ゲージ場の量子論から(その１)(経路積分と摂動論 12)

「ゲージ場の量子論から(経路積分と摂動論)の続きです。

　Fermionのコヒーレント(coherent：可干渉)状態というテーマ

からです。これはFermion場の固有状態を意味します。

時空座標ｘに依存し正準反交換関係に従う場の演算子:ψ(ｘ) 

という一般的Dirac場の考察に入る前に,場の演算子の固有値と

してのGrssmann数の性質を考察するため,

インデックス(添字)である座標ｘを省略し,単純な反交換関係: 

{ψ,ψ^＋}＝1,{ψ,ψ}＝{ψ^＋,ψ^＋}＝0 に従う簡単な構造 

の演算子 ψ,ψ^＋を考えます。

ψを粒子,またはエネルギーの消滅演算子,ψ^＋を生成演算子と

みなし,粒子の無い状態,またはエネルギー最低状態を意味する

真空を|0＞,粒子,またはエネルギー量子が１個存在する状態を

|１＞とします。

 こうしたDirac粒子の場合,ψ|0＞＝0, |１＞＝ψ^＋|0＞で,{ψ^＋,ψ^＋}＝0

なので,ψ^＋|１＞＝0 ですから,粒子が２個以上存在する状態は

存在しません。

　このように定義されたψについて,ψ|ψ＞＝ψ|ψ＞を満たす

演算子:ψの固有状態をコヒーレント状態と呼びます。

このとき,ψ|ψ＞＝ψ|ψ＞より,このコヒーレント状態は, 

　|ψ＞＝|0＞－ψ|１＞＝exp(－ψ ψ^＋)|0＞

　と表わすことができます。

(※注8):何故なら,固有値ψはGrassmann 数のはずですから,

　|ψ＞が|0＞と同じくGrassmann 偶の状態としａ,ｂを普通の数

として,|ψ＞＝ａ|0＞＋ｂψ|１＞と展開できます。

よって,ψ|ψ＞＝0＋ｂψψ|１＞＝－ｂψψψ^＋|0＞ 

＝－ｂψ{ψ, ψ^＋}|0＞＝－ｂψ|0＞　です。

他方, ψ|ψ＞＝ａψ|0＞＋ｂψ²|１＞＝ａψ|0＞　です。

そこで,ψ|ψ＞＝ψ|ψ＞は,－ｂψ|0＞＝ａψ|0＞を意味

します。故に,ｂ＝－ａであり,|ψ＞は|ψ＞＝ａ(|0＞－ψ|１＞)

と表わされます。

　ａ＝１と規格化すれば,結局,|ψ＞＝|0＞－ψ|１＞を得ます。

　一方,exp(－ψ ψ^＋)|0＞＝(１－ψ ψ^＋)|0＞＝|0＞－ψ|１＞

　です。

以上から,|ψ＞＝|0＞－ψ|１＞＝exp(－ψ ψ^＋)|0＞を得ました。 

(注8終わり※)

さて,固有値 ψはGrassmann 数で,演算子ψ,ψ^＋の双方と反交換

します。 また,真空 |0＞がGrassmann 偶なので,|１＞＝ψ^＋|0＞

はGrassmann 奇です。

それ故,ψ|１＞＝ψψ^＋|0＞＝－ψ^＋|0＞ψ,

つまり,ψ|１＞＝－|１＞ψ を得ます。

Graassmann数同士の積やGrassmann 数と反可換な演算子の積の

複素共役を取る場合,Ｘ,ＹをGraassmann数,または反可換演算子

として,(ＸＹ)^＊＝Ｙ^＊Ｘ^＊＝－Ｘ^＊Ｙ^＊なる規則に従うことも

わかります。

(※注9):何故なら,ξ,ηを実Grassmann数としてＸ＝ξ＋iηと

すればＸ^＊＝ξ－iηでありＸ^＊Ｘ＝ξ²＋η²＋i(ξη－ηξ)

です。

普通の数なら,ξη－ηξ＝0 で,Ｘ^＊Ｘ＝ξ²＋η²はＸの謂わゆる

絶対値と呼ばれる実数です。

しかし,今はξ ,ηが実Grassmann数なのでξ²＝η²＝0 であって,

一般に,Ｘ^＊Ｘ＝i(ξη－ηξ)≠0 です。

ここで,少なくともＸ^＊Ｘは実数であるという条件を課すと, 

(Ｘ^＊Ｘ) ^＊＝Ｘ^＊Ｘ,つまり,－i(ξη－ηξ)^＊＝i(ξη－ηξ), 

または,(ξη－ηξ)^＊＝－(ξη－ηξ) です。

すなわち,実Grassmann数の積は純虚数のように,

(ξη)^＊＝－ξη なる性質を有することがわかります。

これは,ξ^＊＝ξ,η^＊＝ηなので,(ξη)^＊＝－ξ^＊η^＊＝η^＊ξ^＊

とも書けますが,複素Grassmann数に自然に拡張すれば

(ＸＹ)^＊＝Ｙ^＊Ｘ^＊ です。  (注9終わり※)

そもそも,Ｘ,ＹがGrassmann数でなくただの数なら

(ＸＹ)^＊＝Ｙ^＊Ｘ^＊の右辺のＹ^＊Ｘ^＊はＸ^＊Ｙ^＊も等しく,

(ＸＹ)^＊＝Ｙ^＊Ｘ^＊という表現式に何らの新しい意味はない

のですが,反可換なGrassmann 数なら積の順序に決定的意味

があります。

　そこで,ψ|ψ＞＝ψ|ψ＞の共役を取ると,

  ＜ψ|ψ^＋＝＜ψ|ψ^＊であり, 

＜ψ|＝＜0｜－＜１|ψ^＊＝＜0|exp(－ψ ψ^＋)です。

そこで２つのコヒーレント状態 |ψ＞＝|0＞－ψ|１＞と. 

|ψ'＞＝|0＞－ψ'|１＞　の内積は,

　＜ψ|ψ'＞＝＜0|0＞＋＜１|ψexp(ψ^＊ψ')ψ'|１＞

　＝１＋ψ^＊ψ'＝ exp(ψ^＊ψ') となります。

それ故,コヒーレント状態を用いた完全性条件は, 

　∫ｄψ^＊ｄψ|ψ＞exp(－ψ^＊ψ)＜ψ|＝1　となります。

(※注10):完全性というのは,ある演算子ΛのΛ|λ＞＝λ｜λ＞で 

与えられる固有ベクトルの系: {|λ＞}によって,任意の状態ベクトル 

|φ＞が|φ＞＝Σ_λＣ_λ|λ＞と展開可能であることをいいますが,

　特に＜λ|λ'＞＝δ_λλ'と,固有系が正規直交化されている場合

　には,展開係数はＣ_λ＝＜λ|φ＞と書けるので,

　|φ＞＝Σ_λ|λ＞＜λ|φ＞と表わされるため, 

　Σ_λ|λ＞＜λ|を演算子とみなすと,Σ_λ|λ＞＜λ|＝1なる等式

　が成立し,これを完全性条件と呼ぶのでした。

 もしも,Λの固有値 λが連続固有値であり,固有状態の正規直交性

　が＜λ|λ'＞＝δ(λ－λ') で与えられるケースには,展開は,

　　|φ＞＝∫ｄλ|λ＞＜λ|φ＞という形となるので,

　 完全性条件は,∫ｄλ|λ＞＜λ|＝1 で与えられます。

　コヒーレント状態による展開も,

　|φ＞＝∫ｄψ|ψ＞＜ψ|φ＞となるなら上と同じ話なのですが,

　状態の規格化が＜ψ|ψ'＞＝ exp(ψ^＊ψ')であって,正規直交的 

　　ではないため上記の手順の論法ではうまくいきません。

　しかし,実際には任意ベクトル|φ＞は,正規直交性を満たす|0＞

と|１＞だけで展開可能なので,|0＞と|１＞による展開では,

完全性条件:｜0＞＜0|＋|1＞＜1|＝１ が満たされます。

コヒーレント状態)|ψ＞による展開を,その展開係数をＦ(ψ)と書き 

|φ＞＝∫ｄψ^＊ｄψ|ψ＞Ｆ(ψ)　なる形と想定します。

これに,左から＜ψ'|＝＜0|＋＜１|ψ'^＊ を掛けると, 

  ＜ψ'|φ＞＝∫ｄψ^＊ｄψ＜ψ'|ψ＞Ｆ(ψ) 

  ＝∫ｄψ^＊ｄψ exp(ψ'^＊ψ)Ｆ(ψ)

  ＝∫ｄψ^＊ｄψ(1＋ψ'^＊ψ)Ｆ(ψ)ですが,

  この積分はψ'^＊＝ψ^＊のときのみゼロでない値を取ります。

そして,このとき,＜ψ|φ＞＝exp(ψ^＊ψ)Ｆ(ψ) 

  つまり,Ｆ(ψ)＝exp(－ψ^＊ψ)＜ψ|φ＞です。

これを,|φ＞＝∫ｄψ^＊ｄψ|ψ＞Ｆ(ψ)に代入すると, 

|φ＞＝∫ｄψ^＊ｄψ{|ψ＞exp(－ψ^＊ψ)＜ψ|φ＞となるため, 

完全性条件として,

  ∫ｄψ^＊ｄψ{|ψ＞exp(－ψ^＊ψ)＜ψ|＝1を得ます。　(注10終わり)

また,任意の演算子Ｏのトレース(対角和)を取る演算に対して, 

ＴrＯ＝＜0|Ｏ|0＞＋＜１|Ｏ|１＞ 

　＝∫ｄψ^＊ｄψexp(ψ^＊ψ)＜ψ|Ｏ|ψ＞なる興味深い公式 

　も得られます。

(※ 実際,

∫ｄψ^＊ｄψ(1＋ψ^＊ψ)(＜0|＋＜１|ψ^＊)Ｏ(|0＞＋ψ|１＞) 

　＝∫ｄψ^＊ｄψ(ψ^＊ψ＜0|Ｏ|0＞＋＜１|ψ^＊Ｏψ|１＞) 

　＝＜0|Ｏ|0＞＋＜１|Ｏ|１＞　です。※)

　このことが,統計物理学の有限温度系の分配関数:Ｔr[exp(－βＨ)]

　の評価に経路積分を応用する際,Fermion場が虚時間τ＝ｉｔの

　方向にβだけ進んだとき,ψ(τ＋β)＝－ψ(τ)のように反周期的

　であるべきということの根拠を与えます。

ここまでは,時空座標ｘなどの添字を省略した形の自由度１の場

ψ,ψで論じてきましたが,

多自由度系でも,例えば離散的添字ａがある場合なら,

ψ^＊ψ＝Σ_ａψ_ａ^＊ψ^ａ,ψψ^＋＝Σ_ａψ^ａψ_ａ^＋,

ｄψ^＊ｄψ＝Π_ａｄψ_ａ^＊ｄψ^ａのように,

　自由度の添字ａを補うだけでそのまま論議は成立します。

さて,Dirac場の経路積分を表現するというテーマに入ります。

すなわち,やっと反交換関係に従う場のGrassmann数の固有値の演算

について準備 が完了したので,

具体的にLagragian密度Ｌが, 

　Ｌ(ψ^＋,ψ,Ａ^μ)＝ψ~(ｘ)(i∂^μ∂_μ－ｍ－ｅγ^μＡ_μ)ψ(ｘ) 

　(ただし,ψ~(ｘ)＝ψ^＋(ｘ)γ⁰)で与えられるDirac場:

　ψ(ｘ)＝ψ(ｘ,ｔ)の遷移振幅に対する経路積分の表式を

　求めるという本題に入ります。

ここで,Ａ^μ(ｘ)は今のところ,光子の場(＝演算子)Ａ^μ(ｘ)では

なく外からかけられた電磁場(外場＝ｃ数)としておきます。

空間座標ｘを自由度の添字とみなし,[ψ(ｘ,ｔ)]_ｘを列ベクトル, 

　[ψ^＋(ｘ,ｔ)]_ｘを行ベクトルと解釈して, これらを,それぞれ,

 Ψ(ｔ),Ψ^＋(ｔ)と記すことにすれば, 

　系のHamiltonian Ｈ(ｔ)は, 

　Ｈ(ｔ)＝Ｈ(Ψ(ｔ),Ψ^＋(ｔ),ｔ)≡Ψ^＋(ｔ)Ｍ(ｔ)Ψ(ｔ)

　と書けます。

ただし,右辺の超行列の積は, 

Ψ^＋(ｔ)Ｍ(ｔ)Ψ(ｔ)∫ｄ³ｙ[ψ^＋(ｘ,ｔ)]_ｘ[Ｍ(ｔ)]_ｘ,ｙ[ψ(ｙ,ｔ)]_ｙ 

で定義されます。

真ん中に挟んだ超行列:Ｍ(ｔ)は,今の場合, 

　[Ｍ(ｔ)]_ｘ,ｙ≡[－α{∇_ｘ－iｅＡ(ｘ,ｔ)}＋ｍβ－ｅＡ⁰(ｘ,ｔ)]

　×δ³(ｘ－ｙ)　です。

ここで,4×4行列:β,αは,γ⁰＝ β,γ＝βαで定義されます。 

　そこで,β²＝1より,逆に,β＝γ⁰,α＝βγです。

　時刻ｔにおけるHeisenberg演算子 ψ(ｘ,ｔ)の固有状態

　|ψ,ｔ＞を,ψ(ｘ,ｔ)|ψ,ｔ＞＝ψ(ｘ)|ψ,ｔ＞を満たす状態

　であるとすれば,これはBosonの系と同じく,時刻ｔに粒子が固有状態

　ψにある状態と解釈されます。

以前のBoson系と同じく,ψ(ｘ)＝ψ(ｘ,0)をSchroedinger表示

の場の演算子として,その固有状態 |ψ＞をψ(ｘ)|ψ＞＝ψ|ψ＞

なる状態として与えると,

　|ψ,ｔ＞＝exp(－iＨｔ)|ψ＞　です。

そして,時刻ｔ_Ｉからｔ_Ｆへの,遷移振幅 ＜Ψ_Ｆ,ｔ_Ｆ｜Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞

を前と同様,時刻ｔを細かく分割して,各時刻において完全系(＝１)

を挿入して次のように書きます。

　すなわち,＜Ψ_Ｆ,ｔ_Ｆ｜Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

　＝∫..∫Π_ｊ＝1^Ｎ{ｄψ^＊_jｄψ_j {＜Ψ_j+1,ｔ_j+1|Ψ_j,ｔ_j＞

　exp(－Ψ_j^＋ψ_j)}＜Ψ₁,ｔ₁|Ψ₀,ｔ₀＞　です。

ただし,時刻の分割は,ｔ_Ｉ＝ｔ₀＝＜ｔ₁＜.. ｔ_Ｎ＜ｔ_N+1＝ｔ_Ｆ

であり,対応して,Ψ₀＝Ψ_Ｉ,Ψ₁,..,Ψ_Ｎ,Ψ_N+1＝Ψ_Ｆとします。

分割数Ｎを十分大きく取ると, Δｔ ～ 0であり 

　＜Ψ_j+1,ｔ_j+1|Ψ_j,ｔ_j＞

　＝＜ψ_j+1,ｔ_j|(1－iΔｔＨ(ｔ_j)|Ψ_j,ｔ_j＞ 

　＝[1－iΔｔΨ^＋_j+1Ｍ(ｔ_j)Ψ_j]＜Ψ_j+1,ｔ_j|Ψ_j,ｔ_j＞ 

　＝exp{Ψ^＋_j+1Ψ_j－iΔｔΨ^＋_j+1Ｍ(ｔ_j)Ψ_j}　です。

　(※ 何故なら,ψが自由度１の場:ψ(ｘ,ｔ)の固有値で自由度１

　のGrassmann数の場合の公式:

　＜ψ|ψ'＞＝＜0|0＞＋＜１|ψexp(ψ^＊ψ')ψ'|１＞ 

　＝１＋ψ^＊ψ'＝ exp(ψ^＊ψ') より,

　Ψが列ベクトルΨ(ｔ)＝[ψ(ｘ,ｔ)]_ｘの固有値である場合

　は,＜Ψ|Ψ'＞＝１＋Ψ^＋Ψ'＝ exp(Ψ^＋Ψ')ですから, 

　＜Ψ_j+1,ｔ_j|Ψ_j,ｔ_j＞＝1＋Ψ_j+1^＋Ψ_j であり,

　(1－iΔｔΨ^＋_j+1Ｍ(ｔ_j)Ψ_j)(1＋Ψ_j+1^＋Ψ_j) 

　＝1＋Ψ_j+1^＋Ψ_j－1－iΔｔΨ^＋_j+1Ｍ(ｔ_j)Ψ_j) 

　＝exp{ψ^＋_j+1ψ_j－iΔｔΨ^＋_j+1Ｍ(ｔ_j)Ψ_j} となるからです。※)

　＜Ψ_j+1,ｔ_j+1|Ψ_j,ｔ_j＞＝exp{Ψ^＋_j+1Ψ_j－iΔｔΨ^＋_j+1Ｍ(ｔ_j)Ψ_j}

　を,＜Ψ_Ｆ,ｔ_Ｆ｜Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

　＝∫..∫Π_ｊ＝1^Ｎ{ｄΨ^＋_jｄΨ_j {＜ψ_j+1,ｔ_j+1|Ψ_j,ｔ_j＞

  exp(－Ψ_j^＊Ψ_j)}＜Ψ₁,ｔ₁|Ψ₀,ｔ₀＞　に代入すると,

　Ｈ(ｔ)＝Ｈ(Ψ^＋(ｔ),Ψ (ｔ);ｔ)≡Ψ^＋(ｔ)Ｍ(ｔ)Ψ(ｔ)なので, 

　＜Ψ_Ｆ,ｔ_Ｆ｜Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

　＝∫..∫Π_ｊ＝1^Ｎ{ｄΨ^＋_jｄΨ_j exp(－ψ_Ｎ+1^＋ψ_Ｎ) 

　×exp{ψ^＋_j+1ψ_j－iΔｔΨ^＋_j+1Ｍ(ｔ_j)Ψ_j}exp(－Ψ_j^＋Ψ_j)} 

　＝∫..∫Π_ｊ＝1^Ｎ{(ｄΨ^＋_jｄΨ_j )exp(－Ψ_Ｎ+1^＋ψ_Ｎ)} 

　×exp[Σ_j=0^Ｎ[－Ψ^＋_j+1(Ψ_j+1－Ψ_j)－iΔｔＨ(Ψ^＋_j+1,Ψ_j,ｔ_j)] 

　となります。 

右辺の(Ψ_j+1－Ψ_j)をΨ_j+1－Ψ_j＝Δｔ(∂Ψ_j/∂ｔ)＝Δｔ∂₀Ψ_j

と書き直すと,－Ψ^＋_j+1(Ψ_j+1－Ψ_j)＝(iΔｔ)(iΨ_j+1~γ⁰∂₀Ψ_j)

ですから,

　－Ψ^＋_j+1(Ψ_j+1－Ψ_j)－iΔｔＨ(Ψ^＋_j+1,Ψ_j,ｔ_j) 

　＝(iΔｔ)[iΨ_j+1~γ⁰∂₀Ψ－Ｈ(Ψ^＋_j+1,Ψ_j,ｔ_j)] 

　＝(iΔｔ)Ｌ(Ψ_j+1~,Ψ_j+1,Ａ^μ(ｔ_j )) 

  ＝∫ｄ³ｘＬ(Ψ^＋_j+1(ｘ),Ψ_j(ｘ),Ａ^μ(ｘ,ｔ_j))　です。

　それ故, 

　Σ_j=0^Ｎ[－Ψ^＋_j+1(Ψ_j+1－Ψ_j)－iΔｔＨ(Ψ^＋_j+1,Ψ_j,ｔ_j)] 

　＝Σ_j=0^Ｎ[iΔｔΨ∫ｄ³ｘＬ(Ψ^＋_j+1(ｘ),Ψ_j(ｘ),Ａ^μ(ｘ,ｔ_j))

したがって, 

　＜Ψ_Ｆ,ｔ_Ｆ｜Ψ_Ｉ,ｔ_Ｉ＞ 

　＝∫..∫ＤΨ^＋ＤΨ

　exp[i∫_ｔＩ^ｔＦｄ⁴ｘｄ³ｘＬ(Ψ^＋(ｘ),Ψ(ｘ),Ａ^μ(ｘ))

　を得ます。

　ここでは,例として電磁場Ａ^μ(ｘ))を外場として入れましたが,

これはスカラー場でも何でもよく外場である必要はありません。

　今日はここまでにします。

(参考文献)：九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)