ゲージ場の量子論から(その１)(経路積分と摂動論９)

「ゲージ場の量子論から(経路積分と摂動論)」の続きです。

まず,前回までの話を要約します。

※ 相互作用Ｌ_int(φ)が存在してLagrangian密度Ｌが, 

Ｌ(φ,∂φ)＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－(1/2)μ²φ²(ｘ)＋Ｌ_int(φ) 

で与えられる実スカラー粒子の場 φ(ｘ)を想定します。

この相互作用しているスカラー粒子のＮ点Green関数Ｇ^(Ｎ)は, 

　Ｇ^(Ｎ)(ｘ₁,..,ｘ_N)＝＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)..φ(ｘ_Ｎ)|0＞で 

与えられますが,これの生成汎関数をＺ[Ｊ]とします。

Ｚ[Ｊ]は,配位空間の経路積分によって, 

Ｚ[Ｊ]＝Ｎ∫Ｄφ exp[i∫ｄ^４ｘ{(－1/2)φ(□＋μ²)φ

　＋Ｌ_int(φ)＋Ｊφ}] 

＝Ｎ∫Ｄφ exp[i{(－1/2)φ*(□＋μ²)φ＋Ｊ*φ}] 

と書けます。

ただし,右辺の最後の式では,煩わしい∫ｄ^４ｘという表現を省略

するため,時空座標ｘの任意関数φ(ｘ),ψ(ｘ)に対して,内積と

呼ばれる演算:φ*ψを,φ*ψ＝∫ｄ^４ｘφ(ｘ)ψ(ｘ)＝ψ*φに

よって定義しました。

Ｚ[Ｊ]は,,結局,Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀ 

　/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀　なる式で表わせることが

　わかります。

 ただし,任意のφの汎関数Ｆ(φ)について, 

　＜Ｆ(φ)＞₀＝(exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}*Ｆ(φ))_φ＝0 

　と定義されています。

　　＜Ｆ(φ)＞₀の具体的な意味は,Ｆ(φ)に左から微分演算子 

　exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)} 

　＝Σ_k=0^∞(1/ｋ！)(1/2)^k(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｋ

　を作用させ,最後にφをゼロと置く操作です。

　これは,＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀では 

　級数展開Σ_k=0^∞(1/ｋ！) )1/2)^ｋ(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｋ

　のｋの１次ごとにexp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}]からφ(ｘ)φ(ｙ)

　のようなφの対を１つ取り除き,代わりに,それを自由場の

　伝播関数 iΔ_Ｆ(ｘ－ｙ)＝＜0|ＴＴ(φ_in(ｘ)φ_in(ｙ)|0＞ 

　に置き換える操作を示しています。

　そして,係数(1/2)はｘとｙの交換の自由度２で割ることを意味

　していますから,結果的に係数は１です。

　そして,自由場の伝播関数はFourier積分の形で,

　Δ_Ｆ(ｘ－ｙ)

　＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4[exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}/(ｋ²－μ²＋iε)] 

　なる形をしています。(※)

　ここまでがこれまでの要約です。

今日の記事では,ここから出発して具体的な摂動の手順を

述べてゆきます。

生成関数における指数関数因子の級数展開は, 

Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀

/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀　 

＝Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ！)∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ^４ｙ_ｍ 

＜iＬ_int(ｙ₁).. iＬ_int(ｙ_ｍ)exp(iＪ*φ)＞₀/(分母)

です。

この右辺の級数展開は相互作用Ｌ_intがＬに比べて,微小な摂動

であると考えたときの摂動展開そのものです。

(分母)＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀の効果については後述

するとして,分子の各項について具体的な計算方法を考えます。

具体的には,＜　＞₀はまずφの２個の積の場合には,明らかに, 

＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)＞₀＝iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)＝[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)]

です。

ただし,考察の便宜上,iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)をSymbolicに

[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)]なる記号で表現しました。

このように,φ(ｘ₁),φ(ｘ₂)の組をFeynman伝播関数

iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)で置き換える操作を縮約(contraction)

と呼びます。

この自由伝播関数を図示するときは,図4.3のように点ｘ₁とｘ₂

をつなぐ線で表わすことにします。

次に,φの４個の積の場合には, 

＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ(ｘ₃)φ(ｘ₄)＞₀ 

＝[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₂)][φ_in(ｘ₃)φ_in(ｘ₄)]

＋[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₃)][φ_in(ｘ₂)φ_in(ｘ₄)]

＋[φ_in(ｘ₁)φ_in(ｘ₄)][φ_in(ｘ₂)φ_in(ｘ₃)] 

＝iΔ_Ｆ¹²iΔ_Ｆ³⁴＋iΔ¹³_ＦiΔ_Ｆ²⁴＋iΔ_Ｆ¹⁴iΔ_Ｆ²³となります。

ここでも,また,iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)をiΔ_Ｆ¹²などと略記しました。

実際に,＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ(ｘ₃)φ(ｘ₄)＞₀ 

　＝(exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}*φ(ｘ₁)

　φ(ｘ₂)φ(ｘ₃)φ(ｘ₄))_φ=0を実行してみると,こうなる

　ことがわかります。

つまり,４つのφの積φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ(ｘ₃)φ(ｘ₄)に＜ ＞₀

を作用させる場合：exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)} 

　＝Σ_k=0^∞(i^Ｎ/ｋ！)(1/2)^ｋ(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｋの右辺

　のうちの２次の項 (i²/2!)(1/2)²(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}²

　だけがゼロでない寄与をします。

　何故なら,４つのφの積へのｋ＝0,1 の0次と１次の作用では

微分演算の後にφの因子が１つ以上残るため,φ＝0としたとき

に消えます。

一方,ｋ≧3では,φの４つの積をφで６回以上微分するので

これはゼロになるからです。

この操作を前と同じように図示すると図4.4のようになります。

一般に,＜Ｆ(φ)＞₀

＝(exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}**Ｆ(φ))_φ=0 

　なる操作を加える際,

　φの汎関数 Ｆ(φ)がφの(2ｎ)個の積である場合,これは,

　(2ｎ)個のφ¹ ～ φ^2ｎ の中から２つずつｎ対を縮約して

　得られるiΔ_Ｆのｎ個の積を,あらゆる可能なｎ対の作り方

　にわたって加え上げることで得られます。

すなわち,

＜φ¹φ²..φ^2ｎ＞₀＝Σ_組合わせ[iΔ_Ｆ^i1j1iΔ_Ｆ^i2j2..(iΔ_Ｆ^injn)

です。

　※(注2):＜φ(ｘ₁)..φ(ｘ_3ｎ)＞₀において,作用する, 

　exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)} 

　＝Σ_k=0^∞(i^Ｎ/ｋ！)(1/2)^ｋ(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｋ

　の右辺の級数項のうち,ゼロでない寄与をするのは.ｋ＝ｎの項： 

　(1/ｎ！)(1/2)^ｎ(δ/δφ)*iΔ_Ｆ*(δ/δφ)}^ｎだけです。

これの係数 (1/ｎ！)(1/2)^ｎのうち,(1/2)^ｎはｎ対の各々で,

例えば引数がｘ₁,ｘ₂なら

lΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)＝(1/2){iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)＋iΔ_Ｆ(ｘ₂－ｘ₁)}

になるという意味で,交換対称の自由度２と相殺し,

また,(1/ｎ！)はｎ個の対を順序付けて区別する必要がない

のでｎ!の順列の数ｎ!と相殺しますから, 結局,各々の重み

係数は１になるわけです。　(注2終わり※),

こうした事実が,以下,一般のFeynmanダイアグラムにおいて

重み係数を算定するための基礎となります。

　さて,Ｚ[Ｊ]＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ*φ}]＞₀

　/＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀　 

　＝Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ！)∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ^４ｙ_ｍ 

 ＜iＬ_int(ｙ₁).. iＬ_int(ｙ_ｍ)exp(iＪ*φ)＞₀ /(分母)

　に戻ります。

　φのみの関数であるような相互作用 Ｌ_int(φ)は一般にφの

　多項式なので,右辺各項の分子の被積分関数における

　＜iＬ_int(ｙ₁).. iＬ_int(ｙ_ｍ)exp(iＪ*φ)＞₀の因子も

　上述の＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)＞₀や＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ(ｘ₃)φ(ｘ₄)＞₀

　と同様に評価することができます。

　ただ,各Ｌ_int(ｙ_ｊ)の因子は皆,同一時空点ｙ_ｊおけるφの積

　であるという点が違います。

　ここで,簡単のため,Ｌ_int(φ)＝(－ｇ/3!)φ³(ｘ)という

　φ³-相互作用を例にとり,Green関数の生成汎関数

　Ｚ[Ｊ]の(分子)＝Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ！)∫ｄ⁴ｙ₁..ｄ^４ｙ_ｍ 

 ＜iＬ_int(ｙ₁).. iＬ_int(ｙ_ｍ)exp(iＪ*φ)＞₀の中での因子

　exp(iＪ*φ)＝exp{i∫ｄ⁴ｘＪ(ｘ)φ(ｘ)}のみを

　級数展開します。

　すなわち,exp{i∫ｄ⁴ｘＪ(ｘ)φ(ｘ)} 

　　＝Σ_ｎ=0^∞(1/ｎ！)[∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_ｎ{iＪ(_jｘ₁)..iＪ(ｘ_ｎ)}

　　φ(ｘ₁)..iφ(ｘ_ｎ)}]ですが,

　以下,便宜上４次元積分∫ｄ⁴ｘ_jを∫ｄｘ_jと略記すると,

 右辺のｎ＝2の項は,

　(1/2!)[∫ｄｘ₁ｄｘ₂{iＪ(ｘ₁)iＪ(ｘ₂)}φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)] 

　です。

＜iＬ_int(ｙ₁).. iＬ_int(ｙ_ｍ)exp(iＪ*φ)＞₀ の中の因子

 exp(iＪ*φ)を,この２次の展開項のみに置き換え,

Ｌ_int(ｙ_j)＝(－ｇ/3!)φ³(ｙ_j)(ｊ＝1,..,ｍ)

を代入すれば,ｎ＝2の展開項は, 

　 (1/2！)[∫ｄｘ₁ｄｘ₂{iＪ(ｘ₁)iＪ(ｘ₂)}

　 ×[Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ！)∫ｄｙ₁..ｄｙ_ｍ(－iｇ/3!)^ｍ

　 ＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ³(ｙ₁).. φ³(ｙ_ｍ)＞₀]

　 となります。

生成関数の定義から,(1/2！)[∫ｄｘ₁ｄｘ₂{iＪ(ｘ₁)iＪ(ｘ₂)}

に掛かる係数：[Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ！)∫ｄｙ₁..ｄｙ_ｍ(－iｇ/3!)^ｍ

×＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ³(ｙ₁)..φ³(ｙ_ｍ)＞₀]は,２点Green関数

Ｇ⁽²⁾(ｘ₁,ｘ₂) を示しています。

この係数＝２点Green関数 Ｇ⁽²⁾(ｘ₁,ｘ₂)は,摂動の0次(ｍ＝0)

では,自由場のそれ：iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)＝＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)＞₀で

与えられます。 

　(↑ 再び,図4.3を参照)

　そこで,相互作用がある場合の(真の)伝播関数＝２点Green関数

　Ｇ⁽²⁾(ｘ₁,ｘ₂)はiΔ'_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)で表現されることもあります。

　また,摂動の１次(ｍ＝1)の項は,

　∫ｄｙ(－iｇ/3!)＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ³(ｙ)＞₀] 

　ですから,今の例の場合＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ³(ｙ)＞₀の中がφの

　奇数べき(5次)なので寄与はゼロです。

　※(注3):何故なら＜ ＞₀の操作ではφによる２回ずつの微分が

　施され,余ったφのベキが存在するときには最後のφ＝0の操作

　で除去されるからです。　(注3終わり※)

　さらに,摂動の２次(ｍ＝2)の項を陽に書くと, 

　　(1/2!)∫ｄｙ₁ｄｙ₂[(－iｇ/3!)²

　　×＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ³(ｙ₁)φ³(ｙ₂)＞₀] です。

　＜ ＞₀の中のφ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ³(ｙ₁)φ³(ｙ₂)の８個のφの積

　を２個ずつの組に分け,それぞれをiΔ_Ｆに置き換えるという

　縮約の取り方を考えると,下の4.5図の(ａ)～(ｄ)のような

　４種類のFeynmanグラフが得られます。

 これらのグラフにおいては,

 Ｌ_int(φ)＝(－ｇ/3!)φ³なるφ³-相互作用は３本の線が

　　会する点に対応し,その点を(３点-)頂点(Vertex)

 と呼びます。

　　グラフから値を計算して評価する際には,こうしたそれぞれの

　　点や線がどんな重み(係数)で効くのか？という点が重要ですが,

　　これらの評価は結構,面倒な手続きです。

　　例えば,4.5図(ａ)の重みを計算してみます。

　　この図の２箇所の点１',２'のどちらをＬ_int(ｙ₁)とＬ_int(ｙ₂)

　　のどちらの点に取るかで２通りありますが.これが,

　　(1/ｍ!)＝(1/2!)を相殺します。

　※つまり,摂動のｍ次の項に現われる(1/ｍ!)の因子は,1つ１つ

　のグラフに対してそのｍ個の頂点が互いに区別できない限り,

　そのどれをｍ個のＬ_int(ｙ_j)に対応させるかでｍ!通りの取り方

　があるので一般にこのｍ!と相殺します。

　　次に, 点１'にＬ_int(ｙ₁)を２'にＬ_int(ｙ₂)を対応させると

　　決まったとしても.Ｌ_int(ｙ₁)には３つのφ(ｙ₁)が含まれて

　　いるので,φ(ｘ₁)と縮約する相棒となるφ(ｙ₁)を選ぶのに

　　３通り,φ(ｘ₂)とφ(ｙ₂)でも同様に３通りあり,残りの

　　φ²(ｙ₁)とφ²(ｙ₂)の間で縮約する方法が２通りあります。

　　したがって,[4.5図(ａ)]

　　＝(3・3・2)/(3!)²∫ｄｙ₁ｄｙ₂[iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｙ₁)(－iｇ) 

　　×{iΔ_Ｆ(ｙ₁－ｙ₂)}²(－iｇ)iΔ_Ｆ(ｙ₂－ｘ₂)]　を得ます。

　　(ｂ)の場合も(1/2!)との相殺は同じです。 

　　そして,１と１’の結び方は３通り,残るφ²(ｙ₁)と２との結び

　　方は２通り, 残る１個のφ(ｙ₁)とφ³(ｙ₂)との結び方は３通り

　　です。 

　　(ｃ)の場合も(1/2!)との相殺は同じですが,これは２つの

　　１次グラフの積と考えられます。 

　　そして,１と１'の結び方,２と２'の結び方はそれぞれ３通り

　　です。

　　しかし,(ｄ)の場合には(1/2!)との相殺はありません。 

　　何故なら,この図では元々１'と２'との区別はないからです。

　　そして,これは0次のグラフと２次のグラフの積です。

　　このときの0次のグラフはiΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)です。

　　一方,２次のグラフについては１'のφ³(ｙ₁)に２'のφ³(ｙ₂)

　　を結合させるやり方は3!通りあります。

　　したがって,[4.5図(ｃ)]＝Ｇ_１^(１)(ｘ₁)Ｇ_１^(１)(ｘ₂) 

　[4.5図(ｄ)]＝Ｇ₀^(２)(ｘ₁,ｘ₂)(1/2!) 

　×{3!/(3!)²}∫ｄｙｄｚ[(－iｇ){iΔ_Ｆ(ｙ－ｚ)}³(－iｇ)

　です。 

　ただし,

　Ｇ_１^(１)(ｘ)＝(3/3!)∫ｄｙiΔ_Ｆ(ｘ－ｙ)(－iｇ)iΔ_Ｆ(ｙ－ｙ) 

　Ｇ₀^(２)(ｘ₁,ｘ₂)＝(iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂)　です。

　ここで,Ｇ_ｍ^(ｎ)(はｎ点Ｇreen関数の摂動のｍ次の量を意味します。

　相互作用:Ｌ_int(φ)＝(－ｇ/3!)φ³の係数(1/3!)は,元々"普通"

　の場合に相殺して消えるように付加されたものです。

　　例えば,３点Green関数の１次の摂動は, 

　　Ｇ_１^(３)( ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)＝∫ｄｙ＜φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)φ(ｘ₃)

　　(－iｇ/3!)φ³(ｙ)＞₀ 

　　＝∫ｄｙ[(－iｇ)iΔ_Ｆ(ｘ₁－ｙ)iΔ_Ｆ(ｘ₂－ｙ)iΔ_Ｆ(ｘ₃－ｙ)] 

　　となって係数が相殺されて１になります。

　つまり,普通はφ³(ｙ)の相棒には３つの区別できる端点のφが

　対応し3!通りの取り方があるので係数(1/3!)を相殺します。

　　ところが, 4.5図の(ａ)～(ｄ)のではどれも完全には3!が消され

　切っていません。

　これは互いに区別できないφが存在するためです。

　そのため,(ａ),(ｂ)を示す式では(1/2)が残ります。

　(ｃ)では(1/2)²が残り,(ｄ)ではループを作る３本の腺が区別

　できないので(1/3!)がそのまま残りますが,それ以外に

 (1/ｍ!)＝(1/2)も残ります。

　こうした重み因子＝係数を統計因子と呼びます。(下図参照)

　　　　　今日はここまでにします。

　(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)