ゲージ場の量子論から(その１)(経路積分と摂動論 10)

「ゲージ場の量子論から(経路積分と摂動論)の続きです。

生成汎関数Ｚ[Ｊ]とｎ点Green関数Ｇ^(ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_ｎ)の関係は 

　定義によって,Ｚ[Ｊ]＝Σ_ｎ=0^∞(1/ｎ！)

　[∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_ｎ{Ｊ(_jｘ₁)..Ｊ(ｘ_ｎ)Ｇ^(ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_ｎ)} 

　で与えられます。

　一方,Ｚ[Ｊ]の経路積分表式の分子は,

　＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀＝Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ！)

[∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_ｍ＜iＬ_int(ｙ₁)..iＬ_int(ｙ_ｍ)exp(iＪ*φ)＞₀]

であり,このうち最後の指数関数因子は,

　exp(iＪ*φ)＝exp{i∫ｄ⁴ｘＪ(ｘ)φ(ｘ)}＝Σ_ｎ=0^∞(1/ｎ!)

　[∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_ｎ{Ｊ(_jｘ₁)..Ｊ(ｘ_ｎ)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_Ｎ)} 

　と級数展開でされます。

Ｚ[Ｊ]の経路積分表式の分母は,＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀ 

ですから,Ｇ^(ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_ｎ)×＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀ 

＝Σ_ｍ=0^∞(i^ｍ/ｍ！)[∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_ｍ

＜φ(ｘ₁)..φ(ｘ_Ｎ)Ｌ_int(ｙ₁)..Ｌ_int(ｙ_ｍ)]＞₀ 

　なる等式が成立することがわかります。

そこで,ｎ点Green関数Ｇ^(ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_ｎ)に寄与するFeynman

グラフでは,点ｘ₁,..,ｘ_ｎが端点となるわけです。

(※再掲下図4.5を参照)

　これらの端点に直接つながる線を外線(Eexternal Line)といい,

それ以外の線を内線(Internal Line)といいます。

　そして,Ｚ[Ｊ]の計算に効くグラフのＺ[Ｊ]の表式の分子の計算へ

　の寄与では端点ｘの外線には必ず,外場Ｊ(ｘ)のｉ倍が掛かって

　います。

　Ｚ[Ｊ]に効くグラフの中には図4.5(ｄ)のように外場Ｊにつながる

　外線だけの部分と外場Ｊとは全く連結していない独立な部分とに

　完全に分離しているものがあります。

どの外場Ｊにも全く連結していないグラフは,真空泡グラフ

(Vacuum Bubble)と呼ばれますが,これは下の図4.7に示す

ような端点を持たないグラフです。

　　ここで,１つでも外場Ｊと連結した外線を持つグラフを連結

　　グラフ(Connected diagram)と呼び,それら連結グラフ全ての

　　寄与を摂動の次数にわたって加え上げたものに定数１を足し

　　た総和をＣとします。

　一方,外線を一切持たない真空泡グラフのみの寄与を全ての

　摂動の次数にわたって加えあげたものに定数１を足したもの

　をＢと書くことにします。

　すると,任意のFeynmanグラフは,連結グラフとそれには

　つながらない独立した真空泡グラフに分離されます。

　(↑※ただし,全く分離できないものも,もちろん存在します

　が単一であっても独立グラフに分離されたグラフであると

　いう広い意味に解釈しています。この場合,連結グラフ単独

 なら真空泡因子を１,真空泡単独なら連結部分を１の因子と

　勘定することを含んだ表現です。)

　　そこで,各々のグラフの評価は,それぞれ

　　(連結グラフの寄与)×(真空グラフの寄与)

　　として得られます。

　　それ故,

 (Ｚ[Ｊ]の分子)＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀ 

　　＝Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ！)[∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_ｍ

　　＜iＬ_int(ｙ₁)..iＬ_int(ｙ_ｍ)exp(iＪ*φ)＞₀ 

　　＝Σ_{全てのグラフ},[(連結グラフの寄与)×(真空泡グラフの寄与)] 

　　＝[Σ_連結(連結グラフの寄与)]×[Σ_真空(真空泡グラフの寄与)] 

　　＝Ｃ×Ｂ

　　と書けます。

　他方,ｍ次の真空泡グラフのみの寄与は,

　通常のｎ点Green関数： 

　Ｇ^(ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_ｎ)・＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀ 

　　＝Σ_ｍ=0^∞(i^ｍ/ｍ！)[∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_ｍ

　　＜φ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)Ｌ_int(ｙ₁)..Ｌ_int(ｙ_ｍ)}＞₀

　　の右辺の項から端点に結合するφ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)を除いた

　　ものであり,これはｎには無関係で,ｍの0次(ｍ＝0)の寄与

　　は定数の１ですから,真空泡グラフの総和Ｂは

　Β＝Σ_ｍ=0^∞(i^ｍ/ｍ！)

　[∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_ｍ＜Ｌ_int(ｙ₁)..Ｌ_int(ｙ_ｍ)}＞₀ 

　　＝Σ_ｍ=0^∞(i^ｍ/ｍ！)

　　[∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ⁴ｙ_ｍ＜Ｌ_int(ｙ₁)..Ｌ_int(ｙ_ｍ)]＞₀ 

　　で与えられることになります。

　　つまり,Ｂ＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀

　　＝(Ｚ[Ｊ]の分母)　です。

　以上から,Ｚ[Ｊ]＝(Ｚ[Ｊ]の分子)/(Ｚ[Ｊ]の分母)

　＝(Ｃ×Ｂ)/Ｂ＝Ｃ ＝[Σ_連結(連結グラフの寄与)]　

　と結論されるわけです。

　(※注4):現実には,具体的に評価すると,分母のＢも分子の

　(Ｃ×Ｂ)も共に有限な値ではなく無限大と評価されるため,

　(Ｃ×Ｂ)/Ｂ＝Ｃ なる等式は(無限大)/(無限大)なる演算 

　で,必ずしも数学的には正当化されない等式ですが,形式的

　には,このように解釈されるわけです。

ところで,こうした上記記事の内容は,今の経路積分による

定式化に限った話ではなく,場の理論での散乱遷移現象の評価

では常に現われるものです。(注4終わり※)

したがって,生成関数Ｚ[Ｊ]やGreen関数の評価では真空泡

グラフの寄与を無視して単に連結グラフのみを対象として

評価すれば十分です。

　ところで,真空泡グラフを除いた連結グラフであっても,

　それは外線があってどれかの端点につながっているという

　条件が満たされているだけで,全ての部分が分離不可能な

　単一の連結グラフという意味ではありません。

そこで１本以上の外線で端点につながっているけれど,

独立な２つ以上の連結部分には決して分離できない連結

グラフを固有グラフ(Proper diagram)と呼ぶことにします。

そして,それら単一の固有グラフの摂動の全ての次数の寄与

の総和をＰと書けば,固有グラフが2個非連結で独立に並んで

いるような全ての連結グラフの寄与の総和はＰ²/2!,また,

固有グラフが３個あるグラフの寄与の総和はＰ³/3!....

ということになります。

したがって,結局,Ｚ[Ｊ]＝Ｃ ＝Σ_ｋ＝0^∞[(Ｐ^ｋ/ｋ!)

＝expＰ　です。

　そこで,新たにＪの汎関数Ｗ(Ｊ)をＺ[Ｊ]＝exp[iＷ(ｊ)]

　で定義すれば,Ｐ＝(固有グラフの総和)＝iＷ(Ｊ)ですが, 

　iＷ(ｊ)＝Σ_ｎ=0^∞(1/ｎ！)[∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_ｎ

　{Ｊ(_jｘ₁)..Ｊ(ｘ_ｎ)Ｇ_conn^(ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_ｎ) 

　と書いて,これで生成されるGreen関数Ｇ_conn^(ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_ｎ)

　を定義すれば,これは端点ｘ₁,..,ｘ_ｎが全て,伝播関数と頂点

　によって１つに連結されたグラフのみの寄与から成るため,

　連結Green関数と呼ばれます。

　さて,前回の図4.5のグラフとそれに対する計算式や上述の

　真空泡グラフに対する考察からｎ点Green関数Ｇ^(ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_ｎ)

　を計算する一般的規則を書き下すことができます。

　これはFeynmanルールと呼ばれるものです。

(0) まず,与えられたｎ個の点ｘ₁,..,ｘ_ｎをと摂動のｍ次

でｍ個のＬ_int(φ)を与えるＬ_int(ｙ₁)..Ｌ_int(ｙ_ｍ)の頂点

ｙ₁..,ｙ_ｍをあらゆる可能な仕方で結ぶグラフ＝Feynman

グラフを書きます。

　その際,点ｙでのＬ_int(ｙ)が先に例示したφ³-相互作用

 Ｌ_int(φ)＝(－ｇ/3!)φ³(ｙ)なら,各頂点から３本の線が,

　φ⁴-相互作用 Ｌ_int(φ)＝(－λ/4!)φ⁴(ｙ)なら,４本の線

　が出るものとします。

　そして,真空泡グラフに相当するグラフは除きます。

　得られた個々のFeynmanグラフに対して, 

　(ⅰ)端点や頂点を結ぶ各線にFeynman伝播関数を対応させる。

　すなわち,ｘとｙをつなぐ線ならiΔ_Ｆ(ｘ－ｙ)を因子と

　して付与する。 

　(ⅱ)各頂点にはＬ_intの結合定数を付与する。 

　すなわち,φ³-頂点には(－iｇ)を,φ⁴-頂点には(－iλ)

　を付与する。 

　(ⅲ)各頂点ｙ_jについて積分∫ｄ⁴ｙ_jを実行する。 

　(ⅳ)それぞれのグラフの統計因子を計算して掛ける。

以上が通常の４次元時空のｘ空間(座標空間)で計算する

Feynman規則ですが,実際の計算ではFourier変換して

ｐ空間(運動量空間)で評価する方が便利なことが多いので

ｐ空間でのFeynman規則に直しておきます。

　そのため,ｘ表示のGreen関数 Ｇ^(ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_ｎ)をFourier変換

　して４元運動量保存を考慮して得られるｐ表示のGreen関数Ｇ~^(ｎ)

　を次の式で定義します。

すなわち,∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n..

[exp(iｐ₁ｘ₁＋..＋iｐ_nｘ_n)Ｇ^(ｎ) (ｘ₁,..,ｘ_ｎ) 

　＝(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋..＋ｐ_n)Ｇ~^(ｎ)(ｐ₁,..ｐ_n)　です。

先に与えたｘ空間でＧ^(ｎ) (ｘ₁,..,ｘ_ｎ)を計算するFeynman

規則をｐ空間でＧ~^(ｎ)(ｐ₁,..ｐ_n)を計算するFeynman規則に

読み直します。

　グラフの各線での座標空間のFeynman伝播関数iΔ_Ｆに,Fourier

　積分表示

 iΔ_Ｆ(ｘ－ｙ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4[exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}

　 /(ｋ²－ｍ²＋iε)]を代入すれば,端点座標ｘ₁,..,ｘ_ｎと

　相互作用頂点座標ｙ₁,..,ｙ_ｍへの依存性が明確になります。

　端点ｘ_ｉと頂点ｙ_ｊとを結ぶ外線上の運動量をｋ_ｊとすれば,

　伝播関数は

　iΔ_Ｆ(ｘ_i－ｙ_j)＝∫ｄ⁴ｋ_ｊ(2π)^-4[exp{－iｋ_ｊ(ｘ_i－ｙ_j)}

  /(ｋ_j ²－ｍ²＋iε)]であり.

　また,頂点ｙ_ｊにつながる頂点ｙ_ｌを結ぶ内線上の運動量を

　ｋ_ｌとすれば

　iΔ_Ｆ(ｙ_ｊ－ｙ_ｌ)＝∫ｄ⁴ｋ_ｌ(2π)^-4[exp{－iｋ_ｌ(ｙ_ｊ－ｙ_ｌ)}

　/(ｋ_ｌ ²－ｍ²＋iε)] です。

　これらは,∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n..

　[exp(iｐ₁ｘ₁＋..＋iｐ_nｘ_n)Ｇ^(ｎ) (ｘ₁,..,ｘ_ｎ) 

　＝(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋..＋ｐ_n)Ｇ~^(ｎ)(ｐ₁,..ｐ_n) における

　Ｇ~^(ｎ)(ｐ₁,..ｐ_n)の因子として寄与しますから,

　端点ｘ_ｉに流入する運動量をｐ_ｉとすると,

　exp{i(ｐ_ｉ－ｋ_ｊ)ｘ_i)なる因子の積分∫ｄ⁴ｘ_ｉから

　外線伝播関数のｋ_ｊと端点から流入するｐ_ｊが等しい 

　という因子:(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｉ－ｋ_ｊ)が出現します。

　また,頂点ｙ_ｊにつながる頂点ｙ_ｌを結ぶ内線や端点ｘ_ｉ

　を結ぶ伝播関数から,その頂点ｙ_ｊに流出入する外線,および,

　内線の運動量ｋ_ｌを流入か流出のいずれかを正にするという

　規約で符号を決め直すと,

　exp{±i(Σ_ｌｋ_ｉ)ｙ_j}なる因子があって∫ｄ⁴ｙ_ｊより,

　ｙ_jへの流出入運動量の代数和がゼロになるという運動量

　保存の因子(2π)⁴δ⁴(Σ_ｉｋ_ｉ)が出現します。

　したがって,暫定的にＧ~^(ｎ)(ｐ₁,..ｐ_n)の規則として

　次を得ます。 

　(ⅰ)'各線に積分記号∫ｄ⁴ｋ_ｉ(2π)^-4と因子:ｉ/(ｋ_i ²－ｍ²＋iε)

　を付与する。 

　(ⅱ)'各端点に(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｉ－ｋ_ｊ)を付与する。 

　(ⅲ)'各頂点ｙ_jに(2π)⁴δ⁴(Σ_ｉｋ_ｉ)を付与する。

　なお,(0)可能なあらゆる連結Feynmanグラフを書く。

　ただし,真空泡グラフは除く。 

　　(ⅳ)それぞれのグラフの統計因子を計算して掛ける。 

　　という規則については変更無しです。

　ところが,(ⅰ)'の積分∫ｄ⁴ｋ_ｉ(2π)^-4のうち,ｋ_ｉが外線

　であるものは(ⅱ)'の(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｉ－ｋ_ｊ)によってδ関数

　の積分遂行で積分因子が相殺されます。

　また,(ⅲ)'の(2π)⁴δ⁴(Σ_ｉｋ_ｉ)を用いると,独立な式

　は(頂点の数－１)個ですから,この個数の内線のｋ_ｉの積分

　因子∫ｄ⁴ｋ_ｉ(2π)^-4が相殺されます。

　つまり,ｐ_ｉ－ｋ_ｊ＝0,および,各頂点のΣ_ｉｋ_ｉ＝0 は

　全てが独立tというわけではなく,全体としての保存則の

　因子 δ⁴(ｐ₁＋..＋ｐ_n)によるΣ_ｉｐ_ｉ＝0　があるので 

　１個の条件は過剰です。

　それをδ⁴(ｐ₁＋..＋ｐ_n)で補充するとしても,これは一切

 ｋ_ｉを含んでないため,この条件は∫ｄ⁴ｋ_ｉ(2π)^-4の相殺

　には無関係です。

　したがって,外線の(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｉ－ｋ_ｊ)を全て独立と見て

　使用すれば,残る(2π)⁴δ⁴(Σ_ｉｋ_ｉ)は(頂点の数－１)個のみ

　が独立です。

　これでもなお残る内線運動量の積分∫ｄ⁴ｋ_ｉ(2π)^-4はグラフ

　のループを回る運動量のみです。

　こうして,最終的なFeynman規則が得られます。 

　(ⅰ)運動量がｐ_iの外線には,因子:ｉ/(ｐ_i ²－ｍ²＋iε)

　を付与する。 

　(ⅱ)運動量がｋ_ｊの内線には,因子:ｉ/(ｋ_ｊ ²－ｍ²＋iε)

　を付与する。 

　(ⅲ)各頂点にはＬ_intの結合定数因子:すなわち,φ³-頂点

　には(－iｇ)を,φ⁴-頂点には(－iλ)を付与する。

　(ⅳ)なお,(ⅱ)の内線運動量ｋ_ｊは各頂点での運動量保存

　を考慮に入れて外線運動量に基づいて決めておくことが

　できます。

　どうしても決まらない運動量はループにおけるそれであり

　それをｌ_ｊとおいて積分∫ｄ⁴ｌ_ｉ(2π)^-4を実行する。

　(ⅴ)それぞれのグラフの統計因子を計算して掛ける。

　です。

　上記説明から,任意のグラフに対して,内線伝播関数の数 Ｐ,

　頂点の数 Ｖとループの数 Ｌとの間にはＰ－(Ｖ－1)＝Ｌなる

　関係が一般に成立することがわかります。

最後にＴ積と,以下に定義するＴ^＊積について述べます。

　経路積分に基づいて定義されるGreen関数は明白に

　Lorntz共変であるべきで,実際Lorentz共変ですが,

　一般に,経路積分定式化の以前の正純定式化でGreen関数

　はＴ積(時間順序積)の真空期待値で 定義されています。

しかし,このＴ積は一般には共変ではないことが示されます。 

　すなわち,通常のｎ点Green関数

　Ｇ^(ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_ｎ)＝＜0|Ｔ[φ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)]|0＞

　の場合は,Ｔ積の中には場φの微分が含まれないため

　共変ですから問題ないのですが,

　　例えば,Ｔ積の定義から,

　 ＜0|Ｔ[∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)]|0＞

 ＝θ(ｘ⁰－ｙ⁰)＜0|∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)|0＞ 

　　＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)＜0|∂^y_νφ(ｙ)∂^x_μφ(ｘ)|0＞　

　　です。

　　これも何らかのGreen関数と呼ばれますが,これはLorentz

　　共変ではありません。

　　何故なら, 

　　∂^x_μ∂^y_ν＜0|Ｔ[φ(ｘ)φ(ｙ)]|0＞

　　＝∂^x_μ＜0|Ｔ[φ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)]|0＞ 

　　＝＜0|Ｔ[∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)]|0＞＋iδ_0μδ_0νδ⁴(ｘ－ｙ)

　　です。

　　左辺は,i∂^x_μ∂^y_νΔ_Ｆ(ｘ－ｙ)なので明白にLorentz共変

　　であるのに対し,右辺のｃ－数項 iδ_0μδ_0νδ⁴(ｘ－ｙ)は

　　共変ではないからです。

　　(※注5)：上記等式を証明します。 

　　＜0|Ｔ[φ(ｘ)φ(ｙ)]|0＞＝θ(ｘ⁰－ｙ⁰)＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞ 

　　＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞　なので,

　　∂^y₀＜0|Ｔ[φ(ｘ)φ(ｙ)]|0＞

　　＝－δ(ｘ⁰－ｙ⁰)＜0|[φ(ｘ),φ(ｙ)]|0＞ 

　　＋＜0|Ｔ[φ(ｘ)∂^y₀φ(ｙ)]|0＞　です。

　ところが,ｘ⁰＝ｙ⁰の同時刻交換関係(量子条件)から

　[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝0 なので, 

　　∂^y₀＜0|Ｔ[φ(ｘ)φ(ｙ)]|0＞＝＜0|Ｔ[φ(ｘ)∂^y₀φ(ｙ)]|0＞

　　です。

　　さらに,∂^x₀＜0|Ｔ[φ(ｘ)∂^y₀φ(ｙ)]|0＞ 

　　＝δ(ｘ⁰－ｙ⁰)＜0|[φ(ｘ),∂^y₀φ(ｙ)]|0＞

　　＋＜0|Ｔ[∂^x₀φ(ｘ)∂^y₀φ(ｙ)]|0＞　であり,

　　ｘ⁰＝ｙ⁰の同時刻で,

　　[φ(ｘ),∂^y₀φ(ｙ)]＝[φ(ｘ),π(ｙ)]＝iδ³(ｘ－ｙ)

 です。

　　したがって,結局,∂^x₀∂^y₀＜0|Ｔ[φ(ｘ)φ(ｙ)]|0＞ 

　＝∂^x₀＜0|Ｔ[φ(ｘ)∂^y₀φ(ｙ)]|0＞ 

　＝＜0|Ｔ[∂^x₀φ(ｘ)∂^y₀φ(ｙ)]|0＞＋iδ⁴(ｘ－ｙ)

　　および,∂^x_ｉ∂^y_ｊ＜0|Ｔ[φ(ｘ)φ(ｙ)]|0＞

　　＝∂^x_ｉ＜0|Ｔ[φ(ｘ)∂^y_ｊφ(ｙ)]|0＞ 

　＝＜0|Ｔ[∂^x_ｉφ(ｘ)∂^y_ｊφ(ｙ)]|0＞　を得ます。

　(注5終わり※)

　　一方,以前の記事

　「ゲージ場の量子論から(その１)(経路積分と摂動論８)」

　　特にその後半の(※注1)に考察したように,

　　今の例の微分を含むGreen関数

　　＜0|Ｔ[∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)]|0＞に経路積分表現

　　で対応すると考えられる量は,

　　＜∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)exp[i∫ｄ⁴ｙＬ_int(φ)]＞₀ 

　　/＜exp[i∫ｄ⁴ｙＬ_int(φ)]＞₀ 

　　＝(exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}

　　*∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)exp[i∫ｄ⁴ｙＬ_int(φ)])_φ=0/(分母) 

　です。

これは,生成汎関数の経路積分表現： 

　Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ⁴ｙ{Ｌ_int(φ)＋Ｊφ}]|＞₀/

　＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}]＞₀ 

　から従うものです。

ところが,元々その表現の出発点の生成汎関数の

経路積分表現は, 

　Ｚ[Ｊ]＝Ｎ∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ(φ)＋Ｊφ}]

　でした。

これを,Klein-Gordon演算子と相互作用の部分に

分離して

Ｚ[Ｊ]＝Ｎ∫Ｄφexp[i∫ｄ^４ｘ{(－1/2)φ(□＋μ²)φ

＋Ｌ_int(φ)＋Ｊφ}]と書き,

　Klein-Gordon演算子の

∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｘ{(－1/2)φ(□＋μ²)φ}の部分

を(exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}なる演算子

に変換して,

　Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ⁴ｙ{Ｌ_int(φ)＋Ｊφ}]|＞₀

　/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}]＞₀なる表式が得られた

　のでした。

　　一方,Ｚ[Ｊ]＝Ｎ∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ(φ)＋Ｊφ}]

　　で,Ｚ[Ｊ＝0]＝1となるようにＮを規格化したものは, 

　　Ｚ[Ｊ]＝∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ(φ)＋Ｊφ}]

　　/∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ(φ)}]　です。

　　そこで,Green関数 :

　　＜0|Ｔ[∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)]|0＞に対応する

　　経路積分表示のGreen関数は,

 ＜∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)]exp[i∫ｄ⁴ｙ{Ｌ_int(φ)}]|＞₀ 

　　/＜exp[i∫ｄ⁴ｙ{Ｌ_int(φ)}]|＞₀なる表式と同時に,

　∫Ｄφ∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)exp[i∫ｄ^４ｚ{Ｌ(φ)}] 

　/∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｚ{Ｌ(φ)}]

　と表わすことができるとわかります。

　　特に,この最後の経路積分式を分母の規格化定数も含め, 

　　＜∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)＞　と定義します。

　　すると,この式では微分の定義から明らかなように,

　　微分演算∂^x_μ,∂^y_νを∫Ｄφの外に出すことができる

　　ため,＜∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)＞＝∂^x_μ∂^y_ν＜φ(ｘ)φ(ｙ)＞

　　が成立します。

　　微分を含まない通常のGreen関数では明らかに, 

　　＜φ(ｘ)φ(ｙ)＞＝＜0|Ｔ[φ(ｘ)φ(ｙ)]|0＞ なので,

 ＜∂^x_μφ(ｘ)∂^y_νφ(ｙ)＞

　　＝∂^x_μ∂^y_ν＜0|Ｔ[φ(ｘ)φ(ｙ)]|0＞　です。

　 それ故,場と場の微分のスカラー汎関数Ｆに対し, 

　 ＜Ｆ(φ,∂φ)＞

　 ＝∫ＤφＦ(φ,∂φ)exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ(φ)}] 

　 /∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｙ{Ｌ(φ)}]　で定義される

　 ような量はLorentz不変です。

　ここで,新たにＴ^＊積なる概念を導入して,一般に積

　の内部の場に対する演算をＴ積の外側で行うものと

　定義します。

　すなわち,任意のＯ(ｘ)に対して 

　Ｔ^＊[∂^x1_μＯ(ｘ₁)Ｏ(ｘ₂)..Ｏ(ｘ_ｎ)]

　＝∂^x1_μＴ^＊[Ｏ(ｘ₁)Ｏ(ｘ₂)..Ｏ(ｘ_ｎ)] 

　Ｔ^＊[φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)..φ(ｘ_ｎ)]

　＝Ｔ[φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)..φ(ｘ_ｎ)]

　なる式でＴ^＊積を定義します。

すると,Ｔ^＊積：Ｔ^＊[Ｏ(ｘ₁)Ｏ(ｘ₂)..Ｏ(ｘ_ｎ)]

は経路積分の表式 :

＜Ｏ(ｘ₁)Ｏ(ｘ₂)..Ｏ(ｘ_ｎ)＞ 

　＝∫ＤφＯ(ｘ₁)Ｏ(ｘ₂)..Ｏ(ｘ_ｎ)exp[i∫ｄ^４ｙＬ(φ)] 

　/∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｙ{Ｌ(φ)}]　

　と常に一致するはずです。

そして,Ｔ積をＴ^＊積に置き換えたGreen関数は定義

から明らかにLorentz不変です。

経路積分に基づくFeynman 規則によるGreen関数の計算

では,相互作用Ｌ_intに場の微分結合がある場合でも摂動展開

の任意のステップでLorentz共変性が維持されるＴ^＊積の摂動

近似Green関数が得られるため,以下,Ｔ積といえばＴ^＊積を

意味するものとして両者を区別しないことにします。

ただし,Waed-Takahahi恒等式などのように,違いを考察すべき

ときには特に区別することを,その都度注釈します。

　今日はここまでにします。

次は電子などのFermion場(スピノル場)の摂動論に入る

予定です。

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)