統計力学の基礎(6)(量子統計力学４)

　統計力学の基礎概念への脱線から離れて,再び,量子統計力学３の

続きです。

経路積分と摂動論に戻る最後の関門の第２量子化とGreen関数

について記述します。

今日は,まず,第２量子化について述べます。

そのため,最初はBose統計に従う粒子に着目します。

粒子数の演算子ｎ_rを考えます。

添字ｒは具体的にはBoseスカラー粒子なら波数(運動量)ｋだけ

ですが,Fermi粒子かスピンが１のBose粒子ならスピン変数をσ

としてｒ＝(ｋ,σ)などを意味します。

便宜上,適宜この添字ｒを省略して個数演算子をｎ,その固有値

ｎを持つ状態を,ケットベクトル |ｎ＞で記述します。

ｎ|ｎ＞＝ｎ|＞です。

固有値ｎは整数値のみを取り,固有ベクトル|ｎ＞は

＜ｍ|ｎ＞＝δ_ｍｎと直交規格化されているとします。

こうしたｎの固有状態に対して次のような作用を及ぼす演算子 

ａ,ａ^＋を導入します。

すなわち,　ａ|ｎ＞＝ｎ^1/2|ｎ－1＞,

ａ^＋|ｎ＞＝(ｎ＋1)^1/2|ｎ＋1＞　なる作用です。

つまり,ａは粒子数を１つ減らす演算子,ａ^＋は１つ増やす演算子

です。そこでａを消滅演算子,ａ^＋を生成演算子と呼びます。

これらは状態のケットにのみに作用して,その係数には作用せず

素通りするとします。

するとａ^＋ａ|ｎ＞＝ｎ^1/2ａ^＋|ｎ－1＞＝ｎ|ｎ＞, 

ａａ^＋|ｎ＞＝(ｎ＋1)^1/2ａ^＋|ｎ＋1＞＝(ｎ＋1)|ｎ＞

が成立します。

それ故,ａ^＋ａが,個数演算子ｎの役割をすることがわかります。

そじで添字ｒを復活させると,ｎ_r＝ａ_r^＋ａ_rです。

ａ,ａ^＋の行列要素をつくると,任意のｍ,ｎに対して, 

＜ｍ|ａ|ｎ＞＝ｎ^1/2＜ｍ|ｎ－1＞＝ｎ^1/2δ_ｍ,ｎ－1であり, 

＜ｎ|ａ^＋|ｍ＞＝(ｍ＋1)^1/2δ_ｍ,ｎ＋1＝ｎ^1/2δ_ｍ,ｎ－1ですから 

＜ｎ|ａ^＋|ｍ＞＝＜ｍ|ａ|ｎ＞^＊が成立します。

したがって,ａ^＋はａのHermite共役です。

よって,ａ_r^＋はａ_rのHermite共役です。

そこで,上添字＋(ダガー)を文字通り演算子のHermite共役を意味

する記号と考えれば,ｎ_r^＋＝(ａ_r^＋ａ_r)^＋＝ａ_r^＋ａ_r＝ｎ_rとなるため

ｎ_rは実数のみを固有値とするHermite演算子なので,この意味では

定義は無矛盾です。　

また,ａ^＋ａ|ｎ＞＝ｎ|ｎ＞,ａａ^＋|ｎ＞＝(ｎ＋1)|ｎ＞より,

全ての|ｎ＞に対して,(ａａ^＋－ａ^＋ａ|ｎ＞＝|ｎ＞ですから,

ａａ^＋－ａ^＋ａ＝1 が成立します。

任意の演算子Ａ,Ｂに対して交換子[Ａ,Ｂ]を

[Ａ,Ｂ]≡ＡＢ－ＢＡで定義すれば, 

[ａ,ａ^＋]＝1と書けます。

一方,[ａ,ａ]＝[ａ^＋,ａ^＋]＝0 は自明です。

あるいは,これを一般化して[ａ_r,ａ_ｓ^＋]＝δ_ｒｓ,

[ａ_r,ａ_ｓ]＝[ａ_ｒ^＋,ａ_ｓ^＋]＝0　とします。

これは,異なる添字ｒ≠ｓのｎ_r,ｎ_ｓの固有状態なら固有値が

同じｎであっても直交し無関係であることを意味しますが,

これは例えば添字ｒが運動量ｋを意味するBose粒子では,異なる

ｋでの個数は無関係なので当然の規約です。

これらの交換関係は,改めて固有値と固有ベクトルの表現を添字

付きで,ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞＝ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞etc.とすれば,一般化された固有

ベクトルは,|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞＝．．|ｎ_ｒ＞..|ｎ_ｓ＞..の

ような直積表現と解釈され,

ｒ≠ｓなら.ａ_ｒａ_ｓ|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞

＝(ｎ_ｒ^1/2ｎ_ｓ(^1/2|..,ｎ_ｒ－1 ..,ｎ_ｓ－1..＞ 

＝ａ_ｓａ_ｒ|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞,

ａ_ｒ^＋ａ_ｓ^＋|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞

＝(ｎ_ｒ＋1)^1/2(ｎ_ｓ＋1)^1/2|..,ｎ_ｒ＋1 ..,ｎ_ｓ＋1..＞ 

＝ａ_ｓ^＋ａ_ｒ^＋|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞,

そして, 

ａ_ｒａ_ｓ^＋|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞

＝ｎ_ｒ^1/2(ｎ_ｓ＋1)^1/2|..,ｎ_ｒ－1 ..,ｎ_ｓ＋1..＞ 

＝ａ_ｓ^＋ａ_ｒ|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞であり,

ｒ＝ｓなら,ａ_ｒａ_ｓ^＋|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞

＝(ｎ_ｒ＋1)|..,ｎ_ｒ..,＞ 

＝(ａ_ｓ^＋ａ_ｒ^＋＋1)|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞となりますから

明らかです。

Fermi統計に従うFermi粒子の場合,ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞＝ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞

のｎ_ｒは0,1の２つの値しか取り得ないので,消滅,生成演算子

ａ_ｒ,ａ_ｒ^＋をａ_ｒ|ｎ_ｒ＞＝ｎ^1/2|ｎ_ｒ－1＞,

ａ_ｒ^＋|ｎ_ｒ＞＝(ｎ_ｒ＋1)^1/2|ｎ_ｒ＋1＞で同じように定義しても,

固有状態 |ｎ_ｒ＞としては,固有値ｎ_ｒがｎ_ｒ＝0,1の状態

|0＞,|1＞ の２つしか存在しないため,全ての作用を具体的に

書くことができて,ａ_ｒ|1＞＝|0＞,ａ_ｒ^＋|0＞＝|1＞であり,

一方,ａ_ｒ|0＞＝ａ_ｒ^＋|1＞＝0 でなければなりません。

それ故,ａ_ｒａ_ｒ|1＞＝0,ａ_ｒ^＋ａ_ｒ^＋|0＞＝0 です。 

また.ａ_ｒａ_ｒ|0＞＝0,ａ_ｒ^＋ａ_ｒ^＋|1＞＝0 も明らかですから

演算子としてａ_ｒａ_ｒ＝ａ_ｒ^＋ａ_ｒ^＋＝0です。

他方,ａ_ｒａ_ｒ^＋|0＞＝|0＞,ａ_ｒ^＋ａ_ｒ|1＞＝|0＞ですから, 

ａ_ｒａ_ｒ^＋|1＞＝0, ａ_ｒ^＋ａ_ｒ|0＞＝0の成立と合わせると, 

(ａ_ｒａ_ｒ^＋＋ａ_ｒａ_ｒ^＋)|0＞＝|0＞,

(ａ_ｒａ_ｒ^＋＋ａ_ｒａ_ｒ^＋)|1＞＝|1＞ を得ます。

よって,Fermi粒子の場合は,任意の演算子Ａ,Ｂに対して

反交換子{Ａ,Ｂ}を{Ａ,Ｂ}≡ＡＢ＋ＢＡで定義して, 

{ａ_r,ａ_ｓ^＋}＝δ_ｒｓ,{ａ_r,ａ_ｓ}＝{ａ_ｒ^＋,ａ_ｓ^＋}＝0　 

と規約すれば,全ての辻褄があって無矛盾となります。

Fermi粒子でも個数演算子はｎ_ｒ＝ａ_ｒ^＋ａ_ｒであり,

ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞＝ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞ が成立します。

なお,粒子が存在しない状態 |0＞に対しては,Fermi粒子だけ

でなくBose粒子でもａ_ｒ|0＞＝0 が成立して,これ以上は粒子

を消滅させることができないとしています。

|0＞に対してこのように規約すれば.Bose粒子の

ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞＝ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞を満たす固有値ｎ_ｒについても許される

のは非負の整数のみ:ｎ_ｒ＝0,1,2..です。

そして,全てのｒについての粒子がゼロの状態 |0＞の直積で

与えられる全く粒子の存在しない状態 

|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞＝|0,..,0...,0,..＞を真空(vacuum)と

呼ぶことにします。

量子論では零点振動とか零点エネルギーと呼ばれる真空の

エネルギ－なるものの存在について論じられることもありますが

そうしたものは無視して,真空はHamiltomian Ｈの固有値がゼロ

の固有状態であるとします。

つまり,真空 |0,..,0...,0,..＞はエネルギ^－がゼロの

基底状態(エネルギーの原点)であるとします。

すると,演算子Ｈは,ε_ｒを添字ｒに対応する１粒子のエネルギー

として,Ｈ＝Σ_ｒε_ｒｎ_ｒ＝Σ_ｒε_ｒａ_ｒ^＋ａ_ｒ と表現されます。

特に,粒子が自由粒子でｒ＝(ｋ,σ)なら,ε_ｒ＝ｈ_c²ｋ²/(2ｍ)

です。

次に,ｘとスピンｓの関数としてこの粒子の場の演算子：

φ^σ(ｘ,ｓ)を,φ^σ(ｘ,ｓ)＝Ｖ^-1/2Σ_ｒａ_ｒexp(iｋｘ)δ(ｓ,σ)

によって導入します。

ただし,δ(ｓ,σ)はスピン部分の関数でδ(ｓ,σ)はσ＝ｓ

のとき１でそれ以外はゼロの関数です。

スピンがゼロのBose粒子なら常にσ＝ｓ＝0ですから,

δ(ｓ,σ)＝δ(ｓ,0)≡1 であって,場はスカラー場

φ(ｘ)≡φ⁰(ｘ,0)と表現されます。

一方,スピンが1/2のFermi粒子の場合,σ＝±,で 

φ^±(ｘ,ｓ)＝φ^±(ｘ)δ(±,ｓ)と書くと,これは２成分が

φ^±(ｘ)のスピノール：(φ⁺(ｘ), φ^－(ｘ))^Ｔで表わされます。

さらに,スピンが1のBose粒子の場合,やはり,σ＝1,－1,0の場

φ^σ(ｘ,ｓ)をφ^σ(ｘ,ｓ)＝φ^σ(ｘ)δ(ｓ,σ)と書いて,３成分

がφ^±(ｘ),φ⁰(ｘ)の３行１列の列ベクトル

(φ⁺(ｘ),φ^－(ｘ),φ⁰(ｘ))^Ｔ で表現されます。

そして,場φ^σ(ｘ,ｓ)のHermite共役 φ^σ＋(ｘ,ｓ)を, 

φ^ｓ＋(ｘ,ｓ)＝Ｖ^-1/2Σ_ｒａ_ｒ^＋exp(－iｋｘ)δ(ｓ,σ)

とします。

改めて,交換子 [Ａ,Ｂ]を[Ａ,Ｂ]_－,反交換子 {Ａ,Ｂ}

を[Ａ,Ｂ]_＋と書くことにします。

つまり,[Ａ,Ｂ]_±≡ＡＢ－±ＢＡ(複号同順)です。

場の演算子に対しては,＋の反交換子がFermi粒子,－の交換子

がBose粒子に対応して,交換関係,反交換関係： 

[φ^σ1(ｘ₁) φ^σ2＋(ｘ₂)]_±＝δ³(ｘ₁－ｘ₂)δ_σ1,σ2, 

[φ^σ1(ｘ₁) φ^σ12(ｘ₂)]_±＝[φ^σ1＋(ｘ₁) ψ^σ2_ｓ2^＋(ｘ₂)]_±＝0  

が成立しています。

また, Ｈ＝Σ_ｒε_ｒａ_ｒ^＋ａ_ｒは,ポテンシャルＵが存在する

場合,Ｈ＝∫ｄ³ｘφ^σ＋(ｘ)[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)]φ^σ(ｘ) 

と書けます。

何故なら,Ｈ＝Σ_ｒε_ｒｎ_ｒ＝Σ_ｒε_ｒａ_ｒ^＋ａ_ｒですが, 

簡単のためスピンがゼロのBose粒子を想定しａ_rの添字ｒが運動量 

(波数)ｋである場合を考えて,ａ_rをａ(ｋ)と書くことにすると, 

ε_ｒ＝ε(ｋ)＝ｋ²/(2ｍ)＋Ｕ(ｋ)　です。

ただし,Ｕ(ｋ)はポテンシャルＵ(ｘ)のfourier変換,または

位置ｘに共役な物理量である運動量ｋ表示のポテンシャル

です。

Ｕ(ｘ)＝Ｖ^-1∫ｄ³ｋＵ(ｋ)exp(iｋｘ)

⇔ Ｕ(ｋ)＝∫ｄ³ｘＵ(ｘ)exp(－iｋｘ)　なる式で与えられます。

個数演算子もこの表示ではｎ_r＝ａ_r^＋ａ_rはｎ(ｋ)＝ａ^＋(ｋ)ａ(ｋ)

と書けます。

交換関係 [ａ_r,ａ_ｓ^＋]＝δ_ｒｓ,[ａ_r,ａ_ｓ]＝[ａ_ｒ^＋,ａ_ｓ^＋]＝0  

は,ｒ＝ｋ₁,ｓ＝ｋ₂として,[ａ(ｋ₁)ａ^＋(ｋ₂)]＝δ³(ｋ₁－ｋ₂), 

[ａ(ｋ₁),ａ(ｋ₂)]＝[ａ^＋(ｋ₁),ａ^＋(ｋ₂)]＝0 となります。

故に,Ｈ＝Σ_ｒε_ｒａ_ｒ^＋ａ_ｒ＝∫ｄ³ｋε(ｋ)ａ^＋(ｋ)ａ(ｋ) 

＝∫ｄ³ｋｄ³ｐε(ｋ)ａ^＋(ｋ)ａ(ｐ)δ³ (ｋ－ｐ)ですが, 

δ³ (ｋ－ｐ)＝Ｖ^-1∫ｄ³ｘexp{－i(ｋ－ｐ)ｘ}なので, 

Ｈ＝Ｖ^-1∫ｄ³ｘ∫ｄ³ｋｄａ^＋(ｋ)exp(－iｋｘ)

∫ｄ³ｐε(ｐ)ａ(ｐ)exp(iｐｘ) 

＝Ｖ^-1/2∫ｄ³ｘφ^＋(ｘ)∫ｄ³ｐ[ｐ²/(2ｍ)＋Ｕ]ε(ｐ)

ａ(ｐ)exp(iｐｘ) 

＝∫ｄ³ｘφ(ｘ)[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)]φ(ｘ)

となるからです。

※(注釈):ここで第２量子化についての薀蓄を少し述べたく

なりました。

元々の通常の(第一量子化の)１粒子量子力学では

Ｈ＝－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)であり,多粒子系では

Ｈ＝Σ_k{－ｈ_c²∇²/(2ｍ_k)}＋Ｕ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)であった 

のに対して,

　第２量子化で全ての質量ｍ_kが同じｍの同一粒子

ではＨ＝∫ｄ³ｘ φ^σ＋(ｘ)[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)]φ^σ(ｘ)

と表現されるのには,どういう意味があるのでしょうか？

第２量子化(場の量子化)は波動関数を演算子と見なす操作で行う

ことが可能なため,量子論の基礎付けを根底から大転換する新理論

のように見えますが,実はそれほど重大な意味はなくて,単に表示

を位置座標表示＝ｘ表示から個数表示にユニタリ変換するだけの

表示の変換に過ぎないと考えられます。

すなわち,抽象的なあるHilbert空間の状態ベクトルに作用

する線型作用素(演算子)としてHamiltonianをＨ,運動量を

ｐとすると,Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)＋Ｕ　です。

このとき,ｘ表示での演算子の行列要素は位置座標で対角化

されています。

つまり,ｘ表示では任意の演算子Ａの行列要素＜ｘ|Ａ|ｙ＞は

ｘ＝ｙの対角成分のみがゼロでない対角行列の形をしています。

　演算子が運動量ｐなら,特にSchroedinger表現でのｐについて

はｘ表示では,＜ｘ|ｐ|ｙ＞＝－iｈ_c∇_ｘδ³(ｘ－ｙ)であり,また,

ポテンシャルＵは＜ｘ|Ｕ|ｙ＞＝Ｕ(ｘ)]δ³(ｘ－ｙ)で与えられ

ます。

　Ｈについても,

＜ｘ|Ｈ|ｙ＞＝[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)]δ³(ｘ－ｙ) です。

多粒子系なら,位置座標が(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ),および,

(ｙ₁,ｙ₂..,ｙ_Ｎ)の状態でＨを挟むと,行列要素は,

＜ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ|Ｈ|ｙ₁,ｙ₂..,ｙ_Ｎ＞ 

　＝[Σ_k|－ｈ_c²∇_k²/(2ｍ_k)]＋Ｕ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)] 

　δ³(ｘ₁－ｙ₁)δ³(ｘ₁－ｙ₁)..δ³(ｘ_Ｎ－ｙ_Ｎ)　です。

ただし,Ｕ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)は,Ｕの行列要素が

＜ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ|Ｕ|ｙ₁,ｙ₂..,ｙ_Ｎ＞＝Ｕ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)

δ³(ｘ₁－ｙ₁)δ³(ｘ₁－ｙ₁)..δ³(ｘ_Ｎ－ｙ_Ｎ) なる対角成分

のみを持つとした多体系のポテンシャルを意味します。

状態 |Ψ＞の波動関数,つまり位置表示での状態ベクトル

Ψ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)は,|Ψ＞に含まれる位置の固有状態

|ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ＞の成分,

あるいは,その位置固有状態で展開した展開係数であって

粒子の存在確率の確率振幅を表わすものですから

Ψ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)＝＜ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ|Ψ＞なる式で与え

られます。

　ここで,便宜上,Ｘ＝(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)と略記すると,

　Ψ(Ｘ)＝＜Ｘ|Ψ＞です。

　そこで,

＜Ψ|Ｈ|Ψ＞＝∫ｄＸｄＹ＜Ψ|Ｘ＞＜Ｘ|Ｈ|Ｙ＞＜Ｙ|Ψ＞ 

＝∫ｄＸｄＹ＜Ψ(Ｘ)＜Ｘ|Ｈ|Ｙ＞Ψ(Ｙ) 

＝∫ｄＸｄＹ Ψ^＋(Ｘ)Ｈ(Ｘ)Ψ(Ｘ) となります。

ただし,ここでも＜Ｘ|Ｈ|Ｙ＞＝Ｈ(Ｘ)δ(Ｘ－Ｙ),と書け

ますが,ｄＸ≡ｄ³ｘ₁ｄ³ｘ₂..ｄ³ｘ_Ｎ, 

δ(Ｘ－Ｙ)≡δ³(ｘ₁－ｙ₁)δ³(ｘ₁－ｙ₁)..δ³(ｘ_Ｎ－ｙ_Ｎ) 

と略記しました。

つまり,１粒子量子力学の波動関数ψ(ｘ)で張られる２乗可積分

関数の状態空間に作用するHamiltonian演算子は

Ｈ(ｘ)＝－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)であり,多粒子系の波動関数

Ψ(Ｘ)で張られる２乗可積分関数の空間に作用するHamiltonian

演算子はＨ(Ｘ)＝Σ_k|－ｈ_c²∇_k²/(2ｍ)]＋Ｕ(Ｘ)です。

一方,個数表示では,添字ｒを省略すると,ｎ＝ａ^＋ａ^＋

であり,|ｎ＞＝(ｎ!)^-1/2(ａ^＋)^ｎ|0＞です。

任意の演算子Ａの個数表示による行列要素をＸ表示での

完全系条件∫ｄＸ｜Ｘ＞＜Ｘ|＝1を挿入してＸ表示で展開

すると,

＜ｍ|Ａ|ｎ＞＝∫ｄＸｄＹ＜ｍ|Ｘ＞＜Ｘ|Ａ|Ｙ＞＜Ｙ|ｎ＞

であり,

一方,任意の状態におけるＡの期待値は

＜Ψ|Ａ|Ψ＞＝Σ_ｍ,ｎ＜Ψ|ｍ＞＜ｍ|Ａ|ｎ＞＜ｎ|Ψ＞ 

＝Σ_n＜Ψ|ｎ＞Ａ_n＜ｎ|Ψ＞ と書けます。

ただし,＜ｍ|Ａ|ｎ＞＝Ａ_ｍδ_ｍｎ です。

特に,Ａ＝Ｈについては,

＜Ψ|Ｈ|Ψ＞＝Σ_ｍ,ｎ＜Ψ|ｍ＞＜ｍ|Ｈ|ｎ＞＜ｎ|Ψ＞ 

＝Σ_n＜Ψ|ｎ＞Ｈ_n＜ｎ|Ψ＞であり,

＜ｍ|Ｈ|ｎ＞＝Ｈ_ｍδ_ｍｎです。

　この個数状態 |ｎ＞全体で張られる空間の状態に作用して

　＜ｍ|Ｈ|ｎ＞を与えるHamiltonian演算子Ｈについては, 

　スカラー場のBose粒子の場合に,

　Ｈ＝Σ_ｒε_ｒａ_ｒ^＋ａ_ｒ

　＝∫ｄ³ｘφ(ｘ)[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)]φ(ｘ) 

 ＝∫ｄ³ｘφ(ｘ)Ｈ(ｘ)φ(ｘ)で与えられることを既に

　見ました。

要するに,それぞれのＨが異なるのは,それが作用すべき状態

の作る状態空間が異なるためです。

第２量子化した場合も,単に状態空間が変わるだけで,本質的 

にそれらは,演算子の期待値,あるいは行列要素がどの空間でも

一致するようにユニタリ変換で結びついていて謂わゆる表示が

異なるだけで量子力学が新しくなったわけではありません。

(注釈終わり※)

　このところ,薀蓄＝脱線注釈部分を書いていて参考書も

なく頭の中にある知見をヒケラかそうとする余り,文章の堂々巡りが多くて長時間を費やしてしまいいました。

※本ブログ2007年８/８の過去記事「量子力学の基礎(表示の話)(1)」, 

および,「量子力学の基礎(表示の話)(2)」も参照してください。

今日はここまでにします。

(参考文献)：阿部龍蔵 著「統計力学(第２版)」(東京大学出版会)

　ＰＳ:これに関連して,26歳(1976年)の春４月に一人で電車を

乗り継ぎ,途中東京で東大の友人のところに一泊し翌日青函

連絡船に乗って早朝に船酔いでゲロを吐きつつ初めての北海道

に渡り,旅館に一泊後,北大に遠路はるばる博士課程を受けに行

ったのを思い出しました。

(※今は博士課程(大学院後期過程)もあるようですが当時

は私の在籍大学には修士課程しかありませんでしたから。。)

　テストは当然,修士論文の説明であろうと予想していたの

に,思いもかけず,研究室個室で朝から晩まで期限無しで参考

書を見たり外出するのも自由の４,5問程度のペーパーテスト

を出されました。

 
　その第１問目が,Diracのテキストにあるような量子論の定式化

の話で,上記と同じような話を如何にして明快な解答にするか？

に夢中になった余り,堂々巡りの悪戦苦闘で,もちろん,参考書

などは持参してないし,まさか無期限で外出自由でも慣れない

札幌の地で大学内や外の図書館や本屋まで行って調べようと

いう気にもなりません。

(※慣れない一人旅で,心身もかなり疲れていました。)

　結局,第１問を考えているだけで夜の８時になり,往復5千円

也の切符しかもってなくて,旅館にもう一泊する余裕もなく,

あきらめて,もう帰宅してしまっている出題した教授の部屋

のドアのポストに答案用紙を入れて帰途についたのを昨日の

ことのように思い出しました。

　未だに覚えているのは,よほど悔しかったからでしょう。。

これも人生を左右する１つの岐路でしたね。。