ_ｎ＋Δ^(２)Ｅ_ｎ＋Δ^(３)Ｅ_ｎ＋..)

×(ｕ_ｎ＋Δ^(１)Φ_ｎ＋Δ^(２)Φ_ｎ＋Δ^(３)Φ_ｎ＋..)

です。

これから,前の記事と同じく両辺のＶのオーダーを比較して 

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(１)Φ_ｎ＝Ｖｕ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎｕ_ｎ 

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(２)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_nΔ⁽¹⁾Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎｕ_ｎ 

および,(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(３)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(２)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎΔ^(２)Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎΔ^(１)Φ_ｎ

－Δ^(３)Ｅ_ｎｕ_ｎ...

が得られます。

元の非摂動系のエネルギー固有値に縮退が全く無く,

固有関数の正規直交規格化が＜ｍ|ｎ＞＝＜ｕ_ｍ|ｕ_ｎ＞

＝δ_ｍｎで与えられる場合なら,

まず,(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)＜ｍ|Δ^(１)Φ_ｎ＞

＝＜ｍ|Ｖ|ｎ＞－Δ^(１)Ｅ_ｎδ_ｍｎにおいてｍ＝ｎとして

Δ^(１)Ｅ_ｎ＝＜ｎ|Ｖ|ｎ＞＝Ｖ_ｎｎを得ます。

また,ｍ＝ｎのときの＜ｍ|Δ^(１)Φ_n＞＝＜ｎ|Δ^(１)Φ_ｎ＞は不定

ですが,ｍ≠ｎのときには,Ｅ_ｎ≠Ｅ_ｍより, 

＜ｍ|Δ^(１)Φ_ｎ＞＝＜ｍ|Ｖ|ｎ＞/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

＝Ｖ_ｍｎ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)　と書けます。

そこで,不定部分をｃ_ｎ≡＜ｎ|Δ^(１)Φ_n＞とおけば, 

Δ^(１)Φ_ｎ＝Σ_ｍ＜ｍ|Δ^(１)Φ_n＞ｕ_ｍ

＝ｃ_ｎｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)　を得ます。

したがって,第１近似ではＥ_ｎ近傍の新しいエネルギー

固有値はＥ_ｎからＥ_ｎ＋Δ^(１)Ｅ_ｎ＝Ｅ_ｎ＋Ｖ_ｎｎへと補正

され,それに属する 固有関数はｕ_ｎからｕ_ｎ＋Δ^(１)Φ_ｎ

＝(1＋ｃ_ｎ)ｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

へと補正されます。

ところで,固有関数は定数係数だけの不定性を持つので

右辺を(1＋ｃ_ｎ)で割ったものも同じ固有値：Ｅ_ｎ＋Ｖ_ｎｎに

属する固有関数であり最終的には,いずれかを規格化して

確率振幅を表わすものとするわけです

そこで,この係数を修正した固有関数：ｕ_ｎ＋Δ^(１)Φ_ｎ/(1＋ｃ_ｎ)

を改めてｕ_ｎ＋Δ^(１)Φ_ｎと考えてΔ^(１)Φ_ｎ/(1＋ｃ_ｎ)をΔ^(１)Φ_ｎ

と定義し直しておく方法もあります。

それ故,始めからΔ^(１)Φ_ｎのみならず全補正値： 

ΔΦ_ｎ＝Δ^(１)Φ_ｎ＋Δ^(２)Φ_ｎ＋Δ^(３)Φ_ｎ＋..)が

ｕ_ｎとは独立な成分であり,あらゆる摂動Ｖの次数

dで＜ｎ|ΔΦ_ｎ＞＝＜ｎ|Δ^(ｄ)Φ_ｎ＞＝0 (ｄ＝1,2,3,..)

を満たす,と仮定しておくわけです。

特に, ＜ｎ|Δ^(１)Φ_ｎ＞＝0　から,

Δ^(１)Φ_ｎ＝Σ_ｍ≠ｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)であり

ｕ_ｎ＋Δ^(１)Φ_ｎ＝ｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

としてこれを摂動論の方法として採用してもいいと

考えられます。

そこで,以下ではそういう扱いをすることにします。

次に,(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(２)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_nΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎｕ_ｎにおいて

左からｕm^＊(ｘ)を掛けてｄｘの空間積分をするという内積

をとると

(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)＜ｍ|Δ^(２)Φ_ｎ＞

＝＜ｍ|Ｖ|Δ^(１)Φ_ｎ＞－Δ⁽¹⁾Ｅ_n＜ｍ|Δ^(１)Φ_ｎ＞

－Δ^(２)Ｅ_ｎδ_ｍｎ

です。

Δ^(１)Φ_ｎ同様Δ^(２)Φ_ｎ＞もｕ_ｎとは独立なため,

その結果,＜ｎ|Δ^(２)Φ_ｎ＞＝＜ｎ|Δ^(１)Φ_ｎ＞＝0

ですから,ｍ＝ｎとして,

Δ^(２)Ｅ_ｎ＝＜ｎ|Ｖ|Δ^(１)Φ_ｎ＞

＝＜ｎ|Ｖ|Σ_ｍ≠ｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)＞

＝Σ_ｍ≠ｎＶ_ｍｎＶ_ｎｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

＝Σ_ｍ≠ｎ|Ｖ_ｍｎ|^２/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

を得ます。

また,

ｍ≠ｎなら,(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)＜ｍ|Δ^(２)Φ_ｎ＞ 

＝＜ｍ|Ｖ|Δ^(１)Φ_ｎ＞－Δ^(１)Ｅ_n＜ｍ|Δ^(１)Φ_ｎ＞ 

＝＜ｍ|Ｖ|Σ_ｋ≠ｎＶ_ｋｎｕ_ｋ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)＞

－Ｖ_ｎｎＶ_ｍｎ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

＝Σ_ｋ≠ｎＶ_ｋｎＶ_ｍｋ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)

－Ｖ_ｎｎＶ_ｍｎ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

です。

故に,縮退が無くてｍ≠ｎならＥ_ｎ≠Ｅ_ｍの場合は, 

＜ｍ|Δ^(２)Φ_ｎ＞ 

＝Σ_ｋ≠ｎＶ_ｋｎＶ_ｍｋ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

＋Ｖ_ｎｎＶ_ｍｎ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) となります。

したがって,結局,２次補正固有関数として,

Δ^(２)Φ_ｎ＝Σ_ｍ≠ｎ＜ｍ|Δ^(２)Φ_n＞ｕ_ｍ 

＝Σ_ｍ≠ｎΣ_ｋ≠ｎＶ_ｋｎＶ_ｍｋｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

－Σ_ｍ≠ｎＶ_ｎｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２ 

を得ます。

同様に,(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)＜ｍ|Δ^(３)Φ_ｎ＞ 

＝＜ｍ|Ｖ|Δ^(２)Φ_ｎ＞－Δ⁽¹⁾Ｅ_ｎ＜ｍ|Δ^(２)Φ_ｎ＞

－Δ^(２)Ｅ_ｎ＜ｍ|Δ^(１)Φ_ｎ＞－Δ^(３)Ｅ_ｎδ_ｍｎであって, 

＜ｎ|Δ^(３)Φ＞＝＜ｎ|Δ^(２)Φ＞＝＜ｎ|Δ^(１)Φ＞＝0

なので, 

Δ^(３)Ｅ_ｎ＝＜ｎ|Ｖ|Δ^(２)Φ_ｎ＞ 

＝Σ_ｍ≠ｎΣ_ｋ≠ｎＶ_ｋｎＶ_ｍｋ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

が得られます。

また,＜ｍ|Ｖ|Δ^(２)Φ_ｎ＞

＝Σ_ｊ≠ｍΣ_ｋ≠ｍＶ_ｋｍＶ_ｊｋ/(Ｅ_ｍ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｍ－Ｅ_ｊ)より,

Ｖの３次補正のｍ≠ｎに関する展開係数は,

＜ｍ|Δ^(３)Φ_ｎ＞＝{1/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

×[＜ｍ|Ｖ|Δ^(２)Φ_ｎ＞－Δ⁽¹⁾Ｅ_ｎ＜ｍ|Δ^(２)Φ_ｎ＞

－Δ^(２)Ｅ_ｎ＜ｍ|Δ^(１)Φ_ｎ＞]

＝Σ_ｊ≠ｍΣ_ｋ≠ｍＶ_ｍｊＶ_ｋｍＶ_ｊｋ/(Ｅ_ｍ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｍ－Ｅ_ｊ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

－Σ_ｋ≠ｎＶ_ｎｎＶ_ｋｎＶ_ｍｋ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

－Ｖ_ｎｎ^２Ｖ_ｍｎ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^３

－Σ_ｋ≠ｎ|Ｖ_ｋｎ|^２Ｖ_ｍｎ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２

です。

以上から縮退の無い場合のエネルギー固有値の摂動展開は,

ΔＥ_ｎ＝Ｖ_ｎｎ＋Σ_ｍ≠ｎ|Ｖ_ｍｎ|^２/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

＋Σ_ｍ≠ｎΣ_ｋ≠ｎＶ_ｋｎＶ_ｍｋ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)＋.. 

で与えられ,

その固有関数の摂動展開は ,

ΔΦ_ｎ＝Σ_ｍ≠ｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

　＋Σ_ｍ≠ｎΣ_ｋ≠ｎＶ_ｋｎＶ_ｍｋｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

　－Σ_ｍ≠ｎＶ_ｎｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２

　＋Σ_ｍ≠ｎΣ_ｊ≠ｍΣ_ｋ≠ｍＶ_ｍｊＶ_ｋｍＶ_ｊｋ

　×ｕ_ｍ/(Ｅ_ｍ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｍ－Ｅ_ｊ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

　－Σ_ｍ≠ｎΣ_ｋ≠ｎ|Ｖ_ｋｎ|^２Ｖ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２ 

　－Σ_ｍ≠ｎＶ_ｎｎ^２Ｖ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^３＋..

　で与えられることがわかります。

　さて,改めてＨ＝Ｈ₀＋Ｖに対してＨΦ＝ＥΦを満たす,正確な

　エネルギー固有値をε_ｎ,固有関数)をΦ_ｎとします。

 これまでの道筋を改めて確認すると,Ｈ₀ｕ_ｎ＝Ｅ_ｎｕ_ｎで,

　ＨΦ_ｎ＝ε_ｎΦ_ｎであり,ε_ｎ＝Ｅ_ｎ＋ΔＥ_ｎ,かつ

　Φ_ｎ＝ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎです。

 ところが,＜Φ_ｎ|Φ_ｎ＞＝＜ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎ|ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎ＞ 

　＝1＋＜ΔΦ_ｎ|ΔΦ_ｎ＞≠1ですから,波動関数をそれ自身で

　１つの確率振幅を示すものと定義し直すなら,これを

　再規格化(Renormalize)する必要があります。

そこでΦ_ｎを最終的に規格化したものをχ_ｎ≡Ｚ^１/２Φ_ｎと

定義すれば,＜χ_ｎ|χ_ｎ＞＝1ですから.

Ｚ＝1/{1＋＜ΔΦ_ｎ|ΔΦ_ｎ＞}～ 1－＜ΔΦ_ｎ|ΔΦ_ｎ＞とする

ことが必要です。

＜ΔΦ_ｎ|ΔΦ_ｎ＞はＶの２次以上のオーダーです。

ΔΦ_ｎ＝Σ_ｍ≠ｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

　＋Σ_ｍ≠ｎΣ_ｋ≠ｎＶ_ｋｎＶ_ｍｋｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

　－Σ_ｍ≠ｎＶ_ｎｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２＋..から

　＜ΔΦ_ｎ|ΔΦ_ｎ＞＝Σ_ｍ≠ｎ|Ｖ_ｍｎ|^２/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２

　＋Ｏ(Ｖ^３)より,

 Ｖの２次までの近似では,Ｚ^１/２＝～1－(1/2)＜ΔΦ_ｎ|ΔΦ_ｎ＞

　 ～ 1－(1/2)Σ_ｍ≠ｎ|Ｖ_ｍｎ|^２/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２なので,結局,

　２次までの近似では規格化により

 χ_ｎ＝Ｚ^１/２Φ_ｎ＝ｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

 －(1/2)Σ_ｍ≠ｎ|Ｖ_ｍｎ|^２ｕ_ｎ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２

 ＋Σ_ｍ≠ｎΣ_ｋ≠ｎＶ_ｋｎＶ_ｍｋｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

 －Σ_ｍ≠ｎＶ_ｎｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２

　が得られます。

それ故,この近似では規格化も＜χ_ｎ|χ_ｎ＞＝1－Ｏ(Ｖ^２)

の精度であることに留意しておく必要があります。

さて,これまでの議論は元のＶが無い非摂動系Ｈ₀において

エネルギー固有値に対し,全く縮退が無いという特別な場合

の方法でした。

くどいようですが,要約すると,摂動Ｖの２次の展開項まででは,

Ｈ＝Ｈ₀＋Ｖに対するエネルギー固有値はε_ｎ＝Ｅ_ｎ＋ΔＥ_ｎ

＝Ｅ_ｎ＋Ｖ_ｎｎ＋Σ_ｍ≠ｎ|Ｖ_ｍｎ|^２/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

固有関数は,Φ_ｎ＝ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎ

＝ｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

＋Σ_ｍ≠ｎΣ_ｋ≠ｎＶ_ｋｎＶ_ｍｋｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

－Σ_ｍ≠ｎＶ_ｎｎＶ_ｍｎｕ_ｍ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２です。

しかし,もしもＨ₀の系がエネルギー縮退していれば,ｍ≠ｎ

でもＥ_ｍ＝Ｅ_ｎ,かつＶ_ｍｎ≠0 なる状態が２つ以上存在する

ことがあり,その結果,Ｖ_ｍｎ/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)を因子として含む

ような項は有限な値としての意味を失なうため,

このままの素朴な摂動近似式の表現は破綻します。

もしも,Ｈ₀の固有値：Ｅ_ｎのエネルギー固有状態がｇ重に

縮退していたなら,同じ固有値に属し正規直交化されたｇ個

の固有関数をｕ_ｎα(α＝1,2,..,ｇ)と書いて,連立方程式：

Ｈ₀ｕ_ｎα＝Ｅ_ｎｕ_ｎα(α＝1,2,..,ｇ)が成立していると表現

することができます。

他方,Ｈ₀の固有値がＥ_ｎの別の正規直交化されたｇ個の

固有関数系を取ることもできて,それをｖ_ｎｊ(ｊ＝1,2,..,ｇ)

するとＨ₀ｖ_ｎｊ＝Ｅ_ｎｖ_ｎjであり,これらはｕ_ｎαの線型結合

＝重ね合わせ状態として,ｖ_ｎｊ＝Σ_α=1^ｇｃ_αｊｕ_ｎαのように

関係付けられるはずです。 

このとき,係数の複素数ｃ_αｊはｃ_αｊ＝＜ｕ_ｎα|ｖ_ｎｊ＞

で与えられます。

そして,正規直交条件はδ_ｉｊ＝＜ｖ_ｎｉ|ｖ_ｎｊ＞ 

＝Σ_α=1^ｇ＜ｖ_ｎｉ|ｕ_ｎα＞＜ｕ_ｎα|ｖ_ｎｊ＞

＝Σ_α=1^ｇｃ_αｉ^＊ｃ_αｊです。

特に,ｉ＝ｊとすると,係数がΣ_α=1^ｇ|ｃ_αｊ|^２＝1　

を満たす必要がある,ことを意味する式になります。

以前と同じく,以下,＜ｕ_ｎα|Ｖ|ｕ_ｎβ＞を

＜ｎα|Ｖ|ｎβ＞etc.と表記することにします。

縮退がない場合の摂動論の方程式系： 

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(１)Φ_ｎ＝Ｖｕ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎｕ_ｎ

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(２)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_nΔ⁽¹⁾Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎｕ_ｎ 

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(３)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(２)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎΔ^(２)Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎΔ^(１)Φ_ｎ

－Δ^(３)Ｅ_ｎｕ_ｎ...　

において固有値Ｅ_ｎに属する非摂動系での固有状態の固有

関数をｕ_ｎから,より一般的な状態ｖ_ｎ＝Σ_α=1^ｇｃ_αｕ_ｎαに

変更し,新しいＨの固有関数Φｎを,

Φ_ｎ＝ｖ_ｎ＋ΔΦ_ｎ

＝Σ_α=1^ｇｃ_αｕ_ｎα＋Δ^(１)Φ_ｎ＋Δ^(２)Φ_ｎ＋Δ^(３)Φ_ｎ

＋..　

とします。

すると,

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(１)Φ_ｎ＝Ｖｖ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎｖ_ｎ

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(２)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_nΔ⁽¹⁾Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎｖ_ｎ

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(３)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(２)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎΔ^(２)Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎΔ^(１)Φ_ｎ

－Δ^(３)Ｅ_ｎｖ_ｎ...

となります。

またまた長くなったので中途ですが今日はここまでにします。