近況です。

　年末だ。。クリスマスだ。。忘年会だ。。

　こうした行事,イベントには関係なくマイペースを守ろうとしても,つい周囲の雑音等に巻き込まれて自己の生活パターンが変化してしまいます。

　元々,今の生活習慣自体が変態ﾊパターンで,友人知人の中では,「オマエは人間じゃない,早く人間に戻れ。。」とか言われ,一部の飲み屋では死神のニックネームつけられてますから,むしろ,生活パターン変わった方が人間的,人間に近い,というウワサもあるようですが。。。

　しかし,この時期は例年,年末行事の影響よりよりも,寒さの方ほうが体にこたえるし,金のある無しで精神状態も一変しています。

　今年は何とか１/21に入院して４/25に退院して以来,今回はかなり長期にわたってシャバにいる生活が続いています。

　記事,特に科学記事登校の間が開いてくるたびに,,ずっと続けているブログ書きのパターンも,できれば変えたくないと思う保守的欲求にかられてアセりますが,生きていることを楽しむ時間がまだ多く残っている保証があるワケでもない状態なので。。,

　子供の頃からこの歳までも常に生活の主流だった,遠い目標,あるいはユメに向って時にはストイックになって努力するという細く長い道よりも,ある意味ではヤクザ的な太く短く刹那に生きる,道を選択したい。。今の気分に忠実になって気分のままに暮らしてもバチは当たらないのじゃないか。。という心境が強くなってきています。

 今現在は人生の中で最もシアワセな時なのかも。。年老いて五体満足じゃないけれど。。。まわりには,生ける天使がチラホラ見え隠れして。。

 色即是空空即是色。。南無観世音菩薩

懐かしい。。。

　　死んだ人は別にして,鶴間エリ。。なつかしい。。

　スケバン刑事の相楽晴子も。。。

　　

南無　観世音菩薩！！

訃報！！ガロの堀内護さん。

　「学生街の喫茶店」で一世を風靡したガロのメンバーの堀内護さんが12月上旬に胃ガンで死去されていたことがわかりました。享年65歳でした。また,ほぼ私と同い年の方が亡くなられました。

　サンケイニュース→ ＧＡＲＯ　堀内護さん。12月上旬に死去

　昔,「学生街の喫茶店」を唄っておられた姿くらいしか存じていないです。

　↓真ん中で眼鏡かけているのががマークこと堀内護さんです。

　↓学生街の喫茶店(ガロ)

　ご冥福を祈ります。。合掌！！

統計力学の基礎(6)(量子統計力学４)

　統計力学の基礎概念への脱線から離れて,再び,量子統計力学３の

続きです。

経路積分と摂動論に戻る最後の関門の第２量子化とGreen関数

について記述します。

今日は,まず,第２量子化について述べます。

そのため,最初はBose統計に従う粒子に着目します。

粒子数の演算子ｎ_rを考えます。

添字ｒは具体的にはBoseスカラー粒子なら波数(運動量)ｋだけ

ですが,Fermi粒子かスピンが１のBose粒子ならスピン変数をσ

としてｒ＝(ｋ,σ)などを意味します。

便宜上,適宜この添字ｒを省略して個数演算子をｎ,その固有値

ｎを持つ状態を,ケットベクトル |ｎ＞で記述します。

ｎ|ｎ＞＝ｎ|＞です。

固有値ｎは整数値のみを取り,固有ベクトル|ｎ＞は

＜ｍ|ｎ＞＝δ_ｍｎと直交規格化されているとします。

こうしたｎの固有状態に対して次のような作用を及ぼす演算子 

ａ,ａ^＋を導入します。

すなわち,　ａ|ｎ＞＝ｎ^1/2|ｎ－1＞,

ａ^＋|ｎ＞＝(ｎ＋1)^1/2|ｎ＋1＞　なる作用です。

つまり,ａは粒子数を１つ減らす演算子,ａ^＋は１つ増やす演算子

です。そこでａを消滅演算子,ａ^＋を生成演算子と呼びます。

これらは状態のケットにのみに作用して,その係数には作用せず

素通りするとします。

するとａ^＋ａ|ｎ＞＝ｎ^1/2ａ^＋|ｎ－1＞＝ｎ|ｎ＞, 

ａａ^＋|ｎ＞＝(ｎ＋1)^1/2ａ^＋|ｎ＋1＞＝(ｎ＋1)|ｎ＞

が成立します。

それ故,ａ^＋ａが,個数演算子ｎの役割をすることがわかります。

そじで添字ｒを復活させると,ｎ_r＝ａ_r^＋ａ_rです。

ａ,ａ^＋の行列要素をつくると,任意のｍ,ｎに対して, 

＜ｍ|ａ|ｎ＞＝ｎ^1/2＜ｍ|ｎ－1＞＝ｎ^1/2δ_ｍ,ｎ－1であり, 

＜ｎ|ａ^＋|ｍ＞＝(ｍ＋1)^1/2δ_ｍ,ｎ＋1＝ｎ^1/2δ_ｍ,ｎ－1ですから 

＜ｎ|ａ^＋|ｍ＞＝＜ｍ|ａ|ｎ＞^＊が成立します。

したがって,ａ^＋はａのHermite共役です。

よって,ａ_r^＋はａ_rのHermite共役です。

そこで,上添字＋(ダガー)を文字通り演算子のHermite共役を意味

する記号と考えれば,ｎ_r^＋＝(ａ_r^＋ａ_r)^＋＝ａ_r^＋ａ_r＝ｎ_rとなるため

ｎ_rは実数のみを固有値とするHermite演算子なので,この意味では

定義は無矛盾です。　

また,ａ^＋ａ|ｎ＞＝ｎ|ｎ＞,ａａ^＋|ｎ＞＝(ｎ＋1)|ｎ＞より,

全ての|ｎ＞に対して,(ａａ^＋－ａ^＋ａ|ｎ＞＝|ｎ＞ですから,

ａａ^＋－ａ^＋ａ＝1 が成立します。

任意の演算子Ａ,Ｂに対して交換子[Ａ,Ｂ]を

[Ａ,Ｂ]≡ＡＢ－ＢＡで定義すれば, 

[ａ,ａ^＋]＝1と書けます。

一方,[ａ,ａ]＝[ａ^＋,ａ^＋]＝0 は自明です。

あるいは,これを一般化して[ａ_r,ａ_ｓ^＋]＝δ_ｒｓ,

[ａ_r,ａ_ｓ]＝[ａ_ｒ^＋,ａ_ｓ^＋]＝0　とします。

これは,異なる添字ｒ≠ｓのｎ_r,ｎ_ｓの固有状態なら固有値が

同じｎであっても直交し無関係であることを意味しますが,

これは例えば添字ｒが運動量ｋを意味するBose粒子では,異なる

ｋでの個数は無関係なので当然の規約です。

これらの交換関係は,改めて固有値と固有ベクトルの表現を添字

付きで,ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞＝ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞etc.とすれば,一般化された固有

ベクトルは,|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞＝．．|ｎ_ｒ＞..|ｎ_ｓ＞..の

ような直積表現と解釈され,

ｒ≠ｓなら.ａ_ｒａ_ｓ|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞

＝(ｎ_ｒ^1/2ｎ_ｓ(^1/2|..,ｎ_ｒ－1 ..,ｎ_ｓ－1..＞ 

＝ａ_ｓａ_ｒ|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞,

ａ_ｒ^＋ａ_ｓ^＋|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞

＝(ｎ_ｒ＋1)^1/2(ｎ_ｓ＋1)^1/2|..,ｎ_ｒ＋1 ..,ｎ_ｓ＋1..＞ 

＝ａ_ｓ^＋ａ_ｒ^＋|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞,

そして, 

ａ_ｒａ_ｓ^＋|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞

＝ｎ_ｒ^1/2(ｎ_ｓ＋1)^1/2|..,ｎ_ｒ－1 ..,ｎ_ｓ＋1..＞ 

＝ａ_ｓ^＋ａ_ｒ|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞であり,

ｒ＝ｓなら,ａ_ｒａ_ｓ^＋|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞

＝(ｎ_ｒ＋1)|..,ｎ_ｒ..,＞ 

＝(ａ_ｓ^＋ａ_ｒ^＋＋1)|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞となりますから

明らかです。

Fermi統計に従うFermi粒子の場合,ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞＝ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞

のｎ_ｒは0,1の２つの値しか取り得ないので,消滅,生成演算子

ａ_ｒ,ａ_ｒ^＋をａ_ｒ|ｎ_ｒ＞＝ｎ^1/2|ｎ_ｒ－1＞,

ａ_ｒ^＋|ｎ_ｒ＞＝(ｎ_ｒ＋1)^1/2|ｎ_ｒ＋1＞で同じように定義しても,

固有状態 |ｎ_ｒ＞としては,固有値ｎ_ｒがｎ_ｒ＝0,1の状態

|0＞,|1＞ の２つしか存在しないため,全ての作用を具体的に

書くことができて,ａ_ｒ|1＞＝|0＞,ａ_ｒ^＋|0＞＝|1＞であり,

一方,ａ_ｒ|0＞＝ａ_ｒ^＋|1＞＝0 でなければなりません。

それ故,ａ_ｒａ_ｒ|1＞＝0,ａ_ｒ^＋ａ_ｒ^＋|0＞＝0 です。 

また.ａ_ｒａ_ｒ|0＞＝0,ａ_ｒ^＋ａ_ｒ^＋|1＞＝0 も明らかですから

演算子としてａ_ｒａ_ｒ＝ａ_ｒ^＋ａ_ｒ^＋＝0です。

他方,ａ_ｒａ_ｒ^＋|0＞＝|0＞,ａ_ｒ^＋ａ_ｒ|1＞＝|0＞ですから, 

ａ_ｒａ_ｒ^＋|1＞＝0, ａ_ｒ^＋ａ_ｒ|0＞＝0の成立と合わせると, 

(ａ_ｒａ_ｒ^＋＋ａ_ｒａ_ｒ^＋)|0＞＝|0＞,

(ａ_ｒａ_ｒ^＋＋ａ_ｒａ_ｒ^＋)|1＞＝|1＞ を得ます。

よって,Fermi粒子の場合は,任意の演算子Ａ,Ｂに対して

反交換子{Ａ,Ｂ}を{Ａ,Ｂ}≡ＡＢ＋ＢＡで定義して, 

{ａ_r,ａ_ｓ^＋}＝δ_ｒｓ,{ａ_r,ａ_ｓ}＝{ａ_ｒ^＋,ａ_ｓ^＋}＝0　 

と規約すれば,全ての辻褄があって無矛盾となります。

Fermi粒子でも個数演算子はｎ_ｒ＝ａ_ｒ^＋ａ_ｒであり,

ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞＝ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞ が成立します。

なお,粒子が存在しない状態 |0＞に対しては,Fermi粒子だけ

でなくBose粒子でもａ_ｒ|0＞＝0 が成立して,これ以上は粒子

を消滅させることができないとしています。

|0＞に対してこのように規約すれば.Bose粒子の

ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞＝ｎ_ｒ|ｎ_ｒ＞を満たす固有値ｎ_ｒについても許される

のは非負の整数のみ:ｎ_ｒ＝0,1,2..です。

そして,全てのｒについての粒子がゼロの状態 |0＞の直積で

与えられる全く粒子の存在しない状態 

|..,ｎ_ｒ..,ｎ_ｓ..＞＝|0,..,0...,0,..＞を真空(vacuum)と

呼ぶことにします。

量子論では零点振動とか零点エネルギーと呼ばれる真空の

エネルギ－なるものの存在について論じられることもありますが

そうしたものは無視して,真空はHamiltomian Ｈの固有値がゼロ

の固有状態であるとします。

つまり,真空 |0,..,0...,0,..＞はエネルギ^－がゼロの

基底状態(エネルギーの原点)であるとします。

すると,演算子Ｈは,ε_ｒを添字ｒに対応する１粒子のエネルギー

として,Ｈ＝Σ_ｒε_ｒｎ_ｒ＝Σ_ｒε_ｒａ_ｒ^＋ａ_ｒ と表現されます。

特に,粒子が自由粒子でｒ＝(ｋ,σ)なら,ε_ｒ＝ｈ_c²ｋ²/(2ｍ)

です。

次に,ｘとスピンｓの関数としてこの粒子の場の演算子：

φ^σ(ｘ,ｓ)を,φ^σ(ｘ,ｓ)＝Ｖ^-1/2Σ_ｒａ_ｒexp(iｋｘ)δ(ｓ,σ)

によって導入します。

ただし,δ(ｓ,σ)はスピン部分の関数でδ(ｓ,σ)はσ＝ｓ

のとき１でそれ以外はゼロの関数です。

スピンがゼロのBose粒子なら常にσ＝ｓ＝0ですから,

δ(ｓ,σ)＝δ(ｓ,0)≡1 であって,場はスカラー場

φ(ｘ)≡φ⁰(ｘ,0)と表現されます。

一方,スピンが1/2のFermi粒子の場合,σ＝±,で 

φ^±(ｘ,ｓ)＝φ^±(ｘ)δ(±,ｓ)と書くと,これは２成分が

φ^±(ｘ)のスピノール：(φ⁺(ｘ), φ^－(ｘ))^Ｔで表わされます。

さらに,スピンが1のBose粒子の場合,やはり,σ＝1,－1,0の場

φ^σ(ｘ,ｓ)をφ^σ(ｘ,ｓ)＝φ^σ(ｘ)δ(ｓ,σ)と書いて,３成分

がφ^±(ｘ),φ⁰(ｘ)の３行１列の列ベクトル

(φ⁺(ｘ),φ^－(ｘ),φ⁰(ｘ))^Ｔ で表現されます。

そして,場φ^σ(ｘ,ｓ)のHermite共役 φ^σ＋(ｘ,ｓ)を, 

φ^ｓ＋(ｘ,ｓ)＝Ｖ^-1/2Σ_ｒａ_ｒ^＋exp(－iｋｘ)δ(ｓ,σ)

とします。

改めて,交換子 [Ａ,Ｂ]を[Ａ,Ｂ]_－,反交換子 {Ａ,Ｂ}

を[Ａ,Ｂ]_＋と書くことにします。

つまり,[Ａ,Ｂ]_±≡ＡＢ－±ＢＡ(複号同順)です。

場の演算子に対しては,＋の反交換子がFermi粒子,－の交換子

がBose粒子に対応して,交換関係,反交換関係： 

[φ^σ1(ｘ₁) φ^σ2＋(ｘ₂)]_±＝δ³(ｘ₁－ｘ₂)δ_σ1,σ2, 

[φ^σ1(ｘ₁) φ^σ12(ｘ₂)]_±＝[φ^σ1＋(ｘ₁) ψ^σ2_ｓ2^＋(ｘ₂)]_±＝0  

が成立しています。

また, Ｈ＝Σ_ｒε_ｒａ_ｒ^＋ａ_ｒは,ポテンシャルＵが存在する

場合,Ｈ＝∫ｄ³ｘφ^σ＋(ｘ)[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)]φ^σ(ｘ) 

と書けます。

何故なら,Ｈ＝Σ_ｒε_ｒｎ_ｒ＝Σ_ｒε_ｒａ_ｒ^＋ａ_ｒですが, 

簡単のためスピンがゼロのBose粒子を想定しａ_rの添字ｒが運動量 

(波数)ｋである場合を考えて,ａ_rをａ(ｋ)と書くことにすると, 

ε_ｒ＝ε(ｋ)＝ｋ²/(2ｍ)＋Ｕ(ｋ)　です。

ただし,Ｕ(ｋ)はポテンシャルＵ(ｘ)のfourier変換,または

位置ｘに共役な物理量である運動量ｋ表示のポテンシャル

です。

Ｕ(ｘ)＝Ｖ^-1∫ｄ³ｋＵ(ｋ)exp(iｋｘ)

⇔ Ｕ(ｋ)＝∫ｄ³ｘＵ(ｘ)exp(－iｋｘ)　なる式で与えられます。

個数演算子もこの表示ではｎ_r＝ａ_r^＋ａ_rはｎ(ｋ)＝ａ^＋(ｋ)ａ(ｋ)

と書けます。

交換関係 [ａ_r,ａ_ｓ^＋]＝δ_ｒｓ,[ａ_r,ａ_ｓ]＝[ａ_ｒ^＋,ａ_ｓ^＋]＝0  

は,ｒ＝ｋ₁,ｓ＝ｋ₂として,[ａ(ｋ₁)ａ^＋(ｋ₂)]＝δ³(ｋ₁－ｋ₂), 

[ａ(ｋ₁),ａ(ｋ₂)]＝[ａ^＋(ｋ₁),ａ^＋(ｋ₂)]＝0 となります。

故に,Ｈ＝Σ_ｒε_ｒａ_ｒ^＋ａ_ｒ＝∫ｄ³ｋε(ｋ)ａ^＋(ｋ)ａ(ｋ) 

＝∫ｄ³ｋｄ³ｐε(ｋ)ａ^＋(ｋ)ａ(ｐ)δ³ (ｋ－ｐ)ですが, 

δ³ (ｋ－ｐ)＝Ｖ^-1∫ｄ³ｘexp{－i(ｋ－ｐ)ｘ}なので, 

Ｈ＝Ｖ^-1∫ｄ³ｘ∫ｄ³ｋｄａ^＋(ｋ)exp(－iｋｘ)

∫ｄ³ｐε(ｐ)ａ(ｐ)exp(iｐｘ) 

＝Ｖ^-1/2∫ｄ³ｘφ^＋(ｘ)∫ｄ³ｐ[ｐ²/(2ｍ)＋Ｕ]ε(ｐ)

ａ(ｐ)exp(iｐｘ) 

＝∫ｄ³ｘφ(ｘ)[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)]φ(ｘ)

となるからです。

※(注釈):ここで第２量子化についての薀蓄を少し述べたく

なりました。

元々の通常の(第一量子化の)１粒子量子力学では

Ｈ＝－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)であり,多粒子系では

Ｈ＝Σ_k{－ｈ_c²∇²/(2ｍ_k)}＋Ｕ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)であった 

のに対して,

　第２量子化で全ての質量ｍ_kが同じｍの同一粒子

ではＨ＝∫ｄ³ｘ φ^σ＋(ｘ)[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)]φ^σ(ｘ)

と表現されるのには,どういう意味があるのでしょうか？

第２量子化(場の量子化)は波動関数を演算子と見なす操作で行う

ことが可能なため,量子論の基礎付けを根底から大転換する新理論

のように見えますが,実はそれほど重大な意味はなくて,単に表示

を位置座標表示＝ｘ表示から個数表示にユニタリ変換するだけの

表示の変換に過ぎないと考えられます。

すなわち,抽象的なあるHilbert空間の状態ベクトルに作用

する線型作用素(演算子)としてHamiltonianをＨ,運動量を

ｐとすると,Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)＋Ｕ　です。

このとき,ｘ表示での演算子の行列要素は位置座標で対角化

されています。

つまり,ｘ表示では任意の演算子Ａの行列要素＜ｘ|Ａ|ｙ＞は

ｘ＝ｙの対角成分のみがゼロでない対角行列の形をしています。

　演算子が運動量ｐなら,特にSchroedinger表現でのｐについて

はｘ表示では,＜ｘ|ｐ|ｙ＞＝－iｈ_c∇_ｘδ³(ｘ－ｙ)であり,また,

ポテンシャルＵは＜ｘ|Ｕ|ｙ＞＝Ｕ(ｘ)]δ³(ｘ－ｙ)で与えられ

ます。

　Ｈについても,

＜ｘ|Ｈ|ｙ＞＝[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)]δ³(ｘ－ｙ) です。

多粒子系なら,位置座標が(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ),および,

(ｙ₁,ｙ₂..,ｙ_Ｎ)の状態でＨを挟むと,行列要素は,

＜ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ|Ｈ|ｙ₁,ｙ₂..,ｙ_Ｎ＞ 

　＝[Σ_k|－ｈ_c²∇_k²/(2ｍ_k)]＋Ｕ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)] 

　δ³(ｘ₁－ｙ₁)δ³(ｘ₁－ｙ₁)..δ³(ｘ_Ｎ－ｙ_Ｎ)　です。

ただし,Ｕ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)は,Ｕの行列要素が

＜ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ|Ｕ|ｙ₁,ｙ₂..,ｙ_Ｎ＞＝Ｕ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)

δ³(ｘ₁－ｙ₁)δ³(ｘ₁－ｙ₁)..δ³(ｘ_Ｎ－ｙ_Ｎ) なる対角成分

のみを持つとした多体系のポテンシャルを意味します。

状態 |Ψ＞の波動関数,つまり位置表示での状態ベクトル

Ψ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)は,|Ψ＞に含まれる位置の固有状態

|ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ＞の成分,

あるいは,その位置固有状態で展開した展開係数であって

粒子の存在確率の確率振幅を表わすものですから

Ψ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)＝＜ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ|Ψ＞なる式で与え

られます。

　ここで,便宜上,Ｘ＝(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_Ｎ)と略記すると,

　Ψ(Ｘ)＝＜Ｘ|Ψ＞です。

　そこで,

＜Ψ|Ｈ|Ψ＞＝∫ｄＸｄＹ＜Ψ|Ｘ＞＜Ｘ|Ｈ|Ｙ＞＜Ｙ|Ψ＞ 

＝∫ｄＸｄＹ＜Ψ(Ｘ)＜Ｘ|Ｈ|Ｙ＞Ψ(Ｙ) 

＝∫ｄＸｄＹ Ψ^＋(Ｘ)Ｈ(Ｘ)Ψ(Ｘ) となります。

ただし,ここでも＜Ｘ|Ｈ|Ｙ＞＝Ｈ(Ｘ)δ(Ｘ－Ｙ),と書け

ますが,ｄＸ≡ｄ³ｘ₁ｄ³ｘ₂..ｄ³ｘ_Ｎ, 

δ(Ｘ－Ｙ)≡δ³(ｘ₁－ｙ₁)δ³(ｘ₁－ｙ₁)..δ³(ｘ_Ｎ－ｙ_Ｎ) 

と略記しました。

つまり,１粒子量子力学の波動関数ψ(ｘ)で張られる２乗可積分

関数の状態空間に作用するHamiltonian演算子は

Ｈ(ｘ)＝－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)であり,多粒子系の波動関数

Ψ(Ｘ)で張られる２乗可積分関数の空間に作用するHamiltonian

演算子はＨ(Ｘ)＝Σ_k|－ｈ_c²∇_k²/(2ｍ)]＋Ｕ(Ｘ)です。

一方,個数表示では,添字ｒを省略すると,ｎ＝ａ^＋ａ^＋

であり,|ｎ＞＝(ｎ!)^-1/2(ａ^＋)^ｎ|0＞です。

任意の演算子Ａの個数表示による行列要素をＸ表示での

完全系条件∫ｄＸ｜Ｘ＞＜Ｘ|＝1を挿入してＸ表示で展開

すると,

＜ｍ|Ａ|ｎ＞＝∫ｄＸｄＹ＜ｍ|Ｘ＞＜Ｘ|Ａ|Ｙ＞＜Ｙ|ｎ＞

であり,

一方,任意の状態におけるＡの期待値は

＜Ψ|Ａ|Ψ＞＝Σ_ｍ,ｎ＜Ψ|ｍ＞＜ｍ|Ａ|ｎ＞＜ｎ|Ψ＞ 

＝Σ_n＜Ψ|ｎ＞Ａ_n＜ｎ|Ψ＞ と書けます。

ただし,＜ｍ|Ａ|ｎ＞＝Ａ_ｍδ_ｍｎ です。

特に,Ａ＝Ｈについては,

＜Ψ|Ｈ|Ψ＞＝Σ_ｍ,ｎ＜Ψ|ｍ＞＜ｍ|Ｈ|ｎ＞＜ｎ|Ψ＞ 

＝Σ_n＜Ψ|ｎ＞Ｈ_n＜ｎ|Ψ＞であり,

＜ｍ|Ｈ|ｎ＞＝Ｈ_ｍδ_ｍｎです。

　この個数状態 |ｎ＞全体で張られる空間の状態に作用して

　＜ｍ|Ｈ|ｎ＞を与えるHamiltonian演算子Ｈについては, 

　スカラー場のBose粒子の場合に,

　Ｈ＝Σ_ｒε_ｒａ_ｒ^＋ａ_ｒ

　＝∫ｄ³ｘφ(ｘ)[－ｈ_c²∇²/(2ｍ)＋Ｕ(ｘ)]φ(ｘ) 

 ＝∫ｄ³ｘφ(ｘ)Ｈ(ｘ)φ(ｘ)で与えられることを既に

　見ました。

要するに,それぞれのＨが異なるのは,それが作用すべき状態

の作る状態空間が異なるためです。

第２量子化した場合も,単に状態空間が変わるだけで,本質的 

にそれらは,演算子の期待値,あるいは行列要素がどの空間でも

一致するようにユニタリ変換で結びついていて謂わゆる表示が

異なるだけで量子力学が新しくなったわけではありません。

(注釈終わり※)

　このところ,薀蓄＝脱線注釈部分を書いていて参考書も

なく頭の中にある知見をヒケラかそうとする余り,文章の堂々巡りが多くて長時間を費やしてしまいいました。

※本ブログ2007年８/８の過去記事「量子力学の基礎(表示の話)(1)」, 

および,「量子力学の基礎(表示の話)(2)」も参照してください。

今日はここまでにします。

(参考文献)：阿部龍蔵 著「統計力学(第２版)」(東京大学出版会)

　ＰＳ:これに関連して,26歳(1976年)の春４月に一人で電車を

乗り継ぎ,途中東京で東大の友人のところに一泊し翌日青函

連絡船に乗って早朝に船酔いでゲロを吐きつつ初めての北海道

に渡り,旅館に一泊後,北大に遠路はるばる博士課程を受けに行

ったのを思い出しました。

(※今は博士課程(大学院後期過程)もあるようですが当時

は私の在籍大学には修士課程しかありませんでしたから。。)

　テストは当然,修士論文の説明であろうと予想していたの

に,思いもかけず,研究室個室で朝から晩まで期限無しで参考

書を見たり外出するのも自由の４,5問程度のペーパーテスト

を出されました。

 
　その第１問目が,Diracのテキストにあるような量子論の定式化

の話で,上記と同じような話を如何にして明快な解答にするか？

に夢中になった余り,堂々巡りの悪戦苦闘で,もちろん,参考書

などは持参してないし,まさか無期限で外出自由でも慣れない

札幌の地で大学内や外の図書館や本屋まで行って調べようと

いう気にもなりません。

(※慣れない一人旅で,心身もかなり疲れていました。)

　結局,第１問を考えているだけで夜の８時になり,往復5千円

也の切符しかもってなくて,旅館にもう一泊する余裕もなく,

あきらめて,もう帰宅してしまっている出題した教授の部屋

のドアのポストに答案用紙を入れて帰途についたのを昨日の

ことのように思い出しました。

　未だに覚えているのは,よほど悔しかったからでしょう。。

これも人生を左右する１つの岐路でしたね。。

ネット環境刷新

　今年4月末に退院と同時に,XPのサポートなくなったので金欠ですが,やむなく自宅にある唯一のパソコンのデスクトップでOSがwindowsXPの既に初夏とあってウナリをあげてたCPUも重い中古マシンを捨て,ヤフオクで１万円強で落札した64bitのwindows7プリインストールの中古のデュアルコアのマシンに変えて,一応は比較的軽めの環境に変わりました。

　１月末から４月末までの入院中は,昨年12月初めに入院を見越して入院時用にと契約してた３Gとか7Gの通信制限無し使い放題で月額が４千円程度で済むWimaxの端末を持っていって,Androidの７インチのタブレットで遊んでましたが,

　退院してみると,全く使ってないフレッツ光とOCNプロバイダの１月当たり８千円強と全く見てない,ひかりテレビ4200円の１月当たり１万２千円強の入院中の３か月分の請求書がきていて,それら無駄な料金はは６月分から解約したのですがやっと,先日(先月)支払いが終了した？？。。と思っています。

　しかし,その上,同じく,昨年12月に気紛れで735円/月のＯＣＮから997円/月と200円高いですがyahooユニットをはさめばフレッツがさらに早くなる,とかの飛び込みセールスの口車に乗って,プロバイダだけOCNからYahooに乗り換えていました。

　契約後最初の２ヶ月は無料サービスなのでOCNの解約をさぼってるうちに急遽入院したため,２月分からは二重取りになっていました。

　しかもyahooのオプションは断らないと自動で全部付いてたので請求は１月当たり997円どころか６千円強になっていました。

　フレッツやテレビと同様,これも含め,解約したのは退院後の５月初めでしたから全て既に５月分の基本料金も既に発生していて６月からの解約になってました。

　結局,Yahooの分の24000円強だけはまだ残っています。光熱費,特に電気代なども最近はバカにならない額で優先順位ではネット料金などは後ですから年内に全部払うのは無理です。

　そして,まあ,それらに加えてWimaxの料金ももちろんあったわけです。

　ズボラでアバウトな性格で自分で撒いたこととはいえ,ギリギリカツカツで暮らしているのにこんなに無駄な出費が多くてはクビがまわらないので何とかしなければと思ったのは,やっとシャバの生活が落ち着いてきた退院後10日余りの５月に入ってスグの頃でした。

　私は,もう1990年頃の昔からPC中毒,ネット中毒のヘビーユーザーですからネット環境は不可欠で,大きいダウンロードなどもする手前確かにフレッツの方が早いのは重宝してると実感してましたが,「入院時にも病院で使えるしWimaxだけで十分じゃなかろうか？」と思いつき,試しにフレッツを切って自宅のマシンでもこれだけにしてみました。

　イヤ,意外とサクサクで,現時点のユーズくらいでは特に不自由を感じなかったので早速フレッツ環境を全て解約することにしました。

　NTT東日本のフレッツやOCNプロバイダは長年やってるのでもちろんサービスの２年シバリなどの違約金などはありませんでしたがyahooの請求にはなんらかサービス受けたという記憶もないけどいくらかの解約違約金も含まれてます。

　さて,NTTの固定回線もなくなり電話は携帯だけになりましたが当然ひかりテレビもダメです。

　昔,巣鴨駅前のマンションで豊島ケーブルテレビを導入して以来,地上放送のほかに,NHKなどの無料BSでオリンピックや野球のメジャーリ－グのLIVEを見たり,CS放送は特に時代劇専門チャンネルや日本映画くらいを,この豊島CATVからひかりTVに変えたりして,ここ10年以上も常に見ていてそういう習慣がついてたので,丁度,６月からサッカーのブラジルワールドカップの時期にもかかっていましたから,テレビの環境が寂しくなりました。

(※病院でも地上放送でソチオリンピックを消灯後もかまわず真剣に見てると,看護師などから,「どうしてそんなに真剣に見てるの？」とか問われ,「これが最後かもしれないから。」と答えていました。ブラックジョークじゃなくて本当にオリンピックもワールドカップも最後になるかもしれません。)

　これまでの50チャンネルくらいの基本パック４千円くらいで有料チャンネルは３チャンネルくらいしか見ない無駄なCATVやひかりTVの契約なくなったのを機会に無駄な契約やめてスカパーの５チャンネルパック1980円＋基本料金421円＝2401円/月と６月から契約しました。

　ところが基本的にゼロ円でプレミアムサービスに乗り換えて,現在付いてるアンテナを工事で角度を変えるか,新しいアンテナに変えて,しかもチューナーをただでくれるというキャンペーンがあったので,別に見たいチャンネルを増やすことには魅力はないけど売価13000円くらいのチューナーがタダということに飛びついて申し込みました。

　この工事が12/２(火)の循環器外来診察前日の12/１の予定で月曜火曜と連休を取ったのですが,月曜日工事に来た業者が,今のアンテナで普通のスカパーを見れるのもギリギリだったし,この上プレミアムの受信には家の窓の向きから角度的にとても無理。。ということで,残念ながらこの乗り換えはキャンセルしました。

　目的はチューナーだけだったのですが,どうも普通の地デジ＋BS+CS110度チュ＾ナーではないということでした。そのうち小金できたら安価なチューナーを自前のお金で買って今の１台のTVでしか見れず録画もできない環境の脱却をはかろうと思いります。

　金欠なので無料,またはさらにキャッシュバックなどもある乗り換えキャンペーンに乗るという楽しみしかないのですが,丁度この12/９で１年シバリの解約違約金がなくなって無料で解約可能となるWimax(Biglobe)をもう少したったら解約して下り最大40Mbpsから倍以上高速の下り最大110Mbpsの同じBiglobeWimax2＋に乗り換えようと思っていた矢先の11月中旬に,11/1から今の時期でも無料で追加サービスで乗り換えができるというキャンペ－ンのメールがあって,これを申し込んでいました。

　これも,つい12／３に新しい端末が届いて問題なくセッティングが終わりネットは心もち速くなったようです。まだ,解約手続きの方はスグには終わりにならないらしく,前のwimax端末でのwimaxに切り替えても今のところつながっているようですが,いつつながらなくなるのでしょう？

　wimax契約から丁度１年のこの12/９にはこの端末は自分の所有物になりますが,ヒョッとしてこの契約も解約せずこのまま残して端末１個は自宅用で,もう１個を常時携帯しても倍の８千円余りです。

　さもなければ,,AP(アクセスポイント)にもなる充電用のクレードルも端末(URoad AB4)と込みであるので,このクレードルのLAＮ端子にフリ－のWifiスポットの有線LANからのケーブルをつないでクレードルにはめた端末で無線LANで受信できるPCなどの機器へと電波を飛ばすくらい,またはヤフオクで売却するくらいしか使い道はないのかな？

　新規契約したWimax2＋は２年シバリで,最初の２ヶ月間は無料,24ヶ月間は毎月500円引きの3700円くらいで,６ヶ月継続後くらいには5000円のキャッシュバック＋Kinder Fire HD7かHD6のタブレットがもらえるらしいです。

　というわけでネットとテレビの環境がドンドン安価でスリムになりつつあるという報告です。

　バタバタしていて週末ブロガーなのに訃報を書くのがせいいっぱいでしたが,もう少ししたら,また落ち着いて前の精神状態に戻れます。

訃報！！菅原文太さん。。

　俳優の菅原文太さんが11月末に膀胱ガンのため,亡くなられていたことがわかりました。　享年81歳でした。惜しい。。

Gigazine → [訃報]「仁義なき戦い」,「トラック野郎」の菅原文太さん　死去

毎日新聞ニュース　→

　菅原文太さん　死去　「在日韓国人」支援

　仙台出身の菅原文太さんの代表作は「仁義なき戦い」実録ものの広島ヤクザの抗争です。 

　当時の戦後間もないヒロシマ。。多くの被差別部落民や在日が身分差別され,正業につけなくて,やむなくヤクザになったケースも多く,,そのためになおさら凄惨な殺し合いが起きたのではないか？と思われます。

この映画,私は予告編程度しか見たことがなく,出演作で本格的に見たのは喜劇の「トラック野郎」だけです。, 

　俳優というのは,いわば虚業です。 

　特に菅原文太さんや先日亡くなった２つ年長の高倉健さんが活躍を始めた時代,には,映像といえばテレビじゃなく映画だけでした。 

　主役は銀幕のヒーローですが,所詮,,脚本があって監督の指示に従って絵空事を如何に本当らしく演ずるか？ということが俳優としての価値であろうと思われます。 

　しかし,かつて石原裕次郎は映画スターの絶頂期にあって「男子一生の仕事ではない。」と述べたそうな。。 

　男らしさ,]誠実さをムネとするであろう,ケンさんと文太さん。。お２人ともヤクザ映画の路線で一時代を築きました。ただ,実録モノ主体だったというのは文太さんらしいです。 

　お２人にとって,現実の自身の姿と映画の中のヒーローとしての姿にギャップがあるのが面白くない,男らしくないと感じたたとしても不思議はないと下世話な想像します。 

　そして,ケンさんは自身の私生活の方を銀幕の中の姿に似せようとし最後まで貫いたのに対し,文太さんは逆に銀幕の中の姿を自身の私生活の姿に貶め,やがて「トラック野郎 一番星」の星桃次郎のようなピエロになる路線も演じるようになったと推察します。 

　イヤ,立派なお２人のそれぞれの生き方について不肖私などがどちらの勝ちとか述べるつもりはないですが,神様でない限り四六時中立派なヒーローやアイドルであり続けることは不可能と思うので,結局はどこかで自身をさらけだした方が楽でしょうから,この意味では私のシロート考えですが,ケンさんの方が大変だったろうな,と想像します。 

　彼らの全盛期には,せいぜいＴＶ放送が始まったばかりの時代だったからでなのしょうか。 

　プロのスポーツ選手でも,例えば昔の相撲取りは朴訥で無口したが今は芸人顔負けのような人もいます。 

　また,昔の歌手には玉置宏や高橋恵三のような司会者が紹介しなければ唄を歌う以外,カメラの前では自己紹介もできないような人が大勢いました。 

　,２,３年前でしたか,友人に只でチケットをもらって１月20日頃に渋谷公会堂で「石川さゆりの新春ショー」を見た際には,多芸な司会者などついてなくてご本人が唄だけでなく漫談師さながらのトークのパフォーマンスを披露されていて感心したことがありました。 

　もちろん,今の時代のＴＶのバラエテの出演が多い芸人でさえ,たけしやさんまなど一部少数を除いて,カメラの前と私生活に大きなギャップがある人は多いと聞きます。 

　女性芸人でもキャラでＳを演じていても私生活はＭであったり,放送の中ではインタビューでもケバくて高ビーなキャラの方が実は純情可憐で泣き虫だったりすることもあるようです。 

　脱線しましたが菅原文太氏はムダな？抵抗はせず,社会活動でも自分に正直に立派な自己主張を貫いた先輩であると尊敬しています。 

 ご冥福を祈ります。合掌！！

　ＰＳ:本格的な冬を迎える前にもう有名人の訃報続きです。80歳代の人はまだしも私と同年代のアラ還の方も最近急死が多いです。

私も毎冬が近づくと持病の心不全で肺に水が溜まります。

私は糖尿病のクセに小便の回数が少なく,９/18の循環器診察で体重が67.5kg(４/25の退院時は52.5ｋｇ)で,胸部のＸ線撮影では,また肺水腫を起こしていることがわかり,利尿剤を通常服用していた20mgから40mgに増やしていました。

　昨日の12/２の診察時には体重は65.5ｋｇと２ｋｇ減少し肺胞内の水分量が改善されていたので入院しての利尿剤点滴の必要はなく,年末から今冬にかけては自宅療養で済みそうです。

　心臓病はせっせとオシッコが出た方が健康なんですがね。。

　平均気温で摂氏６度以下になると急に心筋梗塞が増えるらしいですから狭心症などがある方は気を付けてください。。

訃報！！中島啓江さん。。

　オペラ歌手の中島啓江(なかじまけいこ)さんが体調不良から入院,去る11月23日に呼吸不全で急死されていたことがわかりました。享年57歳。。若い。。 

　yahooニュース　→　オペラ歌手 中島啓江さん死去　57歳　呼吸不全で。 

　　

　 やはり肥満が原因の主たるものだったのでしょうか？。。 

　 私は世間で謂われるデブ専 ( ＋ ロリコン, 眼鏡フェチ, マゾ) なので,亀淵ユカさんなどと同様に,この方も,大好きでした。。 

　 とても残念です。

　　ご冥福を祈ります。合掌！！