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2014年8月 7日 (木)

ネット復活!!+数学の問題

 実はBiglobe-Wimaxの3ヶ月間13000円余りの滞納で7/31にネット が1時停止処分となり6日早朝支払って先ほど復活したばかりです。私,PC+ネット中毒ですがPCしかなかったので停止期中書いて てアップできなかった短い原稿をついでにアップします。

 つなぎのブログ記事として,もう古い話になりましたが,入院中暇に明かせて解いた数学オリンピック問題集からの問題と私の解いてみた結果の解答をアップします。

今回は2人部屋で冬季オリンピック観戦に興じていた期間が長く1人部屋などで数学で時間つぶししていた時期は短いのでこの程度です。

問1.次の式を満たす正整数nの組を決定せよ。 

133+110+84+27=n

 

 [解答] まず,思い付くことはnが偶数か奇数かを調べることです。 

これは2を法として合同式の成立を要求することで得られます。

 

すなわち,133+110+84+27≡n (mod 2)を要求します。 

これから,1+0+0+1≡n (mod 2)よりn≡0 (mod 2)を得ます。

 

よってnは偶数,つまり2の倍数であるという必要条件が

得られました。

 

 同様に,素数3,5についてもこれらを法とする合同式の成立を要求 

 してみます。

 

p=3,5に対して133+110+84+27≡n (mod p)の成立を要求するわけです。

 

これから,1+2+0+0≡n (mod 3),

3+0+4+2≡n (mod 5)を得ます。

 

すなわち, 1+2+0+0≡n (mod 3),

3+0+4+2≡n (mod 5)です。

それ故,n≡0 (mod 3),n≡4 (mod 5)が得られます。

 

ところがn=0,1,2,3,4を代入して調べてみると≡n (mod 5)なることがわかります。故に,n≡4 (mod 5)です。

以上からnは2,3の倍数であり,かつ,5で割ると4余る数であることがわかります。

 

もしも,これだけでnが決まらないならさらにp=7,11,..として, 

133+110+84+27≡n (mod p)を調べる予定でしたが

結果的には必要なかったです。

 

さて,これまでの結果からnはkを整数としてn=5k+4と書けますが,さらにnは6で割り切れます。つまりn≡0((mod 6)です。

 

 これらが満たされるためには,k≡4(mod 6)が必要十分条件ですから,

 k=6m+4よりn=30m+24なる形です。

 

 nは少なくとも133より大きいので結局,元の等式 

 133+110+84+27=nを満たすnがあるとしたら, 

それはn=144,174,..の中にあるはずです。

 

 今の時代は電卓があるので地道な計算は簡単で,n=144を 

 確かめてみると133=41615795893, 110=16105100000,

 84=4182119424,27=14348907であり,144=61917364224

です。

したがって,確かに133+110+84+27=144が成立します。

ということは,これより大きいnのn=174,..については

等式: 133+110+84+27=nが成立するはずはなく,

解nの組とはいっても解はn=144の唯一つです。(以上)

参考文献:秋山仁 ピーター・フランクル 共著

「完全攻略:数学オリンピック」(日本評論社;1991年第1版~増刷)

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