弱い相互作用の旧理論(4)(Fermi理論)

弱い相互作用の旧理論の続きです。
 

前回から回り道をしたためもあり,大分間が空いたので,

まず前回までの内容を要約しておきます。
 

まず,β崩壊のＳ行列要素Ｓ_fi^(ｅ-)が±1や±ｉなど大きさ１

の位相因子を除いて次式で与えられるとします。
 

Ｓ_fi^(ｅ-)＝(2π)^-6{ｍ_ｐｍ_ｎｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2 

×(2π)^４δ^４(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)Ｍ　です。 
 

Ｍは不変振幅と呼ばれますが,これはスピノルｕ(ｐ,ｓ),

ｖ(ｐ,ｓ)etc.をスピンｓへの依存性を無視して,ｕ(ｐ),

ｖ(ｐ)etc.と書けば, 

Ｍ＝Σ_{i＝Ｓ,Ｐ,ＶＡ,Ｔ}Ｃ_i [ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)Γ_iｕ_ｎ(Ｐ_ｎ)] 

[ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_iγ₅)Γⁱｖ_ν(ｐ_ν)]

です。
 

ここで,Γ_i＝{１,γ₅,γ_μ,γ₅γ_μ,σ_μν}, 

Γⁱ＝{１,γ⁵,γ^μ,γ⁵γ^μ,σ^μν}　　です。
 

これらの16種類のガンマ行列：

Γ_i＝{１,γ₅,γ_μ,γ₅γ_μ,σ_μν}は,

それぞれをΨ~(ｘ)とΨ (ｘ)で挟んだ双一次形式：

Ψ~(ｘ)Γ_iΨ(ｘ)で与えられるカレントが示す４次元空間

の上での変換性によって,

1はスカラー(Ｓ),γ₅は擬スカラー(Ｐ),γ_μはベクトル(Ｖ),

γ₅γ_μは軸性ベクトル(Ａ), σ_μν＝(ｉ/2)[γ_μ, γ_ν]

は２階テンソル(Ｔ)と分類されます。
 

また,逆β崩壊のＳ行列要素Ｓ_fi^(ｅ+)も同一の形になります

が,このときは反応と逆反応の,「詳細釣り合いの原理

(Principle of detailed-balance)」から,係数Ｃ_i,α_iをその

複素共役に置き換える必要があります。
 

このとき,スピノルの積でのラベルも次のように変わります。 

ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)Γ_iｕ_ｎ(Ｐ_ｎ)　→ ｕ_ｎ~(Ｐ_ｎ)Γ_iｕ_ｐ(Ｐ_ｐ), 

ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_iγ₅)Γⁱ_ｉｖ_ν(ｐ_ν)]  

→ ｕ_ν~~(ｐ_ν~)(1＋α_iγ₅)Γⁱｕ_ｅ(ｐ_ｅ)]　

です。
 

さらにα_i は単に複素共役でなく,ｉ＝Ａ,Ｖではα_i →＋α_i^＊, 

ｉ＝Ｓ,Ｐ,Ｔではα_i → －α_i^＊ と変える必要があります。
 

核子のスピノルについては,あらゆる運動量依存性を無視し,

それによって注意を許容される遷移のみに限定すれば,

不変振幅Ｍは,Pauliの２成分スピノルを用いた簡単な表現

になります。
 

すなわち,

Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]

です。
 

ただし,ｕ_ｐ,ｕ_ｎは４成分スピノルの上２成分(大成分)

で与えられる核子の２成分スピノルで,σ＝(σ¹,σ²,σ³)

はPauliの２×２スピン行列です。

Σ＝(Σ¹,Σ²,Σ³)は,２つのPauliの２×２行列σを対角

要素とする４×４細胞対角行列を意味します。
 

(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)に比例する項：Ｓ,ＶはFermi遷移と呼ばれ,これは 

核子ｎ,ｐについて,スピンＳの変化がゼロ：|ΔＳ|＝0です。
 

他方, (ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)に比例する項：Ａ,ＴはGamow-Teller遷移

と呼ばれ, 核子ｎ,ｐについて,|ΔＳ|＝1です。
 

原子核内のβ崩壊の観測では,Fermi遷移が,Gamow-Teller遷移

から分離されて分類されます。
 

一方,核内遷移では都合よく定義された角運動量状態間で 

遷移が生じますが,他方,自由中性子ｎのβ崩壊ではFermi遷移

とGamow-Teller遷移の両方が同時に寄与しています。
 

また,Ｍ  ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)×[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)×[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}] 

における因子：(1＋α_iγ₅)(ｉ＝Ｓ,Ｖ,ＴＡ)のうち,
α_iγ₅に比例する項はパリティの保存則を破るため,

1956年のLeeとYangによる仕事＝パリティ非保存の予想(とWuに

よる検証)の以前には,非本義Lorent変換の１つである空間反転

(パリティ変換)の下でのＳ行列要素：Ｓ_fiの不変性を破らない

よう全て廃棄されていました。

 

しかし,LeeとYangに従う弱い相互作用でのパリティの破れの

実験的発見以後,今やキーとなるシリーズ実験により,あらゆる

Ｃ_i,α_iの完全な決定へと導くことになりました。

　パリティを破る項での定数α_iは電子の縦偏極を測定すること

で決定されます。
 

　この偏極を決める１つの方法は,原子内の崩壊に伴う電子散乱

の左右対称性を測定することに依ります。
 

　すなわち,電子の偏極ＰをＰ＝(Ｎ_Ｒ－Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)

で定義します。
 

　ただし, 電子のスピンはｓ＝(1/2)σと書けますが,ｐをその

電子の運動量,ｐ^＝ｐ/|ｐ|を運動の向きを示す単位ベクトル

とするとき,σｐ^＝＋1(右巻き(right-handed：正のhelicity)

の電子の個数：つまり,電子自身の運動の向きに偏極したスピン

を持つ電子数をＮ_Ｒ,
 

　σｐ^＝－1(左巻き(left-handed：負のhelicity)の電子の個数： 

つまり運動と逆向きスピンを持つ電子数をＮ_Ｌとしました。
 

自由中性子ｎの崩壊同様,核内でのFermi遷移とGamow-Teller

遷移の両方で電子の反跳が無いという極限では,ニュートリノ

の放出角全体にわたって積分した後,電子の偏極Ｐは良い精度

で次のように与えられます。
 

すなわち,Ｐ＝－|ｐ_ｅ|/Ｅ_ｅ＝－|β_ｅ|です。 

そこで,相対論的極限の|β_ｅ|→ 1(光速)の極限では左巻きの

電子のみが放出されることになります。
 

Ｐ_Ｒ＝Ｎ_Ｒ/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ),Ｐ_Ｌ＝Ｎ_Ｌ/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)とおけば, 

これらはそれぞれを電子の右偏極率,Ｐ_Ｌを左偏極率であり 

Ｐ_Ｒ＋Ｐ_Ｌ＝1であり,Ｐ＝Ｐ_Ｒ－Ｐ_Ｌです。
 

それ故,Ｐ＝－|β_ｅ| ～ －1 は,Ｐ_Ｒ＝0, Ｐ_Ｌ＝1を意味します。
 

  Coulomb散乱で入射電子の偏極がｐ≦1の場合,散乱角をθとすると

その角度に散乱された電子の偏極Ｐは,

Ｐ＝ｐ(1－2ｍ_ｅ²sin²(θ/2)/{Ｅ_ｅ²cos²(θ/2))＋ｍ_ｅ²sin²(θ/2)}) 

となることが知られています。
 

これは,つまり原子内でβ崩壊があった場合,崩壊によって放出

された電子が原子内で散乱された結果,中心の核の反跳が無視

できるならCoulomb散乱と見なすことができて,その際の散乱

電子の偏極をも示す式と考えられます。
 

そこで, Ｅ_ｅ＝ｍ_ｅ/(1－β_ｅ²)^1/2より相対論的極限|β_ｅ|→ 1

では,ｍ_ｅ/Ｅ_ｅ → 0 なのでＰ → ｐです。

   相対論的極限でβ崩壊で放出される電子が左巻きのみなら

ｐ＝－1なので,この高エネルギーの極限では崩壊後に原子

内で散乱された後に観測される電子の偏極もＰ＝－1の

左巻きのみのはずです。
 

そうして,同じ極限で,左巻き電子に対するスピン射影演算子

は(1－γ₅)/2となりますから, 左巻き電子の波動関数Ψ^ＬＨ

はΨ^ＬＨ＝(1－γ₅)Ψ/2で与えられることもわかります。
 

このとき,Ψ^ＬＨ~＝(1＋γ₅)Ψ~/2です。
 

したがって,相対論的極限において正しい結果が実現されるため

には,全てのγ₅の係数α_iは＋1 に等しくなければならないと結論

されます。

　ここまで,要約と前回の「弱い相互作用の旧理論(3)」の最後の

　部分の再掲載でした。(※)

さて,ここからが今日の新しい内容ですが,いきなり,私自身の注

から入ります。
 

β崩壊で放出される電子の偏極Ｐが,β_e＝ｖ_e/ｃ＝ｐ_e/Ｅ_eに対し,

Ｐ＝－β_e＝－|β_e |で与えられること,従って,相対論的極限:

β_e →１(ｖ_e → ｃ)では,Ｐ→ －1と左巻き電子のみになること ,

  それ故,次の不変振幅Ｍ の表現式： 

Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ){Ｃ_Ｓｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅) γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}] 

における全てのγ₅の係数α_iが符号(＋)も含め,正確に＋1でなければ

ならないことを実験結果からだけでなく,理論の側からも証明を与え

たいのです。
 

ただし,厳密で完全な証明は難しいので,下記の私の(※注)では,

α_i＝＋1 が,Ｐ＝－β_e＝－|β_e |なることと無矛盾であり,少なく

ともこれが理論の辻褄が合うための十分条件であることを示します。
 

※(注4-1)：まず,前提として,β崩壊のＳ行列要素：Ｓ_fi^(ｅ-)の

最低次の形が,今まで通り次式で与えられるとします。
 

Ｓ_fi^(ｅ-)＝(2π)^-6{ｍ_ｐｍ_ｎｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2  

×(2π)^４δ^４(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)Ｍ　；  

Ｍ＝Σ_{i,j＝Ｓ,Ｐ,ＶＡ,Ｔ}Ｃ_i   

[ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)Γ_iｕ_ｎ(Ｐ_ｎ)][ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_iγ₅)Γ^jｖ_ν(ｐ_ν)]

です。
 

因子Ｍは,さらに反跳が小さいという近似で   

Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}  

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]　 

と簡単になります。
 
そこで,β崩壊で放出される電子の偏極Ｐは,係数Ｃ_iへの依存性

を除けば次の式で与えられます。

(※各項の寄与が共通値であることを示せば係数は無関係です。)

Ｐ＝(Ｎ_Ｒ－Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ) 

＝[Σ_Ａ,Ｂ|Ｔr{(1＋γ₅ｓ^Ｒ)/2}(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

－Ｔr|(1－γ₅ｓ^Ｒ)/2}(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

/[Σ_Ａ,ＢＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

これは,Ｐ＝[Σ_Ａ,Ｂ|Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

/[Σ_Ａ,ＢＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}] 

と書けます。
 

上式のΣ_Ａ,Ｂを,(Ａ,Ｂ)＝(ｉｊ)＝{Ｓ,Ｐ,Ｖ,Ａ,Ｔ}の総和Σ_i,j

とし,Γ_ＡはΓ_Ａ＝(1＋α_iγ₅)Γ_i,Γ_ＢはΓ_Ｂ＝(1±α_j^＊γ₅)Γ^jで

あるとします。
 
ただし.Γ_Ｂの式の右辺の(±)符号は,ｊ＝Ｖ,Ａのとき(＋)であり, 

ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔのとき(ー)です。
 

こうすれば不変振幅Ｍの形を偏極に体現したことになります。
 

しかし,特に初めから全てのｉ,ｊについてα_i＝α_i^＊＝＋1と

仮定します。

すると, Γ_Ａ＝(1＋γ₅)Γ_i,Γ_Ｂ＝(1±γ₅)Γ^j です。
 

このとき,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂは,

Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)Γ_iｐ_ν~(1±γ₅)Γ^jなる形になります。
 

そこでまず,ｉの分類ごとに,これを計算します。
 

(1) ｉ＝Ｓのとき,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)ｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j　 

＝(1＋γ₅){1－(±γ₅)}ｐ_ν~Γ^j なので,
 

ｊ＝Ｖ,Ａなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)(1－γ₅) ｐ_ν~Γ^j＝0

 であり,

ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)²ｐ_ν~Γ^j

＝2(1＋γ₅)ｐ_ν~Γ^j です。
 

(2)ｉ＝Ｐのとき,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅) γ₅ｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j 

＝(γ₅ ＋1)ｐ_ν~(1±γ₅)Γ^jなので,ｉ＝Ｓのときと同じです。
 

故に,ｊ＝Ｖ,Ａなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝0 であり, 

ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝2(1＋γ₅)ｐ_ν~Γ^j です。
 

(3)ｉ＝Ｖのとき, Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)γ_λｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j 

＝(1＋γ₅)(±γ₅)γ_λｐ_ν~Γ^j なので,
 

ｊ＝Ｖ,ＡならΓ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)²γ_λｐ_ν~Γ^j 

＝2(1＋γ₅)γ_λｐ_ν~Γ^j であり,ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔなら, 

Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)(1－γ₅) γ_λｐ_ν~Γ^j ＝0 です。
 

(4)ｉ＝Ａのとき,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)γ₅γ_λｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j 

＝(γ₅＋1)γ_λｐ_ν~(1±γ₅)Γ^jなので,ｉ＝Ｖのときと同じです。
 

すなわち,ｊ＝Ｖ,ＡならΓ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝2(1＋γ₅)γ_λｐ_ν~Γ^j 

であり,ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝0 です。
 

(5)i＝Ｔのとき, Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)σ_λτｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j 

＝(ｉ/2)(1＋γ₅)[γ_λ,γ_τ]ｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j 

＝(ｉ/2)(1＋γ₅){－(±γ₅)}[γ_λ,γ_τ]ｐ_ν~Γ^jなので,
 

ｊ＝Ｖ,Ａのときは,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝0 であり, 

ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔのとき,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝2(1＋γ₅)0σ_λτｐ_ν~Γ^j

です。
 

以上から,ｉ＝Ｖ,Ａなら,ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔではゼロ, 

ｉ＝Ｓ,Ｐ,Ｔならｊ＝Ｖ,Ａではゼロとなって,(Ｖ,Ａ)の組

と(Ｓ,Ｐ,Ｔ)の組は独立であることがわかります.
 

そして,既にＰ(擬スカラー)はFermi項にもGamow^Teller項にも

出現しない許容されない遷移カレントであるとわかっているので

以下では考察からはずします。
 

次に, 

Ｐ＝[Σ|Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ} 

/[ΣＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]
 

の分母,分子において,Σをはずした各項を評価します。
 

上述のようにＰ(擬スカラー)のケースは排除し,( Ｖ,Ａ)と(Ｓ,Ｔ)

の独立性を考慮して考察します。
 

①ｉ＝Ｓ,ｊ＝Ｓなら 

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)ｐ_ν}

＝8ｐ_ｅｐ_ν~ であり,

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

 ＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)ｐ_ν}＝－8ｍ_eｓ^Ｒｐ_ν~

です。
 

核子側の因子の同じＳ(スカラー)についてもトレースを求め,

反ニュートリノの放出される方向の立体角ｄΩ_ν~についての積分

を実行すると,ｐ_ν~の奇関数についての項はゼロとなって消える

ことを考慮すれば,

結局,分母＝8Ｅ_ｅＥ_ν~であり,分子＝－8ｍｓ^Ｒ0Ｅ_ν~です。
 

②ｉ＝Ｓ,ｊ＝Ｔなら,

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)ｐ_νσ^λτ} 

＝i(Ｔr{ｐ_eｐ_ν~[γ^λ,γ^τ]}＋Ｔr{ｐ_eｐ_ν~γ₅ [γ^λ,γ^τ]}) 

＝8i(ｐ_ｅ^τｐ_ν~^λ－ｐ_ｅ^λｐ_ν~^τ)＋8ε_αβλτｐ_ｅ^αｐ_ν~^β,
 

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)ｐ_νσ^λτ} 

＝i(－ｍ_eＴr{ｓ^Ｒｐ_ν~[γ^λ,γ^τ]}

＋ｍ_eＴr{ｓ^Ｒγ₅ｐ_ν~[γ^λ,γ^τ]}) 

＝8ｍ_ei(ｓ^Ｒτｐ_ν~^λ－ｓ^Ｒλｐ_ν~^τ)－8ｍ_eε_αβλτｓ^Ｒαｐ_ν~^β

です。
 

これらは,λ,τについて反対称ですから,同じく反対称なΓ_Ｔ

の核子カレントと積和し,かつｄΩ_ν~についての積分の結果,

α＝β＝0以外の寄与はゼロのため,分母＝分子＝0 で偏極Ｐ

には寄与しません。
 

③ｉ＝Ｖ,Ａ,ｊ＝Ｖなら,
 

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)γ_λｐ_νγ^τ} 

＝2[Ｔr(ｐ_eγ_λｐ_νγ^τ)＋Ｔr(ｐ_eγ₅γ_λｐ_νγ^τ)] 

＝8(ｐ_ｅλｐ_ν~^τ＋ｐ_ｅ^τｐ_ν~λ－ｇ_λ^τｐ_ｅｐ_ν~)

－8ｉε_αβλ^τｐ_ｅ^αｐ_ν~^β,
 

­分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)γ_λｐ_νγ^τ} 

＝－2ｍ_eＴr{ｓ^Ｒｐ_ν~γ_λｐ_νγ^τ)＋2ｍ_eＴr{ｓ^Ｒγ₅γ_λｐ_νγ^τ)
 

＝－8ｍ_e(ｓ^Ｒ_λｐ_ν~^τ＋ｓ^Ｒτｐ_ν~λｇ_λ^τｓ^Ｒｐ_ν~)

＋8ｍ_eiε_αβλτｓ^Ｒαｐ_ν~^β,
 

故に,前のｉ＝Ｓと同様,

分母＝8Ｅ_eＥ_ν~,　分子＝－－8ｍ_eｓ^Ｒ0Ｅ_ν~です。
 

④ｉ＝Ｖ,Ａ,ｊ＝Ａなら,
 

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)γ_λｐ_νγ₅γ^τ} 

＝2[Ｔr(ｐ_eγ_λｐ_νγ^τ)＋Ｔr(ｐ_eγ_λｐ_νγ₅γ^τ)]
 

＝ 8(ｐ_ｅλｐ_ν~^τ＋ｐ_ｅ^τｐ_ν~λ－ｇ_λ^τｐ_ｅｐ_ν~)

－8ｉε_αβλ^τｐ_ｅ^αｐ_ν~^β,
 

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)γ_λｐ_νγ₅γ^τ} 

＝－2ｍ_eＴr{ｓ^Ｒｐ_ν~γ_λｐ_νγ^τ)＋2ｍ_eＴr{ｓ^Ｒγ_λｐ_νγ₅γ^τ)
 

＝－8ｍ_e(ｓ^Ｒ_λｐ_ν~^τ＋ｓ^Ｒτｐ_ν~λｇ_λ^τｓ^Ｒｐ_ν~)

＋8ｍ_eiε_αβλτｓ^Ｒαｐ_ν~^βです。
 

故に,やはり,分母＝8Ｅ_eＥ_ν~,　分子＝－－8ｍ_eｓ^Ｒ0Ｅ_ν~

です。
 

⑤ｉ＝Ｔ,ｊ＝Ｓ,のときは,
 

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)σ_λτｐ_ν} 

＝8i(ｐ_ｅτｐ_ν~λ－ｐ_ｅλｐ_ν~τ)＋8ε_αβλτｐ_ｅαｐ_ν~β,
 

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅) σ_λτｐ_ν} 

＝i(－ｍ_eＴr{ｓ^Ｒｐ_ν~[γ_λ,γ_τ]}＋ｍ_eＴr{ｓ^Ｒγ₅ｐ_ν~[γ_λ,γ_τ]}) 

＝8ｍ_ei(ｓ^Ｒ_τｐ_ν~λ－ｓ^Ｒ_λｐ_ν~^τ)－8ｍ_eε_αβλτｓ^Ｒ_αｐ_ν~β,
 

故に,　分母＝8Ｅ_eＥ_ν~,　分子＝－－8ｍ_eｓ^Ｒ0Ｅ_ν~

です。

最後に,⑥ｉ＝ｊ＝Ｔでも,
 

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)σ_λτｐ_νσ^ρσ}
 

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅) σ_λτｐ_νσ^ρσ}

以下,同様な詳細計算は省略しますが,

やはり,分母＝8Ｅ_eＥ_ν~,　分子＝－－8ｍ_eｓ^Ｒ0Ｅ_ν~

です。
 

以上から,

Ｐ＝[Σ|Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

/[ΣＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}] 

＝－ｍ_eｓ^Ｒ0Ｅ_ν~/(Ｅ_eＥ_ν~)＝－ｍ_eｓ^Ｒ0/Ｅ_e

が得られました。
 

ここで,|ｓ^Ｒ|＝1/(1－β_e²)^1/2＝Ｅ_e/ｍ_eより,

ｓ^Ｒ0＝|1－|ｓ^Ｒ|²)^1/2＝β_e /(1－β_e²)^1/2＝β_e Ｅ_e/ｍ_e

です。
 

したがって,確かに,

Ｐ＝－ｍ_eｓ^Ｒ0/Ｅ_e＝－β_e＝－|β_e |　が得られました。
 

しかし,もしもαi＝＋1を仮定しないなら,どうなるか？？

を簡単な例で見てみます。
 

電子の偏極Ｐの式：

Ｐ＝(Ｎ_Ｒ－Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ) 

＝[Σ_A,B|Ｔr{(1＋γ₅ｓ^Ｒ)/2}(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

－Ｔr|(1－γ₅ｓ^Ｒ)/2}(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

/[Σ_A,BＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]
 

＝[Σ_A,B|Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

/[Σ_A,BＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]
 

上式のΣ_A,Bを(Ａ,Ｂ)=(ｉ,ｊ)＝{Ｓ,Ｐ,Ｖ,Ａ,Ｔ}で

Σ_i,jとし,,Γ_Ａ＝(1＋α_iγ₅)Γ_i,Γ_Ｂ＝(1±α_j^＊γ₅)Γ^jとするところ

までは前と同じです。

　ここで,前はα_i＝α_j^＊＝＋1とは仮定しましたが,これを仮定せず

このままで計算してみます。

　すると,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂは, 

Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋α_iγ₅)Γ_iｐ_ν~(1±α_j^＊γ₅)Γ^j　

となります。

　したがって,特にｉ＝Ｓ(スカラー)のときは, 

　Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋α_iγ₅)ｐ_ν~(1±α_j^＊γ₅)Γ^j　 

　＝(1＋α_iγ₅){1－(±α_j^＊γ₅)}ｐ_ν~Γ^j なので,

　さらに,ｊ＝Ｖ,Ａなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ

　＝(1＋α_Ｓγ₅)(1－α_ｊ^＊γ₅)ｐ_ν~Γ^j 

　＝(1－α_Ｓα_j^＊)ｐ_ν~Γ^jであり,
 

　他方,ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔなら、

　Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋α_Ｓγ₅)(1＋α_j^＊γ₅))ｐ_ν~Γ^j 

　＝{1＋α_Ｓα_j^＊＋(α_Ｓ＋α_j^＊)γ₅}ｐ_ν~Γ^j 

　です。
 

　特に,簡単な場合として,ｉ＝Ｓ,ｊ＝Ｓとすると,

Ｐの分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}] 

＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e){1＋|α_Ｓ|²＋(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)γ₅}ｐ_ν}

＝4(1＋|α_Ｓ|²)ｐ_ｅｐ_ν~,
 

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ} 

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e){1＋|α_Ｓ|²＋(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)γ₅}ｐ_ν} 

＝－4ｍ_e(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)ｓ^Ｒｐ_{ν~　です。}
 

　前と同じく,反ニュートリノの放出される方向の立体角ｄΩ_ν~

について積分すると,ｐ_ν~の奇関数についての項はゼロとなって

消えることから,
 

　結局,分母＝4(1＋|α_Ｓ|²)Ｅ_ｅＥ_ν~であり,

　分子＝－4ｍ_e(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)ｓ^Ｒ0Ｅ_ν~です。
 

　それ故,もしも電子の偏極Ｐへの寄与がｉ＝Ｓ,ｊ＝Ｓの項しか

ないとした場合には,
 

　Ｐ＝(分子)/(分母)

　＝－{(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)/{(1＋|α_Ｓ|²)}(ｍ_eｓ^Ｒ0/Ｅ_e)であり,

　結局,Ｐ＝－{(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)/(1＋|α_Ｓ|²)}|β_e |

　となります。
 

　この右辺の値が,正確に,Ｐ＝－|β_e |となるのは, 

　(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊) /(1＋|α_Ｓ|²)＝1：つまり,

　α_Ｓ＋α_Ｓ^＊＝1＋α_Ｓα_Ｓ^＊,or |1－α_Ｓ|²＝1のときに限るため,

　α_Ｓ＝＋1は,先に示したように,(分子)/(分母)＝－|β_e |と

　なるための十分条件であるだけでなく,
 

　恐らく,ｉ,ｊ＝Ｓ,Ｖ,Ａ,Ｔの全てに共通に

　(分子)/(分母)＝－|β_e |となるための必要条件でもあるはず

　です。

　(※元々仮定したＭの形では,ｉ＝ｊのケース以外を考察

　する必要はなかったのに,ついやってしまいました。

　(注4-1終わり)※
 

　かくして,不変振幅： 

　Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ){Ｃ_Ｓｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}

 ＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]　は,
 

　Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ){Ｃ_Ｓｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}

  ＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

  ＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

  ＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]
 

　とやや簡単になり,後は,係数Ｃ_Ｓ,Ｃ_Ｖ,Ｃ_Ｔ,Ｃ_Ａを決定する

作業が残っているのみとなりました。
 

　今日は,ほとんど式の説明を与える私自身の注釈だけで,

テキストなどでは,通常,きれいな見かけの計算結果だけを表示

して書かないような,舞台裏の内容である,だらだらと長くて

泥臭い計算の羅列でしたが,　一応,これで終わります。
 

 (参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell

"Relativistic QantumMechanics" (McGrawHill)