量子力学における摂動論Ⅱ(続き)

　さて,前回の記事も中途半端なところで終わりました。 

そこでここに続き記事を書きます。

まず,いきなり続きを書いたのでは接続がよくないので最後の

必要な部分を再掲載します。

(※)Ｈ₀の固有値：Ｅ_ｎのエネルギー固有状態がｇ重に縮退して

いたなら,同じ固有値に属し正規直交化されたｇ個の固有関数を

ｕ_ｎα(α＝1,2,..,ｇ)としてＨ₀ｕ_ｎα＝Ｅ_ｎｕ_ｎα(α＝1,2,..,ｇ)

が成立しています。

他方,Ｈ₀の固有値がＥ_ｎの別の正規直交化されたｇ個の固有関数

の系をｖ_ｎｊ(ｊ＝1,2,..,ｇ)とするとＨ₀ｖ_ｎｊ＝Ｅ_ｎｖ_ｎjであり,

これらはｕ_ｎαの線型結合(重ね合わせ)として,

ｖ_ｎｊ＝Σ_α=1^ｇｃ_αｊｕ_ｎαのように関係付けられるはずです。

このとき,係数ｃ_αｊはｃ_αｊ＝＜ｕ_ｎα|ｖ_ｎｊ＞で与えられます。

そして,正規直交条件はδ_ｊｊ＝＜ｖ_ｎｉ|ｖ_ｎｊ＞ 

＝Σ_α=1^ｇ＜ｖ_ｎｉ|ｕ_ｎα＞＜ｕ_ｎα|ｖ_ｎｊ＞

＝Σ_α=1^ｇｃ_αｉ^＊ｃ_αｊです。

特に,Σ_α=1^ｇ|ｃ_αｊ|^２＝1が成立します。

以前と同じく,以下,＜ｕ_ｎα|Ｖ|ｕ_ｎβ＞を＜ｎα|Ｖ|ｎβ＞etc.

と表記します。

縮退を考慮する前から扱っていた摂動論の方程式 

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(１)Φ_ｎ＝Ｖｕ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎｕ_ｎ 

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(２)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_nΔ⁽¹⁾Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎｕ_ｎ 

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(３)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(２)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎΔ^(２)Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(３)Ｅ_ｎｕ_ｎ

 ..　において

固有値Ｅ_ｎに属する非摂動系での固有状態の固有関数を

ｕ_ｎからｖ_ｎ＝Σ_α=1^ｇｃ_αｕ_ｎαに変更して新しい固有関数

ΦｎをΦ_ｎ＝ｖ_ｎ＋ΔΦ_ｎ

＝Σ_α=1^ｇｃ_αｕ_ｎα＋Δ^(１)Φ_ｎ＋Δ^(２)Φ_ｎ＋Δ^(３)Φ_ｎ＋..

とします。

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(１)Φ_ｎ＝Ｖｖ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎｖ_ｎ

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(２)Φ_ｎ＝ＶΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_nΔ⁽¹⁾Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎｖ_ｎ

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(３)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(２)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎΔ^(２)Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(３)Ｅ_ｎｖ_ｎ 

＋..　となります。(※)

ここまでが,前回の終わりの部分の再掲載です。 

ここから続きを書きます。

最後の式の両辺に左からｕ_ｎαを掛けて内積を取ります。

そして,前と同じく

＜ｎα|Δ^(ｄ)Φ_ｎ＞＝＜ｕ_ｎα|Ｖ|Δ^(ｄ)Φ_ｎ＞＝0 (ｄ＝1,2.3..)

なる条件を仮定すると,

まず,１次の項については, 

0＝＜ｕ_ｎα|Ｖ|ｖ_ｎ＞－Δ^(１)Ｅ_ｎ＜ｕ_ｎα|Ｖ|ｖ_ｎ＞

です。

それ故,ｖ_ｎ＝Σ_β=1^ｇｃ_βｕ_ｎβを代入して, 

Σ_β＝1^ｇ [＜ｎα|Ｖ|ｎβ＞－Δ^(１)Ｅ_ｎδ_αβ]ｃ_β＝0 (

β＝1,2,..,ｇ)なるｇ個の方程式の系を得ます。

これは,

第α行β列成分が,

[＜ｎα|Ｖ|ｎβ＞－Δ^(１)Ｅ_ｎδ_αβ]のｇ行ｇ列の正方行列をＰ,

つまり,Ｐを{Ｐ_αβ}≡＜ｎα|Ｖ|ｎβ＞－Δ^(１)Ｅ_ｎδ_αβ 

(α,β＝1,2,..,ｇ)なる成分Ｐ_αβを持つｇ次の正方行列とし,

ｎ次列ベクトル^t(ｃ_１,ｃ_２,,..,ｃ_ｇ)をｘと定義すれば,

行列形式ではＰｘ＝0なるｘを未知数とする同次方程式に書けます。

さらに,Ａ＝{Ａ_αβ}≡＜ｎα|Ｖ|ｎβ＞とし,Ｉをｇ次の単位行列I

をＩ＝{δ_αβ}とおけば,Ｐｘ＝0は[Ａ－Δ^(１)Ｅ_ｎＩ]ｘ＝0 ,または

Ａｘ＝Δ^(１)Ｅ_ｎｘなる固有値問題の方程式になることがわかります。

このｘ＝^t(ｃ_１,ｃ_２,,..,ｃ_ｇ)に対する方程式れが自明な解

ｘ＝0 以外の解ｘを持つ：

つまり.ｖ_ｎ＝Σ_α=1^ｇｃ_αｕ_ｎαがｖ_ｎ＝0

という,摂動の無かった初めからエネルギーＥ_ｎの固有値に属さない

という,仮定に矛盾する無意味なもの以外のＥ_ｎの固有関数である

ためには,係数の行列式がゼロ：

detＰ＝det[Ａ－Δ^(１)Ｅ_ｎＩ]＝0　が必要十分です。

これは固有値Δ^(１)Ｅ_ｎに対するｇ次の代数方程式です。

これがｇ重根を持つのでなければ,摂動の１次で部分的には

縮退が解けることになります。

全てのｇ個の根が相異なる場合は縮退は完全に解けます。

まず,全てのｇ個が相異なるかどうかは別にして 

Δ^(１)Ｅ_ｎに対するｇ次の代数方程式：det[Ａ－Δ^(１)Ｅ_ｎＩ]＝0

の根をΔ^(１)Ｅ_ｎ＝Δ^(１)Ｅ_ｎ1,Δ^(１)Ｅ_ｎ２,.,Δ^(１)Ｅ_ｎｇ とします。

それぞれの固有値：Δ^(１)Ｅ_ｎｊ(ｊ＝1,2,..,ｇ)には,

固有ベクトル：ｘ_ｊ＝^t(ｃ_１ｊ,ｃ_２ｊ,,..,ｃ_ｇｊ)が決まり,

対応してｇ個のｖ_ｎ＝ｖ_ｎｊ＝Σ_α=1^ｇｃ_αｊｕ_ｎα (ｊ＝1,2,..,ｇ)

が決まります。

そこで,1次の式；(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(１)Φ_ｎ＝Ｖｖ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_ｎｖ_ｎ

の両辺で,それぞれ,Δ^(１)Φ_ｎ＝Δ^(１)Φ_ｎｊ,Δ^(１)Ｅ_ｎ＝Δ^(１)Ｅ_ｎｊ

ｖ_ｎ＝ｖ_ｎｊを代入すると,

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(１)Φ_ｎｊ＝Ｖｖ_ｎｊ－Δ^(１)Ｅ_ｎｊｖ_ｎｊ

となります。

したがって,まず,左からｖ_ｎｊ^＊を掛けて内積を取ることにより, 

ｖ_ｎｊ＝Σ_α=1^ｇｃ_αｊｕ_ｎα の具体的係数ｃ_αｊなどを明示してない以上 

あくまで形式的ですがΔ^(１)Ｅ_ｎｊ＝＜ｖ_ｎｊ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞を得ます。

そして,ｍ≠ｎ,かつ,Ｅ_ｍ≠Ｅ_ｎなるｍについて左からｕ_ｍγ^＊

を掛けて内積を取ると,＜ｕ_ｍγ|ｖ_ｎｊ＞＝0 ですから

(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)＜ｍγ｜Δ^(１)Φ_ｎｊ＞＝＜ｍγ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞により 

Δ^(１)Φ_ｎｊ＝Σ_ｍ≠ｎΣ_γ＜ｍγ｜Δ^(１)Φ_ｎｊ＞ｕ_ｍγ 

＝Σ_ｍ≠ｎΣ_γｕ_ｍγ＜ｍγ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

を得ます。

このとき,(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(２)Φ_ｎ

＝ＶΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(１)Ｅ_nΔ^(１)Φ_ｎ－Δ^(２)Ｅ_ｎｖ_ｎ より,

(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(２)Φ_ｎｊ

＝ＶΔ^(１)Φ_ｎｊ－Δ^(１)Ｅ_nｊΔ^(１)Φ_ｎｊ－Δ^(２)Ｅ_ｎｊｖ_ｎｊ 

から,

＜ｖ_ｎｉ|Δ^(２)Φ_ｎｊ＞＝＜ｖ_ｎｉ|Δ^(１)Φ_ｎｊ＞＝0　によって. 

0＝＜ｖ_ｎｉ|Ｖ|Δ^(１)Φ_ｎ＞－Δ^(２)Ｅ_ｎｊδ_ｉｊです。

それ故,ｉ＝ｊとして 

Δ^(２)Ｅ_ｎｊ＝＜ｖ_ｎｊ|Ｖ|Δ^(１)Φ_ｎ＞ 

＝Σ_ｍ≠ｎΣ_γｕ_ｍγ＜ｖ_ｎｊ|Ｖ|ｍγ＞＜ｍγ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

＝Σ_ｍ≠ｎΣ_γ|＜ｍγ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞|^２/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

同じく,(Ｅ_ｎ－Ｈ₀)Δ^(２)Φ_ｎｊ

＝ＶΔ^(１)Φ_ｎｊ－Δ^(１)Ｅ_nｊΔ^(１)Φ_ｎｊ－Δ^(２)Ｅ_ｎｊｖ_ｎｊ

の左からｍ≠ｎのｕ_ｍγ^＊を掛けて内積を取ると,

＜ｍγ|ｖ_ｎｊ＞＝0 なので(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)＜ｍγ|Δ^(２)Φ_ｎｊ＞ 

＝＜ｍγ|ＶΔ^(１)Φ_ｎｊ＞－Δ^(１)Ｅ_nｊ＜ｍγ|Δ^(１)Φ_ｎｊ＞

を得ます。

Ｅ_ｍ≠Ｅ_ｎなので,＜ｍγ|Δ^(２)Φ_ｎｊ＞ 

＝[＜ｍγ|ＶΔ^(１)Φ_ｎｊ＞－Δ^(１)Ｅ_nｊ＜ｍγ|Δ^(１)Φ_ｎｊ＞]

/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

＝Σ_ｋ≠ｎΣ_β|＜ｍγ|Ｖ｜ｋβ＞＜ｋβ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞

/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

－Σ_ｋ≠ｎΣ_β＜ｖ_ｎｊ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞＜ｋβ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２

以上から摂動の１次で縮退が解ける場合も２次までの近似で, 

ε_ｎｊ～ Ｅ_ｎ＋Δ^(１)Ｅ_ｎｊ＋Δ^(２)Ｅ_ｎｊ 

＝Ｅ_ｎ＋＜ｖ_ｎｊ｜Ｖ|ｖ_ｎｊ＞＋Σ_ｍ≠ｎΣ_γ|＜ｍγ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞|^２

/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)であり,

このエネルギー固有値に属する摂動近似解は,

Φ_ｎｊ～ｖ_ｎｊ＋Σ_ｍΣ_γｕ_ｍγ＜ｍγ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ) 

＋Σ_ｋ≠ｎΣ_β|＜ｍγ|Ｖ｜ｋβ＞＜ｋβ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞

/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｋ)(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)

－Σ_ｋ≠ｎΣ_β＜ｖ_ｎｊ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞＜ｋβ|Ｖ|ｖ_ｎｊ＞

/(Ｅ_ｎ－Ｅ_ｍ)^２

となります。

しかし,摂動の１次ではなおお縮退が解けず,２次で解ける場合, 

これは,detＰ＝det[Ａ－Δ^(１)Ｅ_ｎＩ]＝0がｇ重根を持つ場合 

つまり,Δ^(１)Ｅ_ｎ≡Δ^(１)Ｅ_ｎｊ＝Δ^(１)Ｅ_ｎ2＝..＝Δ^(１)Ｅ_ｎｇ

の場合です。

このときにも,同じ固有値に属するｇ個の固有ベクトル：

ｘ_ｊ＝^t(ｃ_１ｊ,ｃ_２ｊ,,..,ｃ_ｇｊ)：

ｖ_ｎｊ＝Σ_α=1^ｇｃ_αｊｕ_ｎαを＜ｖ_ｎｉ|ｖ_ｎｊ＞＝δ_ｉｊと

正規直交化して取ることができますから

同じ論理が成立します。

さて,以上のRaileigh-Schroedinger(Ｒ-Ｓ)の方法と呼ばれる

素朴な摂動論では高次になるほど補正式が煩雑になるため, 

他にやや簡明なBrillouin-Wigner(Ｂ-Ｗ)の方法があります。

定常状態のSchroedinger方程式：(Ｈ₀＋Ｖ)Φ_ｎ＝ε_ｎΦ_ｎ, 

or (ε_ｎ－Ｈ₀)Φ_ｎ＝ＶΦ_ｎからＨ₀ｕ_ｎ＝Ｅ_ｎｕ_ｎ

において最初から,未知の波動関数Φ_ｎを正規直交完全系

：{ｕ_ｎ}で展開してΦ_ｎ＝Σ_ｍ＜ｍ|Φ_ｎ＞ｕ_ｍと表記して

おきます。

以前のようにΦ_ｎ＝ｕ_ｎ＋ΔΦ_ｎで＜ｎ|ΔΦ_ｎ＞＝0 から

＜ｎ|Φ_ｎ＞＝1と仮定します。

よって,Φ_ｎ＝ｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎ＜ｍ|Φ_ｎ＞ｕ_ｍです。

(ε_ｎ－Ｈ₀)Φ_ｎ＝ＶΦ_ｎから

(ε_ｎ－Ｅ_n)＜ｎ|Φ_ｎ＞＝＜ｎ|Ｖ||Φ_ｎ＞で 

＜ｎ|Φ_ｎ＞＝1より

ε_ｎ－Ｅ_n＝＜ｎ|Ｖ||Φ_ｎ＞ですから,  

ε_ｎ＝Ｅ_n＋ΔＥ_ｎ,ΔＥ_ｎ＝＜ｎ|Ｖ||Φ_ｎ＞

を得ます。

一方,同じ(ε_ｎ－Ｈ₀)Φ_ｎ＝ＶΦ_ｎから

(ε_ｎ－Ｅ_ｍ)＜ｍ|Φ_ｎ＞＝＜ｍ|Ｖ|Φ_ｎ＞より 

＜ｍ|Φ_ｎ＞＝＜ｍ|Ｖ|Φ_ｎ＞/(ε_ｎ－Ｅ_ｍ)

そこで,Φ_ｎ＝ｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎ＜ｍ|Φ_ｎ＞ｕ_ｍ

＝ｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎ＜ｍ|Ｖ|Φ_ｎ＞ｕ_ｍ/(ε_ｎ－Ｅ_ｍ)

これらは,Φ_ｎとε_ｎが未知のままなので微分方程式を積分

方程式 or　級数方程式？のように方程式を書き換えただけ

ですが,この形は謂わゆるiteration(逐次代入の反復)で

近似解を求めるのに適しています。

まず,右辺の＜ｍ|Ｖ||Φ_ｎ＞のΦ_ｎに,さらに形式的に 

Φ_ｎ＝ｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎ＜ｍ|Ｖ|Φ_ｎ＞ｕ_ｍ/(ε_ｎ－Ｅ_ｍ)を

代入すると,

Φ_ｎ＝ｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎΣ_ｍ≠ｎ＜ｍ|Ｖ|ｋ＞＜ｋ|Ｖ|Φ_ｎ＞ｕ_ｋ

/(ε_ｎ－Ｅ_ｍ)(ε_ｎ－Ｅ_ｋ)　

を得ます。

これを繰り返せば,Φ_ｎ

＝ｕ_ｎ＋Σ_ｍ≠ｎΣ_ｍ≠ｎ＜ｍ|Ｖ|ｋ＞＜ｋ|Ｖ|ｎ＞ｕ_ｋ

/(ε_ｎ－Ｅ_ｍ)(ε_ｎ－Ｅ_ｋ)＋..なる摂動級数

が得られます。

こうして44年前に自分でとったノートを読み返してみると

当時,勉強したばかりで浅薄であった線形代数学の知識では

理解できたかどうかがあやふやな講義の板書をただ書き写し

たにしてはほとんど齟齬がないものだと改めて感心しました。

入学後に教養の１年生からイキナリよく知らない方程式や

専門用語の羅列等,初学者にはチンプンカンプンであった多く

の物理学の講義にしては,この教授が書いた板書は,

まるで当時,個人的によく潜入していた専門の数学科の講義

で感じたもののように至極丁寧であったと想像されます。

イヤ,それでも40年以上前のノートの式の中には意味を判読するの

に若干の時間がかかろものもありましたが。。。。

そうそう。。当時,量子力学の講義で,色々と参考プリントなど

配られ,それを見ていて,

「これらは物理にしては数学的過ぎるのでは？」

というクラスメイトのクレイムが出て,

それに対し「後になって,むしろ数学的であるほど,正に

量子力学なんだ,ということがわかるだろう。」という旨

のことを教授が返答していたと記憶しています。

今日はこのくらいにします。