散乱問題の復習(11)(電子^電子散乱'(メラー散乱１)

 散乱問題の復習＝再掲記事の続きです。 

　電磁相互作用を受けての粒子散乱の最後の応用例として,

　電子－電子散乱,および電子－陽電子散乱の摂動計算を

　実行します。

　(※実は,当面の弱い相互作用論議へのツナギとしてこの記事

　を参照することが一連の記事再掲載の主目的です。※)

§7.9 Electron-Electron and Electron-Positron Scattering

　(電子－電子散乱,および電子－陽電子散乱)

　電子－電子散乱は,かつての記事「散乱の伝播関数の理論(13),

　(14),(15)(応用２)」で述べた電子－陽子散乱とほとんど同じ方法

　で扱うことができます。

　しかし,電子－電子散乱では電子の同等性のために生じるもう１つ

　のgraphがあります。

　この過程に対する２つのgraphsを下図７.13に示します。

　これらのdiagramsは関連する運動学を定義します。

まず,かつての電子－陽子散乱の散乱振幅を再掲すると,

Ｓ_fi＝(ｅｅ_p/ε₀Ｖ²){ｍ²/(Ｅ_iＥ_f)}^1/2{Ｍ²/(Ｅ^p_iＥ^p_f)}^1/2

{ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)(－iγ_μ)ｕ(ｐ_i,ｓ_i)}

{ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)(－iγ^μ)ｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)}(－i){(ｐ_f－ｐ_i)²＋iε}^-1

(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)　です。

ただし,エネルギー・運動量の保存から,ｐ_f－ｐ_i＝Ｐ_i－Ｐ_f です。

　そこで,同じように電子－電子散乱の振幅Ｓ_fi^Mを与えると,

　Ｓ_fi^M＝(ｅ²ｍ²/ε₀Ｖ²)(Ｅ₁Ｅ₂Ｅ₁'Ｅ₂')^-1/2

 [{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₁)}{ｕ~(ｐ₂')(－iγ^μ)ｕ(ｐ₂)}

　(－i){(ｐ₁－ｐ₁')²＋iε}^-1

 －{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₂)}{ｕ~(ｐ₂')(－iγ^μ)ｕ(ｐ₁)}(－i)

　{(ｐ₁－ｐ₂')²＋iε}^-1](2π)⁴δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)

　と書けます。

ただし,便宜上スピン添字:ｓ_i,ｓ_j'etc.は伏せました。

※(注20^1):Feynman規則に忠実に,頂点(vertex)には因子:

　(－iｅγ_μ)を,光子内線にはその伝播関数(－i)(ｑ²＋iε)^-1

 を対応させました。

実はベクトル粒子である光子の伝播関数は,正しくは,

(－i)(ｇ^μν＋縦波ゲージ項)/(ｑ²＋iε)のテンソル形なのですが,

頂点因子を含めると,(－iｅγ_μ)ｇ^μν(－iｅγ_ν)

＝(－iｅγ_μ)(－iｅγ^μ)　となります。

そして,ｑ^μに比例する縦波項は,ゲージ不変性(＝電荷の保存)を

反映して,光子の分極(偏光:spin)εの横波性:εｑ＝0 により消

えて寄与はゼロなので,伝播関数を省略したスカラー形で書きま

した。(注20-1終わり)※

　右辺の[ ]の中の"第１項＝直接項"と"第２項＝交換項

　(exchange term)"の間の相対的な(－)符号は電子の従うFermi統計

　に由来します。

　つまり,散乱振幅が２つの終状態電子の交換に対して反対称である

　ことが要求されます。

 Fermi統計はまた,初期電子の交換に対する反対称性をも要求します。

同様な論旨から,２つのBose粒子を含む状態から,またはBose粒子

状態への散乱振幅はそれらの交換の下で対称です。

この後者の性質は前の図７.11に対する電子－陽電子の対消滅過程

の散乱振幅での終状態光子の交換に対して確認されています。

さて,電子－電子散乱振幅:

Ｓ_fi^M＝(ｅ²ｍ²/ε₀Ｖ²)(Ｅ₁Ｅ₂Ｅ₁'Ｅ₂')^-1/2

[{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₁)}{ｕ~(ｐ₂')(－iγ^μ)ｕ(ｐ₂)}(－i)

{(ｐ₁－ｐ₁')²＋iε}^-1

－{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₂)}{ｕ~(ｐ₂')(－iγ^μ)ｕ(ｐ₁)}

(－i){(ｐ₁－ｐ₂')²＋iε}^-1](2π)⁴δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)

には,交換項が入ったときの(1/√2)や1/2のような追加の規格化

因子は導入されていません。

これは,Ｓ_fiから微分断面積を作る法則が始状態,または終状態に

同種粒子が存在することによっては変わらないからです。

ただ,既に対消滅過程でも述べたように,終状態に同種粒子が存在

するとき,全断面積を得るための積分においては,

σ~＝(1/2)∫(ｄσ~/ｄΩ)ｄΩのように1/2因子を含む必要がある

ことには注意を要します。

一方,始状態(初期状態)においては同種粒子に対して特別な因子は

現われません。

何故なら,入射流束(flux)は粒子が異種か,同種かを問わず不変で

あるからです。

電子－電子散乱はこの法則の明確で単純な例になっています。

なお,Ｓ_fi^Mの右辺の"第２項＝交換項"は,移行運動量 or 運動量遷移

(momentum-transfer):(ｐ₁'－ｐ₁)が小さい前方散乱近傍では無視

できます。

この極限では,散乱振幅は正確にCoulomb散乱の振幅に等しくなり

粒子の統計には依存しません。

さて,散乱振幅から今まで通りのやり方で偏りのない電子の散乱

に対する微分断面積が得られます。

すなわち,慣性中心系(重心系)では,

ｄσ~＝ｅ⁴ｍ⁴/{Ｅ⁴(2β)}∫ｄ³ｐ₁'ｄ³ｐ₂'(2π)^-2

δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)(1/4)(16ｍ⁴)^-1[{1/(ｐ₁'－ｐ₁)²}²

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

－(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₂'－ｐ₁)^-2

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

＋(ｐ₁'⇔ｐ₂'の交換項)]　です。

Ｅは慣性中心系での各粒子のエネルギー,βはその速度です。

２つの初期電子の相対速度は2βです。

※(注20-20):

　２体散乱の慣性中心系(重心系)では,ｐ₁＋ｐ₂＝ｐ₁'＋ｐ₂'＝0

　なので,|ｐ₁|＝|ｐ₂|,|ｐ₁'|＝|ｐ₂'|です。

そして,散乱(衝突)前後のエネルギー保存則より,

Ｅ₁＋Ｅ₂＝Ｅ₁'＋Ｅ₂'であって,しかも粒子は全て電子なので質量

も同じｍですから粒子エネルギーは全て同じ値で,

Ｅ₁＝Ｅ₂＝Ｅ₁'＝Ｅ₂'です。

そこで,この全て同じのエネルギーをＥと書くわけです。

また,重心系で全ての粒子に共通な速度の大きさを,

β＝|ｖ₁|＝|ｐ₁|/Ｅ₁＝|ｖ₂|＝|ｐ₂|/Ｅ₂とおくと,

ｐ₁＋ｐ₂＝0 よりｖ₂＝－ｖ₁なので,|ｖ₁－ｖ₂|＝2β

と書けます。

また,(1/4)Σ_{s1,s2,s1',s2'}{ｕ~_α(ｐ₁')(γ_μ)_αβｕ_β(ｐ₁)}

{ｕ~_γ(ｐ₂')(γ^μ)_γδｕ_δ(ｐ₂)}{ｕ~_λ(ｐ₂)(γ^ν)_λσｕ_σ(ｐ₂')}

{ｕ~_ξ(ｐ₁)(γ_ν)_ξηｕ_η(ｐ₁')}

＝(1/4)(16ｍ⁴)^-1{(ｐ₁'＋ｍ)_ηα(γ_μ)_αβ(ｐ₁＋ｍ)_βξ}(γ_ν)_ξη}

{(ｐ₂'＋ｍ)_σγ(γ^μ)_γδ(ｐ₂＋ｍ)_δλ(γ^ν)_λσ}

＝(1/4)(16ｍ⁴)^-1{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}

{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν},  

(1/4)Σ_{s1,s2,s1',s2'}{ｕ~_α(ｐ₁')(γ_μ)_αβｕ_β(ｐ₁)}

{ｕ~_γ(ｐ₂')(γ^μ)_γδｕ_δ(ｐ₂)}{ｕ~_λ(ｐ₁)(γ^ν)_λσｕ_σ(ｐ₂')}

{ｕ~_ξ(ｐ₂)(γ_ν)_ξηｕ_η(ｐ₁')}

＝(1/4)(16ｍ⁴)^-1{(ｐ₁'＋ｍ)_ηα(γ_μ)_αβ(ｐ₁＋ｍ)_βλ(γ^ν)_λσ

(ｐ₂'＋ｍ)_σγ(γ^μ)_γδ(ｐ₂＋ｍ)_δξ(γ_ν)_ξη}

＝(1/4)(16ｍ⁴)^-1

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

です。(注20-2終わり)※

　相対論的エネルギーでは,この2βは光速の２倍の値に近づきます

　が,特殊相対性理論と矛盾するものではありません。

　事実,１つの電子の速度を他の電子から見るなら決して光速は超え

　ません。

(※相対論では有り勝ちな光速度不変に対する誤解の１つですね。) 

そして,(ｐ₁'⇔ｐ₂'の交換項)は,ｄσ~における右辺最初の２項で

ｐ₁'とｐ₂'を交換して得られる２つの付加項の存在を示しています。

　直接散乱と交換散乱の双方において出現する干渉項は唯１つの長い

　トレース因子を含みます。

微分断面積に寄与する行列要素の平方(ノルムの２乗)を表示する

図形的方法は,２つのループと２つのトレース項因子を持つ直接項

と,１つのトレース因子のみ持つ干渉項の違いを明示します。

(図７.14：Pending)

これらのdiagramsは,添字μ,νの順序を保持しつつスピノ－ル因子

を直線的に求めるときには便利です。

ライン上の白丸は分母因子:(ｐ²－ｍ²)^-1が現われないことを注意す

るものです。

以下,「散乱の伝播関数の理論(11)(応用1-1)」で与えたγ行列に関

する定理を用いて具体的にトレース因子を評価します。

特に,干渉項の８個のγ行列の積のトレースの計算における縮約には

[性質6]:(ⅰ)γ_μγ^μ＝4・1,(ⅱ)γ_μａγ^μ＝－2ａ,

(ⅲ)γ_μａｂγ^μ＝4ａｂ,(ⅳ)γ_μａｂｃγ^μ＝－2ｃｂａ,

(ⅴ)γ_μａｂｃｄγ^μ＝2(ｄａｂｃ＋ｃｂａｄ)

が非常に有用です。

Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^νに

おいて,例えば相対論的エネルギーＥ＞＞ｍを想定してｍ²に比例

する項を無視すれば,奇数個のγ行列の積のトレースへの寄与は

ゼロなので,これはＴr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν)となります。

そして[性質6]の(ⅳ)から,γ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν＝－2ｐ₂γ^μｐ₂'

なので,Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν)

＝－2Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁ｐ₂γ^μｐ₂')　です。

さらに,(ⅲ)よりγ_μｐ₁ｐ₂γ^μ＝4ｐ₁ｐ₂なので,結局,

Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν)＝－8ｐ₁ｐ₂Ｔr(ｐ₁'ｐ₂')

＝－32(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁'ｐ₂')　を得ます。

※(注20-2):実際に正しくは,

　Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν

 ＝－32(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁'ｐ₂')＋ｍ²{Ｔr(γ_μγ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν)

　＋Ｔr(γ_μｐ₁γ_νγ^μｐ₂γ^ν)＋Ｔr(γ_μｐ₁γ_νｐ₂'γ^μγ^ν)

　＋Ｔr(ｐ₁'γ_μγ_νγ^μｐ₂γ^ν)＋Ｔr(ｐ₁'γ_μγ_νｐ₂'γ^μγ^ν)

　＋Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ_νγ^μγ^ν)}＋ｍ⁴Ｔr(γ_μγ_νγ^μγ^ν)

　です。

そして,Ｔr(γ_μγ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν)＋Ｔr(γ_μｐ₁γ_νγ^μｐ₂γ^ν)

＋Ｔr(γ_μｐ₁γ_νｐ₂'γ^μγ^ν)＋Ｔr(ｐ₁'γ_μγ_νγ^μｐ₂γ^ν)

＋Ｔr(ｐ₁’γ_μγ_νｐ₂'γ^μγ^ν)＋Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ_νγ^μγ^ν)

＝－2Ｔr(γ_μｐ₂γ^μｐ₂')＋4ｐ₂^μＴr(γ_μｐ₁)

＋4ｐ₂'^μＴr(γ_μｐ₁)＋4ｐ₂^μＴr(ｐ₁'γ_μ)＋4ｐ₂'^μＴr(ｐ₁'γ_μ)

－2Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ^μ)　です。

よって,これは16{(ｐ₂ｐ₂')＋(ｐ₁ｐ₂)＋(ｐ₁ｐ₂')＋(ｐ₁'ｐ₂)

＋(ｐ₁'ｐ₂')＋(ｐ₁'ｐ₁)}

＝16{(ｐ₁ｐ₂)＋(ｐ₁'ｐ₂')＋(ｐ₁＋ｐ₂)(ｐ₁'＋ｐ₂')}

です。

ところがｐ₁＋ｐ₂＝ｐ₁'＋ｐ₂',それ故ｐ₁ｐ₂＝ｐ₁'ｐ₂'ですから,

さらに,16{2(ｐ₁ｐ₂)＋(ｐ₁＋ｐ₂)²}＝32{2(ｐ₁ｐ₂)＋ｍ²}

に帰します。

　また,Ｔr(γ_μγ_νγ^μγ^ν)＝－2Ｔr(γ_νγ^ν)＝―32　です。

　以上から,

　Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν

 ＝－32{(ｐ₁ｐ₂)²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₂)－ｍ⁴＋ｍ⁴}

　＝－32(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂－2ｍ²)　を得ます。

　一方,[性質4]:Ｔr(ａ₁..ａ_n)

　＝ａ₁ａ₂Ｔr(ａ₃..ａ_n)－ａ₁ａ₃Ｔr(ａ₂ａ₄..ａ_n)＋..

　＋ａ₁ａ_nＴr(ａ₂..ａ_n-1),

　特にＴr(ａ₁ａ₂ａ₃ａ₄)

　＝４(ａ₁ａ₂ａ₃ａ₄＋ａ₁ａ₄ａ₂ａ₃－ａ₁ａ₃ａ₂ａ₄)より,

　Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν

 ＝4{ｐ₁'_μｐ_1ν＋ｐ₁'_νｐ_1μ－ｇ_μν(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)}

　です。

同様に,Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν

＝4{ｐ₂'^μｐ₂^ν＋ｐ₂'^νｐ₂^μ－ｇ^μν(ｐ₂ｐ₂'－ｍ²)}ですから,

結局,

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

＝16{ｐ₁'_μｐ_1ν＋ｐ₁'_νｐ_1μ－ｇ_μν(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)}

{ｐ₂'^μｐ₂^ν＋ｐ₂'^νｐ₂^μ－ｇ^μν(ｐ₂ｐ₂'－ｍ²)}

です。

したがって,

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

＝16[(ｐ₁'ｐ₂')(ｐ₁ｐ₂)＋ (ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁'ｐ₂')＋(ｐ₁'ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂')

＋(ｐ₁ｐ₂')(ｐ₁'ｐ₂)－(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)

{(ｐ₂ｐ₂')＋(ｐ₂'ｐ₂)}－(ｐ₂ｐ₂'－ｍ²){(ｐ₁ｐ₁')＋(ｐ₁'ｐ₁)}

＋4(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)(ｐ₂ｐ₂'－ｍ²)]　です。

ところが,保存則:ｐ₁＋ｐ₂＝ｐ₁'＋ｐ₂'によって,

ｐ₁ｐ₂＝ｐ₁'ｐ₂',ｐ₁ｐ₂'＝ｐ₁'ｐ₂,ｐ₁ｐ₁'＝ｐ₂ｐ₂'ですから,

結局,

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

＝32{(ｐ₁ｐ₂)²＋(ｐ₁ｐ₂')²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)}

を得ます。

(注20-3終わり)※

※(注20-4):以上から,

　ｄσ~＝ｅ⁴ｍ⁴/{Ｅ⁴(2β)}∫ｄ³ｐ₁'ｄ³ｐ₂'(2π)^-2

 δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)(1/4)(16ｍ⁴)^-1[{1/(ｐ₁'－ｐ₁)²}²

 {Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

　－(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₂'－ｐ₁)^-2

 {Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

　＋(ｐ₁'⇔ｐ₂'の交換項)]

　は次のように書けます。

ｄσ~＝ｅ⁴ｍ⁴/{Ｅ⁴(2β)}(1/2)∫ｄ³ｐ₁'ｄ³ｐ₂'(2π)^-2

δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)[{1/(ｐ₁'－ｐ₁)²}²

{(ｐ₁ｐ₂)²＋(ｐ₁ｐ₂')²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)}

＋(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₂'－ｐ₁)^-2(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂－2ｍ²)

＋{1/(ｐ₂'－ｐ₁)²}²{(ｐ₁ｐ₂)²＋(ｐ₁ｐ₁')²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₂'－ｍ²)}

＋(ｐ₂'－ｐ₁)^-2(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂－2ｍ²)]

です。

　ここで,慣性中心系では,ｐ₁ｐ₂＝Ｅ²＋ｐ²,ｐ₁ｐ₁'

　＝Ｅ²－ｐ²cosθ＝ｐ₂ｐ₂',ｐ₁ｐ₂'＝Ｅ²－ｐ₁(－ｐ₁')cosθ

　＝Ｅ²＋ｐ²cosθ＝ｐ₁'ｐ₂,(ｐ₁'－ｐ₁)²＝2ｍ²－2ｐ₁ｐ₁'

　＝2(ｍ²－Ｅ²＋ｐ²cosθ)＝－2ｐ²(1－cosθ),(ｐ₂'－ｐ₁)²

 ＝2ｍ²－2ｐ₁ｐ₂'＝2(ｍ²－Ｅ²－ｐ²cosθ)＝－2ｐ²(1＋cosθ)

　です。

　ただし,ｐ≡ｐ₁＝－ｐ₂です。

　故に,ｄσ~の右辺[ ]の中:

　{1/(ｐ₁'－ｐ₁)²}²{(ｐ₁ｐ₂)²＋(ｐ₁ｐ₂')²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)}

　＋(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₂'－ｐ₁)^-2(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂－2ｍ²)

　＋{1/(ｐ₂'－ｐ₁)²}²{(ｐ₁ｐ₂)²＋(ｐ₁ｐ₁')²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₂'－ｍ²)}

　＋(ｐ₂'－ｐ₁)^-2(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂－2ｍ²)

　は次のように書けます。

[ ]＝(1/4)ｐ^-4

[{(Ｅ²＋ｐ²)²＋(Ｅ²＋ｐ²cosθ)²－2ｍ²ｐ²(1－cosθ)}/(1－cosθ)²

＋{(Ｅ²＋ｐ²)²＋(Ｅ²－ｐ²cosθ)²－2ｍ²ｐ²(1＋cosθ)}/(1＋cosθ)²

＋2(1－cosθ)^-1(1＋cosθ)^-1(Ｅ²＋ｐ²)(Ｅ²＋ｐ²－2ｍ²)/{(1－cosθ)

(1＋cosθ)}]＝..(中略)

＝(1/2)ｐ^-4[4(Ｅ²＋ｐ²)²/sin⁴θ－3(Ｅ²＋ｐ²)²/sin²θ

＋ｐ⁴(1＋4/sin⁴θ)]　です。

ただし,ｐ≡|ｐ|　としました。

　ｐ₁'≡|ｐ₁'|と置くと,β＝ｐ/Ｅ＝ｐ₁'/Ｅ₁'により,

　2ｐ₁'＝2Ｅ₁'β　となります。

故に,∫{ｄ³ｐ₁/(2ｐ₁')}{ｄ³ｐ₂/(2Ｅ₂')}δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)

＝(4Ｅ²β)^-1∫ｄ³ｐ₁/(2Ｅβ)}{ｄ³ｐ₂/(2Ｅ)}

δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)

＝(ｄΩ_p1'/2)∫₀^∞ｐ₁'ｄｐ₁'∫ｄ⁴ｐ₂'δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)

δ(ｐ₂'²－ｍ²)θ(Ｅ₂')

＝(ｄΩ_p1'/2)∫₀^∞ｐ₁'ｄｐ₁'δ((ｐ₁＋ｐ₂－ｐ₁') ²－ｍ²)

θ(Ｅ₁＋Ｅ₂－Ｅ₁')

＝(ｄΩ_p1/2)∫₀^2ＥＥ'ｄＥ'δ(4Ｅ ²－4ＥＥ')

＝ｄΩ_p1'/8です。。

(注20-4終わり)※

したがって,微分断面積として,

(ｄσ~/ｄΩ)_M＝{α²/(4Ｅ²)}{(Ｅ²＋ｐ²)/ｐ²}²

[4/sin⁴θ－3/sin³θ＋{ｐ²/(Ｅ²＋ｐ²)}²(1＋4/sin⁴θ)]

が得られました。

特に,Ｅ＞＞ｍでｐ～Ｅの高エネルギー極限では,

(ｄσ~/ｄΩ)_M ～ {α²/(4Ｅ²)}(3＋cos²θ)²/sin⁴θ

となります。

ｄσ~/ｄΩ

＝{α²/(8Ｅ²)}[{1＋cos⁴(θ/2)}/sin⁴(θ/2)

＋2/{sin²(θ/2)cos²(θ/2)}＋{1＋sin⁴(θ/2)}/cos⁴(θ/2)]

とも書けます。

これはｍ²が無視できるときのみ正しい式です。

これらはメラー(Möller)の公式と呼ばれています。(つづく)

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)

　以上,2010年９/６の過去記事「散乱の伝播関数の理論(20)」

　の再掲載です。