統計力学の基礎(8)(統計力学の基礎付け２)

　統計力学の基礎付けの続きです。

　前回の終わりでは,

 もう１つ気になるのが,統計集団(アンサンブル)を考える際の純粋集団(純粋状態)と混合集団(混合状態)の話です。

と書きました。

その続きです。

前々回の記事の量子統計力学２では,分配関数ＺはＮ粒子系の多体問題の純粋状態のトレースによりＺ＝Ｔr[exp(－βＨ)]で与えられることを示しました。

まあ,小正準集団を想定するなら集団を構成する個々の微視状態を

普通の干渉も有り得る観測前のコヒーレントな量子状態(純粋状態)

と考えることも可能てす。

しかし,正準集団の考え方では,莫大な個数 Ｍ個の同じ系を集めて全体

として孤立系になるような集団とするわけですが,この集団の個々の系

は全て同じ構造を持つとはいっても,それらは既に純粋状態ではなく,

エネルギ「ーＥを持つ系(＝純粋状態)が率exp(－βＥ)/Ｚで混合された

デコヒ－レントな混合状態と考えられます。

　統計集団というのは,統計力学の理論を定式化するために便法

として想定されたものに過ぎないので,それが純粋集団か混合集団

か？のようなことについて思い煩う必要はないのですが。。。

私はやはり気になります。

これについては,2006年10/23の記事「観測の理論(デコヒーレンス)」

があります。

これもまず全文を再掲載します。

(※以下,過去記事の全文です。)

今日は,観測に伴なって固有状態の干渉項が消滅すること

＝デコヒーレンス　(decoherence)の現象を最近の理論に基づいて

述べてみたいと思います。

ただし私自身は本質的には多世界解釈の方に傾いています。

まず,"観測可能量(observable)＝物理量＝線型演算子"Ｏとその

あらゆる固有値:ｏ_iに属する固有状態：|ｉ＞の集合,つまり,

Ｏ|ｉ＞＝ｏ_i|ｉ＞を満たす|ｉ＞の集合があり,これらが

完全系を形成している,すなわち,∑_i|ｉ＞＜ｉ|＝1

が成立しているとします。

"任意の状態＝純粋状態":|ψ＞は|ψ＞＝∑_iｃ_i|ｉ＞と展開可能

でこの同じ状態|ψ＞において,物理量Ｏを状態を乱すことなく

独立に多数回観測したときにはＯの固有値以外が観測されること

はなく,観測値がｏ_iである確率が|ｃ_i|²で与えられます。

そして∑_i|ｃ_i|²＝1が成立しているというのが量子力学

の観測に関する枠組みと考えられます。

しかも,通常は固有状態|ｉ＞は正規直交化されていて,

＜ｉ|ｊ＞＝δ_ijなのでｃ_i＝＜ｉ|ψ＞なる式が成立して

います。 

したがって,この純粋状態|ψ＞における物理量Ｏ^の観測値

の"期待値＝平均値"は,

＜Ｏ＞_ψ＝∑_i|ｃ_i|²ｏ_i＝∑_i＜ｉ|ψ＞＜ψ|ｉ＞＜ｉ|Ｏ|ｉ＞

＝∑_i＜ψ|ｉ＞＜ｉ|Ｏ|ｉ＞＜ｉ|ψ＞＝＜ψ|Ｏ|ψ＞

で与えられます。

つまり,＜Ｏ＞_ψ＝＜ψ|Ｏ|ψ＞であり.

＜Ｏ＞_ψ＝∑_i＜ψ|Ｏ|ｉ＞＜ｉ|ψ＞＝∑_i＜ｉ|ψ＞＜ψ|Ｏ|ｉ＞

＝Ｔr(Ｐ_ψＯ)となります。

ここで射影演算子とよばれるＰ_ψはＰ_ψ≡|ψ＞＜ψ|で定義され,

物理量Ｘの対角和(trace)が,Ｔr(Ｘ)≡∑_i＜ｉ|Ｘ|ｉ＞と定義

されています。

そして対角和の値が,これを定義する完全系{|ｉ>}の選択に依ら

ないことも簡単にわかります。

ところで,もしもこの体系が,状態間の干渉が存在するような状態

の重ね合わせのみで成り立つ純粋状態ではなく,

情報の欠如などによって統計的に純粋状態:ψ,φ,χ,...が

それぞれ確率:Ｗ(ψ),Ｗ(φ),Ｗ(χ),...で混合している混合

状態であるとすれば,

Ｏの期待値は＜Ｏ＞＝∑_ψＷ(ψ)＜ψ|Ｏ|ψ＞　

で与えられます。

これも,＜Ｏ＞＝∑_ψＷ(ψ)＜ψ|Ｏ|ψ＞

＝∑_ψ∑_iＷ(ψ)＜ψ|Ｏ|ｉ＞＜ｉ|ψ＞

＝∑_i∑_ψＷ(ψ)＜ｉ|ψ＞＜ψ|Ｏ|ｉ＞＝Ｔr(ρＯ)

となり,純粋状態の＜Ｏ＞_ψ＝Ｔr(Ｐ_ψＯ)と同じ形に

書けます。

ここでρ^はρ≡∑_ψＷ(ψ)|ψ＞＜ψ|＝∑_ψＷ(ψ)Ｐ_ψと定義

されて統計作用素,または,密度演算子(密度行列)と呼ばれます。

対象となる体系のHamiltonianをＨとすると統計作用素ρ

も時間に依存する量子力学の線形演算子に相違ないので,

Heisenbergの運動方程式:iｈ_c(∂ρ/∂ｔ)＝[Ｈ,ρ]

を満足します。

ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)でｈはPlanck定数です。

実は状態|ψ＞はSchroedinger表示の時間を含む状態ベクトル

|ψ(ｔ)＞で,これがSchroedingerの方程式:

iｈ_c(∂/∂ｔ)|ψ(ｔ)＞＝Ｈ|ψ(ｔ)＞　を満たします。

逆に統計作用素ρ≡∑_ψＷ(ψ)|ψ(ｔ)＞＜ψ(ｔ)|が時間

ｔを含むHeisenberg表示の作用素となるため,Heisenbergの

運動方程式:iｈ_c(∂ρ/∂ｔ)＝[Ｈ,ρ]を満たすと考えて

よいわけです。

時間発展の演算子をＵ(ｔ',ｔ)＝exp{－iＨ(ｔ'－ｔ)}と

すると,|ψ(ｔ')＞＝Ｕ(ｔ',ｔ)|ψ(ｔ)＞ですから,

ρ(ｔ)≡∑_ψＷ(ψ)|ψ(ｔ)＞＜ψ(ｔ)|によって

ρ(ｔ')＝Ｕ(ｔ',ｔ)ρ(ｔ)Ｕ(ｔ',ｔ)^-1となります。

統計作用素ρの時間発展はユニタリ変換によって行われる

のでρや,ρに関わる関係式は時間発展によって変化しません。

簡単のため,スピンが1/2の区別できる粒子が２個ある体系に

ついて考察します。

スピン1/2の１粒子のスピン角運動量の演算子をｓとすると,

それは２行２列の行列表示では,Pauliのスピン行列σを用いて,

ｓ＝(ｈ_c/2)σと表わされます。

σ_z の固有値＋1,－1の固有状態を,それぞれ|α＞,|β＞とします。

２つの粒子それぞれのこうした状態を,それぞれ,|α⁽ⁱ⁾＞

と|β⁽ⁱ⁾＞(ｉ＝1,2)で指定することにします。

このとき,全系の任意の状態ベクトルは|α⁽¹⁾＞|α⁽²⁾＞,

|α⁽¹⁾＞|β⁽²⁾＞,|β⁽¹⁾＞|α⁽²⁾＞,|β⁽¹⁾＞|β⁽²⁾＞の1次結合

で表わされます。

そして,例えばスピンがゼロの状態は,

|0＞＝(1/2^1/2)(|α⁽¹⁾＞|β⁽²⁾＞－|β⁽¹⁾＞|α⁽²⁾＞)

で与えられます。

この状態での統計作用素ρ^₀は,

ρ₀ ＝(1/2)(|α⁽¹⁾＞|β⁽²⁾＞－|β⁽¹⁾＞|α⁽²⁾＞)

(＜α⁽¹⁾|＜β⁽²⁾|－＜β⁽¹⁾|＜α⁽²⁾|)

＝(1/2)(|α⁽¹⁾＞＜α⁽¹⁾|⊗|β⁽²⁾＞＜β⁽²⁾|

－|α⁽¹⁾＞＜β⁽¹⁾|⊗|β⁽²⁾＞＜α⁽²⁾|

－|β⁽¹⁾＞＜α⁽¹⁾|⊗|β⁽²⁾＞＜α⁽²⁾|

＋|β⁽¹⁾＞＜β⁽¹⁾|⊗|α⁽²⁾＞＜α⁽²⁾|)

となります。

ただし,記号⊗は直積を表わしています。

このρ₀は確かに,純粋状態を示す"統計作用素＝射影演算子"

です。

ここで,一般に粒子１のみに関する物理量Ｓ⁽¹⁾を測定する場合

を想定すると,このときも対象としては全体系ですから,

物理量を表わす作用素はＳ⁽¹⁾⊗１⁽²⁾です。

その期待値は,

＜Ｓ⁽¹⁾⊗１⁽²⁾＞＝Ｔr(ρＳ⁽¹⁾⊗１⁽²⁾)

＝∑_i∑_j＜ｉ⁽¹⁾|＜ｊ⁽²⁾|ρＳ⁽¹⁾|ｊ⁽²⁾＞|ｉ⁽¹⁾＞

＝Ｔr(ρ⁽¹⁾Ｓ⁽¹⁾)  と書くことができます。

ここで,ρ⁽¹⁾≡＜ｊ⁽²⁾|ρ|ｊ⁽²⁾＞＝Ｔr_,2(ρ)　です。

そして,部分系である粒子１の物理量Ｓ⁽¹⁾の測定の期待値は全て

＜Ｓ⁽¹⁾⊗１⁽²⁾＞＝Ｔｒ(ρ⁽¹⁾Ｓ⁽¹⁾)の形で表わせるので,

実質的には,ρ⁽¹⁾が部分系である粒子１の状態を示す統計作用素

であると見なすことができるでしょう。

ここで,ρ＝ρ₀ の場合には,

ρ₀⁽¹⁾＝＜α⁽²⁾|ρ₀|α⁽²⁾＞＋＜β⁽²⁾|ρ₀|β⁽²⁾＞

＝(1/2)(|α⁽¹⁾＞＜α⁽¹⁾|＋|β⁽¹⁾＞＜β⁽¹⁾|)　です。

そこで,全系が純粋状態でも,部分系である粒子１の状態は

ｚ成分のスピンが上向きと下向きが1対１に混合した混合状態

となることがわかります。

話を戻して,体系の状態が|ψ＞で物理量Ｏ^の固有状態での

展開が,|ψ＞＝∑_iｃ_i|ｉ＞(∑_i|ｃ_i|²＝1)　で与えられると

します。

Ｏ^の測定装置はマクロな物体ですが,装置も状態ベクトル

で表わすことができると仮想して,その初めの状態を|ｏ＞_A

とします。

そして,対象が状態|ｉ＞にあるとき,それを測定したときの

"対象＝体系と装置"の変化を|ｉ＞|ｏ＞_A → |ｉ＞|ｉ＞_A

とします。

そこで,|ψ＞を測定したときには,

|ψ＞|ｏ＞_A → ∑_iｃ_i|ｉ＞|ｉ＞_A となります。

この最後の状態はもちろん純粋状態であって,物理量Ｏの期待値

を取れば当然|,ｉ＞|ｉ＞_A 間の干渉が現われるはずです。

最初の状態が純粋状態であって時間発展がユニタリですから当然

それは予想されたことです。

しかし,我々の観測の経験では,測定の最後の状態は

|ｉ＞|ｉ＞_Aの状態がＷ(ｏ_i)＝|ｃ_i|²の確率で混じり合って

いて,決して干渉作用など起きない混合状態です。

簡単のために,１電子のスピンのｚ成分を観測するStern-Gerlach

の実験のようなものを考察します。

これは,不均一な磁場の中にスピン磁気モーメントを持つ電子

が入射してスピンが上向きか下向きかが検出される実験です。

入射電子はある一定のスピン状態にあって,

|ψ＞＝(ｃ₁|α＞＋ｃ₂|β＞)|φ＞,(|ｃ₁|²＋|ｃ₂|²＝1)

であるとします。

ただし,|φ＞は電子線の空間的運動を表わす状態ベクトルです。

入射電子が磁場の中を通るとスピンの向きによって空間的運動

は上下に分裂するので,

|ψ＞ → |γ＞≡ｃ₁|α＞|φ_＋＞＋ｃ₂|β＞|φ_－＞

となります。

そして,上下にある検出装置の統計作用素＝密度行列をそれぞれρ^A_α,ρ^A_β,対象と装置の全体系の"統計作用素＝密度行列"をη₀と

すると,

η₀＝|γ＞＜γ|⊗ρ^A_α⊗ρ^A_β

＝(|ｃ₁|²ρ_＋＋＋|ｃ₂|²ρ_－－＋ｃ₁ｃ₂^*ρ_＋－＋ｃ₂ｃ₁^*ρ_－＋)⊗ρ^A_α⊗ρ^A_β

と書けます。

ここで,

　ρ_＋＋＝|α＞＜α|⊗|φ_＋＞＜φ_＋|,

　ρ_－－＝|β＞＜β|⊗|φ_－＞＜φ_－|,

　ρ_＋－＝|α＞＜β|⊗|φ_＋＞＜φ_－|,

　ρ_－＋＝|β＞＜α|⊗|φ_－＞＜φ_＋|

です。

測定装置が状態ベクトルで表わされている状況では,ユニタリ性の故,

測定の結果として,干渉項ρ_＋－,ρ_－＋が消えることは決して有り得ないことです。

そこで装置は初めから混合状態にあると考えます。

すなわちマクロな装置はＮ個～ Avogadro数個程度の粒子の集合系

であり,このＮ粒子の系の多数の状態ベクトルの混合状態が装置を

表わしていると考えるわけです。

そして,測定にはある時間にわたって全体系の密度行列η₀を調べる

必要があります。

それぞれ,Ｎ,Ｎ'粒子系から成る上下の検出装置に対して

η₀(Ｎ,Ｎ')≡|γ＞＜γ|⊗ρ^A_α(Ｎ)⊗ρ^A_β(Ｎ') と定義

します。

相互作用が起こる直前の時刻をｔ₀ として,時刻ｔでの全体系の

統計作用素をＮ,Ｎ'を省略してη(ｔ)と書くと,η(ｔ₀)＝η₀に

対し, 

η(ｔ)＝∑_N,NＷ(Ｎ)Ｗ(Ｎ')Ｕ(ｔ,ｔ₀)η₀(Ｎ,Ｎ')Ｕ(ｔ,ｔ₀)^-1

(ただし∑Ｗ(Ｎ)＝1)

と書くことができます。

η₀(Ｎ,Ｎ')＝|γ＞＜γ|⊗ρ^A_α(Ｎ)⊗ρ^A_β(Ｎ')において,

例えばρ_＋－に関わる部分は,

|α＞＜β|⊗|φ_＋＞＜φ_－|⊗ρ^A_α(Ｎ)⊗ρ^A_β(Ｎ')　です。

装置との相互作用部分がスピンに依らないとすれば,時間発展

は,Ｕ(ｔ,ｔ₀)|φ_＋＞ρ^A_α(Ｎ)＜φ_－|ρ^A_β(Ｎ')Ｕ(ｔ,ｔ₀)^-1

となります。

ここで,|φ_＋＞はρ^A_α(Ｎ)のみ,＜φ_－|はρ^A_β(Ｎ')のみと相互作用

するので左右に分けました。

ｔを相互作用が終わった時刻とし,Ｎ個の粒子の個数に比例する

運動長さの単位をＬ(Ｎ)とすると,そのオーダーはＬ(Ｎ)～Ｎ^1/3

です。

そして,比例定数として波数因子ｋを掛けた位相の変化がある

と考えられるので,

左のＵ(ｔ,ｔ₀)|φ_＋＞ρ^A_α(Ｎ)は因子exp{iｋＬ(Ｎ)}を,

右の＜φ_－|ρ^A_β(Ｎ')Ｕ(ｔ,ｔ₀)^-1は因子exp{－iｋＬ(Ｎ')}

を含むはずです。

ここで,η(ｔ)＝∑_N,N’...を連続化して積分式にすると,

η(ｔ)＝∫ｄＬ∫ｄＬ'Ｗ(Ｌ－Ｌ₀)Ｗ(Ｌ'－Ｌ₀)Ｕ(ｔ,ｔ₀)

η₀(Ｌ,Ｌ')Ｕ(ｔ,ｔ₀)^-1(ただし∫ｄＬＷ(Ｌ－Ｌ₀)＝1)

となります。

位相部分だけに着目すると,Ｌ(Ｎ)～Ｎ^1/3が大きい極限で

密度行列要素は,それぞれ,

ρ_＋＋ → 1,ρ_－－ → 1,および,　ρ_＋－→ exp{iｋ(Ｌ－Ｌ')},

ρ_－＋ → exp{－iｋ(Ｌ－Ｌ')}

となります。

ところで,Riemann^Lebesgueの定理によれば,Ｌ,Ｌ'が無限大の

極限では,

∫ｄＬ∫ｄＬ'Ｗ(Ｌ－Ｌ₀)Ｗ(Ｌ'－Ｌ₀)exp{iｋ(Ｌ－Ｌ')} → 0

となります。

このことから"統計作用素＝密度行列"からρ_＋－とρ_－＋の干渉項

が消えてρ_＋＋とρ_－－の項のみがそのままの形で残ることになり,

事実上デコヒーレンスが実現されることになると考えられます。

ただし,清水明氏の「量子測定の原理とその問題点」に書かれて

いますが,

"測定装置の他に環境も含めたとしても干渉項のオーダーは

観測時間をＴ,光速をｃとして,exp[－(正定数)×ｃＴ³]が限界

であり決して正確にゼロになって消えるわけではない。"

という問題は残っています。

一方,ｓ_zの測定によって必ずしもσ_zの固有状態である

|α＞,|β＞が観測されると考える必要はないという本質的な

問題もあります。

例えば,|χ_±＞≡(1/2^1/2)(|α＞±|β＞)(複号同順)はσ_xに

対してのスピンの＋,－の固有状態です。

先の統計作用素において非干渉成分として,

ρ_＋＋＝|α＞＜α|⊗|φ_＋＞＜φ_＋|,ρ_－－

＝|β＞＜β|⊗|φ_－＞＜φ_－|　の代わりに,

ρ'_＋＋＝|χ_＋＞＜χ_＋|⊗|φ'_＋＞＜φ'_＋|,

ρ'_－－＝|χ_－＞＜χ_－|⊗|φ'_－＞＜φ'_－|

が残ると考えても何の不都合もないからですね。

こちらの問題は(猫生)か(猫死)のどちらか一方のみの状態が観測

されるとして定式化しても,

それらの重ね合わせ状態が観測されるとして定式化しても,

"統計作用素＝密度行列"のデコヒーレンスだけからは,

それらは全く同等である,ことから多世界解釈の問題でもあり

超選択則に関わる問題ですね。

例えば変換群の異なる既約表現にまたがる重ね合わせ状態は

観測されない,とかの原理的問題であると思います。

具体的には既約表現の問題とは,ちょっと違うかもしれないです

が,アイソピン(荷電スピン)に関わる２次元特殊ユニタリ群

ＳＵ(2)において,

陽子と中性子の重ね合わせ状態は決して観測されない,という

のも超選択則の例です。

これに対して,φメソンやＫメソンにはむしろ混合(mixing)が

ある状態で存在する方が普通なので,自然がどういうメカニズム

になっているのかは不思議なことです。

これに関しては,観測を行なう以前の物理系の状態を記述する

"波動関数や密度行列をも実在であると考えるかどうか？"

という哲学的な問題も関連あるかもしれません。

参考文献；町田茂 著「基礎量子力学」(丸善),

ボーム 著「量子論」(みすず書房)

(再掲載終了※) 

さて,再び,考察しますが,正準集団,大正準集団が混合集団であることは疑う余地がりません。

しかし,小正準集団についてははっきりしません。

古典統計力学では,小正準集団に属する微視的状態は相空間の

個々の軌道であり,それらの状態はもちろん干渉するわけではなく

運動方程式のＮ個の厳密な解の全ての情報から巨視的平均量や確率

分布を求める代わりに,統計的原理を導入し,それに基づいてそれら

の量を求めるのですから,集団には完全な情報が欠如しているのは

明らかです。

しかし,量子論では,古典論と対比すると,Ｎ粒子の系の完全な情報

が,そもそも確率波という確率的なものです。

そして,個々の微視状態を多体系の波動方程式の解の重ね合わせで

与えられる純粋状態と考えることもできそうです。

純粋状態だけで熱平衡状態を表現できれば情報の欠如なく定式化

できると思いますが,これはシミュレーション計算をする計算物理学

の分野でしょうか？。

統計力学の原理に基づいて最大確率を与える分布を求めるという

旧来からの統計力学の思想に合致する対象は,小正準集団でも,干渉

などしない混合状態の集団です。

実際,系の巨視的量の観測はマクロな測定装置を用いて行なうわけ

ですから,その時点で既にマクリな装置との干渉でデコヒーレント

な状態に移行した後の系を対象としていると考えるのが普通です。

ネットを検索してみると,私の種ひゅうの疑念と意図を共有する

ものとして,大阪市大,杉田歩氏のＰＤＦ

「;量子統計力学の基礎付けについて;」,　および,

すう理化学化学科学2013年６月号の特集記事として,

「量子純粋状態による統計力学の定式化」がありました。 

今日はこれで終ります。