ゲージ場の量子論から(その１)(経路積分と摂動論２)

　「ゲージ場の量子論から(経路積分と摂動論)」の続きです。

　今日は経路積分において以下に定義する中点処方の詳細について

記述し,経路積分を通して量子論と古典論のHamiltonianに如何なる

対応関係があるのか？を考察します。

※Weyl変換とWeyl順序

経路積分の表式；＜ｑ_Ｆ,ｔ_Ｆ|ｑ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

＝lim_Ｎ→∞∫ｄｐ₀(2π)^-1Π_ｋ＝1^Ｎ{ｄｐ_ｋｄｑ_ｋ/(2π)^-1} 

exp(iΣ_ｊ＝0^Ｎ{{ｐ_ｊ(ｑ_ｊ＋1－ｑ_ｊ)/Δｔ－Ｈ(ｐ_ｊ,(ｑ_ｊ＋１＋ｑ_ｊ)/2)}

×Δｔ} 

＝∫_{ｑ(ｔＩ)＝ｑＩ}^{ｑ(ｔＦ)＝ｑＦ}ＤｐＤｑ  

exp(i∫_ｔＩ^ｔＦｄｔ[ｐ(ｔ)ｑ_ｄ(ｔ)－Ｈ(ｑ(ｔ),ｐ(ｔ))])

において出現する形の古典的なHamiltonian： 

Ｈ(ｐ_ｊ,ｑ~_ｊ)；ｑ~_ｊ≡(ｑ_ｊ＋１＋ｑ_ｊ)/2

と量子論のHamiltonian演算子；Ｈとには一般に如何なる関係

があるのか？という疑問が生じます。

そうしたことの考察を述べる前に,経路積分における古典的

Hamiltonianのｑ座標 としてはｑ~_ｊ≡(ｑ_ｊ＋１＋ｑ_ｊ)/2の

ようにｑ_ｊとｑ_ｊ＋1の中点ｑ~_ｊで与えると規約しておくこと

にします。

この規約を中点処法(midpoint prescription)と呼びますが,

一般には同一のＨでもｑ座標の与え方でＨの関数形そのもの

が変わってしまいます。

経路積分を定義するに当たっては必ずしも中点処法でなく

他の規約をとる方法もありますが,特に,この中点処法を採用

する理由はＮ → ∞の有限和から連続極限の積分への移行

がスムーズであることなど,いくつかの利点があるからです。

※[注1]：通常のLebesgue積分(またはRiemann積分)の定義では

積分変数の区間分割において被積分関数の値として,分割区間

の端点の関数値を採用しようが中央の関数値を採用しようが

極限としての積分結果には無関係です。

,

まあ,それをもって積分可能である,とか可積であるとか,称する

定義となっているわけです。

しかし,例えば以前の記事で詳述した伊藤積分のような確率積分

なら,マルチンゲール性の考慮から端点値を採用することが重要

で,こうしたことが結果に重大な差異を生むことを言及したこと

もありました。

まあ,これは結局,確立積分自体が有界変動ではない関数の積分

和の極限なので,そうだったのですが,今の量子論のケースで

は不確定性原理： [ｐ,ｑ]＝－ｉによってｑｐ≠ｐｑと変数

が可換でないことが本質的な理由です。(注１終わり)※

さて, 

＜ｑ_ｊ＋１,ｔ_ｊ＋１|ｑ_ｊ,ｔ_ｊ＞

＝＜ｑ_ｊ＋１|exp{ｉＨ(ｔ_ｊ－ｔ_ｊ＋１)}|ｑ_ｊ＞ 

＝＜ｑ_ｊ＋１|(１－iＨΔｔ)|ｑ_ｊ＞　から,

＜ｑ_ｊ＋１,ｔ_ｊ＋１|ｑ_ｊ,ｔ_ｊ＞ 

＝(2π)^-1∫ｄｐ_ｊ

exp[i{ｐ_ｊ(ｑ_ｊ＋1－ｑ_ｊ)－Ｈ(ｐ_ｊ,(ｑ_ｊ＋１＋ｑ_ｊ)/2)Δｔ}] 

に至る導出手順と同様に,

＜ｑ_ｊ＋１|Ｈ|ｑ_ｊ＞

＝＜ｑ_ｊ＋１|ｐ²/2|ｑ_ｊ＞＋＜ｑ_ｊ＋１|Ｖ(ｑ)|ｑ_ｊ＞ 

＝∫ｄｐ_ｊ＜ｑ_ｊ＋１|ｐ²/2|ｐ_ｊ＞＜ｐ_ｊ|ｑ_ｊ＞

＋Ｖ(ｑ_ｊ)δ(ｑ_ｊ＋１－ｑ_ｊ) 

＝(2π)^-1∫ｄｐ_ｊ[exp[i{ｐ_ｊ(ｑ_ｊ＋1－ｑ_ｊ)}

{ｐ_ｊ²/2＋Ｖ((ｑ_ｊ＋ｑ_ｊ＋1)/2)}］ 

＝(2π)^-1∫ｄｐ_ｊ[exp[i{ｐ_ｊ(ｑ_ｊ＋1－ｑ_ｊ)}Ｈ(ｐ_ｊ,ｑ~_ｊ)

　です。

　これをＨ(ｐ,ｑ)について解くと 

Ｈ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｖ exp(iｐｖ)＜ｑ－ｖ/2|Ｈ|ｑ＋ｖ/2＞,

および, 

Ｈ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｕ exp(iｑｕ)＜ｐ＋ｕ/2|Ｈ|ｐ－ｕ/2＞ 

を得ます。

※[注2]：何故なら,ｑ≡(ｑ_ｊ＋1＋ｑ_ｊ)/2,ｐ≡ｐ_ｊ,ｖ≡ｑ_ｊ－ｑ_ｊ＋1

とおくとｑ_ｊ＋1＝ｑ－ｖ/2,ｑ_ｊ＝ｑ＋ｖ/2,なので, 

＜ｑ_ｊ＋１|Ｈ|ｑ_ｊ＞ 

＝(2π)^-1∫ｄｐ_ｊ[exp[i{ｐ_ｊ(ｑ_ｊ＋1－ｑ_ｊ)}Ｈ(ｐ_ｊ,ｑ~_ｊ)

は＜ｑ－ｖ/2|Ｈ|ｑ＋ｖ/2＞ 

＝(2π)^-1∫ｄｐ exp(－iｐｖ)Ｈ(ｐ,ｑ)

です。

そこで,Fourier逆変換によって, 

Ｈ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｖ exp(iｐｖ)＜ｑ－ｖ/2|Ｈ|ｑ＋ｖ/2＞

が得られます。

さらに,右辺＝∫ｄｖ exp(iｐｖ) 

∫ｄｐ₁∫ｄｐ₂＜ｑ－ｖ/2|ｐ₁＞＜ｐ₁|Ｈ|ｐ₂＞＜ｐ₂|ｑ＋ｖ/2＞ 

＝∫ｄｐ₁∫ｄｐ₂∫ｄｖ(2π)-1exp[I|ｐ－(ｐ₁＋ｐ₂)/2]ｖ}

＋i(ｐ₁－ｐ₂)ｑ]＜ｐ₁|Ｈ|ｐ₂＞ 

＝∫ｄｐ₁∫ｄｐ₂δ{ｐ－(ｐ₁＋ｐ₂)/2}exp|i(ｐ₁－ｐ₂)ｑ}

＜ｐ₁|Ｈ|ｐ₂＞ 

＝2∫ｄｐ₁exp|i(ｐ₁－ｐ₂)ｑ}＜ｐ₁|Ｈ|ｐ₂＞ 

＝2∫ｄｐ₁exp|i2(ｐ₁－ｐ)ｑ}＜ｐ₁|Ｈ|2ｐ－ｐ₁＞　

です。

それ故,ｕ≡＝2(ｐ₁－ｐ)とおけばｄｕ＝2ｄｐ₁であり,

ｐ₁＝ｐ＋ｕ/2,かつ,2ｐ－ｐ₁＝ｐ－ｕ/2です。

結局,Ｈ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｕexp(iｑｕ)＜ｐ＋ｕ/2|Ｈ|ｐ－ｕ/2＞

を得ます。(注2終わり)※

さて,再掲すると,

Ｈ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｖ exp(iｐｖ)＜ｑ－ｖ/2|Ｈ|ｑ＋ｖ/2＞ 

＝∫ｄｕ exp(iｑｕ)＜ｐ＋ｕ/2|Ｈ|ｐ－ｕ/2＞　

ですが,この形の演算子：Ｈからｃ数：Ｈ(ｐｑ)への変換は

一般にWeyl変換と呼ばれています。

これの逆変換は,Ｈ＝∫∫ｄｐｄｑＨ(ｐ,ｑ)Δ(ｐ,ｑ)　

ただし,Δ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｕ exp(iｑｕ)|ｐ－ｕ/2＞＜ｐ＋ｕ/2| 

＝∫ｄｖ exp(iｐｖ)|ｑ＋ｖ/2＞＜ｑ－ｖ/2| 

＝∫ｄｕｄｖ(2π)^-1 exp{i(ｑ－ｑ)ｕ＋i(ｐ－ｐ)ｖ}

で与えられます。

※[注3]；(証明)：演算子：

Ａ≡∫ｄｐ'ｄｑ'(2π)^-1Ｈ(ｐ',ｑ')∫ｄｕ' 

exp(iｑ'ｕ')|ｐ'－ｕ'/2＞＜ｐ'＋ｕ'/2|

をブラ:＜ｐ＋ｕ/2|とケット：|ｐ－ｕ/2＞の間に挟み

exp(iｑｕ)を掛けてｄｕで積分します。

すると, 

∫ｄｕ exp(iｑｕ)＜ｐ＋ｕ/2|Ａ|ｐ－ｕ/2＞ 

＝∫ｄｕｄｕ'∫ｄｐ'ｄｑ'(2π)^-1Ｈ(ｐ',ｑ')

exp(iｑｕ＋iｑ'ｕ') 

＜ｐ＋ｕ/2|ｐ'－ｕ'/2＞＜ｐ'＋ｕ'/2|ｐ－ｕ/2＞ 

＝∫ｄｕｄｕ'∫ｄｐ'ｄｑ'(2π)^-1Ｈ(ｐ',ｑ')

exp(iｑｕ＋iｑ'ｕ')δ(ｐ－ｐ'＋(ｕ＋ｕ')/2)

δ(ｐ'－ｐ＋(ｕ'＋ｕ)/2) 

＝∫ｄｕｄｕ'∫ｄｑ'(2π)^-1Ｈ(ｐ＋(ｕ＋ｕ')/2,ｑ') 

exp(iｑｕ＋iｑ'ｕ')δ(ｕ＋ｕ') 

＝∫ｄｕ∫ｄｑ'(2π)^-1Ｈ(ｐ,ｑ')exp{I(ｑ－ｑ')ｕ} 

＝∫ｄｑ'δ(ｑ－ｑ') Ｈ(ｐ,ｑ') 

＝Ｈ(ｐ,ｑ)　

となります。

したがって,Ｈ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｕ exp(iｑｕ)

＜ｐ＋ｕ/2|Ａ|ｐ＋ｕ/2＞ 

＝∫ｄｕexp(iｑｕ)＜ｐ＋ｕ/2|Ｈ|ｐ－Ｕ/2＞

が成立します。

同様に,演算子：

Ｂ≡∫ｄｐ'ｄｑ'(2π)^-1Ｈ(ｐ',ｑ')∫ｄｖ' 

exp(Iｐ'ｖ')|ｑ'＋ｖ’/2＞＜ｑ'－ｖ'/2|

をブラ:＜ｑ－ｖ/2|とケット：|ｑ＋ｖ/2＞の間に挟み

exp(Iｐｖ)を掛けてｄｖで積分すると,

Ｈ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｖ exp(Iｐｖ)＜ｑ－ｖ/2|Ｂ|ｑ＋ｖ/2＞ 

＝∫ｄｖexp(iｐｖ)＜ｑ－ｖ/2|Ｈ|ｑ＋ｖ/2＞

が成立することを示すことができます。

これらは,任意のｐ,ｑ,ｕ,ｖに対して恒等的に成立する

式ですから,結局,演算子として,Ａ＝Ｂ＝Ｈ が成立する

ことになります。

Ａ,および,Ｂの定義式は,積分変数からプライムをはずすと

それぞれ,

Ａ≡∫ｄｐｄｑ(2π)^-1Ｈ(ｐ,ｑ)

∫ｄｕexp(iｑｕ)|ｐ－ｕ/2＞＜ｐ＋ｕ/2| 

および, 

Ｂ≡∫ｄｐｄｑ(2π)^-1Ｈ(ｐ,ｑ)

∫ｄｖexpiｐｖ)|ｑ＋ｖ/2＞＜ｑ－ｖ/2| 

であり,Ａ＝Ｂなのですから,

∫ｄｕexp(iｑｕ)|ｐ－ｕ/2＞＜ｐ＋ｕ/2| 

＝∫ｄｖexpiｐｖ)|ｑ＋ｖ/2＞＜ｑ－ｖ/2|

と結論されます。

この因子＝演算子をΔ(ｐ,ｑ)と表わすことによって 

Ｈ＝Ａ＝Ｂ∫ｄｐｄｑ(2π)^-1Ｈ(ｐ,ｑ)Δ(ｐ,ｑ)

なる表式を得ます。

さらに, 

Δ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｕｄｖ(2π)^-1

exp{i(ｑ－ｑ)ｕ＋i(ｐ－ｐ)ｖ}

となることも以下に証明します。

それには,

Ｈ＝∫ｄｐｄｑ(2π)^-1Ｈ(ｐ,ｑ) 

×∫ｄｕｄｖ(2π)^-1 exp{i(ｑ－ｑ)ｕ＋i(ｐ－ｐ)ｖ}

となることを示せばよいのですが,

Ｈ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｖexp(iｐｖ)＜ｑ－ｖ/2|Ｈ|ｑ＋ｖ/2＞ 

ですから, 

Ｈ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｐ'ｄｑ'(2π)^-1Ｈ(ｐ',ｑ') 

×∫ｄｕ'ｄｖ'ｄｖ(2π)^-1exp(iｐｖ) 

＜ｑ－ｖ/2|exp{i(ｑ'－ｑ)ｕ’＋i(ｐ'－ｐ)ｖ'}|ｑ＋ｖ/2＞ 

を示せば十分です。

さて,右辺＝∫ｄｐ'ｄｑ'(2π)^-2Ｈ(ｐ',ｑ') 

∫ｄｕ'ｄｖ'ｄｖexp(iｐｖ＋iｑ'ｕ'＋ｐ'ｖ') 

＜ｑ－ｖ/2|exp(－iｑｕ'－iｐｖ')|ｑ＋ｖ/2＞ 

と書けます。

ところで,線型演算子Ｘ,Ｙの交換子[Ｘ,Ｙ]＝ＸＹ－ＹＸ

がＸ,Ｙと可換な場合：つまり,[Ｘ,[Ｘ,Ｙ]]＝0, [Ｙ,[Ｘ,Ｙ]]＝0

が成立するときには,

exp(Ｘ＋Ｙ)＝exp{－[Ｘ,Ｙ]/2}expＸexpＹ

なる等式が成立する。という性質があります。

(※↑ これについては2006年10/27の本ブログの過去の

　記事:「量子力学の交換関係の問題(その２)」を参照

されたい。※)

　この公式を適用すると,

exp(－iｑｕ'－iｐｖ') 

＝exp{－(－iｑｕ'－iｐｖ')/2}exp(－iｑｕ')exp(－iｐｖ')

です。

そして,[－iｑｕ',－iｐｖ']

＝－ｕ'ｖ'[ｑ,ｐ]＝－iｕ'ｖ'より,

exp(－iｑｕ'’－iｐｖ')

＝exp(－iｕ'ｖ'/2)exp(－iｑｕ')exp(－iｐｖ')

です。

　故に,

＜ｑ－ｖ/2|exp(－iｑｕ'－iｐｖ')|ｑ＋ｖ/2＞ 

＝exp(－iｕ'ｖ'/2)

＜ｑ－ｖ/2| exp(－iｑｕ')exp(－iｐｖ')|ｑ＋ｖ/2＞ 

です。

さらに, 

＜ｑ－ｖ/2| exp(－iｑｕ')exp(－iｐｖ')|ｑ＋ｖ/2＞ 

＝∫ｄｐ"＜ｑ－ｖ/2|exp(－iｑｕ')exp(－iｐｖ')|ｐ"＞ 

＜ｐ”|ｑ＋ｖ/2＞ 

＝∫ｄｐ"(2π)^-1exp{iｐ"(ｑ－ｖ/2)}

exp{－i(ｑ－ｖ/2)ｕ'－iｐ"ｖ'}exp{－iｐ"(ｑ＋ｖ/2)} 

＝ exp{－i(ｑ－ｖ/2)ｕ'}δ(ｖ'＋ｖ) 

です。

そこで,∫ｄｕ'ｄｖ'ｄｖ(2π)^-2

exp(iｐｖ＋iｑ'ｕ'＋ｐ'ｖ') 

＜ｑ－ｖ/2|exp(－iｑｕ'－iｐｖ')|ｑ＋ｖ/2＞ 

＝∫ｄｕ'ｄｖ(2π)^-2exp(iｐｖ＋iｑ'ｕ'－iｐ'ｖ) 

exp(iｕ'ｖ/2)exp{－i(ｑ－ｖ/2)ｕ'} 

＝(2π)^-1∫ｄｖexp{i(ｐ－ｐ')ｖ}δ(ｑ'－ｑ) 

＝δ(ｐ－ｐ') δ(ｑ'－ｑ)

以上から,∫ｄｐ'ｄｑ'(2π)^-2Ｈ(ｐ',ｑ') 

∫ｄｕ'ｄｖ'ｄｖexp(iｐｖ＋iｑ'ｕ'＋ｐ'ｖ') 

＜ｑ－ｖ/2|exp(－iｑｕ'－iｐｖ')|ｑ＋ｖ/2＞ 

＝∫ｄｐ'ｄｑ'Ｈ(ｐ',ｑ')δ(ｐ－ｐ') δ(ｑ'－ｑ) 

＝Ｈ(ｐ,ｑ)　

が得られました。　(証明終わり)(注3終わり)※

まとめると,Ｈ(ｐ,ｑ)

＝∫ｄｖ exp(iｐｖ)＜ｑ－ｖ/2|Ｈ|ｑ＋ｖ/2＞ 

＝∫ｄｕ exp(iｑｕ)＜ｐ＋ｕ/2|Ｈ|ｐ－ｕ/2＞,

および,Ｈ＝∫∫ｄｐｄｑＨ(ｐ,ｑ)Δ(ｐ,ｑ)　

ただし,Δ(ｐ,ｑ)＝∫ｄｕ exp(iｑｕ)

|ｐ－ｕ/2＞＜ｐ＋ｕ/2|＝∫ｄｖ exp(iｐｖ)

|ｑ＋ｖ/2＞＜ｑ－ｖ/2| 

＝∫ｄｕｄｖ(2π)^-1 exp{i(ｑ－ｑ)ｕ＋i(ｐ－ｐ)ｖ}

です。

これらから,量子論のHamiltonian：Ｈと経路積分に現われる

古典的Hamilyonian：Ｈ(ｐ,ｑ)とは中点処方を採用する規約

の下でWeyl変換と逆Weil変換によって１対１に対応すること

が確認されます。

さて,次にｐとｑのベキの単項式に対するWeyl順序積と呼ばれる

ものを,記号では{..}_Ｗと書いて次のように定義します。

すなわち, 

{ｐｑ}_Ｗ≡(1/2)(ｐｑ＋ｑｐ), 

{ｐｑ³}_Ｗ≡(1/4)(ｐｑ³＋ｑ²ｐｑ＋ｑｐｑ²＋ｑ³ｐ) 

etc.と定義するわけです。

　より一般には,演算子ｐとｑの指数関数演算子は

　exp(αｐ＋βｑ) 

　≡Σ_ｍ,ｎ{1/(ｎ!ｍ!)}α^ｍβ^ｎ{ｐ^ｍｑ^ｎ}_Ｗ  

　で定義されます。

　　この順序積を用いると,先のＨ(ｐ,ｑ)とＨの対応は,

　Ｈ(ｐ,ｑ)とＨ＝{Ｈ(ｐ,ｑ)}_Ｗの対応と理解されます。

　したがって,常に演算子をWeyl順序積で与えることに

　すれば,量子論と古典論のHamiltonianは事実上同じ関数形

　を持つと理解されます。

(参考文献)：九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

(※　なお,余談であり手前味噌の記事の宣伝の類いですが, 

確率積分やブラウン運動関連がテーマの過去記事については,

 ブラウン運動とフラクタル次元  エルゴード問題と次元   

 酔歩(ランダム・ウォーク)  酔歩(ランダム・ウォーク)（訂正）

　および,

 ブラウン運動と伊藤積分(1)  ブラウン運動と伊藤積分(2)   

 ブラウン運動と伊藤積分(3) ブラウン運動と伊藤積分(4) 

 ブラウン運動と伊藤積分(5) 条件付確率と条件付期待値 

 ブラウン運動と伊藤積分(6) ブラウン運動と伊藤積分(7) 

 ブラウン運動と伊藤積分(8) ブラウン運動と伊藤積分(9)  

 ブラウン運動と伊藤積分(10)

　があるので参照してみてください。※)

　いやあ,久しぶりでチェックの計算に疲れました。 

　今まで通り※[注]の部分が私が埋めた蛇足かもしれない 

　行間部分です。

 そして,読んだことを私自身の認識能力の限界内 に入れて 

　納得するための自己満足的注釈です。

　体調の関係で土,日,月が休みという優雅な生活パターン  

　にしてますが,一応,週末ブロガーと化す程度には,気力

　が回復 しているようです。。