弱い相互作用の旧理論(2)(Fermi理論)

　弱い相互作用の旧理論の続きです。

この続きをアップするまで,前回から10日余りも経過しました。

以前なら２～３日もあればできた原稿書きもモチベーション

劣化や体力視力の衰えで数倍の時間がかかります。

　この初期アップを体裁を整えて図も入れるという作業もある

　のですが。。当座の時間がないです。

　朝８時半にはでかけないといけません。。

　これから順天大病院 での外来で二タ月に１度ですが,循環器と糖尿病

の内科に行って診察にかからなければならず。。。

来週の11／２は,もう１つ形成外科にもかかる予定です。

全部火曜日なら通院は１度で済むのですが。。形成外来は主治医

が月曜なので。。。

　最近病院がとても混んでいて帰宅は夕方になるのでこの記事を

直して完成させることができるのは夜ですかね。

(※PS:やはり,病院はとても混んでいて診察終了13時40分頃,それから

薬をもらえたのが14時50分頃で帰りに巣鴨の西友で,電池切れで測定

不可能な血糖測定器用のボタン電池を買って帰宅したのは17時40分

頃でした。　一服してから,このブログの誤字等を直しています。※)

さて,前回の最後では,β崩壊のＳ行列要素を与える式：

Ｓ_fi^(ｅ-)＝－iΣ_αβγδ＝∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

Ψ_α^(ｐ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(ｎ)(ｘ₂)Ψ_γ^(ｅ)＋(ｘ₃)Ψ_α^(ν)(ｘ₄)

×Ｆ_αβγδ(ｘ₁,..,.ｘ₄) における未知関数Ｆの形は,

相対座標ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃,ｘ₄の違いが大きい場合については以後

30年余の探求により完全に決定されました。

と書きました。

この因子Ｆの性質について最も簡単な仮定は,「大きい時空間距離：

(ｘ_i－ｘ_ｊ)(ｉ,ｊ＝1,,3,4)に対してはＦは消える。」

ということです。

実際,Ｆが消えない時空間距離のレンジが,ｈ_c/Ｅ_βｃ～ 10^-12cm

に比して小さい,あるいはβ崩壊の電子ｅ(β線)のエネルギー

Ｅ_βが ～ 10MeVに比して大きい,場合なら, Ｆは局所相互作用

であるという第１近似を採用することができます。

すなわち, 第１近似では, 

Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)

＝Ｆ_αβγδ・δ^４(ｘ₁－ｘ₂)δ^４(ｘ₁－ｘ₃)δ^４(ｘ₁－ｘ₄) 

なる形を仮定するわけです。

ただし,Ｆ_αβγδはスピノル因子を結合させる４×４×４×４

の定行列です。

これは,これまでの観測結果に対しては１つの極度に良い近似

を与えることがわかっています。

Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)

＝Ｆ_αβγδ・δ^４(ｘ₁－ｘ₂)δ^４(ｘ₁－ｘ₃)δ^４(ｘ₁－ｘ₄) 

を用いてＦ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)を運動量空間にFourier

変換すれば,

　Ｆ_αβγδ(ｋ₁,ｋ_２,ｋ₃,ｋ₄) ＝∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

×exp{i(ｋ₁ｘ₁＋ｋ₂ｘ₂＋ｋ₃ｘ_３＋ｋ₄ｘ₄)}

×Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)

＝∫ｄ⁴ｘ₁ exp{i(ｋ₁＋ｋ_２＋ｋ₃＋ｋ₄)ｘ_１)}Ｆ_αβγδ 

＝(2π)^４δ^４(ｋ₁＋ｋ_２＋ｋ₃＋ｋ₄)Ｆ_αβγδ

となります。

結局,こうした形の局所相互作用は単に相互作用頂点における

エネルギー・運動量の保存を表現するδ-関数を定数行列倍

したものです。

これは,質量がμのπ中間子の交換による核子-核子散乱

(Ｎ-Ｎ散乱)のケースと対比させるべきでは？という誘惑

に駆られます。

すなわち,そうしたπ中間子交換の強い相互作用では

Ｆ ～ 1/(ｑ^２－μ^２)でした。

(※)ここで以下,本ブログ過去記事の「強い相互作用の理論

(湯川相互作用)」の復習をします。

まず,始状態：｜ｉ＞には４元運動量Ｐ₁＝(Ｅ₁,Ｐ₁ ),

および,Ｐ_２＝(Ｅ₂,Ｐ₂)を持っていた２つの核子(nucleon)

Ｎ：(陽子ｐまたは中性子ｎ)が衝突した結果,

　終状態：|ｆ＞には４元運動量Ｐ₁'＝(Ｅ₁',Ｐ₁'),および,

Ｐ_２'＝(Ｅ₂',Ｐ₂')を持つに至る場合のＳ行列(散乱行列)の

要素Ｓ_fi＝は,

Ｓを散乱演算子として,

Ｓ_fi＝＜ｆ|Ｓ|ｉ＞＝＜Ｐ₁',Ｐ₂'|Ｓ|Ｐ₁,Ｐ₂＞

で与えられます。

これは,先の弱い相互作用(β崩壊)での４つのFermi粒子と

同じくΨ^(Ｎ)(ｘ)を入射して散乱放出される核子Ｎの４元スピノル

として,やはり,

Ｓ_fi＝－iΣ_αβγδ＝∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

Ψ_α^(Ｎ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(Ｎ)(ｘ₂)Ψ_γ^(Ｎ)＋(ｘ₃)Ψ_α^(Ｎ)(ｘ₄)

×Ｆ_αβγδ(ｘ₁,..,.ｘ₄)

なる形に書けます。

衝突の始状態と終状態で共に２核子のみが観測される弾性衝突

では,核子のエネルギーも運動量も保存されます。

'

すなわち,Ｐ₁^μ＋Ｐ_２^μ＝Ｐ₁'^μ＋Ｐ_２'^μ(μ＝0,1,2,3)です。 

これはエネルギーと運動量を分けて書くと,

Ｅ₁＋＋Ｅ_２＝Ｅ₁'＋Ｅ_２',Ｐ₁＋Ｐ_２＝Ｐ₁'＋Ｐ_２'です。

運動量遷移(momentum ransfer)をｑ＝Ｐ₁'－Ｐ₁で定義し,

４元ベクトルとしてｑ＝(Ｅ₁'－Ｅ₁,Ｐ₁'－Ｐ₁)とおけば, 

Ｐ₁＋Ｐ_２＝Ｐ₁'＋Ｐ_２'より,Ｐ₁'－Ｐ₁＝ Ｐ_２－Ｐ_２'ですから,

ｑ²＝(Ｐ₁'－Ｐ₁)²＝(Ｅ₁'－Ｅ₁)²－(Ｐ₁'－Ｐ₁)² 

＝(Ｐ_２'－Ｐ₂) ²＝(Ｅ₂'－Ｅ_２ )²－(Ｐ_２'－Ｐ_２)² です。

静止した標的粒子２に,粒子１が運動量Ｐ₁で衝突して粒子２

の粒子１に対する中心力ポテンシャル:Ｖ(ｘ)＝Ｖ(ｒ),

ただしｒ＝|ｘ|,ｘｘ＝ｘ₂－ｘ₁によって,散乱された結果,

粒子１の運動量がＰ₁からＰ₁'に変わるというポテンシャル散乱 

をイメージしたBorn近似では,同じＮ-Ｎ散乱'のＳ行列要素は

単純に,Ｓ_fi＝－(2πi)δ(Ｅ₁'－Ｅ₁)＜Ｐ₁'|Ｖ|Ｐ₁＞

で与えられます。

この場合は,核子１の衝突による標的核子２の反跳が微小であり

運動量の変化ｑ＝Ｐ₂'－Ｐ₂に対しエネルギーの変化：

ｑ⁰＝Ｅ₂'－Ｅ₂ が無視できる近似になっていて,

ｑ²＝(Ｅ₁'－Ｅ₁ )²－(Ｐ₁'－Ｐ₁)² ～ －ｑ ²です。

強い相互作用では,ポテンシャルＶを謂わゆる湯川ポテンシャル

としてＶ(ｘ)＝－ｋexp(－μｒ)/(4πｒ)(ただしｒ＝|ｘ|)で

与えます。

ただし,核力が引力であればｋ＞0です。

これを３次元空間でFourier変換すると, 

∫ｄ³ｘexp(－iｑｘ)Ｖ(ｘ)＝ｋ/(ｑ ²＋μ ²)ですが. 

これの逆変換は,Ｖ(ｘ)＝－ｋexp(－μｒ)/(4πｒ) 

＝－ｋ∫ｄ³ｑ(2π)^-3exp(iｑｘ)/(ｑ ²＋μ ²)　 です。

※(注2-1):つまり, 湯川ポテンシャルＶは質量がμの

自由スカラー粒子が満たす,Klein-Gordon方程式：

(□＋μ ²)φ(ｘ)＝0,の時間的に定常な∂φ/∂ｔ＝0 

の解を与えるHelmholtzの方程式：(Δ－μ²)φ(ｘ)＝0

の中心対称で無限遠でゼロとなる,

(Δ－μ²)φ(ｘ)＝δ³(ｘ)を満たすGreen関数

になっています。

Ｖ(ｘ)＝－ｋexp(－μｒ)/(4πｒ)の定数係数ｋを1と

おいてφ(ｘ)＝－exp(－μｒ)/(4πｒ)とすれば, 

(Δ－μ²)φ(ｘ)＝(Δ－μ²){－exp(－μｒ)/(4πｒ)} 

＝δ³(ｘ)＝∫ｄ³ｑ(2π)^-3exp(iｑｘ)　です。

それ故,両辺に(Δ－μ²)^-1を掛けて 

(2π²)exp(－μｒ)/ｒ＝∫ｄ³ｑ exp(iｑｘ)/(ｑ²＋μ²) 

あるいは,∫ｄ³ｑ(2π)^-3exp(iｑｘ)/(ｑ ²＋μ ²)

＝exp(－μｒ)/(4πｒ)です。

一方,相対論的量子論で質量がμでスピンがゼロの中間子

を交換する場合,中間子のFeynman伝播関数：Δ_Ｆ(ｘ)は, 

Δ_Ｆ(ｘ)＝∫ｄ^４ｑ(2π)^-４exp(－iｑｘ)/(ｑ ²－μ ²＋iε)

で与えられますが,これはｑ⁰ ～ 0 では,

－∫ｄ^４ｑ(2π)^-4exp(－iｑｘ)/( ｑ ²＋μ ²) 

＝－(2π)^-1∫ｄｑ⁰ exp(－iｑ⁰ｔ)

∫ｄ³ｑ(2π)^-3exp(iｑｘ)/(ｑ ²＋μ ²) 

＝δ(ｑ⁰) exp(－μｒ)/(4πｒ)　

となります。

核子流Ｊ_Ｎ(ｘ)とπ中間子との相互作用が 

(□＋μ ²)φ(ｘ)＝Ｊ_Ｎ(ｘ)であれば,(□＋μ ²)^-1,

つまり,Green関数Δ_Ｆ(ｘ―ｙ)によって積分形で,

φ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｙΔ_Ｆ(ｘ―ｙ)Ｊ_Ｎ(ｙ)と書けますが,

標的核子２のスピノルΨ^(N)(ｘ₂)が４元運動量Ｐ₂,からＰ₂'

に遷移する遷移流を電磁相互作用における結合定数(素電荷)

ｅに対応する強い相互作用の結合定数ｇにより,

核子流としてＪ_Ｎ(ｘ₂)＝ｇΨ^(N)_P2'~(ｘ₂)iγ⁵Ψ^(N)_P2(ｘ₂) 

とすれば,

　この核子２の遷移流から生成されるπ中間子の波動関数φ(ｘ)

　は,φ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｘ₁Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₂)Ｊ_Ｎ(ｘ₂)で与えられます。

このπ中間子との相互作用で核子１が散乱されると見れば, 

Ｓ_fi＝(－iｇ)∫ｄ⁴ｘ₁

Ψ^(N)_P1'~(ｘ₁) iγ⁵φ(ｘ₂)Ψ^(N)_P1(ｘ₁) 

＝(－iｇ²)∫ｄ⁴ｘ₁ｄ⁴ｘ₂

Ψ^(N)_P1'~(ｘ₁) iγ⁵Ψ^(N)_P1(ｘ₁)Δ_Ｆ(ｘ₁－ｘ₂) 

×Ψ^(N)_P2'~(ｘ₂)iγ⁵Ψ^(N)_P2(ｘ₂)　

と書けます。

自由 Dirac方程式：(iγ^μ∂_μ－Ｍ_Ｎ) Ψ^(Ｎ) _Ｐ(ｘ)＝0

の４元運動量Ｐ＝(Ｅ,Ｐ)を持つ平面波の解を, 

Ψ^(Ｎ)_Ｐ(ｘ)＝(2π)^1-3/2 (Ｍ/Ｅ)^1/2ｕ(Ｐ,s)exp(－iＰｘ)

と書けば,

Ｓ_fi＝－iｇ∫ｄ⁴ｘ₁Ψ^(Ｎ)_P1'~(ｘ₁) iγ⁵φ(ｘ₂)Ψ^(Ｎ)_P1(ｘ₁) 

＝－iｇ²∫ｄ⁴ｘ₁ｄ⁴ｘ₂Ψ^(Ｎ)_P1'~(ｘ₁) iγ⁵Ψ^(Ｎ)_P1(ｘ₁) 

×iΔ_Ｆ(ｘ₁―ｘ₂)Ψ^(Ｎ)_P2’~(ｘ₂)iγ⁵Ψ^(Ｎ)_P2(ｘ₂)　

より,

Ｓ_fi＝(－iｇ)²(2π)^４δ^４(Ｐ₁'＋Ｐ₂'－Ｐ₁－Ｐ₂)

(2π)^-6{(Ｍ_Ｎ⁴/(Ｅ₁'Ｅ₁Ｅ₂'Ｅ₂))^1/2 

ｕ~(Ｐ₁',ｓ₁')γ⁵ｕ(Ｐ₁,ｓ₁)ｕ~(Ｐ₂',ｓ₂')γ⁵ｕ(Ｐ₂,ｓ₂) 

×{i/(ｑ ²－μ ²＋iε)}　となります。

標的粒子２のエネルギー・運動量は単独に保存されて,

ほぼ静止して核子１に衝突されても動かないという

Ｅ₂'＝Ｅ₂＝Ｍ_Ｎ の近似では ,

Ｓ_fi＝(－iｇ)²(2π)^４δ⁴(Ｐ₁'－Ｐ₁)(2π)^-6

{(Ｍ_Ｎ²/(Ｅ₁'Ｅ₁Ｅ₂'Ｅ₂))^1/2 

ｕ~(Ｐ₁',ｓ₁')γ⁵ｕ(Ｐ₁,ｓ₁)ｕ~(Ｐ₂'',ｓ₂')γ⁵ｕ(Ｐ₂,ｓ₂) 

×{i/(ｑ ²－μ ²＋iε)}

＝－(2πi)δ⁴(Ｐ₁’＋Ｐ₁) (2π)^-3{Ｍ_Ｎ²/(Ｅ₁'Ｅ₁)}^1/2 

ｕ~(Ｐ₁',ｓ₁')γ⁵ｕ(Ｐ₁,ｓ₁)(－ｇ²)/(ｑ ²＋μ ²)

i何故なら,(Ｅ₁'－Ｅ₁)＝0では,

Δ_Ｆ(ｘ₁―ｘ₂)＝i∫ｄ^４ｑ(2π)^-４ exp|－iｑ(ｘ₁－ｘ₂)}

/(ｑ ²－μ ²＋iε) 

＝－iδ(Ｅ₁'－Ｅ₁)∫ｄ³ｑ(2π)^-3exp{iｑ(ｘ₁－ｘ₂)}/(ｑ ²＋μ ²)

 ＝－iδ(Ｅ₁’－Ｅ₁)

×∫ｄ³ｑ(2π)^-3ｋexp{iｑ(ｘ₁－ｘ₂)}/(ｑ ²＋μ ²)

となるからです。

一方,Born近似は, 

Ｓ_fi＝－(2πi)δ(Ｅ₁'－Ｅ₁)＜Ｐ₁'|Ｖ|Ｐ₁＞ 

＝－(2πi)δ(Ｅ₁’－Ｅ₁)

{(2π)^-3∫ｄ³ｘΨ^(Ｎ)_P1'~(ｘ)Ｖ(ｘ)Ψ^(Ｎ)_P1(ｘ) 

＝－(2πi)δ(Ｅ₁'－Ｅ₁δ⁴(Ｐ₁'－Ｐ₁) 

(2π) ^-3ｋ/(ｑ ²＋μ ²) ｕ~(Ｐ₁',ｓ₁')γ⁵ｕ(Ｐ₁,ｓ₁)

となります。

 何故なら,＜Ｐ₁'|Ｖ|Ｐ₁＞ 

　＝∫ｄ³ｘexp(－iｑｘ) Ｖ(ｘ)Ψ^(Ｎ)_P1’~(ｘ)Ｖ(ｘ)Ψ^(Ｎ)_P1(ｘ) 

＝(2π) ^-3{Ｍ_Ｎ²/(Ｅ₁'Ｅ₁)}^1/2 (2π) ^-3ｋ/(ｑ ²＋μ ²)

それ故,ｋ＝ｇ²＞0であり湯川ポテンシャル:

Ｖ(ｘ)＝－ｇ² exp(－μｒ)/(4πｒ)による相互作用

が核力の大部分を体現しているとすれば,これは運動量空間

でのπ中間子の交換：

ｇ²/(ｑ ²－μ ²＋iε) ～ －ｇ²/(ｑ ²＋μ ²)

に対応していると考えられます。　 

(強い相互亜用の復習終わり(※)

さて,ポテンシャル：Ｖ(ｘ)＝－ｇ² exp(－μｒ)/(4πｒ)

において,μｒ ≦ 1を満たすｒ≦(1/μ)の領域を核力のレンジ

と呼んでいます。

観測されたπ中間子の質量 or エネルギー：μ ～ 140 MeVから

核力のレンジ(1/μ)を長さの単位に換算すると,これは

ｈ_ｃ/(μｃ) ～ 10^-13ｃｍであり,実際の核力の及ぶ範囲に一致

しています。

　しかし,もしもこの,粒子間の力を仲介する中間子の質量が

より大きくなることを許すなら,小さいｑ ²に対ｓてはβ崩壊の

ような弱い力の状況にも同様のアプロ―チができると予想されます。

これは,つまりそうしたより重い中間子の交換が β崩壊のような

弱い相互作用に関わる４つのFerm粒子の近似的な１点結合を与える

ことを意味します。

逆にいえば,逆β反応：ν~＋ｐ → ｎ＋ｅ^＋のように弱い相互

作用に巻き込まれるエネルギーが増加するとき,相互作用は１点

でなく非局所的な拡がりをもつようになるであろうと予測されます。^＋

そこで,例えば可能な重いBose粒子Ｗ^＋がｐ-ｎ系とｅ-ν系で交換

されているかも知れないし,あるいは,より複雑な非局所性が生じ

ているのかも知れません。

※(注2-2)：Fermiのカレント-カレント４体相互作用理論主流の当時

でも,重いBose粒子が２体間の力を仲介するという仮説は存在して

いましたが,その後,ゲージ理論が発展してWeinberg-Salam

(ワインバーグ-サラム)モデルという画期的な理論が出現しました。

本来の素朴なゲージ理論では,力を仲介するBose粒子

(ゲージボソン)が存在し,それは質量がゼロであるべきで,さも

なければゲージ不変の対称性を維持きないのですが,

宇宙初期の非常に熱い空間の状態では,そうした質量ゼロの

ゲージ対称性が満たされていたげれど,宇宙が膨張して冷えて

いくにしたがい,ある時期に低温故の自発的な対称性の破れ

が生じて,

１つには質量ゼロの南部-Goldstoneボゾンが出現し,,

他方ではHiggsメカニズムによって,本来質量ゼロであった

ゲージボソンも質量を持つようになるという理論

に基づいた弱い相互作用の理論を具体化したのが

Weinberg-Salam理論です。

これによる予想では弱い相互作用を仲介する重い質量の

ゲージボソンが存在するはずですが,近年,実際にＷボソンや

Ｚボソンといった重いボソンの存在が確認されてこの仮説は

裏付けられたにわけです。(注2-2終わり)※

さて,現在(当時)の論議に対しては,  

Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)

＝Ｆ_αβγδ・δ^４(ｘ₁－ｘ₂)δ^４(ｘ₁－ｘ₃)δ^４(ｘ₁－ｘ₄)

および,Ｆ_αβγδ(ｋ₁,ｋ_２,ｋ_３,ｋ₄) ＝∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

×exp{i(ｋ₁ｘ₁＋ｋ_２ｘ_２,＋ｋ_３ｘ_３＋ｋ₄ｘ₄)}

Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄) 

＝∫ｄ⁴ｘ₁ exp{i(ｋ₁＋ｋ_２＋ｋ_３＋ｋ₄)ｘ_１)}Ｆ_αβγδ

という局所相互作用の形式は近似段階に留まっています。

低エネルギーのβ崩壊の領域では,核子ｎやｐの反跳

(recoiling:崩壊や衝突反応の反動の小運動)もまた,

～|ｑ|/Ｍ_Ｎの範囲内では微小なので,無視できます。　

ただし,ここでのｑは陽子ｐの反跳運動量です。

そして,中性子ｎと陽子ｐの波動関数は, 

Ｓ_fi^(ｅ-)＝－iΣ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

　Ψ_α^(ｐ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(ｎ) (ｘ₂)Ψ_γ^(ｅ)＋(ｘ₃)Ψ_α^(ν) (ｘ₄)

　×Ｆ_αβγδ(ｘ₁,..,.ｘ₄)

において, Ψ^(ｐ)(ｘ₁), Ψ^(ｎ)(ｘ)で表わされていますが,

これは一定のスピノルに置き換えることができます。

 このＳ行列要素の絶対値を平方し終粒子に対して総和し,始状態

の非偏極中性子でのスピンで平均を取ると,遷移率

(＝単位時間当たりの遷移確率),または微分断面積に比例する

量として,

|Ｓ_fi|²/(ＶＴ) 

　∝ (4Ｅ_ｅＥ_ν)^-1Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ

(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ) 

なる式を得ます。　ただし,ｐ＝γｐ＝γ^μｐ_μです。

また,Γ^Ａ,Γ^Ｂは16種類のガンマ行列：１,γ⁵,γ^μ,γ⁵γ^μ, 

σ^μν＝(i/2)]γ^μ,γ^ν]のいずれか,または,それらの線型結合

です。

このΓ＝１,γ⁵,γ^μ,γ⁵γ^μ,σ^μνは,それらを,Ψ~(ｘ)と

Ψ (ｘ)で挟んだ双１次形式：Ψ~(ｘ)ΓΨ(ｘ)で与えられる

カレントは,

それぞれ,スカラー(Ｓ),擬スカラー(Ｐ),ベクトル(Ｖ),

軸性ベクトル(Ａ),２階テンソル(Ｔ)を示すものです。

Γ^Ａ,Γ^Ｂは,実際の局所相互作用を示す行列Ｆ_αβγδが如何なる

構造を持つかに依存して決まります。

トレース因子：Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ の計算を実行する

と,これは次の一般形を持つはずです。

すなわち, 

Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ

＝ＡＥ_ν~＋ＢＥ_ｅＥ_ν~＋ＣＥ_ｅＥ_ν~β_ｅｐ^_ν~　

です。ただし,Ａ,Ｂ,Ｃは定数で,

β_ｅ＝ｐ_ｅ/Ｅ_ｅ,ｐ^_ν~＝ｐ_ν~/Ｅ_ν~です。

※(注2-3)：何故なら,Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ 

＝Σ_Ａ,ＢＴrｐ_ｅΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ＋ｍΣ_Ａ,ＢＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂにおいて

右辺の第２項は明らかにｐ_ν~に比例しますが, ｐ_ν~⁰＝Ｅ_ν~より

特にｐ_νに平行な方向をｚ軸(３軸)とする空間座標を採用すれば

ｐ_ν~＝γ^μｐ_ν~μ＝Ｅ_ν~(γ^０－γ³)ですから, 

一般に第２項：Σ_Ａ,ＢＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^ＢはＥ_ν~に比例します。

一方,右辺の第１項はｐ_ｅｐ_ν~のスカラー積や

ｐ_ｅ^μｐ_ν~^νａ^Ａμνのような形でに係数が付くので.

Ｅ_ｅＥ_ν~に比例する項とｐ_ｅｐ_ν~に比例する項に分割

されます。(注2-3終わり)※

そこで,始状態：|ｉ＞から終状態：|ｆ＞への遷移率として, 

 |Ｓ_fi|²/(ＶＴ)∝ (Ａ/Ｅ_ｅ＋Ｂ＋Ｃβ_ｅｐ^_ν~)

　×(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ) 

なる表式を得ます。

これに基づき,終状態：|ｆ＞＝|ｐ_ｅ,ｐ_ν,Ｐ_ｐ＞に対する

位相空間因子：ｄ^３ｐ_ｅ, ｄ^３ｐ_ν~,ｄ^３Ｐ_ｐを掛けて

陽子とニュートリノの運動量Ｐ_ｐとｐ_ν~にわたってのみ積分を

実行すると,中性子ｎのβ崩壊における電子ｅのスペクトル

の分布を見出すことができます。

すなわち, 

ｄΩ_ｅ ∝ ∫ｄ^３Ｐ_ｐ∫ｄ^３ｐ_νδ(Ｍ_ｎ－Ｍ_ｐ－Ｅ_ｅ－Ｅ_ν~)

(Ａ/Ｅ_ｅ＋Ｂ＋Ｃβ_ｅｐ^_ν~) 

∝ ｐ_ｅＥ_ｅ(Ｍ_ｎ－Ｍ_ｐ－Ｅ_ｅ)²(Ａ/Ｅ_ｅ＋Ｂ)ｄＥ_ｅです。

(ｄΩ_ｅ はｄ^３ｐ_ｅ＝|ｐ_ｅ|²ｄ|ｐ_ｅ|ｄΩ_ｅで定義される量です。)

※(注2－4)：何故なら,

∫ｄ^３Ｐ_ｐδ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)＝δ(Ｍ_ｎ－Ｍ_ｐ－Ｅ_ｅ－Ｅ_ν~) 

ｄ^３ｐ_ν~＝|ｐ_ν~|²ｄ|ｐ_ν~|ｄΩ_ν~＝Ｅ_ν~²ｄＥ_ν~ｄΩ_ν

そして,δ(Ｍ_ｎ－Ｍ_ｐ－Ｅ_ｅ－Ｅ_ν~)からＥ_ν~＝Ｍ_ｎ－Ｍ_ｐ－Ｅ_ｅ)

でｐ^_ν~を含む項はｄΩ_νの∫において奇関数なので積分の結果

ゼロです。

そこでｄ^３ｐ_ν~の積分の結果,

4πｄ^３ｐ_ｅ(Ｍ_ｎ－Ｍ_ｐ－Ｅ_ｅ)²(Ａ/Ｅ_ｅ＋Ｂ)です。

さらに,ｄ^３ｐ_ｅ＝|ｐ_ｅ|²ｄ|ｐ_ｅ|ｄΩ_ｅ＝|ｐ_ｅ|Ｅ_ｅｄＥ_ｅ

であるからです。(注2－4終わり)※

そこで, (ｐ_ｅＥ_ｅ)^-1(Ｍ_ｎ－Ｍ_ｐ~－Ｅ_ｅ)^-2(ｄΩ_ｅ /ｄＥ_ｅ)

をＥ_ｅ軸に対してプロットすることにより,

エネルギー依存性：Ａ/Ｅ_ν~＋Ｂ)を見出すという段階に到

達しました。

自由中性子だけでなく,許される遷移として知られている

広いクラスの原子核のβ崩壊についても電子スペクトルは

この依存性を持ち,さらにＡ＝0となることが実験において

観測されました。

同じ意図ですが,よりなじみ深いデ-タを得る方法はKurie

のプロットによるものです。

すなわち, {(ｐ_ｅＥ_ｅ)^-1(ｄΩ_ｅ /ｄＥ_ｅ)}1/2をＥ_ｅに対して

プロットします。これからも Ｍ_ｎ－Ｍ_ｐ－Ｅ_ｅ)に比例した直線

を得ました。

|Ｓ_fi|²/(ＶＴ) ∝ (Ａ/Ｅ_ｅ＋Ｂ＋Ｃβ_ｅｐ^_ν~)

(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)なる形で,

Ａ/Ｅ_ｅの項が無いことは,β崩壊相互作用についての

ここで論議した詳細な性質と実験結果から導かれた帰結です。

この消えた項は,Fierzの干渉項と呼ばれるものの１つです。 

これは中性子の速度に比例する豪列要素を有する禁止された

β崩壊の遷移をも含むあらゆる観測されたβ線スペクトル

には明白に依存しない項です。

　しかし,このFierz項が無いことは,再び,β崩壊相互作用の

　近似的な局所性を保証するものです。

Ａ＝0のときは電子戦のエネルギースペクトルが単純に

位相空間体積：(Ｅ_ν~2ｐ_ｅＥ_ｅｄＥ_ｅ)に比例すること,

そしてエネルギースペクトルが一定のＳ行列要素： 

Ｓ_fi  ∝ (2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)から予測される

スペクトル形を持つことにに着目すれば,

これは興味深いことです。

長くなったのでここで終わります。

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)

訃報！！盛田幸妃さん。。元プロ野球投手

　　太洋ホエールズに入団。横浜,や近鉄でリリーフ投手として活躍。。

　脳腫瘍のため闘病後にカムバックしましたが。。その後も闘病中だったらしい盛田幸妃氏が去る16日にとうとう帰らぬ人となったそうです。

　享年45歳。。。まだまだ若い。。詳しい死因は不明らしいです。

　　　　　　　　　

サンスポ→盛田幸妃氏死去。。カムバック賞の"奇跡”のリリーバー

　広島の快速のストッパー津田投手の急死を思い出します。

　ご冥福を祈ります。。。合掌！！

訃報！！橘家円蔵さん。。。

　橘屋円蔵さん。というより月の家円鏡さんと言った方がなじみ深い落語家の円蔵さんが去る10月７日に心室細動のため亡くなられました。享年81歳。。

　朝日新聞デジタル→ 落語家の橘屋円蔵さん。死去。「ヨイショ」が決まり文句,

　独特のシャベリ方。。愛嬌のある人柄。。「うちのセツコが。。。」と言ってたのが懐かしい。。。

　天才！！立川談志とは別のキャラですが,私にはＴＶの中の特に親しむべき方の一人でした。

　記憶にはありますが,ＴＶに出てた頃があまりにも昔過ぎて,記憶が病的に確かな(サバン症の一種？？)の私でも印象が薄れてきたときの訃報でした。

　　ご冥福を祈ります。合掌！！

訃報！！熊倉一雄さん。。

俳優というより声優として存在感の強い熊倉一雄さんが10月12日に直腸がんのため亡くなられたそうです。享年88歳でした。

　ＮＨＫニュース　→　 俳優で演出家の熊倉一雄さん死去

　上記の記事にもあるとおり昭和36年私が小学校５年生のとき,我が家に初めてテレビが来た頃からアニメなどの創世期でしたが独特の声で「ひょっこりひょうたん島：の海賊や「ゲゲゲの鬼太郎」の主題歌で顔よりも声が懐かしい人です。

　　ご冥福を祈ります。合掌！！

弱い相互作用の旧理論(1)(Fermi理論)

物理学のノーベル賞,特に素粒子理論や実験で賞をもらった方々は,

これまでは全て私よりかなり先輩であり中には直接教えて頂いた

方やどこかで見かけたことがある人もいて最低でも名前くらいは

知ってる方ばかりでしたが,今回受賞した私より９歳年下の梶田

さんについては,最近は科学雑誌も見てないこともあり,この賞を

もらったことで初めて知りました。

いずれにしろ,ブログの科学記事を書こうというモチベーション

が久しぶりに沸いてきたので,かつてBjjorken-Drellのテキスト

で学んだ内容を綴ったノートの弱い相互作用の項について学ん

だことの若干の知見を紹介してみます。

現在,ニュートリノに質量があるという発見がなされたばかりで,今主流

の素粒子標準理論でさえ修正を要求されている状況ですが,それにも

関わらず,ゲージボソンが相互作用を仲介するという理論よりもさらに

前の弱い相互作用の歴史的経緯を見るのは温故知新であり大いに

意味があることだと思います。

私,現在は貧乏人なので比較的新しい場理論のテキストである

Peskinは神保町の古書店で飯の種と化してしまいましたし,最近

は眼が具合が悪くて,最大の趣味である読書もままならずブルー

ベリーやアロニアなどによるサプリを飲んだりして無駄と知り

つう視力の復活を夢見ていて科学記事を書くモチベーションも

失われていました。

普通の本の文字は小さくて老眼鏡をかけてもスグに疲れてしま

い放り出すのですがパソコンの文字や自分で作ったノートだけ

は大きい文字なので,まだ長時間でも読み続けることができます。

　さて,本ブログの過去の記事では量子論や素粒子論の非電磁

相互作用関係については,2013年の３月時点までで中断し,そこ

からは数回にわたる足の指の切断手術などで入院が続いたため,

強い相互作用理論の記事を最後にその続きも書いてませんが,

その続きはいずれ完結させるとして,新たに弱い相互作用の項目

から議論を再開します。

参照したノートの弱い相互作用の項に入った最初のページの

日付けを見ると,1994年の４/11となっていて,このとき私は既

に44歳ですから,この項目は学生時代にはノートを作れるほど

真面目に理解していなかったのに改めてヒマなフリーターに

なってから独習して記述を追加したようです。

以下本論に入ります。

§10. 弱い相互作用(WeakInteractionn) 

中性子ｎの陽子ｐへのβ崩壊(β-decay)で代表される弱い相互作用は,２つの一般的グループに分類することができます。

すなわち,一つはlepton(レプトン;軽粒子)を伴う相互作用(leptonic Interaction)であり,もう一つはleptonを伴わない相互作用(nonleptonic Interaction)です。

このうち,最初の頃発見されたleptonを伴う相互作用の例としては, 

β-崩壊：ｎ → ｐ＋ｅ^－＋ν~ 　　　(ａ) 

μ-崩壊：μ^－ → ｅ^－＋ν’＋ν~　　(ｂ) 

π-崩壊：π^－ → μ^－＋ν’~　　　　(ｃ-1) 

　π^－ → ｅ^－＋ν~　　　　　(ｃ-2) 

μ-捕獲：μ^－＋ｐ→ｎ＋ν’　　　　(ｄ) (μ-capture)　

などがあります。

他のleptonを伴う相互作用としては,さらに多数のStrangeness

(奇妙さ;ストレンジネス)を持つ粒子が関わる相互作用があります。

すなわち,奇妙さを持つ粒子を核子やレプトンまたは中間子πに

変えるプロセスです。

Ｋ^－→ μ^－＋ν’~’　 　(Ｋ中間子の崩壊１) 

Ｋ^－→ π⁰＋ｅ^－＋ν~　　(Ｋ中間子の崩壊２) 

Λ→ ｐ＋ｅ^－＋ν~　　　(ラムダ粒子の崩壊)　　などです。

一方, leptonを伴わない相互作用＝nonleptonic decayの例は,

常にstrangenessを持つ粒子を含みます。

 次のようなプロセス： 

Λ→ ｐ＋π^－　 

Ｋ＋→ π^＋＋π^＋＋π^－　　が知られています。

※(注1)：フレイバー量子数としてStrangenessを初めて発見したのは,

わが国の西島和彦先生(当時東大教授)です。※

しかし,ここでは煩雑さを避けるため,Strangeness粒子を含まないleptonic相互作用のみを考察することにします。

以下の我々の議論において直面する問題は,例えば上記の(ａ)(ｂ)(ｃ)において差し当たり,これらプロセスに対するFeynmanグラフでの相互作用頂点(vertex)の構造を,計算に実用化できるように実験観測結果から推論することです。

まず,強い相互作用の議論での主たる性質の２つはここでは失われることに着目しておきます。

　すなわち, (Strangenessを含まない粒子に対して)強い相互作用では正確に成立していたパリティとアイソスピン保存の両方を与える対称性は弱い相互作用では,近似的にしか成立しません。

§11. β-崩壊(β-decay) 

Leptonic相互作用の基本的過程の１つ(ａ)：ｎ→ ｐ＋ｅ^－＋ν~ は,

通常,原子核のベータ崩壊(β-decay)と呼ばれている現象の原因

となるプロセスです。

そこで,まず第一に原子核に束縛されてない自由中性子ｎの崩壊を

考察します。

図10.14に図示したグラフのこの崩壊を記述するＳ行列要素

Ｓ_fi^(ｅ－)の一般的構造においては,入射中性子と出て行く３つの

粒子を記述する波動関数のそれぞれにに対し,線型(１次)でなけ

ればなりません。

 

　すなわち,Ｓ_fi^(ｅ-)＝－iΣ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄

　Ψ_α^(ｐ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(ｎ) (ｘ₂)Ψ_γ^(ｅ)＋(ｘ₃)Ψ_α^(ν) (ｘ₄)

　×Ｆ_αβγδ(ｘ₁,..,.ｘ₄) 

　なる形で表わすことができるはずです。

これまでやってきた議論と同じように,Hermite共役波動関数Ψ^＋は

出ていく粒子(放出粒子),または入射する反粒子(＝時間的過去に

伝播する負エネルギー解)であるｐ,ｅ,を表現し,Ψは入射する粒子

,または放出される反粒子であるｎ,ν~を表わしています。

このβ崩壊：ｎ→ ｐ＋ｅ^－＋ν~に加えて,ν＋ｎ→ ｐ＋ｅ^－

のような過程も同じグラフで表現されるため,同じＳ行列要素で

記述されます。

あるいはまた,陽子ｐは,質量が中性子ｎのそれより小さいので

自然に崩壊することはありませんが,自然崩壊でなく,エネルギー

が保存されるに足るほど十分にあってエネルギー的に許容される

場合の核子遷移として観測される過程：ｐ→ ｎ＋ｅ^＋＋νも同じ

形のＳ行列要素で記述されます。

これはｅ^＋(陽電子)が放出される過程なので,

Ｓ_fi^(ｅ+)＝－iΣ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

　Ψ_α^(ｎ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(ｐ) (ｘ₂)Ψ_γ^(ν)＋(ｘ₃)Ψ_α^(ｅ) (ｘ₄)

　×Ｆ~_αβγδ (ｘ₁,..,.ｘ₄) 　と書くことにします。

これらのＳ_fiを示す式における未知の因子：ＦとＦ~は,実験結果

との比較から決定さるべきものであって,相互作用頂点に帰する

べき因子です。

ここでは,一般的理論的基盤の上で,ここではFとF~に対して唯一

の仮定を与えます。

すなわち,

Ｆ_αβγδ (ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃,ｘ₄)＝Ｆ^＊_βαδγ (ｘ₂,ｘ₁,ｘ₄,ｘ₃)

なる仮定です。

これは弱い相互作用においても,謂わゆる「詳細釣合いの原理」

(detailed balance)が成立することを保証するものです。

つまり,反応：ｎ → ｐ＋ｅ^－＋ν~とｎ ← ｐ＋ｅ^－＋ν~,および, 

　反応：ν＋ｎ → ｐ＋ｅ^－とν＋ｎ ← ｐ＋ｅ^－のそれぞれの組に

　おいては,左から右への進行と右から左への進行の確率を与える

　遷移振幅が位相因子を除き全く同一であることを意味します。

　この詳細釣合いの条件はβ崩壊相互作用の弱さと,Ｓ行列が満たす

　べきユニタリ性(確率の時間的保存性)から,次のようにして得られる

　ものです。

　すなわち,相互作用が存在しないときには,S行列は単位行列であり

　Ｓ_fi＝δ_fiです。

　そこで,単位行列と異なる部分をＴ行列(＝遷移行列)として,

 Ｓ_fi＝δ_fi－iＴ_fi と書けば,ユニタリ性：Ｓ^＋＝Ｓ^-1,Ｓ^＋Ｓ＝1,

　 or Σ_nＳ_nf^＊Ｓ_ni＝δ_fi の要求から, 

 i(Ｔ_fi－Ｔ_if^＊)＝Σ_nＴ_nf^＊Ｔ_niが得られます。

そして,β崩壊のような弱い相互作用では,右辺はその弱い相互

作用の結合定数の２次の項であって,これは無視できるため,

近似的に,Ｔ_fi－Ｔ_if^＊ ＝ 0, or Ｔ_fi＝Ｔ_if^＊が成立し,これが

Ｆ_αβγδ (ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃,ｘ₄)＝Ｆ^＊_βαδγ (ｘ₂,ｘ₁,ｘ₄,ｘ₃)

なる「詳細釣合いの条件式」に相当するわけです。

　さて,本理論ではニュートリノνは質量のないDirac粒子と

　考えます。

(※この理論の当時から最近までは,ニュートリノ質量はゼロと

信じられていました。)

β崩壊における電子のパートナー粒子を反ニュートリノと同定する

ことによって,実験的に厳密に満足されるレプトン数の保存則が保持

されます。

これは,プロセス(ａ)：ｎ→ ｐ＋ｅ^－＋ν~においては単に定義

された規約に過ぎませんが,この規約に基づくπとμなどの崩壊

プロセスでのレプトン数の保存に明確な関連性を持っています。

また,観測されるβ崩壊のスペクトルは,ニュートリノがスピン1/2

を持つことを示しています。

より最近では,崩壊過程π^－ → ｅ^－＋ν~　(ｃ-2)の観測結果が

このことを確証しました。

最後に,ニュートリノが質量を持たない粒子であることは他の

質量を持つFermi粒子と比較して粒子波の規格化規約の変更を

要求します。

量子数(ｋ,ｓ)を持つ自由Dirac方程式の平面波の解は,

通常の粒子がゼロでない質量ｍを持つ場合は.４元スピノル

Ψ_α(ｘ)＝(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ_ｋ)^1/2ｕ_α(ｋ,ｓ)exp（－iｋｘ）

(α＝1,2,3,4)で,Ｅ_ｋ＝(ｋ²＋ｍ²)^1/2であり,

規格化はΣ_α=1⁴ｕ_α^＋(ｋ,ｓ)ｕ_α(ｋ,ｓ)＝Ｅ_ｋ/ｍ　

で与えられます。

 しかし,質量ｍがゼロの場合は, 

Ψ_α(ｘ)＝(2π)^-3/2|1/(2Ｅ_ｋ)}^1/2ｕ_α(ｋ,ｓ)exp（－iｋｘ）

でＥ_ｋ＝|ｋ|であり,

規格化はΣ_α=1⁴ｕ_α^＋(_αｋ,ｓ)ｕ_α(ｋ,ｓ)＝2Ｅ_ｋ

です。

それ故,Σ_α=1⁴ｕ_α~(ｋ,ｓ)ｕ_α(ｋ,ｓ)＝ 0　です。

※(注2)：以前2010年６/７の過去記事

「散乱の伝播波関数の理論(9)」を参照すると,

本ブログの素粒子論関連記事では一貫して

ｃ＝ｈ_c＝1の自然単位系を採用しているので,

(ｈ_c(＝ｈ cross)≡ｈ/(2π)；ｈはPlanck定数)

質量ｍがゼロでない自由粒子の通常のDirac方程式：

i(γ^μ∂_μ－ｍ)Ψ ＝0 の正エネルギーの解の陽な形

では,運動量とスピン依存の係数スピノル因子は ,

ｕ(ｋ,↑)＝ｗ⁽¹⁾(ｋ) 

＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2[1,0,ｋ³/(Ｅ＋ｍ),ｋ^＋/(Ｅ＋ｍ)]^Ｔ 

および,ｕ(ｋ,↓)＝ｗ⁽²⁾(ｋ) 

＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2[1,0,ｋ^－/(Ｅ＋ｍ),－ｋ³/(Ｅ＋ｍ)]^Ｔ 

　で与えらます。

　　(※ここでは運動量変数のｐを波数変数のｋに置き換えていますが,

 これは,ｐが陽子(Proton)のｐと混同されるのを避けるためです。
 

 実際には,ｐ＝ｈ_cｋであり運動量ｐと波数ｋは係数だけ異なるもの

　ですが,ここではｃ＝ｈ_ｃ＝1の自然単位系を採用しているため,

　ｐ＝ｋであり,同一視して問題ありません。※)

しかし,これらの表現では質量ｍがゼロの場合,このままでは

規格化係数:{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2の分母がゼロとなって意味を

なさないので,(2ｍ)^1/2(を掛けて規格化 を変更します。

そして,その規格化を修正した式で残ったｍについて,ｍ＝0

とおくことで,ｕ(ｋ,↑)＝ｗ⁽¹⁾(ｋ) 

＝Ｅ^1/2[1,0,ｋ³/Ｅ,ｋ^＋/Ｅ]^Ｔ＝Ｅ^1/2[χ,θ]^Ｔ

と表わすことができます。

ただし,χ＝[1,0]^Ｔ,θ＝[ｋ³/Ｅ,ｋ^＋/Ｅ]^Ｔです。

また,ｕ(ｋ,↓)＝ｗ⁽²⁾(ｋ) 

＝Ｅ^1/2[1,0,ｋ^－/Ｅ,－ｋ³/Ｅ]^Ｔ＝Ｅ^1/2χ,θ]^Ｔ,

χ＝[0,1]^Ｔ,θ＝[ｋ^＾/Ｅ,－ｋ³/Ｅ]^Ｔです。

ただし,ｋ^±＝ｋ¹±iｋ²なので,(ｋ³)²＋ｋ^＋ｋ^－＝ｋ²であり,

また,ｍ＝0なので,Ｅ²＝ｋ²＋ｍ²＝ｋ²です。

それ故,直接計算すると,

χ^＋χ＋θ^＋θ＝1＋{(ｋ³)²＋ｋ^＋ｋ^－}/Ｅ²＝2　なので,

ｕ^＋(ｋ,ｓ)ｕ(ｋ,ｓ)＝2Ｅです。

他方, [χ^＋,θ^＋]γ⁰[χ,θ]^Ｔ＝χ^＋χ－θ^＋θ

＝1－{(ｋ³)²＋ｋ^＋ｋ^＾}/Ｅ²＝0　ですが,これは,

ｕ~(ｋ,ｓ)ｕ(ｋ,ｓ)＝0 を意味しています。

あるいは,負エネルギー解ならｖ(ｋ,↑)＝ｗ⁽³⁾(ｋ)

＝Ｅ^1/2 [θ,χ]^Ｔ,ｖ(ｋ,↓)＝ｗ⁽⁴⁾(ｋ)＝Ｅ^1/2 [θ,χ]^Ｔ

と表わせるので,

正エネルギー解と同じくｖ^＋(ｋ,ｓ)ｖ(ｋ,ｓ)

＝2Ｅ(θ^＋θ＋χ^＋χ)＝2Ｅ,かつ, 

ｖ~(ｋ,ｓ)ｖ(ｋ,ｓ)＝2Ｅ(θ^＋θ－χ^＋χ)＝0　です。

(注2終わり)※

さて,質量がある場合には, 

Λ_＋(ｋ)²＝Λ_＋(ｋ), Λ_－(ｋ)²＝Λ_－(ｋ),Λ_＋(ｋ)Λ_－(ｋ)＝0, 

Λ_r(ｋ)ｗ^(ｓ)(ｋ)＝δ_sｗ^(ｓ)(ｋ)を満たすことで定義される

Dirac方程式の解の射影演算子(Projection operator)は,

Λ_r(ｋ)＝(ε_ｒγ^μｋ_μ＋ｍ)/(2ｍ) 

(ｒ＝1,2,3,4)(ただし,ｒ＝1,2ならε_ｒ＝1,ｒ＝3,4ならε_ｒ＝－1),

または,Λ_＋(ｋ)＝Λ₁(ｋ)＝Λ₂ｋ),Λ_－(ｋ)＝Λ₃(ｋ)＝Λ₄ｋ)

つまり.Λ_±(ｋ)＝(±γ^μｋ_μ＋ｍ)/(2ｍ)(複号同順)で与えられ,

これらは４行４列の行列で,

(Λ_＋(ｋ))_αβ＝Σ_ｓ＝±ｕ_α(ｋ、ｓ)ｕ_β(ｋ,ｓ)  

(Λ_－(ｋ))_αβ＝Σ_ｓ＝±ｖ_α(ｋ,ｓ)ｖ_β(ｋ,ｓ)を満たす

ことを見ました。

これは,質量ｍがゼロの場合には, 

(Λ_＋(ｋ))_αβ＝Σ_ｓ＝±ｕ_α(ｋ,ｓ)ｕ_β(ｋ,ｓ)

＝(γ^μｋ_μ)_αβ, 

(Λ_－(ｋ))_αβ＝Σ_ｓ＝±ｖ_α(ｋ,ｓ)ｖ_β(ｋ,ｓ)

＝－(γ^μｋ_μ)_αβ

となります。

しかし,これらは質量がゼロの場合は,本当の意味では射影演算子

ではありません。

というのも,質量がゼロのDirac方程式：iγ^μ∂_μΨ(ｘ)＝0の

Fourie変換で与えられる運動量表示の方程式から常に

γ^μｋ_μｕ(ｋ,ｓ)＝0,

つまり,常にΣ_β=1⁴(γ^μｋ_μ)_αβｕ_β(ｋ,ｓ)＝0　

となるからです。

さて,質量ゼロのDirac粒子の規格化の話に脱線しましたが,

ニュートリノの質量が正確にゼロでないなら,こうしたことは

無用なことです。

しかし,ここでの議論ではニュートリノの質量がゼロであること

を前提としているのでこれらも必要で重要な意味を持っています。

（※ここでの質量ゼロに基づく理論が,ニュートリノにゼロで

　ない質量がある場合,理論がどのように修正されるべきか？

　の示唆を与えてくれるはずです。※)

　さて,先に与えたβ崩壊のS行列要素を再掲します。

　行列要素：Ｓ_fi^(ｅ-)＝－iΣ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

　Ψ_α^(ｐ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(ｎ) (ｘ₂)Ψ_γ^(ｅ)＋(ｘ₃)Ψ_α^(ν) (ｘ₄)

　×Ｆ_αβγδ(ｘ₁,..,.ｘ₄)

　における未知関数Ｆの形は,,相対座標ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃,ｘ₄の違いが

　大きい場合については,提案以後の30年余の探求により完全に

　決定されました。

　これの詳細な性質については次稿に引き継ぐことにして,

　今日はここで終わります。

(参考文献): J.D.Bjorken & S.D.Drell 

　"Relativistic Quantum Mechanics"(McGrawHill)

バリアフリーオリンピック・パラリンピック東京2020

　またまた,ヒマな障害者ジジイのほんの気紛れな思いつきで,実は誰かの２番煎じか,３番煎じ以下かもしれませんが。。。。

　2020年の東京パラリンピック・オリンピックは,そのテーマをバリアフリー理想都市・東京にしたらどうか？

　と実は入院中の病院のベッドで夜中未明にテレビで東京決定を見た当時から考えていました。思えばそのときも何か上と似たような感想をスグにブログに書こうと思いましたが入院中にかまけてサボったのでした。。。

　そして,エンブレム候補については,私自身がオリジナルを作ってやろうとか大それたことは考えててないし能力もありませんが,むしろパラリンピックの方を前面に出して,以下はホームページから検索した写真やイラストですが,

　例えば競技用車椅子を中心に,わが国のの誇りであるテニスの国枝慎吾選手,上地結衣選手,そして車椅子マラソンなどをモデルにシンボル化したものなどがいいな。。。とか思っています。

祝！！ノーベル賞。。梶田隆章さん。。しかし晴天の霹靂

連日の日本人ノーベル賞受賞,今度は物理学賞で宇宙線・素粒子実験分野で梶田隆章さんが受賞されました。56歳。。。若い。。。

　ニュートリノに質量があるということを岐阜の神岡鉱山跡に作られたカミオカンデでの実験観測で確証したことに対して賞が与えられたらしいです。

　こちらも日本人受賞でとても喜ばしいことですが。。昨日の大村さんの受賞とは違う感想もあります。

　学生時代の専門が素粒子理論の理論物理屋であった私としては,残念ながらこの発見が真実であったというのはむしろ寝耳に水,イヤ晴天の霹靂という思いもあります。

　そもそもニュートリノは陽子のβ崩壊 ｐ→ｎ＋ｅ^＋においてエネルギー保存が成立するためには観測には掛からないけれど何らかの粒子が存在するはずだということでPauliが存在を予言した日本語では中性微子と呼ばれる素粒子のことです。 

　このニュートリノは普通の検出器では観測にかからないので放射線としては人体も素通り,通過するだけなので無害であり,逆にガンなどの放射線治療にも使えないシロモノです。

　かつて私が学んだ頃の理論物理学の弱い相互作用では陽子ｐのβ崩壊は反応式として,ｐ → ｎ＋ｅ^＋＋ν_ｅ と表現されました。イヤ今もそうでしょう。

　他方,その逆反応の中性子ｎの電子捕獲は ｎ → ｐ＋ｅ^－＋ν~_ｅ  です。

　ここで,ｅ^－は通常の電子であり,ｅ^＋はその反粒子の陽電子,ν_ｅは電子に付随するニュートリノでありν~_ｅ  はその反粒子です。

　原子核内での核子ｐとｎはどちらかが過剰剰であれば一般にそれを減らす上記の弱い核反応でバランスしますが,星の進化など非常に長いスパンでは平衡バランスが崩れて中性子星に転化していくこともあります。

　電子に付随するニュートリノν_ｅ というのは,その後軽粒子＝レプトンとして電子のほかにμ粒子,及びτ粒子が存在してこれらにに付随する異なるニュートリノν_μ ,ν_τ という計３種類のニュートリノが存在することが明らかになったため区別のために添字を付けられたものです。

　これら３種類のレプトンのペア(ｅ,ν_ｅ ),(μ,ν_μ ),(τ,ν_τ)が,重粒子(バリオン)や中間子(メソン)というハドロンを構成する基本粒子である３組のクォーク(ｐ,ｎ)(＝up-down),(ｓ、ｃ)(＝strange-charm),(ｂ,ｔ)(＝bottom-top)に対応するというのが現在の素粒子標準理論の礎になっています。

　そして弱い相互作用でもレプトン数の保存を保証するため,

　これらの作用では,例えばｎ →ｅ^－＋ν~_ｅのようにレプトン数が＋1の電子ｅ^－にはレプトン数が－１の反ニュートリノが付随というようにニュートリノの粒子-反粒子の区別がなされています。

　最初Ｆermiによる弱い相互作用のV－Aカレント(vector－axialvector)によるカレント-カレント相互作用が提議され,そこから出発して,現在の宇宙初期には質量ゼロであったのに自発的対称性の破れとヒッグスメカニズムにより質量を獲得した弱いゲージボゾンの仲介による相互作用という理論では,

　これらのニュートリノは全て質量がゼロのフェルミオンで,それ故光速でしか走行できないため,スピンが1/2のフェルミオンであってスピン成分は±1/2(＝up-down)なのですが,その一方符号のみのヘリシテイしか取ることのできない軸性ベクトル(axialvector)系カレントに寄与すべきスピノル粒子であるというのがこれらの弱い相互作用の標準理論の前提でした。

　そこでニュートリノに僅かでも質量が存在すれば,それは光速よりも遅い速度で走行し,ヘリシティも±1/2成分の双方を取ることが可能となり今までの標準理論は修正されないと成立しないことになるはずです。

　宇宙論では宇宙の創生期の熱い火の玉状態では磁気単極子(モノポール)が存在し,寿命は無限大で安定で崩壊することのないものという常識の陽子(核子)崩壊もあるということで岐阜の地下深いカミオカンデでも私が学生のころから時間的には極めて希な現象でも大量の物質への宇宙線の衝突でこの陽子(核子)崩壊が観測できるのではという観測がもされていたと思います。

　しかし,これらモノポールやβ崩壊を除く陽子崩壊については未だ観測されていません。

　少し話は古いですが,かつて光速を超える粒子タキオンが確かオーストラリアで観測されたという事件があったけど,それは追実験では未だに確認できず幻ということになったと記憶しています。

　そこで,20世紀末にμ-ニュートリノがτ-ニュートリノに転換する結果として観測されると予測されるニュートリノ振動が観測されて,それはニュートリノの質量存在の証拠といわれたことも存じていますが,そのときも,私はこうした極端に革命的な観測結果はいずれ幻に終わるのでは？と少なからず疑っていたのですが,既に2003～2004年頃には梶田氏らのグループが膣料存在を追確認していたのですね。イヤ感服しました。。　

　理論の方での修正が期待されますが年老いた頭では新しいことを勉強するのはなかなか骨が折れるので,こうしたことは間違いではなかろうか？と楽な展開を期待しててすみませんでした。

大村さん。。スゴイ人みたいですね。。祝！！

　今年のノーベル医学生理学賞に北里大学の栄誉教授大村智さんが選ばれました。80歳・。。。対象研究は今から40年くらい前の1970～1980頃からのものみたいです。

　その後のもう1人の受賞者も含めて開発された無料配布の実用薬が恐ろしい風土病を撲滅しつつあるようです。

　どうもとても型破りな人物ようで,私は目上の人であっても他人はめったにホメないタイプの人間なのですが,この方夢中になると何でもノメり込んでトコトン追求してモノにしてしまうという,大好きな変態(別名：天才)タイプで,しかも謙虚かつ茫洋としているようです。

　　　　　　　

　神のような能力があって,そのクセ神や仙人とは違う生きモノ（人間）的感情が豊富ですが,自分ではソレを意識できないほど謙虚です。まさに「慈愛がコロモを纒っている。」というい印象を受けました。

　かつて,宇宙線(特にニュートリノ)観測のカミオカンデ関連でノーベル物理学賞をもらったときのインタビューで,「この研究究は何の役に立つのでしょうか？」という質問に対して素直に「クソの役にも立たない。」と答えたと記憶している小柴先生の言にも共感したものでしたが。。。

　通常,「象牙の塔」の中でコツコツとやっている机上の空論的と見える研究は,極端な話,例えば東大の金田研などで円周率パイをコンピュータで１兆ケタ以上まで計算で求めることができたとかに典型されるモノがあって。。

　凡人の見るところ,実に「クソの役にも立たない。」という意味なのでしょう。

　世界には現実の圧政や飢え寒さ暑さに苦しみ日々のカテを得るために暮らしにアクセクくしていて,飽食で豊かな国では,こうした「役に立たないモノ」に大きな国家予算をサいているのはモッタイナイと思えることもあります。

　これらが何らかの人の役に立つ実用化されたシロモノとして人口に膾炙されてスゴイことだと実感されるには相当の継続的な実学的研究が追随してなされる必要がありますが。。。

　今回の大村先生の受賞は,こうした実学,非実学の枠を超えた素晴らしいコトと凡人のわたしでさえ大いに感銘を受けました。。。

PS：北里大学でつい思い出しました。記憶合ってるかな？

　一度見聞きしたものはかなり詳細かつ克明に記憶しているのが私の悪いクセ(病気)です。今は記憶違いであってもネットで調べることできますが。。。

　創始者の北里柴三郎先生自身が第１回のノーベル医学生理学賞の最有力候補であったことを思い出しました。

※　↓　若き日の北里柴三郎氏

　ドイツの研究所で破傷風菌を発見し,何よりも身体に病原菌を植え付けることで抗体ができて治療できることを発見し,なおかつ,かつて猛威を奮ったペスト菌まで見つけて凱旋したにも関わらず,

　母国日本の母校の東大で自分の恩師の研究(＝脚気菌を発見した？）に海外駐在時に自分の実験ではソレは間違いであるという結論を得て発表し,コレが「恩師にケチをツケた。」ということになって,その報復で「ペスト菌の発見は間違いである。」というイワレのない東大医学部閥のバッシングを受けてノーベル賞を妨害されたという事実,

　その結果,自己の居場所がなくなり当時福澤諭吉の援助で北里研究所を開始したというコトなどを思い出しました。

　そもそも現在では,「脚気＝江戸ワズライ」の原因はビタミンB１の欠如にあることは明らかになっていて,脚気菌とかいうものは無いはずです。。