ゲージ場の量子論から(その１)(経路積分と摂動論 11)

　「ゲージ場の量子論から(経路積分と摂動論)の続きです。

　予定通り,スカラー場からFermion場への定式化の移行ですが,

Fermi粒子の場では演算子が反可換なため,経路積分においては

演算子に対応する古典場で積分するのですが,その反可換性を満

たす古典場の対応物がありません。

　そこで,単純に,直線的(Straitfoward)に拡張するというわけには

いきません。

§4.4フェルミオン場の経路積分 

　フェルミオン(Fermion;Fermi粒子)というのは粒子のスピンが

1/2,3/2,5/2..のような半奇数値(Plank定数を単位として)であり

多数の粒子系集団としては粒子の交換反対称なFermi-Dirac統計

に従うものですが,

 ここでは,ここまでBose粒子として最も単純なスピンがゼロの

スカラー粒子で理論展開してきたのと同じ精神で,Dirac方程式に

従うスピンが1/2のDirac場を主に考察します。

Dirac場(Spinor場)を,

ψ(ｘ)＝[ψ₁(ｘ),ψ₂(ｘ),ψ₃(ｘ),ψ₄(ｘ)]^Ｔとすると,

ψ^＋(ｘ)＝[ψ^＋1(ｘ),ψ^＋2(ｘ),ψ^＋3(ｘ),ψ^＋4(ｘ)]であり

これは次の同時刻反交換関係を満たします。

{ψ_α(ｘ,ｔ),ψ^＋β(ｙ,ｔ)}＝δ_α^βδ³(ｘ－ｙ), 

{ψ_α(ｘ,ｔ),ψ_β(ｙ,ｔ)}＝{ψ^＋α(ｘ,ｔ),ψ^＋β(ｙ,ｔ)}

＝0　

しかしながら,これまでと同じく経路積分を導く基礎となる 

ψ_α(ｘ)＝ψ_α(ｘ,ｔ＝0) の固有値と固有ベクトルの関係式 

ψ_α(ｘ)|ψ＞＝ψ_α(ｘ)|ψ＞において,固有値が通常の複素数

であるとすれば,上記の反交換関係に矛盾します。

(※注6):何故なら,ψ_α(ｘ)ψ_β(ｘ)|ψ＞＝ψ_α(ｘ)ψ_β(ｘ)|ψ＞,

かつ,ψ_β(ｘ)ψ_α(ｘ)|ψ＞＝ψ_β(ｘ)ψ_α(ｘ)|ψ＞　より,

{ψ_α(ｘ),ψ_β(ｘ)}|ψ＞＝[ψ_α(ｘ)ψ_β(ｘ)＋ψ_β(ｘ)ψ_α(ｘ)]|ψ＞ 

＝[ψ_α(ｘ)ψ_β(ｘ)＋ψ_β(ｘ)ψ_α(ｘ)]|ψ＞ ですが,

これの左辺は上記の同時刻反交換関係:{ψ_α(ｘ),ψ_β(ｘ)}|＝0

により,ゼロに等しいので,右辺の固有値もゼロであるべき：

つまり,ψ_α(ｘ)ψ_β(ｘ)＋ψ_β(ｘ)ψ_α(ｘ)＝0 であることが

必要ですが,固有値が通常のゼロでない複素数なら,

ψ_α(ｘ)ψ_β(ｘ)＋ψ_β(ｘ)ψ_α(ｘ)＝2ψ_α(ｘ)ψ_β(ｘ)≠0

なので矛盾します。 (注6終わり※)

そこで,この固有値関係を矛盾なく扱うためには,固有値ψ_α(ｘ)

を,お互いの間,および,演算子

ψ(ｘ)＝[ψ₁(ｘ),ψ₂(ｘ),ψ₃(ｘ),ψ₄(ｘ)]^Ｔや

ψ^＋(ｘ)＝[ψ^＋1(ｘ),ψ^＋2(ｘ),ψ^＋3(ｘ),ψ^＋4(ｘ)]の成分

のいずれとも反可換なGrassmann数(グラスマン数)と考える

必要があります。

つまり, 

{ψ_α(ｘ),ψ_β(ｙ)}＝{ψ_α(ｘ),ψ_β(ｙ)}

＝{ψ_α(ｘ),ψ^＋β(ｙ)}＝0　であるべきです。

すなわち,Fermion場というのは,物理的には対応する古典場

が存在しないけれど,強いて”古典的対応物”を考えれば,

Grassmann数値を取る場ということになります。

そして,Grassmann数について積分(定積分)するという概念が

必要となります。

まず,Grassmann数が１変数ξしか存在しない場合を考察します。

Grassmann数は自分自身とも反可換ですから,ξ²＝0です。

それ故,ξの２次以上の量は全てゼロなのでξの任意の

連続関数ｆ(ξ)はξの１次式ですから,

ｆ₀,ｆ₁を通常の複素数として,ｆ(ξ)＝ｆ₀＋ｆ₁ξと

表わされます。

Grassmann数の積分を定義するに当たっては,次の２つの性質

が成立することを要求します。

(ⅰ)線型性: ａ,ｂを任意の複素数とすると, 

　∫ｄξ[ａｆ(ξ)＋ｂｇ(ξ)]

　＝ａ∫ｄξｆ(ξ)＋ｂ∫ｄξｇ(ξ)

(ⅱ)部分積分可能性: ∫ｄξ[∂ｆ(ξ)/∂ξ] ＝0

この２番目の条件は定積分の端点では消えるという通常の関数

の部分積分の性質と同じであることの要求です。

　次に,∫ｄξ[∂ｆ(ξ)/∂ξ] ＝0　にｆ(ξ)＝ｆ₀＋ｆ₁ξを

代入します。

∂ｆ(ξ)/∂ξ＝ｆ₀より,線型性から∫ｄξｆ₀＝ｆ₀∫ｄξ１＝0 

ですから∫ｄξ１＝0　です。

そこで∫ｄξｆ(ξ)＝ｆ₁∫ｄξξです。

定積分した結果は定数ですから,∫ｄξξもある定数です。

この定数を１とする規約を採用します。

結局,∫ｄξξ＝1,∫ｄξ１＝0　です。

この結果は積分∫ｄξと微分(∂/∂ξ)が同じ結果をもたらすこと

を示しています。

ここでａを普通の数として積分変数の置換：ξ'＝ａξ

を考えます。

この変換のJacobianをＪとしてｄξ＝Ｊｄξ'とすると,

∫ｄξ(ａξ)＝∫Ｊｄξ'ξ'＝1が成立しなければなりません。

∫ｄξ'ξ'＝∫ｄξξ＝1なので,Ｊ＝ａ:

すなわち,ｄξ＝ａｄ(ａξ)です。

これは,通常の積分測度の変換と比べてJacobianが逆数で出現

することを示しています。

しかし,前述したように ∫ｄξ,および,∫ｄξ'をそれぞれ,

微分(∂/∂ξ),および,(∂/∂ξ')と同一視するなら普通の

変換則です。

次に,Ｎ個のGrassmann変数 ξ_ｊ(ｊ＝1,..,Ｎ)がある場合を

考えます。

この場合も積分を∫ｄξ_ｊξ_ｊ＝1,∫ｄξ_ｊ１＝0　で定義します。

さらに, ξ_ｊ同士や積分記号ｄξ_ｊ同士,そして, ξ_ｊとｄξ_ｊ

は全て反可換とします。

これは反交換子記号{Ａ , Ｂ}≡ＡＢ＋ＢＡを用いると, 

{ξ_ｉ,ξ_ｊ}＝{ξ_ｉ,ｄξ_ｊ}＝{ｄξ_ｉ,ｄ_ｉ＋ｆ}＝0　と

書けます。

そして,これら積分演算∫ｄξ_ｊは,再び,微分演算(∂/∂ξ_ｊ)

に同等です。

Ｎ変数 ξ＝(ξ_ｊ,.., ξ_Ｎ)の関数ｆ(ξ)＝ｆ(ξ_ｊ,.., ξ_Ｎ)

は一般に,ｆ(ξ)＝ｆ₀＋ｆ₁^ｉξ_ｉ＋ｆ₂^(i,j()ξ_ｉξ_ｊ＋..

＋ｆ_Ｎξ_Ｎξ_Ｎ-1..ξ₂ξ₁と展開できますが,Ｎ重積分は右辺最後

の項の係数を取り出します。

つまり,∫ｄ^Ｎξｆ(ξ)＝ｆ_Ｎです。

ただし,ｄ^Ｎξ＝ｄξ₁ｄξ₂..ｄξ_Ｎです。

変数置換 ξ'＝Ａξ (ξ'_j＝Ａ_j^kξ_k)に対して

ｄ^Ｎξ＝Ｊｄ^Ｎξ'とすると,

ｆ(ξ')＝ｆ₀＋ｆ₁^ｉξ'_ｉ＋ｆ₂^(i,j()ξ'_ｉξ'_ｊ＋..

＋ｆ_Ｎξ'_Ｎ..ξ'₁であって,

∫ｄ^Ｎξｆ(ξ)＝∫Ｊｄ^Ｎξ'ｆ(ξ')＝ｆ_Ｎですが,

ｆ_Ｎξ'_Ｎ..ξ'₁＝Σ_(ｉN..ｉ1)[(Ａ_Ｎ^iＮ..Ａ₁^ｉ1)ｆ_Ｎξ_iＮ..ξ_i1] 

＝(detＡ)ｆ_Ｎξ_Ｎ..ξ₁

となります。

つまりξ → ξ'＝Ａξｆなる線型変換で最後の係数は

ｆ_Ｎ → (detＡ)ｆ_Ｎ と変換されるわけです。

一方,ｄ^Ｎξ＝Ｊｄ^Ｎξ'と仮定したので, 

ｆ_Ｎ＝∫ｄ^Ｎξ'ｆ(ξ')＝∫Ｊ^-1ｄ^Ｎξｆ(Ａξ)

＝Ｊ^-1(detＡ)ｆ_Ｎ を得ます。

それ故,Ｊ^-1(detＡ)＝1,すなわち,Ｊ＝detＡと結論されます。

∫ｄ^Ｎξ((detＡ)ｆ(Ａξ)＝∫ｄ^Ｎξｆ(ξ)ですから,

Grassmann数の関数では.通常の数の関数の置換積分とは,

積分変数の係数の構造が逆数の関係になることがわかります。

　こうした特殊な性質で定義したGrassmann数の定積分では変数

を定数だけずらす平行移動変換に対し,積分値は不変であること

を容易に示すことができます。

　１つの定Grassmann数ベクトルをｄとすると,∫ｄ^Ｎξｆ(ξ＋ｄ)

　＝∫_Ｎξ_Ｎ＋ｄ_Ｎ)..(ξ₁＋ｄ₁)＝ｆ_Ｎ＝∫ｄ^Ｎξｆ(ξ) 

特に断わらなかったのですが,ここまでのGrassmann数ξ_ｊは実数

に対応する実rassmann数を想定していました。

　複素Grassmann数ψ_ｊ(ｊ＝1,..,Ｎ)および,その共役ψ^＊_ｊを, 

　形式的に２つの実Grassmann数ξ_ｉ,η_ｉから,ψ_ｊ＝ξ_ｊ＋ｉη_ｊ, 

　および,ψ^＊_ｊ＝ξ_ｊ－ｉη_ｊと定義します。

　この複素Grassmann数による積分を, 

　∫ｄψ_ｊψ_ｊ＝1, ∫ｄψ^＊_ｊψ^＊_ｊ＝1,その他はゼロと定義します。

　つまり, ∫ｄψ_ｊψ_ｋ＝1, ∫ｄψ^＊_ｊψ^＊_ｋ＝δ_ｊｋ,かつ, 

　∫ｄψ_ｊψ^＊_ｋ＝∫ｄψ^＊_ｊψ_ｋ＝0　と定義するわけです。

これは,ここまでの実Grassmann数による積分の定義と矛盾しません。 

(※注7):任意の複素Grassmann数ψに対して,∫ｄψψ＝1と定める

なら,ψにψ^＊を代入すると∫ｄψ^＊ψ^＊＝1が得られます。

　また,ξ,ηを実Grassmann数としてψ＝ξ＋ｉηと表わすなら,η

　がゼロでψが実Grassmann数 ψ＝ξのとき,∫ｄψψ＝1は

　∫ｄξξ＝1を意味します。

 そして,積分変数がξの場合はｉηは単なる定数であり,積分

　の平行移動不変性における座標の変位を虚数ｉηに拡張すれば

　∫ｄξξ＝∫ｄξ(ξ＋iη)＝1となるはずです。

　さらにｄψ＝ｄ(ξ＋iη)なる変数変換でもξからの変数変換

　ではＪ＝1でｄψ＝ｄξであり∫ｄψξ＝∫ｄξξ＝1です。

　ηからの変数変換でも∫ｄ(iη)(ｉη)＝1　です。

　いずれにしろ∫ｄψψ＝∫ｄ(ξ＋ｉη)( ξ＋ｉη)＝1で

　実Grassmann数の積分の定義と矛盾しません。　

　(注7終わり※)

　以下では,一般にギリシャ文字ξ,η等を実Grassmann数に限らず

　複素Grassmann数としても使用します。

　次に,経路積分等への応用に有用なGrassmann数におけるδ関数

　とGauss積分の公式について記述します。

　　まず,∫ｄξδ(ξ－ξ₀)ｆ(ξ)＝ｆ(ξ₀)を満たすδ関数を

　　δ(ξ)＝ξと定義します。実際,ｆ(ξ)＝ｆ₀＋ｆ₁ξと書いて

　　これとδ(ξ－ξ₀)＝ξ－ξ₀を代入すれば,

 ∫ｄξδ(ξ－ξ₀)ｆ(ξ)＝∫ｄξ(ξ－ξ₀)( ｆ₀＋ｆ₁ξ)

　＝ｆ₀＋ｆ₁ξ₀＝ｆ(ξ₀)　となります。

　すると,通常のδ関数に関する公式:

　∫ｄｘexp(iｐｘ)＝2πδ(ｐ)によく似た公式:

　∫ｄξexp(ξη)＝δ(η)が成立します。

　(※:何故なら,exp(ξη)＝1＋ξηなので,

　∫ｄξexp(ξη)＝∫ｄξ(1＋ξη)＝η＝δ(η)

　となるからです。※)

　次に,ξ,ηをGrassmann数のＮ次元列ベクトル,Ａを普通の

　(Grassmann偶の)Ｎ×Ｎ行列とするとき,次のGauss積分の公式

　が成立します。

　すなわち,∫ｄηｄξexp(ξ^ＴＡη)＝detＡ　です。ただし,

　ｄηｄξ＝(ｄη₁ｄξ₁)(ｄη₂ｄξ₂)..(ｄη_Ｎｄξ_Ｎ) 

　＝(ｄη_Ｎｄη_Ｎ-1..ｄη₂ｄη₁)(ｄξ₁ｄξ₂..ｄξ_N-1ｄξ_Ｎ)　です。

　(※ 何故なら,偶数個の交換では全体の符号は変わらないので. 

　(ｄη₁ｄξ₁)(ｄη₂ｄξ₂).. )..(ｄη_Ｎ-1ｄξ_Ｎ-1)(ｄη_Ｎｄξ_Ｎ) 

　＝ｄη_Ｎ(ｄη₁ｄξ₁)(ｄη₂ｄξ₂)..(ｄη_Ｎ-1ｄξ_Ｎ-1)ｄξ_Ｎ 

　＝ｄη_Ｎｄη_Ｎ-1(ｄη₁ｄξ₁)(ｄη₂ｄξ₂)..(ｄη_Ｎ-2ｄξ_Ｎ-2)

　ｄξ_Ｎ-1ｄξ_Ｎ＝..

　＝(ｄη_Ｎｄη_Ｎ-1..ｄη₂ｄη₁)(ｄξ₁ｄξ₂..ｄξ_N-1ｄξ_Ｎ) 

　を得ます。※)

 (Gaussの公式の証明)

 ζ＝Ａηと変数変換すると,exp(ξ^ＴＡη)＝exp(ξ^Ｔζ)であり, 

　また,ｄη＝ｄ(Ａ^-1ζ)＝(detＡ)ｄηζなので, 

　∫ｄηｄξexp(ξ^ＴＡη)＝(detＡ)∫ｄζｄξexp(ξ^Ｔζ)

　です。

一方,exp(ξ^Ｔζ)

＝Σ_ｍ=0^∞(1/ｍ!)(ξ₁ζ₁＋ξ₂ζ₂＋..＋ξ_Ｎζ_Ｎ)^ｍと展開され

ますが,

ｄζｄξ＝(ｄζ₁ｄξ₁)(ｄζ₂ｄξ₂)..(ｄζ_Ｎｄξ_Ｎ) 

　＝(ｄζ_Ｎｄζ_Ｎ-1..ｄζ₂ｄζ₁)(ｄξ₁ｄξ₂..ｄξ_N-1ｄξ_Ｎ)

　による２Ｎ重積分で効くのは,項:

　(1/Ｎ!)(ξ₁ζ₁＋ξ₂ζ₂＋..＋ξ_Ｎζ_Ｎ)^Ｎに含まれる異なる

　全てのｊのξ_jζ(ｊ＝1,2,..Ｎ)の１次の項の積のみです。

すなわち,(ξ₁ζ₁＋ξ₂ζ₂＋..＋ξ_Ｎζ_Ｎ)^Ｎ!の展開項のうち, 

　(ξ₁ζ₁)(ξ₂ζ₂)..(ξ_Ｎζ_Ｎ),および,これの２個ずつ順序を

　変えた全ての順列に対応する講のみが積分でゼロでない値

　を取ります。

しかも２個ずつの順序交換では全体の符号は変化しませんから

結局,Ｎ!個の同じ(ξ₁ζ₁)(ξ₂ζ₂)..(ξ_Ｎζ_Ｎ)のみを得ますが,

これは係数:(1/Ｎ!)と相殺してトタルの係数は１です。

そして,∫ｄζｄξ(ξ₁ζ₁)(ξ₂ζ₂)..(ξ_Ｎζ_Ｎ)＝1

ですから,∫ｄζｄξexp(ξ^Ｔζ)＝1です。

したがって,∫ｄηｄξexp(ξ^ＴＡη)

＝(detＡ)∫ｄζｄξexp(ξ^Ｔζ)＝detＡ　が得られました。

　(証明終わり)

　Gauss積分の公式:∫ｄηｄξexp(ξ^ＴＡη)＝detＡの導出 

　においてはξ_jが実Grassmann数でも複素Grassmann数でも同じ

　∫ｄξ_jξ_j＝1,∫ｄξ_j1＝0 なる積分規則のみを使用したので

　この公式はξ,ηが実であるか否かに関わらず成立します。

　したがって,一般にψを複素列ベクトルとして, 

　∫ｄψｄψ^＊exp(ψ^＋Ａψ)＝detＡです。

　今日は,きりがいいのでこれで終わります。

　Grassmann数というのは冪零(ベキレイ),特に２乗してもゼロと

いうことで絶対値のようなゼロでない大きさを持たないため,数

とは思えない不思議な実体であり,その演算には通常の数の演算

の常識では想像できない性質があるので苦労します。

遷移振幅,Green関数等を評価計算する経路積分では,Gauss積分

の公式,∫_-∞^∞ｄｘexp(－ａｘ²)＝(π/ａ)^1/2とその複素数への

拡張が重要ですから,Fermion場のような反交換する量に対する

Gauss積分公式の導出がGrassmann数導入の一応の目的でした。

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)